5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 74)

Ta có: y = 2x – 1 (1)

y’ = –x + m (2)

Để (1) và (2) cắt nhau tại một điểm thì y = y’

Û 2x – 1 = –x + m

Û 3x = m + 1

Mà hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 nên:

m + 1 = 3. 2

Û m = 5

Vậy giá trị m thỏa mãn là m = 5.

Ta có: y = x – 5m (1)

y’ = 3x – m² (2)

Để (1) và (2) cắt nhau tại một điểm thì y = y’

Û x – 5m = 3x – m²

Û m² – 5m = 2x

Mà hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng –3 nên:

m² – 5m = 2. (–3)

Û m² – 5m + 6 = 0

Û m² – 2m – 3m + 6 = 0

Û m(m – 2) – 3(m – 2) = 0

Û (m – 2)(m – 3) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 2 = 0}\\{m - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m = 3}\end{array}} \right.\]

Vậy giá trị m thỏa mãn là m = 2 hoặc m = 3.

Để đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’) thì 2k – 1 ¹ 2 hay \[k \ne \frac{3}{2}\].

Thay x = –2 vào hàm số y = 2x + 1

Û y = 2. (–2) + 1 = –3

Gọi A(–2; –3).

Do đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A nên:

–3 = (2k – 1)( –2) + 3 – k

Û –4k + 2 + 3 – k + 3 = 0

Û –5k + 8 = 0

\[ \Leftrightarrow k = \frac{{ - 8}}{5}\] (TMĐK)

Vậy giá trị k thỏa mãn là \[k = \frac{{ - 8}}{5}\].

Để đường thẳng (d) // (m) thì:

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2k - 1 = 0,5}\\{3 - k \ne - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{3}{4}\,\,\,(tm)}\\{k \ne 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Vậy giá trị k thỏa mãn là \[k = \frac{3}{4}\].

Xét ΔBHE và ΔCAB có:

\[\widehat {BHE} = \widehat {BAC} = 90^\circ \]

\[\widehat {HBE} = \widehat {BCA}\] (vì cùng phụ với \[\widehat {ABC}\])

Do đó ΔBHE ᔕ ΔCAB (g.g)

Suy ra \[\frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{BC}}\]

Hay BH. BC = BE. AC = AB. AC (vì BE = AB) (1)

Tương tự ΔCKF ᔕ ΔBAC (g.g)

\[ \Rightarrow \frac{{CK}}{{CF}} = \frac{{BA}}{{BC}}\] hay CK. BC = CF. AB = AB. AC (vì CF = AC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra BH. BC = CK. BC hay BH = CK.

Vậy BH = CK.

Đáp án đúng là \[A.\,\,\overrightarrow a = ( - 5;0),\,\,\overrightarrow b = ( - 4;0)\] cùng hướng

Ta có: \[\,\overrightarrow a = ( - 5;0),\,\,\overrightarrow b = ( - 4;0)\]

\[ \Rightarrow \,\overrightarrow a = \,\frac{4}{5}\,\overrightarrow b \].

Do đó, \[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \]cùng hướng.

Đáp án đúng là \[C.\,\,\,\overrightarrow u - \,\overrightarrow v \] và \[\overrightarrow b = (6; - 24)\] cùng hướng.

Ta có: \[\overrightarrow u - \,\overrightarrow v = (2; - 8)\]

\[\overrightarrow b = (6; - 24) = 3(2; - 8) = 3\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right)\].

Do đó \[\overrightarrow u - \,\overrightarrow v ,\,\,\overrightarrow b \] cùng hướng.

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Đặt a = AB, b = OB, c = OA

Ta có: \[a.\overrightarrow {IO} + b.\overrightarrow {IA} + c.\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \]

• \[OA = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3\]

• \[OB = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} = 4\]

• \[AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)}^2}} = 5\]

Do đó \[5.\overrightarrow {IO} + 4.\overrightarrow {IA} + 3.\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{5.0 + 4.2 + 3.\frac{{ - 8}}{3}}}{{3 + 4 + 5}} = 0}\\{{y_I} = \frac{{5.0 + 4.2 + 3.\frac{4}{3}}}{{3 + 4 + 5}} = 1}\\{{z_I} = \frac{{5.0 + 4.2 + 3.\frac{8}{3}}}{{3 + 4 + 5}} = 1}\end{array}} \right.\]

Do đó tâm I(0; 1; 1)

Gọi \[\overrightarrow n \]là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB). Khi đó:

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = (4; - 8;8) = 4(1; - 2;2)\]

Gọi (∆) là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

Þ Vecto chỉ phương của (∆) là: \[\overrightarrow u = (1; - 2;2)\].

Phương trình chính tắc của (∆) là: \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{2}\].

Vậy phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{2}\].

\[{\left( {{x^2} + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k} {.1^{n - k}}.{x^{2k}} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k} .{x^{2k}}\]

Do tổng các hệ của khai triển bằng 1024. 

\[C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = 1024\]

Þ (1 + 1)ⁿ = 1024 Û 2ⁿ = 2¹⁰ Û n = 10

\[ \Rightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 1}^{10} {C_{10}^k} .{x^{2k}}\]

Hệ số của x¹² tương ứng với 2k = 12

Û k = 6

Hệ số của x¹² là: \[C_{10}^6\]

Vậy hệ số của x¹² là \[C_{10}^6\].

Ta có: \[{\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 1}^{10} {C_{10}^k} .{(2x)^{10 - k}}.{\left( { - {x^2}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 1}^{10} {C_{10}^k} {.2^{10 - k}}.{x^{10 + k}}\]

Hệ số của x¹² tương ứng với 10 + k = 12

Û k = 2

Hệ số của x¹² là: \[C_{10}^2{.2^8}\].

Vậy hệ số của x¹² là \[C_{10}^2{.2^8}\].

\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(m - 1)x + y = 2}\\{mx + y = m + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - (m - 1)x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{mx + 2 - (m - 1)x = m + 1}\end{array}} \right.\\\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - (m - 1)x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{mx + 2 - mx + x = m + 1}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - (m - 1)x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - {{(m - 1)}^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)²).

Vì \[\frac{3}{1} \ne \frac{{ - 1}}{2}\]nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) nên ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - y = 2m + 3}\\{x + 2y = 3m + 1}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6x - 2y = 4m + 6}\\{x + 2y = 3m + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x = 7m + 7\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{3x - y = 2m + 3}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Ta có: x² + y² = 5

Û (m + 1)² + m² = 5

Û 2m² + 2m – 4 = 0

Û 2(m – 1)(m + 2) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1\,\,\,\,}\\{m = - 2}\end{array}} \right.\]

Vậy giá trị m thoả mãn là m = 1 hoặc m = –2.

P = (x + y)³ − 3xy (x + y) + 2x²y²

\[ = 2{x^2}{y^2} - 3xy + 1\].

Đặt t = xy, \[t \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\].

\[P = 2{t^2} - 3t + \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\]

\[ = \frac{1}{8}(4t - 1)(4t - 5) + \frac{3}{8} \ge \frac{3}{8}\]

Do đó, \[P \ge \frac{3}{8}\].

Đẳng thức xảy ra khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 1}\\{t = \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = y\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\].

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \[\frac{3}{8}\] khi \[x = y = \frac{1}{2}\].

Ta có: P = x² + 2xy + 3y² + 5y + 10

= (x² + 2xy + y²) + (2y² + 5y + 10) 

\[ = {(x + y)^2} + 2{\left( {{y^2} + \frac{5}{2}y + 5} \right)^2} = {(x + y)^2} + 2\left( {{y^2} + \frac{5}{2}y + \frac{{25}}{{16}} + \frac{{55}}{{16}}} \right)\]

\[ = {(x + y)^2} + 2{\left( {y + \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{55}}{8} \ge \frac{{55}}{8}\]

Dấu "=" xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 0}\\{y + \frac{5}{4} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{5}{4}}\\{y = \frac{{ - 5}}{4}}\end{array}} \right.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P = \frac{{55}}{8}\] khi \[x = \frac{5}{4};\,\,y = \frac{{ - 5}}{4}\].

x³ – 7x – 6 = x³ – x² + x² – x – 6x – 6 

= x²(x – 1) + x(x – 1) – 6(x + 1) 

= (x – 1)(x² + x) – 6(x + 1) 

= x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) 

= (x² – x – 6)(x + 1)

= (x² + 2x – 3x– 6)(x+1)

= [x(x + 2) – 3(x + 2)](x+1)

= (x – 3)(x + 2)(x + 1)

x(x − 3) + 5x = x² – 8

x(x − 3) + 5x − x² + 8 = 0

x² − 3x + 5x − x² + 8 =0

2x + 8 = 0

2x = −8

x = −4

Vậy x = −4.

Số tự nhiên có 3 chữ số dôi một khác nhau lập từ 0; 1; 2; ...; 9 (kể cả bắt dầu từ chữ số 0) là \[A_{10}^3\] số.

Số tự nhiên có 3 chữ số dôi một khác nhau lập từ 0; 1; 2; ...; 9 (bắt dầu từ chữ số 0) là \[A_9^2\] số.

Vậy số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau là: \[A_{10}^3 - A_9^2 = 648\](số)

Gọi số có ba chữ số cần tìm là: \[\overline {abc} \] trong đó a, b, c được lấy từ các chữ số đã cho,

a ≠ 0 và a, b, c đôi một khác nhau.

Khi đó:

• a có 7 cách chọn từ các chữ số đã cho;

• b có 6 cách chọn từ các chữ số đã cho;

• c có 5 cách chọn từ các chữ số đã cho.

Theo quy tắc nhân ta có 7 × 6 × 5 = 210 (cách).

Vậy có thể lập được 210 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lấy điểm C tùy ý trên mặt phẳng chứa n điểm, ta có:

\[\overrightarrow {C{B_1}} + \overrightarrow {C{B_2}} + ... + \overrightarrow {C{B_n}} = \overrightarrow {C{A_1}} + \overrightarrow {C{A_2}} + ... + \overrightarrow {C{A_n}} \]

\[ \Rightarrow (\overrightarrow {C{B_1}} - \overrightarrow {C{A_1}} ) + (\overrightarrow {C{B_2}} - \overrightarrow {C{A_2}} ) + ... + (\overrightarrow {C{B_n}} - \overrightarrow {C{A_n}} ) = \overrightarrow 0 \]

\[{d_{\min }} = \frac{{l{v_2}\sin \alpha }}{{{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha }}\](đpcm).

Vậy \[\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \].

Do AB là tiếp tuyến của (O)

Þ OB ^ AB  

Mà OB ^ ON

Þ AB // ON (từ vuông góc suy ra song song) hay AM // ON

Chứng minh tương tự

Þ AN // OM

Do 2 tiếp tuyến AB và AC cắt nhau tại A

Þ OA phân giác góc BAC (tính chất tiếp tuyến) hay OA phân giác góc \[\widehat {MAN}\]

Xét tứ giác AMON có: AM // ON, AN // OM, OA phân giác góc \[\widehat {MAN}\] 

Þ AMON là hình thoi.

Vậy AMON là hình thoi.

Do AB là tiếp tuyến của (O)

Þ OB ^ AB  

Mà OB ^ ON

Þ AB // ON (từ vuông góc suy ra song song) hay AM // ON

Chứng minh tương tự

Þ AN // OM

Do 2 tiếp tuyến AB và AC cắt nhau tại A

Þ OA phân giác góc BAC (tính chất tiếp tuyến) hay OA phân giác góc \[\widehat {MAN}\]

Xét tứ giác AMON có: AM // ON, AN // OM, OA phân giác góc \[\widehat {MAN}\] 

Þ AMON là hình thoi

Đặt I là trung điểm OA

Þ\[OI = \frac{{OA}}{2} = \frac{{2R}}{2} = R\]hay OI là bán kính của (O)

Do AMON là hình thoi

Þ OA vuông góc với MN tại I (t/c) hay OI vuông góc với MN tại I

Mà OI là bán kính của (O)

Þ MN là tiếp tuyến của (O)

Vậy MN là tiếp tuyến của (O).

Với ab + bc + ca = 1 và a, b, c > 0, ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{a^2} + 1} = \sqrt {(a + b)(a + c)} }\\{\sqrt {{b^2} + 1} = \sqrt {(b + c)(b + a)} }\\{\sqrt {{c^2} + 1} = \sqrt {(c + a)(c + b)} }\end{array}} \right.\]

Do đó:

• \[\frac{{\sqrt {{a^2} + 1} .\sqrt {{b^2} + 1} }}{{\sqrt {{c^2} + 1} }} = a + b\]

• \[\frac{{\sqrt {{b^2} + 1} .\sqrt {{c^2} + 1} }}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = b + c\]

\[\frac{{\sqrt {{c^2} + 1} .\sqrt {{a^2} + 1} }}{{\sqrt {{b^2} + 1} }} = c + a\]

Þ P = 2(a + b + c)

Þ P² = 4(a + b + c)² ≥ 4. 3(ab + bc + ca)

Hay P² ≥ 12

\[ \Leftrightarrow P \ge 2\sqrt 3 \]

Dấu “=” xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P = 2\sqrt 3 \] khi \[a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

• \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{2}{{ab}}\]

• \[\frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{2}{{bc}}\]

• \[\frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \ge \frac{2}{{ac}}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}\]

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Ta có: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = 9\]

\[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\]

Mà \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right) \le 3\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 9 \le 3\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\].

Suy ra \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\]hay P ≥ 3.

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất P = 3 khi a = b = c = 1.

Ta có M nằm trên trục Oy nên tọa độ điểm M có dạng M(0; y).

Ba điểm A; B; M  thẳng hàng khi \[\overrightarrow {AB} \] cùng phương với \[\overrightarrow {AM} \].

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = ( - 3;4),\,\,\,\overrightarrow {AM} = ( - 1;y - 2)\].

Để \[\overrightarrow {AB} \]cùng phương với \[\overrightarrow {AM} \] thì

\[\frac{{ - 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{4} \Leftrightarrow 4 = 3(y - 2) \Leftrightarrow y = \frac{{10}}{3}\]

Vậy \[M\left( {0;\frac{{10}}{3}} \right)\].

G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{3 + 1 + 5}}{3} = 3}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{5 + 2 + 2}}{3} = 3}\end{array}} \right.\]

Vậy trọng tâm tam giác ABC có toạ độ G(3; 3).

Xét ΔBAM và ΔDNA có :

\[\widehat {ABM} = \widehat {NDA}\](vì ABCD là hình bình hành)

\[\widehat {BAM} = \widehat {DNA}\](vì so le trong)

Do đó ΔBAM ᔕΔDNA (g.g)

Suy ra \[\frac{{BM}}{{AD}} = \frac{{BA}}{{DN}}\] hay BM. DN = AD. AB.

Mà AD, AB cố định nên AD. AB không đổi

Khi đó BM.DN không đổi

Vậy BM. DN không đổi.

Ta có: AD // BC

\[ \Rightarrow \frac{{AP}}{{AM}} = \frac{{DP}}{{DB}} = \frac{{DP}}{{DP + PB}}\] (định lý Ta-let) (1)

AB // DN

\[ \Rightarrow \frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{BP}}{{BD}} = \frac{{BP}}{{BP + PD}}\] (định lý Ta-let) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \[\frac{{AP}}{{AM}} + \frac{{AP}}{{AN}} = \frac{{DP + BP}}{{BP + PD}} = 1\]

\[ \Leftrightarrow AP\left( {\frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = \frac{1}{{AP}}\] (đpcm)

Vậy \[\frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = \frac{1}{{AP}}\].

Xét tứ giác BCEQ có:

BE ^ QC = {H}

H là trung điểm của QC

H là trung điểm của BE

Þ BCEQ là hình thoi

Vậy BCEQ là hình thoi.

Ta có: NE ^ AD; DM ^ AD

Þ DM // NE

Xét tứ giác BCEQ có:

BE ^ QC = {H}

H là trung điểm của QC

H là trung điểm của BE

Þ BCEQ là hình thoi

Þ BC // QE

Mà BC // AD

Nên QE // AD

Xét tứ giác DMEN có:

DM // NE

QE // DN

Þ DMEN là hình bình hành

Mà \[\widehat {NDM} = 90^\circ \]

Þ DMEN là hình chữ nhật

Þ OM = OE.

Vậy tam giác OME cân tại O.

Ta có: \[2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IN} \]

\[2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PN} \]

Mà \[\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IP} = 0\] (vì I là trung điểm của MP)

\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} \]

\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \]

Hay \[\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} \].

Vậy IJ // AE và \[IJ = \frac{1}{4}AE\].

Vì K là điểm chính giữa cung AB nên:

AK = KB (liên hệ giữa cung và dây)

Xét ∆AKN và ∆BKM có:

AK = BK

\[\widehat {NAK} = \widehat {MBK}\](hai góc nội tiếp cùng chắn )

AN = BM

Do đó ∆AKN = ∆BKM (c.g.c)

K là điểm chính giữa cung AB nên:

AK = KB (liên hệ giữa cung và dây)

Xét ∆AKN và ∆BKM có:

AK = BK

\[\widehat {NAK} = \widehat {MBK}\](hai góc nội tiếp cùng chắn )

AN = BM

Do đó ∆AKN = ∆BKM (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {AKN} = \widehat {BKM}\] (hai góc tương ứng).

\[ \Rightarrow \widehat {AKN} = \widehat {BKM}\] và KN = KM

Khi đó: \[\widehat {NKM} = \widehat {NKB} + \widehat {BKM} = \widehat {NKB} + \widehat {AKN} = \widehat {AKB} = 90^\circ \]

Mà KN = KM

Þ ∆KMN là tam giác vuông cân tại K

Vậy ∆KMN là tam giác vuông cân tại K.

Ta có: AM = A₁M₁

Từ \[\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {CM} \Leftrightarrow \,\overrightarrow {AM} - \,\overrightarrow {AB} = 2\left( {\overrightarrow {AM} - \,\overrightarrow {AC} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \]

\[ \Rightarrow A{M^2} = 4A{C^2} + A{B^2} - 4\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \] (*)

Lại có: \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \Rightarrow B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \]

\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}\]

Thay vào (*) ta có:

AM² = 4AC² + AB² – 2(AC² + AB² – BC²)

AM² = 2AC² – AB² + 2BC² = 2.6² – 4² + 2.5² = 106

\[AM = \sqrt {106} \approx 10,3\,\,(cm)\]

Vậy AM = 10,3 cm.

Vì \[\overrightarrow {DB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \] nên \[\overrightarrow {DB} \,,\,\,\,s\overrightarrow {BC} \] cùng hướng và \[DB = \frac{1}{3}BC\].

\[\overrightarrow {HE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \] nên \[\overrightarrow {AE} \,,\,\overrightarrow {AC} \] cùng hướng và \[AE = \frac{1}{3}AC\].

\[\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \] nên \[\overrightarrow {AH} \,,\,\,s\overrightarrow {AB} \] cùng hướng và \[AH = \frac{2}{3}AB\].

Ta có: \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \]

\[ = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {DH} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AD} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {DH} = \overrightarrow {HE} \]

\[\overrightarrow {HE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]

Vậy \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \]

\[\overrightarrow {DH} = \frac{{ - 2}}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {HE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]

\[\overrightarrow {HE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \] nên \[\overrightarrow {AE} \,,\,\overrightarrow {AC} \] cùng hướng và \[AE = \frac{1}{3}AC\].

\[\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \] nên \[\overrightarrow {AH} \,,\,\overrightarrow {AB} \] cùng hướng và \[AH = \frac{2}{3}AB\].

Ta có: \[\overrightarrow {DH} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AD} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\]

\[\overrightarrow {DH}  = \frac{{ - 2}}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {HE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {DH} = \overrightarrow {HE} \]

Vậy D, H, E thẳng hàng.

Ta có: \[C_n^8 = 26C_n^4 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{8!(n - 8!)}} = 26.\frac{{n!}}{{4!(n - 4!)}}\]

Û (n – 7)(n – 6)(n – 5)(n – 4) = 13. 14. 15. 16

Û n – 7 = 13

Û n = 20

Số tập con gồm k phần tử của A là:

\[\frac{{12}}{{25}} = \frac{{40}}{{50}} > \frac{{35}}{{50}} > \frac{{24}}{{50}}\]thì \[C_{20}^k\] nhỏ nhất.

Vậy k = 10.

Xét x² – 4x + m = 0

Ta có Δ = (−4)² − 4.1.m = 16 − 4m

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 16 − 4m > 0 ⇔ −4m > −16 ⇔ m < 4

Theo hệ thức Vi-et, ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1}.{x_2} = m}\end{array}} \right.\]

Ta có: x₁³ + x₂³ − 5(x₁² + x₂²) = 26

⇔(x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂) − 5[(x₁ + x₂)² − 2x₁x₂] = 26

⇔ 4³ − 3.m.4 – 5(4² − 2m) = 26

⇔ 64 − 12m – 80 + 10m = 26

⇔ −2m = −18

⇔ m = 9 (không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn            x₁³ + x₂³ – 5(x₁² + x₂²) = 26.

x² – 4x + m + 1 = 0

Δ =(−4)² − 4.1.(m + 1) = 16 − 4m – 4 = 12 − 4m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thì Δ≥0

⇔12− 4m ≥ 0

⇔m ≤ 3

Theo hệ thức Viet ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1}{x_2} = m + 1}\end{array}} \right.\]

x₁² ​+ x₂² = 12

⇔(x₁​ + x₂​)² − 2x₁​x₂ ​ = 12

⇔16 − 2m – 2 = 12

⇔14 − 2m = 12

⇔2m = 2

⇔m = 1 (tmđk)

Vậy m = 1.

Tổng số bao xi măng 2 xe chở là:

45 × 2 = 90 (bao)

Ta có sơ đồ:

Xe II chở số bao xi măng là:

(90 + 6) : 2 = 48 (bao)

Xe II chở số tạ xi măng là:

48 × 50 = 2400 (kg) = 24 (tạ)

Xe I chở số bao xi măng là:       

90 – 48 = 42 (bao)

Xe I chở số tạ xi măng là:

42 × 50 = 2100 (kg) = 21 (tạ)

Đáp số: Xe I: 21 tạ xi măng;

              Xe II: 24 tạ xi măng.

Một xe chở số bao xi măng là:

148 : (9 − 7) = 74 (bao)

Đoàn xe thứ nhất chở số bao xi măng là:

74 × 9 = 666 (bao)

Đoàn xe thứ hai chở số bao xi măng là:

74 × 7 = 518 (bao)

Đáp số: đoàn xe thứ nhất: 666 bao xi măng

             đoàn xe thứ hai: 518 bao xi măng

Sau khoảng thời gian t:

d_M/B = l – v₁ . t

d_B/N = V₂ . t

Áp dụng công thức hàm số côsin

\[{d_{MN}} = \sqrt {{{(l - {v_1}t)}^2} + {{({v_2}t)}^2} - 2.(l - {v_1}t){v_2}t.\cos \alpha } \]

\[ \Rightarrow {d^2} = {l^2} - 2{v_1}.l.t + {v_1}^2.{t^2} + {v_2}^2.{t^2} + 2.{v_1}.{v_2}.{t^2}.\cos \alpha - 2l.{v_2}.t.\cos \alpha \]

\[ \Rightarrow {d^2} = ({v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha ){t^2} - 2l({v_1} - {v_2}\cos \alpha ).t + {l^2}(1)\]

Nhận xét (l) là một hàm số bậc hai của t.

Do đó: \[{d_{\min }} = \sqrt {\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \]

\[ = \sqrt {\frac{{ = \sqrt {4\left[ {({v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha ){l^2}} \right]} - 4{l^2}{{({v_1} - {v_2}\cos \alpha )}^2}}}{{\sqrt {({v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha )} }}} \]

\[ = \frac{{l{v_2}\sin \alpha }}{{{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha }}\].

Khi đó \[{t_{\min }} = \frac{{2l({v_1} - {v_2}\cos \alpha )}}{{2({v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha )}}\]

Vậy \[{d_{\min }} = \frac{{l{v_2}\sin \alpha }}{{{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha }}\]; \[{t_{\min }} = \frac{{2l({v_1} - {v_2}\cos \alpha )}}{{2({v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha )}}\].

Mỗi tháng nhà máy làm được số sản phẩm là:

125 × 25 = 3 125 (sản phẩm)

Trong vòng một năm, nhà máy đã làm được số sản phẩm là:

3125 × 12 = 37 500 (sản phẩm)

Đáp số: 37 500 sản phẩm.

Trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất được:

49410 : 305 = 162 (sản phẩm)

Đáp án: 162 sản phẩm.

Đổi \[1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}\].

16 mảnh vải dài là:

\[\frac{6}{5} \times 16 = 19,2\,\,(m)\]

Số mét vải còn lại sau lần cắt đầu tiên là:

36 − 19,2 = 16,8 (m)

Mỗi mảnh vải cắt ra ở lần 2 dài là:

16,8 : 6 = 2,8 (m)

Đáp số: 2,8m.

Lần thứ nhất cắt đi số mét vải là:

\[\frac{2}{5} \times 105 = 42\,\,(m)\]

Lần thứ hai cắt đi số mét vải là:

\[\frac{3}{7} \times 105 = 45\,\,(m)\]

Tấm vải còn lại số mét vải là:

105 – 42 – 45 = 18 (m)

Đáp số: 18 m.

I là trung điểm của CD nên IC = ID

Mà OC = OD

Þ OI là đường trung trực của CD

Þ OI ^ CD

Xét tứ giác AMOI có:

\[\widehat {MIO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \]

Þ Tứ giác AMOI nội tiếp (1)

Xét tứ giác AMBO có:

\[\widehat {MBO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \widehat {MBO} + \widehat {MAO} = 180^\circ \]

Þ Tứ giác AMBO nội tiếp (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, B, M, I, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM.

Vậy A, B, M, I, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM.

MA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

\[\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\](góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét △MAC và △MDA:

\[\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\]

\[\widehat M\] chung

Do đó △MAC ᔕ△MDA (g.g)

Suy ra \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\]hay MA² = MC.MD

Xét ∆AMO vuông tại A có AH ^ OM nên ta có:

Þ MH. MO = MA² (hệ thức lượng trong tam giác)

Þ MH. MO = MC.MD

Mà \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\]

Þ△MHC ᔕ△MDC (c.g.c)

\[ \Rightarrow \widehat {MHC} = \widehat {MDO}\]

Þ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn

Ta có: KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)

\[ \Rightarrow \widehat {KDO} = \widehat {KCO} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \widehat {KDO} + \widehat {KCO} = 180^\circ \]

Þ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn

Mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn

Þ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

Þ HK là phân giác của \[\widehat {CHD}\](do KC = KD)

Vậy 3 điểm A, B, K thẳng hàng.

9^x −2.3^x+1 + m = 0 (1)

Đặt 3^x = t, (t > 0)

Phương trình: t² − 6t + m = 0 (2)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂  phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm t₁, t₂cùng dương.

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' \ge 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 - m \ge 0}\\{ - \frac{{ - 6}}{1} > 0\,\,(tm)}\\{\frac{m}{1} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 9}\\{m > 0}\end{array}} \right.\]

Û 0 < m ≤ 9

Ta có: \[{t_1} = {3^{{x_1}}},\,\,{t_2} = {3^{{x_2}}}\]

\[{t_1}{t_2} = {3^{{x_1}}}{.3^{{x_2}}} = {3^{{x_1} + {x_2}}} = {3^0} = 1\]

Mà t₁t₂ = m nên m = 1

Vậy m = 1.

Với m − 1 ≠ 0 ta xét phương trình: (m – 1)x² – 2mx + m = 0 (1)

Ta có: Δ' = m² − m(m − 1) = m

Để phương trình (1)có hai nghiệm phân biệt thì: Δ′ > 0⇔ m > 0

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của (1) và x₁ > 1, x₂ < 1

Ta có: (x₁ − 1)(x₂ − 1) < 0

⇔ x₁x₂ − (x₁ + x₂) + 1 < 0 (∗)

Theo Vi-et ta có: 

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{m}{{m - 1}}}\end{array}} \right.\]

Thay vào (∗)ta có:

\[\frac{m}{{m - 1}} - \frac{{2m}}{{m - 1}} + 1 < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{m - 1}} < 0 \Leftrightarrow m > 1\]

Vậy với m > 1thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có dãy số: 11, 13, ..., 99

Số số hạng là:

( 99 – 11 ) : 2 + 1 = 45 (số)

Tổng là:

( 99 + 11 ) × 45 : 2 = 2475

Đáp số: 2475

Ta có dãy số: 10, 12, ..., 50

Số số hạng là:

(50 − 10) : 2 + 1 = 21 (số)

Tổng là:

(50 + 10) × 21 : 2 = 630

Đáp số: 630

Đồ thị hai hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên ta thay hoành độ x = 0 vào:

Hàm số y = 2x + (3 + m) ta được tung độ: y = 3 + m

Hàm số y = 3x + (5 – m) ta được tung độ: y = 5 – m

Vì cùng là tung độ của giao điểm nên:

3 + m = 5 – m Þ m = 1

Vậy khi m = 1 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Để hai đồ thị hàm số y = −2x + m + 2 và y = 5x + 5 – 2m cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì: \[\left\{ \begin{array}{l} - 2 \ne 5\\m + 2 = 5 - 2m\end{array} \right.\]

Û 3m = 3

Û m = 1

Vậy m = 1.

Chọn 3 số bất kì có \[C_{10}^3 = 120\]cách.

Trường hợp 1: 3 số chọn ra là 3 số tự nhiên liên tiếp có 8 cách

Trường hợp 2: 3 số chọn ra là 2 số tự nhiên liên tiếp

 3 số chọn ra có cặp (1; 2) hoặc (9; 10) có 2 × 7 = 14 cách

3 số chọn ra có cặp {(2; 3), (3; 4), ...,(8; 9)}

Có 6 × 6 = 36 cách

Vậy xác xuất cần tìm là: \[\frac{{120 - 8 - 14 - 36}}{{120}} = \frac{7}{{15}}\]

a và b là các số có hai chữ số nên biểu thức A đạt giá trị lớn nhất khi a là số lớn nhất có hai chữ số, b là số nhỏ nhất có hai chữ số

Suy ra a = 99; b = 10

Giá trị lớn nhất của biểu thức A = 125 × 99 – 10 × 25 = 12125

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 12125.

Vì a là các số có hai chữ số, b là số có 1 chữ số nên để biểu thức A

có giá trị nhỏ nhất thì a là số nhỏ nhất có hai chữ số, b là số nhỏ nhất có một chữ số

Suy ra a = 10, b = 0

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 20 × 10 + 0 × 45 = 200

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 100.

Giả sử độ dài của cạnh thứ ba là x (cm)

Áp dụng bất đẳng thức của tam giác

Ta có: 10 − 2 < x < 10 + 2 ⇒ 8 < x < 12

Vì x là số nguyên tố lớn hơn 8 và nhỏ hơn 12

Nên x = 11

Vậy số đo cạnh thứ ba là 11 cm.

Gọi độ dài cạnh thứ ba là x (cm)

Theo bài ra ta có:

Độ dài cạnh thứ hai là: 1,5x (cm)

Độ dài cạnh thứ nhất là:

1,5.1,5x = 2,25x (cm)

Bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn vì: x + 1,5x = 2,5x > 2,25x

Chu vi của tam giác là:

x + 1,5x + 2,25x = 19

Û 4,75x = 19

Û x = 4

Độ dài cạnh thứ hai là:

1,5. 4 = 6 (cm)

Độ dài cạnh thứ nhất là:

2,25. 4 = 9 (cm)

Vậy độ dài 3 cạnh là 4 cm; 6 cm; 9 cm.

Lớp học 100 học sinh được chia làm 3 nhóm:

Không nói được tiếng

Nói được 1 thứ tiếng hoặc Anh hoặc Pháp

Nói được cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp

Tổng số học sinh không biết và nói được 1 thứ tiếng là:

100 – 23 = 77 (học sinh)

Số học sinh chỉ nói được tiếng Anh là:

70 – 23 = 47 (học sinh)

Số học sinh nói được tiếng pháp là:

45 – 23 = 22 (học sinh)

Số học sinh nói được tiếng Anh hoặc Pháp là:

47 + 22 = 69 (học sinh)

Ta có số học sinh không biết tiếng và số học sinh chỉ biết 1 thứ tiếng là 77 học sinh. Trong đó 69 học sinh chỉ nói được 1 thứ tiếng.

Số học sinh không biết tiếng Anh hoặc Pháp là:

77 – 69 = 8 (học sinh)

Đáp số: 8 học sinh

Ta có:

y = (m + 1)x – 3 song song với y = (2m – 1)x + 4

⇔ m + 1 = 2m – 1

⇔ m = 2.

Vậy m = 2.

Gọi đường thẳng cần tìm là (d’): y = kx + m

(d) vuông góc với đường thẳng \[y = \frac{1}{3}x + 4\]

\[ \Leftrightarrow k \cdot \frac{1}{3} = - 1 \Leftrightarrow k = - 3\]

(d) đi qua A(2; –1)

⇔ –1 = 2k + m = 2.(−3) + m ⇔ m = 5.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = –3x + 5.

Ta có:

\[\frac{3}{1} \ne \frac{{ - 1}}{2}\]

Vậy \[\overrightarrow {MN} = - \frac{3}{{10}}\vec a + \frac{1}{5}\vec b\]

Ta có:

• \[\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\]

\[ = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{5}\vec a + \frac{1}{5}\vec b\]

• \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \]

\[ = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \]

\[ = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = - \frac{3}{{10}}\vec a + \frac{1}{5}\vec b\]

• \[\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} \]

\[ = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\]

\[ = - \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{{15}}\overrightarrow {AD} = - \frac{1}{5}\vec a + \frac{2}{{15}}\vec b\]

Ta có: \[ - \frac{3}{{10}}\vec a + \frac{1}{5}\vec b = \frac{3}{2}\left( { - \frac{1}{5}\vec a + \frac{2}{{15}}\vec b} \right)\] hay \[\overrightarrow {MN} = \frac{3}{2}\overrightarrow {NP} \].

Vậy M, N, P thẳng hàng.

a(a + 2b)³ − b(2a + b)³

= a⁴ + 6a³b + 12a²b² + 8ab³ − 8a³b − 12a²b² − 6ab³ − b⁴

= a⁴ − 2a³b + 2ab³ − b⁴

= (a − b)(a + b)(a² + b²) − 2ab(a² − b²)

= (a − b)³(a + b),

ab(a − b) − ac(a + c) + bc(2a + c − b)

= ab(a − b)− a²c − ac² + 2abc + bc² − b²c

= ab(a − b) + (abc − ac²) − (ac² − bc²) + (abc − b²c)

= ab(a − b) − ac(a − b) − c²(a − b) + bc(a − b)

= (a − b)(ab – ac − c² + bc)

= (a − b)[(ab − ac) + (bc − c²)]

= (a − b)[a(b − c) + c(b − c)]

= (a − b)(b − c)(a + c).

Số phần của học sinh thích Toán và Tiếng anh là :

\[1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\]

Số phần của học sinh thích Tiếng anh là:

\[\frac{4}{5}:2 = \frac{2}{5}\]

Số học sinh lớp 5A là:

\[12:\frac{2}{5} = 30\] (học sinh)

Đáp số: 30 học sinh.

Ta có: \[\frac{4}{5} = \frac{{40}}{{50}}\]; \[\frac{7}{{10}} = \frac{{35}}{{50}}\]; \[\frac{{12}}{{25}} = \frac{{24}}{{50}}\].

Mà \[\frac{{40}}{{50}} > \frac{{35}}{{50}} > \frac{{24}}{{50}}\].

Vậy môn Toán là môn học được yêu thích nhất.

B = –x² + 4x + 4

= −(x² − 4x + 4) + 8

= −(x−2)² + 8

Với mọi giá trị của x ta có:

(x − 2)² ≥ 0

Û −(x − 2)² ≤ 0

Û −(x − 2)² + 8 ≤ 8 hay B ≤ 8

Dấu “=” xảy ra khi x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của B = 8 khi x = 2.

x²(x² + 4) − x² + 4

= x⁴ + 4x² − x² + 4

= (x²)² + 2.x².2 + 2² − x²

= (x² + 2)² − x²

= (x² – x + 2)(x² + x + 2)

0,85 viết dưới dạng tỉ số phần trăm là:

\[0,85 = \frac{{85}}{{100}} \cdot 100 = 85\% \]

Đáp số: 85%

Tỉ số phần trăm của 32 và 50 là:

32 : 50. 100 = 64%

Đáp số: 64%

Ta có: \[\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{7}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{m + n}}{{mn}} = \frac{1}{7} \Leftrightarrow 7m + 7n = mn\]

Û 7m + 7n – mn = 0

Û m(7 – n) + 7n – 49 = –49

Û m(7 – n) – 7(7 – n) = –49

Û (m – 7)(7 – n) = –49

Lập bảng xét các trường hợp:

7 – n	1	–1	49	–49	7	–7
m – 7	–49	49	–1	1	–7	7
n	6	8	–42	56	0	14
m	–42 (loại)	56 (TM)	6 (loại)	8 (TM)	0 (loại)	14 (TM)

Vậy các cặp nguyên dương (m; n) thoả mãn là: (56; 8); (8; 56); (14; 14).

Ta có: \[\frac{3}{m} + \frac{3}{n} = 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{3m + 3n}}{{mn}} = 1 \Leftrightarrow 3m + 3n = mn\]

Û 3m + 3n – mn = 0

Û m(3 – n) + 3n – 9 = –9

Û m(3 – n) – 3(3 – n) = –9

Û (m – 3)(3 – n) = –9

Lập bảng xét các trường hợp:

3 – n	1	–1	9	–9	3	–3
m – 3	–9	9	–1	1	–3	3
n	2	4	–6	12	0	6
m	–6	12	2	4	0	6
	tmđk	tmđk	tmđk	tmđk	tmđk	tmđk

Vậy các cặp nguyên dương (m; n) thoả mãn là: (2; –6 ); (4; 12); (–6; 2); (12; 4); (0; 0); (6; 6)

\[\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \]

\[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = \left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\]

\[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{7}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

Lại có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat A = 6.6.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 18\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = - \frac{1}{2}{6^2} - \frac{1}{3}{6^2} + \frac{7}{6} \cdot ( - 18) = - 51\]

Vậy \[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CM} = - 51\].

Công thức tính số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2ⁿ

Tập M có 2²⁰¹⁸ tập con nên có 2018 phần tử.

Số tập con có 2017 phần tử là 2018 (tập con).

Số tập con có 2018 phần tử là:

\[C_{2018}^{2017} = 2018\](tập con)

Số tập con có ít nhất 2017 phần tử của M là:

\[C_{2018}^{2018}\](tập con)

Vậy M có \[C_{2018}^{2018}\]tập con có ít nhất 2017 phần tử.

Số tập con gồm k phần tử của A LÀ : \[C_n^k\](với 0 £ k £ n, k Î N)

Số tất cả các tập con của A là:

\[C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^k + ... + C_n^n = {(1 + 1)^n}\]

= 2ⁿ

Vậy A có 2ⁿ tập con.

Lần thứ nhất Lan cắt làm đôi tờ giấy nên Lan sẽ có 2 tờ giấy, hay 2¹ tờ giấy.

Lần thứ hai Lan cắt làm đôi cả hai mảnh đó nên Lan sẽ có 4 tờ giấy, hay 2¹ tờ giấy.

Lần thứ ba Lan cắt đôi mỗi mảnh đã có nên Lan sẽ có 8 tờ giấy, hay 2³ tờ giấy.

Suy ra ở lần cắt thứ n Lan sẽ có 2ⁿ tờ giấy.

Vậy đến lần cắt thứ 10 Lan sẽ có 2¹⁰ =1024 tờ giấy.

Diện tích của tờ giấy màu là:

6 × 4 = 24 (dm²)

         = 2400 cm²

Diện tích của mỗi lá cờ là:

8 × 10 : 2 = 40 (cm²)

Bạn Lâm cắt được số lá cờ là:

2400 : 40 = 60 (lá)

Đáp số: 60 lá

Các số có hai chữ số có nghĩa là :

1,3.10³; 1,3.10⁻³

Vậy có 2 số có 2 chữ số có nghĩa.

Các số có ba chữ số có nghĩa là :

2,41; 24,1, 2,41.10³

Vậy có 3 số có 3 chữ số có nghĩa.

Xét ΔAKO và ΔBKO có:

OA = OB

\[\widehat {AOK} = \widehat {BOK}\] (vì OK là tia phân giác \[\widehat {xOy}\])

OK chung

Þ ΔAKO = ΔBKO (c.g.c)

Þ AK = BK

Vậy AK = BK

Xét ΔAKO và ΔBKO có:

OA = OB

\[\widehat {AOK} = \widehat {BOK}\] (vì OK là tia phân giác \[\widehat {xOy}\])

OK chung

Þ ΔAKO = ΔBKO (c.g.c)

\[ \Rightarrow \widehat {AKO} = \widehat {BKO}\]

Ta có:

\[\widehat {AKO} + \widehat {BKO} = 180^\circ \] (vì kề bù)

\[ \Rightarrow 2\widehat {BKO} = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat {BKO} = 90^\circ \]

Þ OK ^ AB

Vậy OK ^ AB.