5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 7)

• Vì A là giao điểm của d₁ và d₂ nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

$$\begin{gathered} mx+3=-\frac{x}{m}+3\iff mx=-\frac{x}{m} \\ \iff mx+\frac{x}{m}=0\iff x\left(m+\frac{1}{m}\right)=0 \\ \Rightarrow x=0 \end{gathered}$$

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d₁ và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0$\iff x=-\frac{3}{m}$

Khi đó, tọa độ của điểm B là $B\left(-\frac{3}{m};0\right)$

• Vì C là giao điểm của d₂ và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

$-\frac{x}{m}+3=0\iff x=3m$

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d₁ là m và hệ số góc của d₂ là $-\frac{1}{m}$ có $m.\left(-\frac{1}{m}\right)=-1$ nên hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là $\frac{1}{2}AB.AC$

Ta có: $AB=\sqrt{{\left(-\frac{3}{m}\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=3\sqrt{\frac{1}{m^2}+1}=3\sqrt{\frac{1+m^2}{m^2}};$

$AC=\sqrt{{\left(3m\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=3\sqrt{m^2+1}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{\frac{1+m^2}{m^2}}\cdot 3\sqrt{m^2+1}=\frac{9\left(m^2+1\right)}{2\left|m\right|}=\frac{9}{2}\left(\left|m\right|+\frac{1}{\left|m\right|}\right)$

Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương $\left|m\right|$ và $\frac{1}{\left|m\right|}$ ta có:

$\frac{1}{2}AB.AC=\frac{9}{2}\left(\left|m\right|+\frac{1}{\left|m\right|}\right)\ge \frac{9}{2}\cdot 2\sqrt{\left|m\right|\cdot \frac{1}{\left|m\right|}}=9$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left|m\right|=\frac{1}{\left|m\right|}$

$\iff m^2=1\iff m=\pm 1$

Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x-m+1\ge 0\\ -x+2m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge m-1\\ x<2m\end{array}\right.$

=> TXĐ: $D=\left[m-1;2m\right]$

Để hàm số xác định trên khoảng (−1; 3) thì (−1; 3) là con của $D=\left[m-1;2m\right]$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m-1\le -1\\ 2m\ge 3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ m\ge \frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vậy không có giá trị của m nào thỏa mãn.

x³ − 3x + 2 = 0

<=> x³ − x − 2x + 2 = 0

<=> x(x² − 1) − 2(x − 1) = 0

<=> x(x − 1)(x + 1) − 2(x − 1) = 0

<=>(x − 1)(x² + x − 2) = 0

<=> (x − 1)[x² − x + 2x − 2] = 0

<=> (x − 1)[x(x − 1) + 2(x − 1)] = 0

<=> (x − 1)²(x + 2) = 0

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x-1=0\\ x+2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = −2.

Do (2m + 2) − (2m − 3) = 5 nên độ dài của tập F bằng 5.

Để $C=E\cup F$ là một đoạn có độ dài bằng 5 khi và chỉ khi C = F. $\iff E\subset F$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2m-3\le 2\\ 2m+2\ge 5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le \frac{5}{2}\\ m\ge \frac{3}{2}\end{array}\right.\iff \frac{3}{2}\le m\le \frac{5}{2}$

Vậy các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m\in \left[\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right]$

Ta có A(x) = x³ − 3x² + 5x +m

= (x³ − 2x²) − (x² − 2x) + (3x − 6) + m + 6

=x²(x − 2) − x(x − 2) + 3(x − 2) + m + 6

= (x² − x + 3)(x − 2)

Thực hiện phép chia A(x) = x³ − 3x² + 5x +mcho đa thức B(x) = x −2.

Ta được thương là x² − x + 3 và số dư là m + 6.

Để A(x) chia hết cho B(x) thì số dư của phép chia phải bằng 0.

Khi đó m + 6 = 0

<=> m = − 6

Vậy m = − 6 là giá trị m cần tìm.

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB (AM = MC)

N là trung điểm của đoạn thẳng AB (AN = NB)

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 8=4\left(cm\right)$

b) ΔMAO=ΔNCO (cmt) => AM = CN

$AB\text{\hspace{0.33em}//\hspace{0.33em}}CD\Rightarrow AM\text{\hspace{0.33em}//\hspace{0.33em}}CN$

Xét tứ giác AMCN có:

AM // CN và AM = CN

Vậy AMCN là hình bình hành

Tập X có thể xảy ra những trường hợp sau:

X = {a; b};

Hoặc X = {a; b; c};

Hoặc X = {a; b; d};

Hoặc X = {a; b; c; d}.

a) Tập X có thể xảy ra những trường hợp sau:

X = {a; b};

Hoặc: X = {a; b; c}; X = {a; b; d}; X = {a; b; e};

Hoặc: X = {a; b; c; d}; X = {a; b; c; e}; X = {a; b; d; e};

Hoặc: X = {a; b; c; d; e}.

b) Để $A\cup X=B$ thì tập X có thể xảy ra những trường hợp sau:

X = {3; 4; 5};

Hoặc: X = {1; 3; 4; 5}; X = {2; 3; 4; 5};

Hoặc: X = {1; 2; 3; 4; 5}.

a) Để đường thẳng y = (m+2)x+m song song với đường thẳng y = 3x − 2 thì:

$\left\{\begin{array}{l}m+2=3\\ m\ne -2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=1\\ m\ne -2\end{array}\right.\Rightarrow m=1$

Vậy m = 1 là giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Để y = mx + n song song vớiy = 3x + 2 thì $\left\{\begin{array}{l}m=3\\ m\ne 2\end{array}\right.$

Phương trình đường thẳng có dạng: y = 3x + n (n ≠ 2).

Do đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nên 0 = 3.2 + n => n = −6

Vậy m = 3 và n = −6.

•Thay x = 2, y = −1 vào phương trình 2x + y = 3, ta được: $\left\{\begin{array}{l}VT=2.2+\left(-1\right)=3\\ VP=3\end{array}\right.\Rightarrow VT=VP$

Do đó (2; −1) là nghiệm của phương trình 2x + y = 3.

•Thay x = 2, y = −1vào phương trình x – 2y = 4, ta được: $\left\{\begin{array}{l}VT=2-2.\left(-1\right)=4\\ VP=4\end{array}\right.\Rightarrow VT=VP$

Do đó(2; −1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 4.

Vậy cặp số (x; y) = (2; −1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

a) Xét 3x − 2y = 6. (1)

Suy ra $y=\frac{3x-6}{2}$

Cho x một giá trị t tùy ý ta tính được giá trị tương ứng của y.

Ta được công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) là: $\left\{\begin{array}{l}x=t\in ℝ\\ y=\frac{3t-6}{2}\end{array}\right.$

b) Ta có $y=\frac{3x-6}{2}=\frac{2x+x-6}{2}=x+\frac{x-6}{2}$

Đặt $\frac{x-6}{2}=t\left(t\in \mathbb{Z}\right)$ suy ra x = 2t + 6.

Khi đó, nghiệm nguyên của phương trình (1) là:

$\left\{\begin{array}{l}x=2t+6\\ y=2t+6+t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2t+6\\ y=3t+6\end{array}\right.\left(t\in \mathbb{Z}\right)$

Cho t một giá trị nguyên nào đó ta được một nghiệm nguyên của phương trình (1).

Chẳng hạn, với t = 1 thì $\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=9\end{array}\right.$

1 tấn = 10 tạ = 1 000 kg.

Vậy  (tấn) .

1 tấn = 1 000 kg.

Vậy 1,5 tấn = 1,5.1 000 = 1 500 kg.

b)

Gọi BE là đường trung tuyến của của AC, M là trung điểm của BG.

Vẽ AA', BB', CC', II', MM' vuông góc với d.

Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên suy ra

$$\begin{gathered} \frac{BG}{BE}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{BG}{GE}=2\Rightarrow \frac{2.MG}{GE}=2 \\ \iff \frac{MG}{GE}=1\Rightarrow \frac{MG}{ME}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Suy ra G là trung điểm của ME

M', G', E' là hình chiếu của M, G, E lên d

=> MM' // GG' // EE'

=> GG' là đường trung bình của hình thang vuông MM'E'E

Chứng minh tương tự ta có MM' là đường trung bình của hình thang vuông BB'G'G.

Và EE' là đường trung bình của hình thang vuông AA'C'C.

Khi đó ta có:

MM' + EE'= 2GG'

=> 2MM' + 2EE' = 4GG'

=> BB' + GG' + AA' + CC'= 4GG'

=> AA' + BB' + CC'= 3GG'

1 người làm xong sân trong số ngày là:

8 × 6 = 48 (ngày)

Sớm hơn 2 ngày thì làm xong sau:

6 − 2 = 4 (ngày)

Số công nhân để làm xong trong 4 ngày là:

48: 4 = 12 (công nhân)

Vậy cần bổ sung số công nhân là:

12 − 8 = 4 (công nhân)

Đáp số: 4 công nhân.

c) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.

Ta có O $\in$ (SBD) => SO $\subset$ (SBD)

=> I = SO $\cap$ AN là điểm cần tìm.

Gọi K là giao điểm của MC và BD

=> K $\in$ (SBD) => SK $\subset$ (SBD)

=> J = SK $\cap$ MN là điểm cần tìm.

d) Xét tam giác SAC có I là giao điểm của hai đường trung tuyến là SO và AN nên I là trọng tâm của tam giác SAC 

$\Rightarrow \frac{AI}{AN}=\frac{2}{3}$

Do MB // CD nên theo định lí Ta-lét ta có: $\frac{MB}{CD}=\frac{MK}{KC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{MK}{MC}=\frac{1}{3}$

Xét tam giác MSC có:

$$\begin{gathered} \frac{MC}{MK}+\frac{MS}{MS}=2\frac{MN}{MJ} \\ \Rightarrow 3+1=2\cdot \frac{MN}{MJ}\Rightarrow \frac{MJ}{MN}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Xét tam giác BNA có:

$$\begin{gathered} \frac{BN}{BN}+\frac{BA}{BM}=2\frac{BI}{BJ} \\ \Rightarrow 1+2=2\cdot \frac{BI}{BJ}\Rightarrow \frac{IB}{BJ}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{IB}{IJ}=3 \end{gathered}$$

b) Xét tam giác BDI ta có: BI + ID > BD (theo bất đẳng thức tam giác).

Mà $BI+ID=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AC=AC$

Vậy AC > BD.

Để AC = BD thì BD cũng là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Khi đó ABCD là hình chữ nhật.

Số lớn nhất có 3 chữ số là 999.

Số bé nhất có ba chữ số khác nhau là 102.

Suy ra hiệu của chúng là:

999 − 102 = 897.

Đáp số: 897.

Số lớn nhất có ba chữ số khác nhau: 987.

Số bé nhất có ba chữ số khác nhau: 102.

Hiệu của số lớn nhất có ba chữ số khác nhau và số bé nhất có ba chữ số khác nhau là: 987 −102 = 885.

Đáp số: 885.

Gọi số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $\overline{abc}\left(a,b,c\in \left\{1;2;3;4;5\right\};a\ne b\ne c\right)$

Có 5 cách chọn a.

Có 4 cách chọn b.

Có 3 cách chọn c.

Số số lập được là: 5.4.3 = 60.

Mỗi số có 2 chữ số khác nhau được lập từ 5 chữ số là chỉnh hợp chập 2 của 5. 

$\Rightarrow A_5^2=20.$

c) $P=A.B=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$, với x ≥ 0; x ≠ 1.

Để $P<1\Rightarrow \frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}<1$

Do $\sqrt{x}+1>0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 2\sqrt{x}-1<\sqrt{x}+1 \\ \iff \sqrt{x}<2 \end{gathered}$$

=> 0 < x < 4.

Kết hợp ĐKXĐ Þ x Î (0; 4) \ {1}.

155,7 : 45 = 1 557 : 10 : 45 = 1 557 : 45 : 10

= 1 557 : 9 : 5 : 10 = 173 : 5 : 10

= 1730 : 10 : 5 : 10 = 1730 : 5 : 100

= 346 : 100 = 3,46.

b) Xét ∆ABC có:

O là trung điểm của AB;

SO // BD (cmt).

Suy ra SO là đường trung bình của ∆ABC.

Do đó S là trung điểm của AC.

Vậy SA=SC (đpcm).

c) Do AC $\perp$ AB và DH $\perp$ AB nên suy ra AC // DH

Xét ∆BSC có ED // SC. Theo định lý Ta-lét, ta có: $\frac{BE}{BS}=\frac{ED}{SC}$ (1)

Xét ∆BSA có EH // SA. Theo định lý Ta-lét, ta có: $\frac{BE}{BS}=\frac{EH}{SA}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{ED}{SC}=\frac{EH}{SA}$

Mà SC = SA => ED = EH.

Vậy E là trung điểm của DH.

b) ∆ACB nội tiếp đường tròn (O)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=90°$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> AC $\perp$ BC (1)

Ta có: OA = OC (Bán kính của đường tròn tâm O)

Và MA = MC (Hai tiếp tuyến MA, MC cắt nhau tại M)

=> MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC

=> MO $\perp$ AC (2)

Từ (1) và (2) => BC // OM (Cùng vuông góc với AC)

$\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{MBC}$ (Hai góc ở vị trí so le trong)

Hay $\widehat{IMQ}=\widehat{MBC}$ (3)

Mặt khác: $\widehat{QAI}=\widehat{MBC}$ (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung QC) (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat{IMQ}=\widehat{QAI}\left(=\widehat{MBC}\right)$

Do M và A cùng nhìn QI cố định dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác AIQM nội tiếp.

c) Do tứ giác AIQM nội tiếp nên suy ra:

$\widehat{AMI}=\widehat{AQI}$ (Hai góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung AI) (5)

Ta có: $\widehat{IQN}=\widehat{AQB}-\widehat{AQI}=90°-\widehat{AQI}$ (6)

Xét tam giác AIM vuông tại I có $\widehat{AMI}+\widehat{MAI}=90°$

Và $\widehat{MAI}+\widehat{IAO}=\widehat{MAO}=90°$

$\Rightarrow \widehat{AMI}=\widehat{IAO}$ (Hai góc cùng phụ với $\widehat{MAI}$) (7)

Xét tam giác CAH vuông tại H có:

$\widehat{CAH}+\widehat{ACH}=90°\Rightarrow \widehat{ACH}=90°-\widehat{CAH}$

Hay $\widehat{ICN}=90°-\widehat{IAO}$ (8)

Từ (5), (6), (7) và (8) $\Rightarrow \widehat{IQN}=\widehat{ICN}$

Do Q và C cùng nhìn IN cố định dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác IQCN nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{CIN}=\widehat{CQN}$ (Hai góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung CN) (*)

Mà $\widehat{CAB}=\widehat{CQB}$ (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung CB) (**)

Từ (*) và (**) nên suy ra $\widehat{CIN}=\widehat{CAH}$

=> IN // AH (Có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Mà AH $\perp$ CH nên suy ra IN $\perp$CH.

b) Do ∆CIK nội tiếp đường tròn (O)

$\Rightarrow \widehat{ICK}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> CK $\perp$ CI

Mà CI là đường phân giác góc trong $\widehat{C}$

=> CK là đường phân giác góc ngoài của $\widehat{ACB}$

Nên theo tích chất đường phân giác ta có:

$\frac{AI}{AK}=\frac{HI}{HK}$ (đpcm).

b) ΔAEB nội tiếp đường tròn đường kính AB

=> ΔAEB vuông tại E mà EF là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: AF.AB = AE² (1)

ΔBAK vuông tại A có AE là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: KE.EB = AE² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AF.AB = KE.EB (đpcm)

c) Ax // By (cùng $\perp$ AB), theo định lí Ta-lét tacó: $\frac{CE}{ED}=\frac{CI}{IB}=\frac{AF}{FB}$