5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 52)

Đổi \(\frac{4}{5}\)m = 0,8 m.

Chiều rộng mảnh đất là: \(0,8\,\, \cdot \,\,\frac{3}{4}\,\, = \,\,\frac{3}{5}\,\, = \,0,6\,\)(m).

Diện tích mảnh đất đó là: 0,8 . 0,6 = 0,48 (m²).

Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật hay tổng chiều dài và chiều rộng là:

500 : 2 = 250 (m)

Chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là:

 (250 + 50) : 2 = 150 (m)

Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là:

150 – 50 = 100 (m)

Diện tích của mảnh đất hình chữ nhật đó là:

 150 . 100 = 15000 (m²)

b) Trên cả thửa ruộng thu hoạch được số tạ ngô là:

15000 : 100 . 30 = 4500 (kg) = 45 tạ.

Số thập phân là: 135,025.

a) Xét tam giác ABF có:

E là trung điểm của AB

P là trung điểm của BF

⇒ EP là đường trung bình của ΔABF

⇒ EP // AF và EP = \(\frac{{AF}}{2}\)

M là trung điểm AF (giả thiết)

⇒ MF = \(\frac{{AF}}{2}\)

Do đó EP // MF và EP = MF. Vậy EPFM là hình bình hành.

I là giao điểm của hai đường chéo MP và EF nên I là trung điểm của MP.

b) Do tứ giác EPFM là hình bình hành nên I là trung điểm của EF.

Chứng minh tương tự ta có ENFQ là hình bình hành mà I là trung điểm của EF

⇒ I là trung điểm của NQ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MNPQ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Ta có: BC² = AB² + AC² – 2. AB. AC. cos \(\left( {\widehat A} \right)\)

BC² = 4² + 6² – 2. 4. 6. cos 60°

Suy ra: BC = \(2\sqrt 7 \).

Gọi AD là đường phân giác trong của tam giác ABC

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BD}}{{DC}}\,\, = \,\,\frac{{AB}}{{AC}}\,\, = \,\,\frac{4}{6}\,\, = \,\,\frac{2}{3}\)

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}BD\, = \,\frac{2}{5}\,BC\,\, = \,\,\,\frac{{4\sqrt 7 }}{5}\\DC\,\, = \,\,\frac{3}{5}\,BC\,\, = \,\,\frac{{6\sqrt 7 }}{5}\,\end{array} \right.\]

Lại có: BD² = AB² + AD² – 2. AB. AD. cosBAD

hay \(\frac{{112}}{{25}}\,\, = \,\,{4^2}\, + \,\,A{D^2}\, - \,2\, \cdot \,\,4\,\, \cdot \,AD\, \cdot \,\cos 30^\circ \)

Suy ra AD² – \(4\sqrt 3 AD\,\, + \,\,\frac{{288}}{{25}}\) = 0

⇔\[\left[ \begin{array}{l}AD\,\, = \,\,\,\frac{{8\sqrt 3 }}{5}\\AD\,\, = \,\,\frac{{12\sqrt 2 }}{5}\,\end{array} \right.\].

Ta có: 299 = 13 . 23 = (–13).(–23) = 1 . 299 = (–1).(–299)

Vậy 299 chia hết cho ±1; ±13; ±23; ±299.

Có 30 = 2. 3. 5; 45 = 3² . 5

⇒ BCNN (30, 45) = 2. 3². 5 = 90

⇒ BC(30, 45) = B(90) = {0; 90; 180; 270; 360; 450; 540; 630; …}

Vậy các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45 là: 0; 90; 180; 270; 360; 450.

Số sản phẩm có trong 5 kiện hàng là:

5 . 10 . 8

= 40 . 10

= 400 (sản phẩm)

Đáp số: 400 sản phẩm.

Ta có:

\[\frac{{{m^2} + {n^2}}}{{10}}\,\, = \,\frac{{{m^2} - 2{n^2}}}{7}\]

⇔7m² + 7m² = 10m² – 20n²

⇔27n² = 3m²

⇔9n² = m²

⇔81n⁴ = m⁴

Vì m⁴n⁴ = 81 nên ta có:

m⁴n⁴ = 81

⇔81n⁴. n⁴ = 81

⇔n⁸ = 1

Suy ra: n = 1 hoặc n = –1

Với n = 1 thì: m = ±3

Với n = –1 thì: m = ±3

Vậy (m; n) có nghiệm là: (3; 1), (–3; 1), (3; –1), (–3; –1).

Ta có:

\({5^{100}} = {\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^{100\,\,}}\)hay \({5^{100}}\,\, = \,\,\,\frac{{{{10}^{100}}}}{{{2^{100}}}}\)

Xét 2¹⁰⁰ ta có:

2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰ > 1000¹⁰ = 10³⁰

2¹⁰⁰ = 2³¹ . 2⁶. 2⁶³ = 2³¹ . 64. 512⁷ < 2³¹ . 64. 512⁷ = 2³¹ . 512⁷ . 4³

Xét 10³¹ = 2³¹ . 5³¹ = 2³¹ . 5²⁸ . 5³ = 2³¹ . (5⁴)⁷ . 5³ = 2³¹ . 625⁷ . 5³

Suy ra: 2¹⁰⁰ < 10³¹

Khi đó: \(\frac{{{{10}^{100}}}}{{{{10}^{31}}}}\, < \,\,\frac{{{{10}^{100}}}}{{{2^{100}}}}\, < \,\,\frac{{{{10}^{100}}}}{{{{10}^{30}}}}\) hay \({10^{69}}\, < \,\,{5^{100}} < \,\,{10^{70}}\)

Vậy số 5¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có 70 chữ số.

a) Ta có: AD // BC

Áp dụng hệ quả định lí Thalès ta có:

\(\frac{{IB}}{{ID}}\, = \,\,\frac{{BM}}{{AD}}\, = \,\,\frac{4}{6}\,\, = \,\,\frac{2}{3}\,\)

b) Xét ΔAMB và ΔNAD có:

\[\widehat {BAM}{\rm{ }} = \widehat {AND}\] (so le trong, AB // CD)

\[\widehat {ABM}{\rm{ }} = \widehat {ADN}\] (góc đối của hình bình hành)

⇒ ΔAMB ᔕ ΔNAD (g.g)

c) ΔAMB ᔕ ΔNAD (cmt)

Suy ra: \(\frac{{DN}}{{AB}}\, = \,\,\frac{{AD}}{{MB}}\, \Rightarrow \,DN\,\, = \,\,\,\frac{{AB\,.\,AD}}{{MB}}\,\,\, = \,\,\frac{{8\,.\,6}}{4}\,\, = \,\,12\left( {cm} \right)\,\,\,\)

Do đó: CN = DN – DC = 12 – 8 = 4 (cm).

d) Do AB // CD nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{IA}}{{IN}}\, = \,\,\frac{{IB}}{{ID}}\,\,\)

Tương tự do AD // BM nên \(\frac{{IB}}{{ID}}\, = \,\,\frac{{IM}}{{IA}}\,\,\)

Suy ra: \(\frac{{IA}}{{IN}}\, = \,\,\frac{{IM}}{{IA}}\,\,\)hay IA² = IM. IN.

Ta có: 2A = 2² + 2³ + … + 2¹⁰¹

2A – A = (2² + 2³ + … + 2¹⁰¹) – (2 + 2² + 2³ + … + 2¹⁰⁰)

A = 2¹⁰¹ – 2.

Bao thứ nhất nặng là: 250,7 – 169,8 = 80,9 (kg).

Bao thứ hai nặng là: 80,9 – 5,9 = 75 (kg).

Bao thứ ba nặng là: 169,8 – 75 = 94,8 (kg).

Đổi 8 tấn 700 kg = 8700 kg; 6 tấn 300 kg = 6300 kg; 5 tấn = 5000 kg.

Tổng số tấn cà phê nhập là: 8700 + 6300 = 15000 (kg)

Công ty nhập về số linh kiện là: 15000 : 5000 . 500 = 1500 (linh kiện).

Ta thấy dãy số trên lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 120 và công sai d = 4

Số hạng thứ 1234 là: u₁₂₃₄ = 120 + (1234 – 1) . 4 = 5052.

Vậy số hạng thứ 1234 của dãy là 5052.

Nếu chuyển bớt 42 kg gạo từ bao 1 sang bao 2 thì khối lượng gạo 2 bao bằng nhau nên số kg gạo mà bao 1 nhiều hơn bao 2 là:

42 . 2 = 84 (kg).

Số kg bao 1 chứa là:

(268 + 84 ) : 2 = 176(kg).

Số kg gạo bao 2 chứa là:

268 – 176 = 92 (kg).

Đáp số: bao 1 chứa 175 kg gạo; bao 2 chứa 92 kg gạo.

2¹⁶ = 65536.

Ta có:

\({5^{100}} = {\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^{100\,\,}}\)hay \({5^{100}}\,\, = \,\,\,\frac{{{{10}^{100}}}}{{{2^{100}}}}\)

Xét 2¹⁰⁰ ta có:

2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰ > 1000¹⁰ = 10³⁰

2¹⁰⁰ = 2³¹ . 2⁶. 2⁶³ = 2³¹ . 64. 512⁷ < 2³¹ . 64. 512⁷ = 2³¹ . 512⁷ . 4³

Xét 10³¹ = 2³¹ . 5³¹ = 2³¹ . 5²⁸ . 5³ = 2³¹ . (5⁴)⁷ . 5³ = 2³¹ . 625⁷ . 5³

Suy ra: 2¹⁰⁰ < 10³¹

Khi đó: \(\frac{{{{10}^{100}}}}{{{{10}^{31}}}}\, < \,\,\frac{{{{10}^{100}}}}{{{2^{100}}}}\, < \,\,\frac{{{{10}^{100}}}}{{{{10}^{30}}}}\) hay \({10^{69}}\, < \,\,{5^{100}} < \,\,{10^{70}}\)

Vậy số 5¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có 70 chữ số.

Ta có: 60 = 2² . 3 . 5

Vậy 60 bằng tích của 2 mũ 2, 3 mũ 1 và 5 mũ 1.

Số cần tìm là : 576 339 840.

Giả sử a < b

Gọi (a;b) là d

Suy ra: a = md và b = nd với (m;n) = 1

Từ ab = (a; b) . [a; b] suy ra: [a; b] = ab : (a; b) = mnd² : d = mnd

Theo giả thiết ta có: mnd + (a; b) = 55 ⇔ d (mn +1 )= 55

⇒ mn + 1 là Ư(55)

Mà mn + 1 > 1 và (m; n)=1

Nên ta có bảng sau:

Vậy số a;b cần tìm là:(11; 44); (5 ; 50) ; (10 ; 25) ; (1; 54) ; (2; 27).

Còn trường hợp b < a thì cũng tương tự.

Ta có: BC² = AB² + AC² – 2. AB. AC. cosA

BC² = 4² + 5² – 2. 4. 5. cos60°

Suy ra: BC = \(\sqrt {21} \) cm.

Vẽ AH ⊥ CD.

Ta có: S_ACD = \(\frac{1}{2}ah\, \le \frac{1}{2}ab\)

Suy ra: 4 S_ACD ≤ 2ab ≤ a² + b² (Theo bất đẳng thức Côsi) (1)

Tương tự: 4 S_ABC ≤ 2cd ≤ c² + d² (2)

Lấy (1) + (2) theo vế ta có:

4 (S_ACD + S_ABC) ≤ a² + b² + c² + d²

Hay S_ABCD ≤ \[\frac{{{a^2} + \,{b^2} + {c^2} + {d^2}}}{4}\].

Dấu “=” xảy ra khi ABCD là hình vuông.

Gọi số có 2 chữ số cần tìm là: \(\overline {ab} \) (a, b < 10; a ≠ 0).

Nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta được số: \(\overline {ba} \) (\(\overline {ba} \)< \(\overline {ab} \)theo giả thiết)

Ta có:

a + b = 17

\(\overline {ab} \) – \(\overline {ba} \) = 9

⇔ 10a + b – 10b – a = 9

⇔ 9a – 9b = 9

⇔ a – b = 1

a = ( 17 + 1) : 2 = 9

b = 9 – 1 = 8

Vậy số cần tìm là 98.

Nếu chuyển bớt 42 kg gạo từ bao 1 sang bao 2 thì khối lượng gạo 2 bao bằng nhau

Vậy thì số kg gạo mà bao 1 nhiều hơn bao 2 là:

42 . 2 = 84 (kg).

Số kg bao 1 chứa là:

(268 + 84 ) : 2 = 176(kg).

Số kg gạo bao 2 chứa là:

268 – 176 = 92 (kg).

Đáp số: bao 1 chứa 175 kg gạo; bao 2 chứa 92 kg gạo.

Vì đường kính gấp đôi bán kính nên bán kính là 6 cm thì đường kính là:

6 . 2 = 12 (cm)

Vậy khẳng định trên là đúng.

Nếu lớp 5A trồng thêm được 6 cây nữa thì sẽ trồng gấp đôi lớp 5B, khi đó tổng số cây 2 lớp trồng được là:

78 + 6 = 84 (cây)

Ban đầu lớp 5A trồng được số cây là:

84 : (1 + 2) . 2 – 6 = 50 (cây)

Ban đầu lớp 5B trồng được số cây là:

78 – 50 = 28 (cây)

Đáp số: 5A: 50 cây; 5B: 28 cây.

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A₁B₁ và B₁C₁ lần lượt tại K­₁ và M₁.

Theo giả thiết: MK // AC

Mà M₁K₁ // AC (theo cách vẽ)

Suy ra: MK // M₁K₁.

Xét tam giác B₁K­₁M₁ có MK // M₁K₁ suy ra: \(\frac{{MO}}{{B{M_1}}}\, = \,\,\frac{{OK}}{{B{K_1}}}\,\)(*)

Xét tam giác AB₁C₁ và tam giác BM₁C₁ có:

\(\widehat {A{C_1}{B_1}} = \,\widehat {B{C_1}{M_1}}\)(2 góc đối đỉnh)

\(\widehat {A{B_1}{C_1}} = \,\widehat {B{M_1}{C_1}}\)(2 góc so le trong vì AC // M₁K₁)

Suy ra: ∆ AB₁C₁ ᔕ ∆ BM₁C₁ (g.g)

Nên \(\frac{{B{M_1}}}{{A{B_1}}}\, = \,\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\)⇒\(B{M_1} = A{B_1}\,.\,\,\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\)(1)

Tương tự: ∆ CB₁A₁ ᔕ ∆ BK₁A₁ (g.g)

Nên \(\frac{{B{K_1}}}{{C{B_1}}}\, = \,\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\)⇒\(B{K_1} = C{B_1}\,.\,\,\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\)(2)

Lấy (1) chia (2) ta được: \(\frac{{B{M_1}}}{{B{K_1}}}\, = \frac{{A{B_1}}}{{B{C_1}}}\,.\,\,\frac{{C{A_1}}}{{B{A_1}}}\,.\,\frac{{C{B_1}}}{{A{C_1}}}\,\, = \,\,1\) (áp dụng định lí Xê–va)

Suy ra: BM₁ = BK₁ (**)

Từ (*) và (**), ta có: OM = OK

Vậy OM = OK.

Gọi thừa số thứ nhất là a; thừa số thứ hai là b

Tích hai số là: a.b

Ta có: (a + 7).b = ab + 21

⇔ 7b = 21

⇔ b = 3

Vậy thừa số thứ hai bằng 3.

Ta có: 7a = 11b suy ra: \(\frac{a}{b}\,\, = \,\,\frac{{11}}{7}\)

Vì (11,7) = 1 nên a = 11d, b = 7d (với d ∈ ℕ; d ≠ 0)

(a, b) = 45 = d

Suy ra: a = 11 . 45 = 495

b = 7 . 45 = 315

Vậy (a; b) = (495; 315).

Diện tích hình chữ nhật ABCD là :

14 . 6 = 84 (m²)

Diện tích hình vuông CEMN là :

7 . 7 = 49 (m²)

Diện tích mảnh đất là :

84 + 49 = 133 (m²)

Đáp số: 133 m².

Chia hình đã cho thành hai hình chữ nhật như sau:

Chiều dài hình chữ nhật I là: 3,5 + 4,2 + 3,5 = 11,2 (m)

Diện tích hình chữ nhật I là: 11,2 . 3,5 = 39,2 (m²)

Diện tích hình chữ nhật II là: 4,2 . 6,5 = 27,3 (m²)

Diện tích của mảnh đất là: 39,2 + 27,3 = 66,5 (m²).

Ta thấy các số lẻ liên tiếp cách nhau 2 đơn vị

Số số hạng của dãy số là:

(155 – 15) : 2 + 1 = 71 (số)

Tổng của dãy số trên là:

(155 + 15) . 71 : 2 = 6035.

Đáp số: 6035.

Gọi \(\overline {abcd} \) là số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

Khi đó: a + b + c + d chia hết cho 3

Ta phân các chữ số thành 3 tập A, B, C có các phần tử khi chia cho 3 có số dư lần lượt là 1, 2, 0 , cụ thể 3 tập đó là:

A = {1; 4; 7}

B = {2; 5; 8}

C = {0; 3; 6; 9}

TH1: 4 chữ số thuộc tập hợp C, trừ trường hợp a = 0

4! – 3! = 18 (số)

TH2: 2 chữ số thuộc tập C; 1 chữ số thuộc tập A; 1 chữ số thuộc tập B

\(C_4^2\,.\,C_3^1\,.\,C_3^1\,.\,4!\,\, - \,C_3^1\,.\,C_3^1\,.\,C_3^1\,.\,3!\,\)= 1134 (số)

TH3: 1 chữ số thuộc tập C; 3 chữ số thuộc tập A hoặc chữ số thuộc tập B

2 \(\left( {C_4^1\,.\,4!\, - \,3!} \right)\) = 180 (số)

TH4: 2 chữ số thuộc tập A; 2 chữ số thuộc tập B

\(C_3^2\,.\,C_3^2\,.4!\) = 216 (số)

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu là: 18 + 1134 + 180 + 216 = 1548 (số).

Ta có: b² = ac suy ra: \(\frac{a}{b}\,\, = \,\,\frac{b}{c}\,\,\)

⇒\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}\,\, = \,\,{\left( {\frac{b}{c}} \right)^2}\, = \,\,\,\frac{a}{b}\,\,.\,\,\frac{b}{c}\,\, = \,\,\,\frac{a}{c}\,\, = \,\,\,\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}\,\,\)

⇒\[\frac{a}{c}\,\, = \,\,\,\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}\,\, = \,\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\,\](tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Vậy: \[\frac{a}{c}\,\, = \,\,\frac{{{a^2} + \,{b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}\].

P = x³ – 3x² – 3x + 3 = (x – 1)³ – 6x + 4

P = \[{\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)^3} - 6\left( {1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) + 4\]

P = \[2 + 4 + 3\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) - 6\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) - 6 + 4\]

P = \[6 + 3\sqrt[3]{8}\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) - 6\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) - 6 + 4\]

P = 4 = 2²

Vậy P là một số chính phương.

Xe tải to chở được: 2345 + 2325 = 4670 ( tấn).

Cả hai xe chở được số tấn hàng là: 2345 + 4370 = 7015 (tấn).

Ta có: \(\left| a \right|,\left| b \right|\,,\,\left| {a + b} \right|\,\, \ge \,0\)

Suy ra bất đẳng thức tương đương: \(\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right){\,^2}\, \ge \,\,{\left( {\left| {a + b} \right|} \right)^2}\)

⇔\(\left| {ab} \right| \ge \,\,ab\)(đúng)

Dấu “=” xảy ra khi ab ≥ 0.

Ta có: 25 = 1 . 25 = (–1) . (–25) = 5 . 5 = (–5) . (–5)

Nên Ư(25) = {±1; ±5; ±25}.

Ta có: 5x² – 25x – 120

= 5(x² – 5x – 24)

= 5(x² – 8x + 3x – 24)

= 5[(x(x – 8) + 3(x – 8)]

= 5(x + 3)(x – 8).

Vì a chia hết cho 15, 12 và a nhỏ nhất nên a thuộc BCNN (15,12)

Ta có 15 = 3.5

12 = 2² . 3

Vậy BCNN (15, 12) = 2² . 3 . 5 = 60

Vì a nhỏ nhất nên a = 60.

Đặt \(\frac{a}{b}\,\, = \,\,\frac{c}{d}\)= k suy ra: a = bk; c = dk

Xét \(\frac{{xa + yb}}{{za + tb}}\,\, = \,\,\frac{{xbk + yb}}{{zbk + tb}}\, = \,\frac{{b\left( {xk + y} \right)}}{{b\left( {zk + t} \right)}}\, = \,\frac{{\left( {xk + y} \right)}}{{\left( {zk + t} \right)}}\)(1)

\(\,\,\frac{{xc + yd}}{{zc + td}}\, = \,\frac{{xdk + yd}}{{zdk + td}}\, = \,\frac{{d\left( {xk + y} \right)}}{{d\left( {zk + t} \right)}} = \frac{{xk + y}}{{zk + t}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{xa + yb}}{{za + tb}}\,\, = \,\,\frac{{xc + yd}}{{zc + td}}\).

9 trang đầu tiên cần 9 chữ số

90 trang kế tiếp mỗi trang cần 2 chữ số thì số chữ số cần cho 90 trang là :

90 . 2 = 180 chữ số

Số chữ số cần cho các trang có 3 chữ số là :

936 – (9 + 180) = 747

Số trang có 3 chữ số là :

747 : 3   = 249 (trang)

Cuốn sách đó có số trang :

9 + 90 + 249 = 348 (trang).

Khi viết nhầm chữ số 4 ở hàng đơn vị của số 7254 thành chữ số 8 thì số này tăng thêm số đơn vị là:

8 – 4 = 4

Vì thừa số thứ 2 tăng thêm 4 đơn vị nên tích tăng lên 4 lần thừa số thứ nhất. Vậy 4 lần thừa số thứ nhất là 20.

Thừa số thứ nhất là:

20 : 4 = 5

Tích đúng là:

5 . 7254 = 36270.

100 hộp bút chì màu có số bút chì là :

100 . 6 = 600 (bút)

9 thùng có số bút chì màu là:

600 . 9 = 5400 (bút)

Đáp số: 5400 bút.

Số lẻ cuối cùng là 99

Mỗi số lẻ cách nhau 2 đơn vị

Số số hạng của dãy số là: (99 – 11) : 2 + 1 = 45 (số)

Tổng các số hạng của dãy số là: (99 + 11) . 45 : 2 =2475

Trung bình cộng của dãy số này là: 2475 : 45 = 55.

a) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông, ta có:

BC² = AB² + AC² = 12² + 16² = 400

Suy ra: BC = 20 cm

Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:

\(\frac{{DB}}{{DC}}\,\, = \,\,\frac{{AB}}{{AC}}\,\)suy ra: \(\frac{{DB}}{{DC + DB}}\,\, = \,\,\frac{{AB}}{{AC + AB}}\,\,hay\,\,\frac{{DB}}{{CB}}\,\, = \,\,\frac{{AB}}{{AC + AB}}\)

Suy ra: DB = \(\frac{{BC.AB}}{{AC + AB}}\,\, = \,\frac{{20\, \cdot \,12}}{{16 + 12}}\,\, = \,\frac{{60}}{7}\)(cm)

DC = BC – DB = \[20 - \frac{{60}}{7}\, = \,\frac{{80}}{7}\]

b) Ta có: S_ABC = \(\frac{1}{2}\)AB.AC = \(\frac{1}{2}\)AH.BC

Suy ra: AH . BC = AB . AC

AH = \(\frac{{AB\,.\,AC}}{{BC}}\, = \,\frac{{12.16}}{{20}}\, = \,9,6\)(cm)

Trong tam giác AHB vuông ta có: BA² = AH² + HB²

HB² = BA² – AH² = 12² – (9,6)² = 51,84

HB = 7,2 cm

Vậy HD = BD – HB ≈ 1,37 (cm)

Trong tam giác vuông AHD có: AD² = AH² + HD² = (9,6)² + (1,37)² = 94,0369

Suy ra: AD ≈ 9,7 cm.

Ta có: \[\left( {\frac{1}{2}} \right)3{x^2} = \frac{1}{{256}}\]

⇔ x² = \(\frac{1}{{384}}\)

⇔\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 6 }}{{48}}\\x = \frac{{ - \sqrt 6 }}{{48}}\end{array} \right.\].

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp với

y = \(\frac{1}{u}\); u = (2x – 5)² ta được

\(y' = \, - \frac{{3.2.\left( {2x - 5} \right)'}}{{{{\left( {2x - 5} \right)}^4}}} = \frac{{ - 12}}{{{{\left( {2x - 5} \right)}^3}}}\).

\[\overrightarrow {AK\,} = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM\,} + \overrightarrow {AN\,} } \right) = \,\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB\,} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC\,} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB\,} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC\,} \].

Xét tam giác CFH và tam giác CAB có:

\(\widehat C\) chung

\(\widehat {CFH} = \widehat {CAB}\)(bằng 90 độ)

Suy ra: ∆CFH ᔕ ∆CAB (g.g)

Nên: \[\frac{{CF}}{{CA}} = \frac{{CH}}{{CB}}\,\,hay\,\,\frac{{CF}}{{CH}} = \frac{{CA}}{{CB}}\, \Rightarrow \,C{F^2} = \frac{{C{A^2}\,.\,C{H^2}\,}}{{C{B^2}}} = \frac{{C{H^3}\,}}{{CB}}\]( vì CA = CH.CB) (1)

Tương tự: ∆BEH ᔕ ∆BAC (g.g)

Suy ra: \[\frac{{BE}}{{BH}} = \frac{{BA}}{{BC}}\,\, \Rightarrow \,B{E^2} = \frac{{B{A^2}\,.\,B{H^2}\,}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{H^3}}}{{BC}}\](vì BA² = BH. BC) (2)

TỪ (1) và (2) ta có:

\[\sqrt[3]{{B{E^2}}} + {\rm{ }}\sqrt[3]{{C{F^2}}} = \,\frac{{BH + CH}}{{\sqrt[3]{{BC}}}} = \sqrt[3]{{B{C^2}}}\]

Áp dụng bất đẳng thức: a³ + b³ ≥ \[\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}{4}\] ta có:

BE² + CF² ≥ \[\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{{B{E^2}}} + \sqrt[3]{{C{F^2}}}} \right)}^2}}}{4} = \frac{{B{C^2}}}{4}\]

MÀ AH ≤ \(\frac{1}{2}BC\)(vì AH luôn nhỏ hơn đường trung tuyến kẻ từ A xuống BC)

Suy ra: AH² ≤ \(\frac{1}{4}B{C^2}\)

Mặt khác: AHEF là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) nên AH = EF

Vậy: BE² + CF² ≥ EF²

Dấu “=” khi tam giác ABC vuông cân tại A.

\[\left( {{x^2} - \frac{1}{2}} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = {x^4} - \frac{9}{2}{x^2} + 2\]

Hệ số của x trong phép nhân này bằng 0.

Đổi 0,45km = 450m

Nửa chu vi khu đất là : 450 : 2 = 225 (m)

Chiều rộng khu đất là : 225 : (4 + 5) . 4 = 100 (m)

Chiều dài khu đất là : 225 – 100 = 125(m)

Diện tích khu đất là : 125 . 100 = 12500 (m²)

Đổi 12500 m² = 1,25 ha.

Ta có: 3^x–2 = 3³

Suy ra: x – 2 = 3 hay x = 5.

1 + 2 + 3 + …. + x = 1275

⇔ (1 + x) . x : 2 = 1275

⇔ x² + x = 2550

⇔ x² + x – 2550 = 0

⇔\[\left[ \begin{array}{l}x = 50\\x = - 51\end{array} \right.\]

Chọn x = 50.

Ta có: 3^x–2 = 3³

Suy ra: x – 2 = 3 hay x = 5.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ta có:

AH² = HB.HC = 2,5² = 6,25 (1)

HB + HC = BC = 5 suy ra: HB = 5 – HC (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình : (5 – HC). HC = 6,25

5HC – HC² – 6,25 = 0

HC = 2,5 (cm)

Suy ra: HB = 5 – 2,5 = 2,5

AB² = HB . BC = 2,5 . 5 =12,5 ⇒ AB = \(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

AC² = HC . BC = 2,5 . 5 =12,5 ⇒ AC = \(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có:

42 = 2 . 3 . 7

35 = 5 . 7

180 = 2² . 3² . 5

BCNN (42, 35, 180) = 2² . 3² . 5 . 7 = 1260.

Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 8 học sinh để phân công làm các công việc: quét lớp, lau bảng, đổ rác là một chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử.

Vậy ta có số cách chọn là : \(A_8^3\, = \,C_8^3\, \cdot \,3!\).

Ta có:

A = \(\frac{{2{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{2{x^3} - {x^2} - 2{x^2} + x + 2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2}\left( {2x - 1} \right) - x\left( {2x - 1} \right) + \left( {2x - 1} \right)}}{{{x^2} - x + 1}}\)

= \(\frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{x^2} - x + 1}} = 2x - 1\).

2A = 2 + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁰¹

2A – A = (2 + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁰¹) – (1 + 2² + 2³ + … + 2¹⁰⁰)

A = 2¹⁰¹ – 1.

= (2+... + 96 + 98 + 100) – (1 +… + 95 + 97)

= \(\left[ {\left( {\frac{{100 - 2}}{2} + 1} \right)\left( {100 + 2} \right):2} \right]\) – \(\left[ {\left( {\frac{{97 - 1}}{2} + 1} \right)\left( {97 + 1} \right):2} \right]\)

= \(\frac{{\left( {5100{\rm{ }} - {\rm{ }}4802} \right){\rm{ }}}}{2}\)

= 149.

Vì 126 ⋮ x và 210 ⋮ x nên x ∈ ƯC(126; 210)

Ta có: 126 = 2.32.7

210 = 2.3.5.7

ƯCLN (126;210) = 2.3.7 = 42

ƯC (126;210) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

Vì 15 < x < 30 nên x = 21.

A = 2022 + 2020 + 2018 + 2016 + …. + 2 – 2019 – 2017 – 2015 – … – 1

A = (2022 − 2021) + (2020 − 2019) + (2018 − 2017) + ...+ (2 – 1 )

= 1+ 1 + 1 +... + 1

= 1 . 1011

= 1011.

Vì 60 chia hết cho x, 150 chia hết cho x ⇒ x ∈ ƯC(150, 60)

⇒ x={±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15; ±30}

x > 25

⇒ x = 30

Vậy x = 30.

a) Từ O kẻ OM vuông góc với AD

Khi đó theo tính chất của đường kính và dây cung thì M là trung điểm AD

Lại có O là trung điểm AE ⇒ MO là đường trung bình của tam giác ADE

⇒ MO // DE , lại có MO // BC (cùng vuông góc với AD)

⇒ DE // BC.

b) Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) suy ra \[\widehat {ADB} = \widehat {BCA}\]

hay 90° – \(\widehat {ADB}\)= 90° – \(\widehat {BCA}\)

Suy ra: \(\widehat {CBD} = \widehat {ECB}\)

Theo phần a, vì BC // DE nên BCDE là hình thang

Vậy: BCDE là hình thang cân.

Nếu hai đường thẳng song song thì chia mặt phẳng thành 3 miền.

Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì chia mặt phẳng thành 4 miền.

Ta có:

\[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB} } \right)\]

⇔\[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} } \right)\]

⇔\[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {2\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} } \right)\]

⇔\[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AO} \, + \,\frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \, = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \]

Ta có: MN là đường trung bình của tam giác OCB.

Suy ra: \[\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \]

⇔\[\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \,} \right)\].

Gọi đường trung trực của BC cắt BC tại M.

Xét ΔBMI và ΔCMI, ta có:

\[\widehat {BMI} = \widehat {CMI}\] (bằng 90 độ)

BM = CM (vì M là trung điểm của BC )

MI cạnh chung

Suy ra: ΔBMI = ΔCMI (c.g.c)

Suy ra: IB = IC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔIHA và ΔIKA, ta có:

\[\widehat {HAI} = \widehat {KAI}\](vì AI là tia phân giác của góc BAC).

\(\widehat {IHA} = \widehat {IKA}\)(bằng 90 độ)

AI cạnh huyền chung

Suy ra: ΔIHA = ΔIKA (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔIHB và ΔIKC, ta có:

IB = IC ( chứng minh trên )

\(\widehat {IHB} = \widehat {IKC}\)(bằng 90 độ)

IH = IK (chứng minh trên)

Suy ra: ΔIHB = ΔIKC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng).

Gọi đường trung trực của BC cắt BC tại M.

Xét ΔBMI và ΔCMI, ta có:

\[\widehat {BMI} = \widehat {CMI}\] (bằng 90 độ)

BM = CM (vì M là trung điểm của BC )

MI cạnh chung

Suy ra: ΔBMI = ΔCMI (c.g.c)

Suy ra: IB = IC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔIHA và ΔIKA, ta có:

\[\widehat {HAI} = \widehat {KAI}\](vì AI là tia phân giác của góc BAC).

\(\widehat {IHA} = \widehat {IKA}\)(bằng 90 độ)

AI cạnh huyền chung

Suy ra: ΔIHA = ΔIKA (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔIHB và ΔIKC, ta có:

IB = IC ( chứng minh trên )

\(\widehat {IHB} = \widehat {IKC}\)(bằng 90 độ)

IH = IK (chứng minh trên)

Suy ra: ΔIHB = ΔIKC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có: S_ABC  = \(\frac{1}{2}CH.AB = \frac{1}{2}AC.AB.\frac{{CH}}{{AC}} = \frac{1}{2}AC.AB.\sin A\)

S_BHD = \(\frac{1}{2}BH.BD.\sin \widehat {DBH}\)

S_BKC = \(\frac{1}{2}BK.BC.\sin \widehat {KBC}\)

\(\frac{{{S_{BHD}}}}{{{S_{KBC}}}} = \frac{{BH.BD}}{{BK.BC}} = \frac{2}{8}\,.\,\frac{{BD}}{{BK}} = \,\frac{1}{4}\,.\,\frac{{B{D^2}}}{{BK.BD}}\, = \,\frac{1}{4}\,.\,\frac{{B{D^2}}}{{B{A^2}}} = \frac{1}{4}\,.\,{\cos ^2}\widehat {ABD}\).

Ta có: MN là đường trung bình của tam giác AHC (M, N là trung điểm của AH, HC).

Suy ra: MN // AC.

Vì AC ⊥ AB mà MN // AC nên MN ⊥ AB (1).

Mặt khác AH ⊥ BC hay AM ⊥ BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra: M là trực tâm của tam giác ANB.

Vì 169 = 13 . 13 nên cạnh hình vuông là 13 dm.

Chu vi hình vuông là: 13 . 4 = 52 (dm).

Vì 49 = 7 . 7 nên cạnh hình vuông là 7 cm.

Chu vi hình vuông là:

7 . 4 = 28 (cm).

3 bao gạo nếp cân nặng là: 36 . 3 = 108 (kg)

6 bao gạo tẻ cân nặng là: 54 . 6 = 324 (kg)

Trung bình mỗi bao cân nặng là : (324 + 108) : (3 + 6) = 48 (kg).

Khi thêm 4 đơn vị vào số bị chia, phép chia khi đó sẽ dư:

4 + 1 = 5

Thì khi ấy phép chia là phép chia hết

Vậy cần tăng thêm 4 đơn vị vào số bị chia.

Chiều dài thửa ruộng hình chữ nhật là: 

80 : 4 . 5 = 100 (m)

Diện tích thửa ruộng hình chữ nhật đó là:  

100 . 80 =  8000 (m²)

Số thóc thu hoạch được trên cả thửa ruộng đó là: 

8000 : 50 . 30 = 4800 (kg)

Đổi 4800 kg = 48 tạ.

Đổi 2 m = 200 cm

Một bộ quần áo (1 áo + 1 quần) hết số vải là:

300 + 325 = 625 (cm)

Bốn bộ quần áo hết số vải là:

625 . 4 = 2500 (cm)

Tấm vải ban đầu dài là:

2500 + 200 = 2700 (cm)

Đáp số: 2700 cm.

Ta có: 72 = 2³ . 3²

Số ước của 72 là : (3 + 1) . (2 + 1) = 12 (ước).

Ta có: \(\frac{{14{x^5}{y^3}{z^2}}}{{21{x^2}{y^4}z}} = \,\frac{{2{x^3}z}}{{3y}}\).

Đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a ( a ≠ 0 ) thì ta có:

 x . y = a

Nên đại lượng x với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là a.

Ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\)= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra: AD ⊥ EB và BC ⊥ AE hay H là trực tâm của tam giác EAB.

⇒ EH ⊥ AB tại K (K là giao điểm của EH và AB).

\(\widehat {AEH} = \widehat {ABH}\)(cùng phụ với \(\widehat {EAB}\))

b) OA = OC = R suy ra tam giác OAC cân tại O.

\(\widehat {AOC} = \frac{{100^\circ - \widehat {EAB}}}{2} = 52,5^\circ \)

Tương tự: \(\widehat {DOB} = \frac{{100^\circ - \widehat {EBA}}}{2} = 62,5^\circ \)

\(\widehat {COD} = 180^\circ - \,\widehat {AOC} - \widehat {DOB} = 65^\circ \).

Xét tam giác AHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến suy ra: HM = MA = MC .

Xét tam giác MAH và tam giác BAH có:

Chung AH

Ta có:

A = xy (x⁴ – y⁴)

= xy [(x⁴ –1)– (y⁴–1)

= xy [(x² + 1)(x² – 1) – (y² + 1)(y² – 1)]

= xy [(x² – 4 + 5) (x – 1) (x + 1) – (y² – 4 + 5)(y – 1)(y + 1)]

= xy{[(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) + 5(x – 1)(x + 1)] – [(y – 1)(y + 1)(y – 2)(y + 2) + 5(y – 1)(y + 1)]}

= (x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)y + 5xy(x – 1)(x + 1) – xy(y – 1)(y – 2)(y + 2)(y + 1) – 5xy(y – 1)(y + 1)

Ta thấy:

(x –2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2) chia hết cho 5 (vì là tích của 5 số nguyên liên tiếp);

5x(x – 1)(x + 1) chia hết cho 5;

y(y – 1)(y – 2)(y + 2)(y + 1) chia hết cho 5 (vì đây là tích của 5 số nguyên liên tiếp);

5y(y – 1)(y + 1) chia hết cho 5 

Vậy A chia hết cho 5.

Gọi n là số học sinh (n ∈ ℕ^*, n < 1000)

Theo bài ra ta có:

n – 13 chia hết cho 20, 25, 30

Nên n – 13 chia hết cho BCNN (20, 25, 30)

Mà BCNN (20, 25, 30) = 300

Mặt khác n < 1000

Do đó: n – 13 ∈ {300, 600, 900} hay n ∈ {313, 613, 913}

Với n = 313, n chia 45 dư 43 (không thỏa mãn)

Với n = 613, n chia 45 dư 28 (chọn)

Với n = 913, n chia 45 dư 13 (không thỏa mãn)

Vậy số học sinh của trường là 613 học sinh.

Ta có: 243 = 3⁵

Nên các ước số của 243 là: 3⁰, 3¹, 3², 3³, 3⁴, 3⁵ hay các ước là 1, 3, 9, 27, 81, 243.

Vậy 243 có 6 ước.

Ta có: \(3\widehat A = 4\widehat B\), suy ra \(\frac{{\widehat A}}{4} = \frac{{\widehat B}}{3}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{\widehat A}}{4}\,\, = \,\frac{{\widehat B}}{3}\,\, = \,\,\frac{{\widehat A - \widehat B}}{{4 - 3}}\,\, = \,\,20\)

Suy ra: \(\widehat A\)= 20 . 4 = 80°.

\(\widehat B\)= 20 . 3 = 60°.

\(\widehat C\)= 180° – 80° – 60° = 40°.

Thư viện đó có số cuốn sách là:

8 . 875 + 9 . 375 = 10375 (cuốn sách).

Ta có:

3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n.(n+1).3

3C = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + … + n.(n + 1).(n + 2) – (n – 1).n.(n + 1)

3C = n(n + 1)(n + 2)

C = \[\frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\].

Để số Bình xếp được lớn nhất Bình phải lấy đi chữ số bé nhất tức là 3.

Sau khi xóa số 3 thì các chữ số còn lại là: 7, 8, 9.

Vậy số lớn nhất xếp được là 987.

ABCD là hình bình hành

⇒AB // CD; O là trung điểm của AC.

⇒ OA = OC; \(\widehat {MAO}\, = \,\widehat {NCO}\) (so le trong)

Xét ΔMAO và ΔNCO có:

\(\widehat {MAO}\, = \,\widehat {NCO}\)

OA = OC

 \(\widehat {MOA}\, = \,\widehat {NOC}\)(đối đỉnh)

⇒ ΔMAO ᔕ ΔNCO  (g.c.g) 

⇒ OM = ON

⇒ O là trung điểm của MN

Vậy M đối xứng với N qua O.

b) ΔMAO ᔕ ΔNCO  

⇒\(\frac{{AM}}{{CN}}\,\, = \,\,\frac{{OM}}{{ON}}\)

Mà OM = ON nên AM = CN

AB // CD ⇒ AM // CN

Xét tứ giác AMCN có:

AM // CN; AM = CN

⇒ AMCN là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Suy ra: \(\widehat {ABD}\,\, = \,\,\widehat {BDC}\) (2 góc so le trong)

AD // BC nên \(\widehat {DAC}\,\, = \,\,\widehat {ACB}\) (2 góc sole trong)

Xét tam giác KOB và tam giác DOH có:

\(\widehat {ABD}\,\, = \,\,\widehat {BDC}\)

DO = OB

\(\widehat {DOH}\,\, = \,\,\widehat {BOK}\) (2 góc đối đỉnh)

Suy ra: ∆KOB = ∆DOH (g.c.g)

Nên OK= OH (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác AEO và tam giác COF có:

\(\widehat {DAC}\,\, = \,\,\widehat {ACB}\)

AO = OC

\(\widehat {AOE}\,\, = \,\,\widehat {FOC}\) (2 góc đối đỉnh)

Suy ra: ∆AEO = ∆COF (g.c.g)

Nên EO = OF (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ OK = OH, EO = OF

⇒ EKFH là hình bình hành.

Tổng 5 túi xà phòng và 1m vải hết số tiền là:

64000 + 71000 = 135000 (đồng)

Tổng 1 túi xà phòng và 1m vải hết số tiền là:

135000 : 5 = 27000 (đồng)

Tiền mua 1m vải nhiều hơn tiền mua 1 túi xà phòng là:

71000 – 64000 = 7000 (đồng)

Giá tiền 1 túi xà phòng là:

(27000 − 7000) : 2 = 10000 (đồng)

Giá tiền 1m vải là:

27000 – 10000 = 17000 (đồng)

Vậy giá tiền 1 túi xà phòng: 10000 đồng; giá tiền 1m vải: 17000 đồng.

Ta có: 480 = 2⁵ . 3 . 5

Nên ước của 480 là: Ư(480) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 48; 60; 96; 120; 160; 240; 480}.

Chiều rộng mảnh đất là: \(4,5\, \cdot \,\,\frac{3}{4}\,\, = \,\,3,375\)(m).

Diện tích mảnh đất đó là: 4,5 . 3,375 = 15,1875 (m²).

Ta có:

S_ADM = \[\frac{1}{2}AD.\,\,DM\,\, = \,\frac{1}{2}AD.\,\,\frac{1}{2}DC\,\, = \,\,\frac{1}{4}{S_{ABCD}}\]= 12 (cm²)

S_ABN = \[\frac{1}{2}AB\,.\,\,BN\,\, = \,\,\frac{1}{2}AB.\,\,\frac{2}{3}BC\,\, = \,\,\frac{1}{3}{S_{ABCD}}\] = 16 (cm²)

S_CMN = \[\frac{1}{2}CM\,.\,\,CN\,\, = \,\frac{1}{2}\,.\,\frac{1}{2}CD.\,\,\frac{1}{3}BC\,\, = \,\,\frac{1}{{12}}{S_{ABCD}}\] = 4 (cm²)

S_AMN = 48 – 12 – 16 – 4 = 16 (cm²).

Nếu viết các tích riêng thẳng cột như phép cộng thì tích sai là tích của thừa số thứ nhất với: 

4 + 5 = 9

Khi đó kết quả đúng bị giảm đi số lần thừa số thứ nhất là: 

45 – 9 = 36

Thừa số thứ nhất là: 

828 : 36 = 23

Tích đúng là: 

23 . 45 = 1035.

Ta có:

13x⁴ – 9x² – 21 . 6x²²⁸

= 13x⁴ – 9x² – 126x²²⁸

= x² (13x² – 9 – 126x²²⁶).

Để 3p + 5 là số nguyên tố

Mà 3p + 5 ≥  5

⇒ 3p + 5 là số lẻ

⇒ 3p là số chẵn 

Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 

Vậy p = 2.     

Đổi 5 km 60 dam = 5 600 m

a) Nửa chu vi khu rừng đó là:

5600 : 2  = 2800 (m)

Chiều rộng khu rừng đó là:

(2800 – 800) : 2 = 1000 (m)

Chiều dài khu rừng đó là:

1000 + 800 = 1800 (m)

Diện tích khu rừng đó là :

1800 . 1000 = 1 800 000 (m²) = 180 ha.

b) Diện tích phần còn lại của khu rừng chiếm : 1 − \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\) (diện tích khu rừng)

Tỉ số diện tích trồng cây mới và diện tích còn lại của khu rừng là: \(\frac{1}{3}\,:\,\,\frac{2}{3}\, = \,\frac{1}{2}\) 

Vậy tỉ số diện tích trồng cây mới và phần diện tích còn lại của khu rừng là \(\frac{1}{2}\).

Vì n > 1 nên n có dạng 2k; 2k + 1 ( k ∈ ℕ^*)

Xét n có dạng 2k suy ra: 5^2k = 25^k có 2 chữ số tận cùng là 25.

Xét n có dạng 2k + 1 suy ra: 5^2k+1 = 25^k . 5

Vì 25^k có 2 chữ số tận cùng là 25 nên 25^k . 5 có 3 chữ số tận cùng là 125, tức 25^k . 5 có 2 chữ số tận cùng là 25.

Vậy trong trường hợp nào thì 5ⁿ luôn có 2 chữ số tận cùng là 25 (n > 1).

Ta có: b³ = 1 suy ra: b = 1

a³ – 3ab² = 1 – 3a²b

⇔ a³ – 3ab² + 3a²b – 1 = 0

Thay b = 1 ta được: a³ – 3a + 3a² – 1 = 0

⇔ (a – 1)(a² + a + 1) + 3a (a – 1) = 0

⇔ (a – 1)(a² + 4a + 1) = 0

Suy ra: \[\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = \sqrt {3\,} - 2\\a\, = \, - \sqrt {3\,} - 2\end{array} \right.\].

Chọn a = 1 vì theo giả thiết a là số nguyên

Vậy a = b = 1.

A = 1 + \(\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + .... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2012}}\)

2A = \[2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2011}}}}\]

2A – A = \[\left( {2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2011}}}}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2012}}}}} \right)\]

A = \(2 - \frac{1}{{{2^{2012}}}} = \,\frac{{{2^{2013}} - 1}}{{{2^{2012}}}}\, = \,\frac{{{2^{2012}} + 1}}{{{2^{2012}}}}\).

Ta có: xy + 3x – y = 6

⇔ x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3

⇔ (x – 1)(y + 3) = 3

Suy ra: x – 1 và y + 3 thuộc Ư(3)

Ta có bảng sau:

Vậy (x; y) ∈ {(2; 0), (0; –6), (4; –2), (–2; –4)}.

Số có tận cùng là 5 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì vẫn có tận cùng là 5.

Nên \({5^{{6^7}}}\)có tận cùng là 5.

Số có tận cùng là 4 khi nên lên lũy thừa bậc lẻ, có chữ số tận cùng là 4.

Vậy \({234^{{5^{{6^7}}}}}\)có tận cùng là chữ số 4.

Điều kiện xác định của x là:

\(\frac{{3x - 2}}{{{x^2} - 2x + 4}} \ge 0\)

⇔\(\frac{{3x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3}} \ge 0\)

Mà (x–1)² + 3 > 0 với mọi x.

Do đó: 3x – 2 ≥ 0 hay x ≥ \(\frac{2}{3}\)

Vậy điều kiện xác định của x để biểu thức có nghĩa là: x ≥ \(\frac{2}{3}\).

Đặt t = \(\sqrt {{x^2} + 2} \) ( t > 0).

Suy ra: t² – 2 = x²

Phương trình trở thành: t² – 2 + (3 – t)x = 1 + 2t

⇔ t² – t(x + 2) + 3x – 3 = 0

Ta xem đây là phương trình bậc hai với ẩn t

∆_t = (x + 2)² – 4(3x – 3 ) = (x – 4)²

Do đó:

\[\left[ \begin{array}{l}t\, = \frac{{x + 2 + x - 4}}{2} = x - 1\,\\t = \,\frac{{x + 2 - x - 4}}{2} = 3\end{array} \right.\] hay \[\left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2} = x - 1\,\\\sqrt {{x^2} + 2} = 3\end{array} \right.\]

Với \[\sqrt {{x^2} + 2} = 3\]thì x² = 7. Suy ra x = \( \pm \sqrt 7 \)

Với \[\sqrt {{x^2} + 2} = x - 1\] (x > 1)

Ta bình phương hai vế được: x² + 2 = x² – 2x + 1

⇔ x = \(\frac{{ - 1}}{2}\)(loại vì x > 1 mới thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = \( \pm \sqrt 7 \).

Theo tính chất phân phối số mũ thì:

a³ b³c³ = (abc)³

Theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C\)= 180°

⇒\(\widehat A\)= 180° – \(\left( {\widehat B + \widehat C} \right)\)

sin A = sin \(\left[ {180^\circ {\rm{ }} - \,\left( {\widehat B + \widehat C} \right)} \right]\)= sin (B + C) = sin B. cos C + sin C. cos B.

Trung bình mỗi buổi cửa hàng đó bán được:

(40 + 45 – 3) : 2 = 41 (kg gạo)

Số gạo trong buổi tối của hàng đó bán:

41 – 3 = 38 (kg gạo)

Đáp số: 38 kg gạo.

147 = 3 . 49 = 3 . 7²

Vậy 147 là tích của 3 và 7².

2a + 31 là bội của a + 1

Suy ra: 2a + 31 ⋮ a + 1

⇒ 2a + 2 + 29 ⋮ a + 1

⇒ 2(a + 1) + 29 ⋮ a + 1

Vì 2(a + 1) ⋮ a + 1 mà để 2(a + 1) + 29 ⋮ a + 1 thì 29 ⋮ a + 1

Do đó: (a + 1) ∈ Ư(29)

a + 1 = {–1; 1; 29; –29}

Vì a là số tự nhiên nên a + 1 ≥ 1

Suy ra: a + 1 = 1 hoặc a + 1 = 29

Hay a = 0 hoặc a = 28.

Vậy a = 0 hoặc a = 28.

Ta có:

20 = 2² . 5

25 = 5²

30 = 2. 3. 5

BCNN (20; 25; 30) = 2² . 3. 5² = 300

Vì 450 < x < 700 nên x = 600.

Vậy x = 600.

Vì 1 m² = 100 dm² nên 1 dm² = 0,01 m²

Suy ra: 48 dm² = 0,48 m².

1 m² = 10000 cm²

1 dm² = 100 cm²

Nên: 50200 cm² = 502 dm² = 5,02 m².

\[\frac{{59}}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 7 }}\,\, = \,\,\frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}\]

= \[\frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{8 + 2\sqrt 5 - 7}}\]

= \[\frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {1 - 2\sqrt {15} } \right)}}{{\left( {1 - 2\sqrt {15} } \right)\left( {1 + 2\sqrt {15} } \right)}}\]

= \[\frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {1 - 2\sqrt {15} } \right)}}{{1 - 60}}\]

= \[\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} - 1} \right)\].

Xét tam giác AHB có: AH = AB. sin B

Tam giác AHC có: AH = AC . sin C = AC. cos B

Suy ra: AH² = AB. AC. sin B. cos B

AH = \(\frac{{AB\,\,.\,\,AC}}{{AH}}\). sin B . cos B

AH = BC . sin B . cos B

Trong một phép chia, thương bằng số bị chia chia cho số chia mà thương bằng \(\frac{1}{8}\). Tức là số chia bằng 8.

Thương là:

8 . 3 = 24

Số bị chia là:

24 . 8 = 192 

Đáp số : 192.

Ban đầu Hùng có nhiều hơn Dũng:

14 – 5 = 9 (viên bi).

Theo đề bài ta có sơ đồ:

Số viên bi của bạn Hùng là:

(45 + 9) : 2 = 27 (viên bi).

Số viên bi của bạn Dũng là:

27 – 9 = 18 (viên bi).

Đáp số: Hùng: 27 viên bi; Dũng: 18 viên bi.

Tổng của 2 số là: 14,78 + 1,87 = 16,65

Khi thêm A vào số bé và bớt A ở số lớn thì tổng của 2 số vẫn không thay đổi là 16,65.

Vì tỉ số của 2 số là \(\frac{1}{4}\) nên ta có số nhỏ là một phần vầ số lớn là 4 phần

Tổng các số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)

Số bé (sau khi đã thêm A là): 16,65 : 5 = 3,33

Vậy số A là: 3,33 – 1,87 = 1,46.

Ta có:

S_ADM = \[\frac{1}{2}AD.\,\,DM\,\, = \,\frac{1}{2}AD.\,\,\frac{1}{2}DC\,\, = \,\,\frac{1}{4}{S_{ABCD}}\]= 12 (cm²)

S_ABN = \[\frac{1}{2}AB\,.\,\,BN\,\, = \,\,\frac{1}{2}AB.\,\,\frac{2}{3}BC\,\, = \,\,\frac{1}{3}{S_{ABCD}}\] = 16 (cm²)

S_CMN = \[\frac{1}{2}CM\,.\,\,CN\,\, = \,\frac{1}{2}\,.\,\frac{1}{2}CD.\,\,\frac{1}{3}BC\,\, = \,\,\frac{1}{{12}}{S_{ABCD}}\] = 4 (cm²)

S_AMN = 48 – 12 – 16 – 4 = 16 (cm²).

Nối M với D; M với B

Vì MN // BD nên khoảng cách từ M xuống BD = khoảng cách từ N xuống BD

⇒ S_BDN = S_BDM

Mà  S_ABND = S_ABD + S_BDN ⇒ S_ABND = S_ABD + S_BDM  = S_ABMD

Mặt khác, S_ABMD = S_ABM + S_ADM = \(\frac{1}{2}\)​S_ABC + \(\frac{1}{2}\)​​S_ADC 

Vì MA = MC nên MA = \(\frac{1}{2}\)AC ⇒  S_ABM  =  \(\frac{1}{2}\)​S_ABC ; S_ADM = \(\frac{1}{2}\)​S_ADC 

⇒ S_ABND = S_ABMD =  \(\frac{1}{2}\)​.(S_ABC + S_ADC) =  \(\frac{1}{2}\)​.​S_ABCD

Vậy BN hình thang ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau.

Xét tam giác CDE và tam giác CBF có:

\(\widehat {CDA}\, = \,\widehat {CBF}\,\)= 90°

CD = CB

\(\widehat {DCE}\,\, = \,\,\widehat {FCB}\,\)= 90° – \(\widehat {BCE}\)

Suy ra: ΔCDE ᔕ ΔCBF (g.c.g)

⇒\(\frac{{CD}}{{CB}} = \frac{{CE}}{{CF}}\) mà CD = CB nên CE = CF.

Ta thấy các tam giác EAF vuông tại A, ECF vuông tại C có M là trung điểm cạnh huyền EF.

Suy ra MA = MC =\(\frac{1}{2}EF\).

Vậy M, B, D cùng nằm trên trung trực đoạn AC hay M, B, D thẳng hàng.

b) Từ giả thiết và câu a ta có: ΔECF vuông cân tại C.

Vì M là trung điểm EF nên ME = MF

Mà CM = \(\frac{1}{2}EF\) = ME = MF

Nên ΔMEC vuông cân tại M.

Ta có: \(\widehat {ACE}\,\,\)= 45° – \(\widehat {BCE}\,\)

\(\widehat {BCM}\,\)=  45° – \(\widehat {BCE}\,\)

Suy ra: \(\widehat {ACE}\, = \,\widehat {BCM}\,\).

Ta có:

S_BCD = \(\frac{1}{2}\)S_ACDB = \(\frac{1}{2}\). 3 . 3 = 4,5 (cm²)

S_DEF = \(\frac{1}{2}\)S_DEGF = \(\frac{1}{2}\). 5 . 5 = 12,5 (cm²)

Vậy diện tích phần tô đậm là: 12, 5 + 4,5 = 17 (cm²).

Gọi số bị chia là a; số chia là b

Thương của 2 số là: a : b = 11 hay a = 11b

Ta có: (a – 195) : b = 11 – 3 = 8

⇔ a – 195 = 8b

⇔ 11b – 195 = 8b

⇔ 3b = 195

⇔ b = 65

Suy ra a = 715.

Vậy số bị chia bằng 715.

Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC (M là trung điểm AB, N là trung điểm của AC). Suy ra: MN // BC

Xét tam giác ABP có:

M là trung điểm AB

MI // BP

Suy ra: MI là đường trung bình của tam giác ABP

Nên I là trung điểm của AP hay IA = IP

Và IM = \(\frac{1}{2}\)PB (1)

Xét tam giác ACP có: AN = NC; IA = IP nên IN là đường trung bình của tam giác APC.

Suy ra: IN = \(\frac{1}{2}\)PC (2)

Mặt khác: PB = PC (P là trung điểm BC) (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra: IM = IN hay I là trung điểm MN.

Áp dụng công thức: \(\frac{a}{{\sin \,A}}\, = \,\frac{b}{{\sin \,B}}\,\, = \,\,\frac{c}{{\sin \,C}}\, = \,2R\)

sin²a = sin²b + sin²c

\({\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{2R}}} \right)^2}\)

a² = b² + c²

Suy ra: tam giác ABC vuông tại A.

Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt BC tại I.

Ta có: IB = IA = IC (tính chất các tiếp tuyến cắt nhau)

Xét tam giác ABC có: IA = IB = IC hay IA = \(\frac{1}{2}BC\)nên tam giác ABC vuông tại A.

Suy ra: \(\widehat {BAC}\) = 90°.

Ta có: \(\overline {abcabc} \, = \,1000\,.\,\overline {abc} + \,\overline {abc} \, = \,1001\,.\,\overline {abc} \)

Vì 1001 chia hết cho 7, 11 và 13 nên 1001 . \(\overline {abc} \) chia hết cho 7, 11 và 13

Vậy \(\overline {abcabc} \) chia hết cho 7, 11 và 13 hay \(\overline {abcabc} \) là bội của 7, 11 và 13.