5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 41)

Lời giải:

Gọi số nhân với 39 là a, ta có tích riêng thứ nhất là 9a, tích riêng thứ hai là 3a.

Vì đặt nhân nhầm các tích riêng thẳng cột nên tích sai là 9a + 3a = 259,2.

Hay 12a = 259,2 ⇒a = 259,2 : 12 = 21,6.

Vậy tích đúng của phép nhân đó là: 21,6.39 = 842,4.

Lời giải:

1 chiếc áo hết số vải là: 19,5 : 13 = 1,5 (m)

1 cái quần hết số vải là:12,6 : 12 = 1,05 (m)

May 1 bộ quần áo hết số m vải là:1,5 + 1,05 = 2,55 (m).

Lời giải:

1km ô tô đó tiêu thụ hết số lít xăng là:12,5:100=0,125 (lít).

60km ô tô tiêu thụ hết số lít xăng là:60× 0,125=7,5 (lít).

Lời giải:

Gọi số bị chia cũ là a; số chia cũ là b.

Do đó, số chia mới là: 18b

Gọi thương mới là n.

Theo đề bài, ta có:a:b=468.

Giả sử a:18b =n

 a :18:b=n

(a:b):18=n

Nên 468:18=n⇒ n=26.

Vậy nếu giữ nguyên số bị chia và số chia gấp 18 lần thì thương mới là 26.

Lời giải:

Các số a thỏa mãn – 7 < a ≤ 7 là – 6; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

Tổng là: (–6) + (–5) + (–4) + ... + 7 = 7.

Lời giải:

Trung bình mỗi giờ xe máy đi: 121 : 4 = 30,25 (km)

Trung bình mỗi giờ ô tô đi:111 : 2 = 55,5 (km)

Trung bình mỗi giờ ô tô đi hơn xe máy:55,5 – 30,25 = 25,25 (km).

Lời giải:

Ta có: \(\left( {\overline {abc} + \overline {dba} } \right):\overline {aa} = \overline {aa} \) nên \(\left( {\overline {abc} + \overline {dba} } \right) = \overline {aa} .\overline {aa} = 121a.a\)

Vì \(\overline {abc} + \overline {dba} < 2000\) nên a.a.121 < 2000 ⇒ a.a < 17 nên \(a \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

TH1: a = 1, ta có: \(\overline {abc} + \overline {dba} = 1.1.121 = 121 < 2000\)

Mà \(\overline {abc} + \overline {dba} \) không thể nhỏ hơn 200 nên loại

TH2: a = 2, ta có: \(\overline {abc} + \overline {dba} = 2.2.121 = 484 < 2000\)

Ở hàng đơn vị ta có c + a = c + 2 = 4 thì c = 2

Ở hàng chục ta có: b + b = 8 ⇔ b = 4 ⇒ d = 2 hoặc b + b = 18 ⇔ b = 9 ⇒ d = 1.

Vậy a = 2, b = 4, c = 2, d = 2 hoặc a = 2, b = 9, c = 2, d = 1.

TH3: a = 3, ta có: \(\overline {abc} + \overline {dba} = 3.3.121 = 1089 < 2000\)

Ở hàng đơn vị ta có c + a = c + 3 = 9 thì c = 6

Ở hàng chục ta có: b + b = 8 ⇔ b = 4 ⇒ d = 7 hoặc b + b = 18 ⇔ b = 9 ⇒ d = 6.

Vậy a = 3, b = 4, c = 6, d = 7 hoặc a = 3, b = 9, c = 6, d = 6.

TH4. a = 4, ta có:\(\overline {abc} + \overline {dba} = 4.4.121 = 1936 < 2000\)

Vì \(\overline {abc} = \overline {4bc} < 500\) và \(\overline {dba} < 1000\) nên \(\overline {abc} + \overline {dba} \) < 1500 < 1936.

Do đó trường hợp này loại.

Lời giải:

Hiệu số phần bằng nhau là:5–1=4(phần).

4 lần số hạng thứ nhất là:329,3–102,1=227,2.

Số thứ nhất là:227,2:4=56,8.

Số thứ hai là:102,1–56,8=45,3.

Lời giải:

35,8 + x × 4 = 100

x × 4 = 100– 35,8

x × 4 = 64,2

x= 64,2 : 4

x = 16,05.

Lời giải:

\(y' = 4{x^3} + 3m{x^2} - 4x - 3m = \left( {x - 1} \right)\left[ {4{x^2} + \left( {4 + 3m} \right)x + 3m} \right]\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{4{x^2} + \left( {4 + 3m} \right)x + 3m = 0\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Hàm số có 2 cực tiểu ⟺ y có 3 cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt

⟺ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta = {{\left( {3m - 4} \right)}^2} > 0}\\{4 + 4 + 3m + 3m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ne \pm \frac{4}{3}\)

Giả sử: Với \(m \ne \pm \frac{4}{3} \Rightarrow y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\)

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực tiểu

Vậy hàm số có 2 cực tiểu khi \(m \ne \pm \frac{4}{3}\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = - 2}\\{\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = - \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 10}}{2} = 9}\end{array}} \right.\).

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là (–2; 9) không thuộc đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x \Rightarrow m = - 3\) (không thỏa mãn)

Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Lời giải:

Hàm số \(y = 5{x^2} - 6x + 7\) là một parabol có hoành độ đỉnh \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{5}\) và a = 5 > 0. Nên hàm số có giá trị nhỏ nhất khi \(x = \frac{3}{5}\).

Lời giải:

Ta có:x–12–15=20–17–x

2x=30

x=15

Vậy x=15.

Lời giải:

Tập hợp các ước của 20, ta có: Ư(20) ={1; 2; 4; 5; 10; 20}. 

Vì x > 8 nên suy ra có 2 ước thỏa mãn yêu cầu là:10 và 20.

Lời giải:

5.(12 – x) – 20 = 30

5.(12 – x) = 50

12 – x = 50 : 5

12 – x = 10

x = 12 – 10

x = 2

Vậy x=2.

Lời giải:

Ta có:

VP = \(\left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) - \left( {a + d} \right)\left( {b + c} \right)\)

\( = a\left( {c + d} \right) + b\left( {c + d} \right) - a\left( {b + c} \right) - d\left( {b + c} \right)\)

\( = a.c + a.d + b.c + b.d - a.b - a.c - d.b - d.c\)

\( = a.d + b.c - a.b - d.c\)

\( = a\left( {d - b} \right) + c\left( {b - d} \right) = \left( {d - b} \right)\left( {a - c} \right) = VP\).

Lời giải:

a. Thể tích hồ bơi là: V = 12.5.3 = 180 (m³).

b. Diện tích cần lát gạch xung quanh là: \(S = {S_{xq}} + {S_{day}} = 2.3.\left( {12 + 5} \right) + 12.5 = 162\left( {{m^2}} \right)\)

c. Đổi 50cm = 0,5m

Diện tích 1 viên gạch là: 0,5.0,5 = 0,25 (m²).

Cần mua ít nhất số viên gạch để lát bên trong hồ bơi là: 162 : 0,25 = 648(viên).

Lời giải:

\(x\left( {\frac{1}{{10.11}} + \frac{1}{{11.12}} + \frac{1}{{12.13}} + \frac{1}{{13.14}} + \frac{1}{{14.15}}} \right) = 67,3\)

\( \Leftrightarrow x\left( {\frac{1}{{10}} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{13}} - \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{14}} - \frac{1}{{15}}} \right) = 67,3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left( {\frac{1}{{10}} - \frac{1}{{15}}} \right) = 67,3 \Leftrightarrow x.\frac{1}{{30}} = 67,3\\ \Leftrightarrow x = 67,3:\frac{1}{{30}} \Leftrightarrow x = 2019\end{array}\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Số dư là: 121,23 – 8,65 × 14 = 0,13.

Đáp số: 0,13.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: 6,25 : 25 = 0,25.

Do đó 15,5 + 6,25 : 25 = 15,5 + 0,25 = 15,75.

Lời giải:

0,8 × 96 + 1,6 × 2

= 0,8×96+0,8 × 2×2

= 0,8×96+0,8 × (2×2)

= 0,8 × 96 + 0,8 × 4

= 0,8 × (96 + 4)

=0,8 × 100

= 80.

Lời giải:

3,6 : 0,5 + 1,8 × 8 + 3,6 : 0,25

= 1,8 × 2 × 2 + 1,8 × 8 + 1,8 × 2 × 4

= 1,8 × (2 × 2) + 1,8 × 8 + 1,8 × (2 × 4)

= 1,8 × 4 + 1,8 × 8 + 1,8 × 8

= 1,8 × (4 + 8 + 8)

= 1,8 × 20

= 36.

Lời giải:

2x – (–17) = 15

2x + 17 = 15

2x = 15 – 17

2x = –2

x = \(\frac{{ - 2}}{2}\)

x = –1.

Lời giải:

Ta có:

Như vậy, số dư của phép chia 37,99:16 nếu lấy đến 2 chữ số ở phần thập phân của thương là 7.

Lời giải:

Ta có: a chia cho 3 dư 1 ⇒ a = 3q + 1 (q ∈ ℕ)

b chia cho 3 dư 2 ⇒ b = 3k + 2 (k ∈ ℕ)

a.b = (3q +1)(3k + 2) = 9qk + 6q + 3k + 2

Vì 9 ⋮ 3 nên 9qk ⋮ 3

Vì 6 ⋮ 3 nên 6q ⋮ 3

Vì 3 ⋮ 3 nên 3k ⋮ 3

Vậy a.b = 9qk + 6q + 3k + 2 = 3(3qk + 2q + k) +2 chia cho 3 dư 2 (đpcm).

Lời giải:

(131,4 – 80,8) : 2,3 + 21,84 × 2

= 50,6 : 2,3 + 43,68

= 22 + 43,68

= 65,68.

Lời giải:

Khi dời dấu phẩy của số bé sang trái một hàng tức là ta đã giảm số đó đi 10 lần. Nếu số bé mới bằng 1 phần thì số bé cần tìm bằng 10 phần như thế. 

Ta nhận thấy : 55,22 – 37,07 chính là 11 phần.

Số bé là : (55,22 – 37,07) : 11 × 10 = 16,5 

Số lớn là : 55,22 – 16,5 = 38,72. 

Đáp số: Số lớn: 38,72. Số bé: 16,5.

Lời giải:

Khi dời dấu phẩy của số lớn sang trái 1 hàng tức là ta đã giảm số đó đi 10 lần.

Ta có sơ đồ:

Ta có: \(\frac{1}{{10}}\) số lớn + số bé = 11,955

Mà số lớn – số bé = 5,37.

Do đó 11 lần của \(\frac{1}{{10}}\) số lớn là: 11,955 + 5,37 = 17,325

Số lớn là: 17,325 : 11 × 10 = 15,75.

Số bé là : 15,75 – 5,37 = 10, 38.

Đáp số: Số lớn: 15,75; Số bé: 10,38.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \)

Nếu viết số 0 vào giữa hai chữ số của số đó ta được số mới là \(\overline {a0b} \)

Ta có \(\overline {a0b} = \overline {ab} .7\)

a × 100 + b = (a × 10 + b) × 7              (phân tích cấu tạo số)

a × 100 + b = a × 70 + b × 7                 (Bỏ ngoặc ở vế phải)

a × 30 = b × 6                                       (trừ cả hai vế cho a × 70 + b)

a × 5 = b                                               (Chia cả 2 vế cho 6)

Vậy a = 1 và b = 5.

Đáp số: 15.

Lời giải:

Đổi 12 kg = 12000 g.

Không tính vỏ thì can nặng số kg là:12 000 – 600 = 11 400 (g)

Số nước người ta đổ bớt đi là:11400×\(\frac{1}{3}\)=3800 (g)

Sau khi đổ bớt nước ra ngoài, can nước nặng là:12000 – 3800 = 8200 (g)

Đáp số: 8200 gam.

Lời giải:

Chu vi hình chữ nhật là: (25,4 + 4,6) × 2 = 60 (m)

Diện tích hình chữ nhật là: 25,4 × 4,6 = 116,84 (m²).

Lời giải:

Chiều rộng của hình chữ nhật là \(\frac{4}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}\) (m)

Diện tích của hình chữ nhật là: \(\frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{{12}}{{25}}\) (m²)

Chu vi của hình chữ nhật là:\(\left( {\frac{4}{5} + \frac{3}{5}} \right) \times 2 = \frac{{14}}{5}\) (m).

Đáp số: Diện tích hình chữ nhật: \(\frac{{12}}{{25}}\) m²;

   Chu vi hình chữ nhật:\(\frac{{14}}{5}\) m.

Lời giải:

Mua 1 quyển vở hết số tiền là:24 000:12 = 2 000 (đồng)

Mua 30 quyển vở hết số tiền là:30 × 2000 = 60 000 (đồng).

Đáp số: 60 000 đồng.

Lời giải:

Gọi khoảng cách từ cột đầu tiên đến cột gần nhất không phải trồng lại là a (m). (a > 0).

Vì a chia hết cho 60 và a chia hết cho 45.

Nên a là BCNN(60, 45).

Ta có: 60 = 2² . 3 . 5; 45 = 3² . 5.

⇒ a = BCNN(60, 45) = 2² . 3² . 5= 180.

Mà các cột trồng lại cách nhau 45 m.

Ta có: 180 :45 =4.

Vậy cột gần nhất không phải trồng lại cột thứ 4.

Lời giải:

Vì thương của hai số là 0,6 hay \(\frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\) nên tỉ số của hai số đó là \(\frac{3}{5}\).

Số bé là: 0,6 : (3 + 5) × 3 = 0,225

Số lớn là: 0,6 – 0,225 = 0,375

Đáp số: 0,225 và 0,375.

Lời giải:

+ Nếu x < 5, ta có: \(\left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right| = - x + 5 - x + 7 = - 2x + 12\)

Vì x < 5 ⟺ –2x > –10 nên –2x +12 > 2.

Ta có: \(\left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right| > 2\)

+ Nếu 5 ≤ x ≤ 7, ta có: \(\left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right| = x - 5 - x + 7 = 2\)

+ Nếu x > 7, ta có: \(\left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right| = x - 5 + x - 7 = 2x - 12\)

Vì x > 7 ⟺ 2x > 14 nên 2x – 12 > 2

Do đó \(\left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right| \ge 2\) với mọi x.

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của |x – 5| + |x – 7| bằng 2 khi 5 ≤ x ≤ 7.

Vậy tập hợp các giá trị x cần tìm là X = {5 ≤ x ≤ 7| x ∈ ℚ}.

Lời giải:

a. Gọi I là trung điểm của AC (IA = IC).

+) Xét tam giác vuông BAC \(\left( {\widehat B = 90^\circ } \right)\)

BI là đường tuyến

\( \Rightarrow BI = \frac{1}{2}AC \Rightarrow BI = IA = IC\left( 1 \right)\)

+) Xét tam giác vuông DAC \(\left( {\widehat D = 90^\circ } \right)\)

DI là đường trung tuyến \( \Rightarrow DI = \frac{1}{2}AC \Rightarrow DI = IA = IC\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ⇒ IA = IB = IC = ID

Vậy 4 điểm A , B , C , D cùng thuộc đường tròn tâm I với I là trung điểm của AC.

b. Nối B với D

Xét ∆BDI: Ta có: BI + ID > BD (BĐT tam giác)

Mà BI + ID = AC (do AC là đường kính đường tròn tâm I đi qua B và D)

Vậy AC > BD.

Để AC = BD thì IB + ID = BD, khi đó I phải là trung điểm của BD.

Vậy tứ giác ABCD phải là hình chữ nhật.

Lời giải:

Nhận thấy M, N là 2 đoạn cùng có độ dài bằng 6, nên để \(M \cup N\)là một đoạn có độ dài bằng 10 thì ta có các trường hợp sau:

+) 2m – 1 ≤ m + 1 ≤ 2m + 5 ⟺ m ∈ \(\left[ { - 4;2} \right]\left( 1 \right)\)

Khi đó: \(M \cup N = \left[ {2m - 1;m + 7} \right]\) nên \(M \cup N\)là 1 đoạn có độ dài bằng 10 khi:

\(\left( {m + 7} \right) - \left( {2m - 1} \right) = 10 \Leftrightarrow m = - 2\left( {TM\left( 1 \right)} \right)\)

+) 2m – 1 ≤ m + 7 ≤ 2m + 5 ⟺ m \( \in \left[ {2;8} \right]\left( 2 \right)\)

Khi đó: \(M \cup N = \left[ {m + 1;2m + 5} \right]\) nên \(M \cup N\) là 1 đoạn có độ dài bằng 10 khi:

\(\left( {2m + 5} \right) - \left( {m + 1} \right) = 10 \Leftrightarrow m = 6\left( {TM\left( 2 \right)} \right)\)

Vậy tổng tất cả các giá trị của m để hợp của 2 tập hợp M và N là 1 đoạn có độ dài bằng 10 là –2 + 6 = 4.

Lời giải:

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{mx + y = 3m - 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{x + my = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

PT (1)⇒ y = –mx + 3m – 1

Thay và PT (2) ta có:

x + m(–mx + 3m – 1) = m + 1

\( \Leftrightarrow \left( {1 - {m^2}} \right)x + 3{m^2} - 2m - 1 = 0\left( * \right)\)

a. Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow 1 - {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).

b. Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì phương trình (*) có vô số nghiệm

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - {m^2} = 0}\\{3{m^2} - 2m - 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow m = 1\).

c. Để hệ phương trình vô nghiệm thì phương trình (*) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - {m^2} = 0}\\{3{m^2} - 2m - 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - 1\).

Lời giải:

a. Do (2; 5) ⊂ [–3 ; 7] nên [–3; 7] ∩ (2; 5) = (2; 5)

Vậy [– 3; 7] ∩ (2; 5) = (2; 5) và được biểu diễn là:

b. Ta có: (– ∞; 0] = {x ∈ℝ| x ≤ 0}

(–1 ; 2) = {x ∈ℝ | –1 < x < 2}

Khi đó (– ∞; 0] ∪ (–1; 2) = {x ∈ℝ| x ≤ 0 hoặc – 1 < x < 2} = {x ∈ℝ |x < 2} = (– ∞; 2).

Vậy (–∞; 0] ∪ (–1; 2) = (–∞; 2) và được biểu diễn là:

c) Tập hợp ℝ \ (–∞; 3) là tập hợp các số thực không thuộc khoảng (–∞; 3).

Vậy ℝ \ (–∞; 3) = [3; +∞) và được biểu diễn là:

Lời giải:

a. (−∞;1)∩(0; +∞)=(0;1)

Biểu diễn trên trục số, ta được:

b. (4;7]∪(−1;5)=(−1;7]

c.(4;7]\(−3;5]=(5;7]

Lời giải:

12 số nguyên dương đầu tiên là:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12.

Tích của 12 số nguyên dương đầu tiên là :

1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 11 . 12 = 479 001 600

Ba chữ số tận cùng của tích 12 số nguyên dương đầu tiên là: 600.

Lời giải:

x,y × 9,9 = xx,yy

⇔ 10 × x,y × 10 × 9,9 = 100 × xx,yy

⇔xy × 99 = xxyy

⇔(10x+y) × 99 = 1000x + 100x + 10y + y

⇔990x + 99y = 1100x + 11y

⇔88y = 110x

⇔ (88 : 22) × y = (110 : 22) × x

⇔4×y = 5×x

Vậy nên y = 5; x = 4.

Lời giải:

x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10

⇔ x² + y² + 4z² + 2xy – 4xz – 4yz + 4y² + 4yz + z² + z² = 10

⇔ (x + y – 2z)² + (2y + z)² + z² = 10   (1)

Vì x, y, z là các số nguyên nên (x + y – 2z)², (2y + z)², z² là các số chính phương.

Ta có 10 = 0 + 1 + 9.

Trường hợp 1: z² = 0 ⇔ z = 0.

Khi đó ta có (2y)² = 1 hoặc (2y²) = 9.

Lúc này không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 2: (2y + z)² = 0 ⇔ z = –2y.

Suy ra z² = (–2y)² = 1 hoặc z² = (–2y)² = 9.

Tương tự trường hợp 1, ta cũng không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 3: (x + y – 2z)² = 0.

Khi đó phương trình (1) tương đương với: 

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y - 2z} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {2y + z} \right)}^2} = 1}\\{{z^2} = 9}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y - 2z} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {2y + z} \right)}^2} = 9}\\{{z^2} = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2z = 0}\\{2y + z = 1}\\{z = \pm 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2z = 0}\\{2y + z = 9}\\{z = \pm 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7}\\{y = - 1}\\{z = 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8}\\{y = 2}\\{z = - 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{y = 4}\\{z = 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 7}\\{y = 5}\\{z = - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Vậy (x; y; z) ∈ {(7; –1; 3); (–8; 2; –3); (–2; 4; 1); (–7; 5; –1)}.

Lời giải:

Ta có: xy + yz + xz = 1 \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1 = {x^2} + xy + yz + xz = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}\\{{y^2} + 1 = {y^2} + xy + yz + xz = \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)}\\{{z^2} + 1 = {z^2} + xy + yz + xz = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}\end{array}} \right.\)

Do đó: \(\sqrt {\frac{{\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} = \sqrt {\frac{{\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = \sqrt {{{\left( {y + z} \right)}^2}} = y + z\) (do y, z dương)

\( \Rightarrow x\sqrt {\frac{{\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} = x\left( {y + z} \right)\).

Tương tự: \(y\sqrt {\frac{{\left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{y^2} + 1}}} = y\left( {x + z} \right);z\sqrt {\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)}}{{{z^2} + 1}}} = z\left( {x + y} \right)\).

Do đó: \(A = x\left( {y + z} \right) + y\left( {x + z} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + xz} \right) = 2\).

Lời giải:

0,125 × 6,94 × 80

= 6,94 × (80 × 0,125)

= 6,94 × (80 : 8)

= 6,94 × 10

= 69,4.

Lời giải:

Ta có: Ư(11) = {±11; ±1}.

11 chia hết cho 2x + 1 khi 2x + 1 là ước của 11.

Ta có các trường hợp sau:

+) 2x + 1 = – 11 ⇒ x = – 6 ∈ ℤ

+) 2x + 1 = 11 ⇒ x = 5 ∈ ℤ

+) 2x + 1 = – 1 ⇒ x = – 1 ∈ ℤ

+) 2x + 1 = 1 ⇒ x = 0 ∈ ℤ

Vậy x ∈ {– 6; – 1; 0; 5}.

Lời giải:

Hai đội công nhân cùng làm thì 1 ngày làm được: \(\frac{1}{4}\) (công việc)

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (ngày)(x>24)

⇒ 1 ngày đội 1 làm được: \(\frac{1}{x}\)(công việc)

⇒ 1 ngày đội 2 làm được: \(\frac{1}{{24}} - \frac{1}{x}\)( công việc)

Theo bài ra: Mỗi ngày đội thứ hai làm được khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội thứ nhất.

⇒Ta có phương trình:

\(\frac{1}{{24}} - \frac{1}{x} = 2.\frac{1}{x} \Rightarrow \frac{{x - 24}}{{24x}} = \frac{{48}}{{24x}}\)
\( \Rightarrow x - 24 = 48 \Rightarrow x = 72\left( {TM} \right)\)

⇒ 1 ngày đội 2 làm được là: \(\frac{1}{{24}} - \frac{1}{{72}} = \frac{1}{{36}}\)(công việc)

⇒ Thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là 36 ngày

Vậy nếu làm 1 mình thì đội 1 làm xong công việc trong 72 ngày; đội 2 trong 36 ngày.

Lời giải:

245,9 × 0,49 –245,9 × 0,58 + 24,59 × 10

=245,9 × 0,49–245,9 × 0,58 +245,9

=245,9 × 0,49 – 245,9 × 0,58 +245,9 × 1

=245,9 × (0,49– 0,58 +1)

=245,9 × 0,91

=223,769.

Lời giải:

28 + 62 × a × (a × 1 – a : 1) + 28 × 8 + 28

= 28 × 1 + 62 × a × 0 + 28 × 8 + 28 × 1

= 28 × 1 + 28 × 8 + 28 × 1

= 28 × (1 + 8 + 1)

= 28 × 10

= 280.

Lời giải:

\(\frac{3}{4}.\frac{8}{9}.\frac{{15}}{{16}}.....\frac{{80}}{{81}}.\frac{{99}}{{100}}\)

\( = \frac{3}{4}.\frac{{4.2}}{{3.3}}.\frac{{5.3}}{{4.4}}......\frac{{8.10}}{{9.9}}.\frac{{11.9}}{{10.10}}\)

\( = \frac{2}{4}.\frac{{11}}{{10}} = \frac{{11}}{{20}}\).

Lời giải:

Ta có:

\(\overline {ababab} = \overline {ab0000} + \overline {ab00} + \overline {ab} \)

\( = \overline {ab} .10000 + \overline {ab} .100 + \overline {ab} \)

\( = \overline {ab} \left( {10000 + 100 + 1} \right)\)

\( = \overline {ab} .10101\)

Vì \(10101 \vdots 3\) nên \(\overline {ab} .10101 \vdots 3\)

Vậy \(\overline {ababab} \vdots 3\) (đpcm).

Lời giải:

a. Ta có: BD là đường kính đường tròn (O) \( \Rightarrow \widehat {DAB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DAC} = 90^\circ \).

Ta cũng có EC là đường kính đường tròn (O') nên \(\widehat {EAC} = 90^\circ \).

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {DAC} + \widehat {EAC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

⇒ 3 điểm A,D,E thẳng hàng (ĐPCM).

b. Ta có: (O) và (O') tiếp xúc nhau tại A nên O,A,O' thẳng hàng

\( \Rightarrow \widehat {CAO'} = \widehat {OAB}\) (đối đỉnh). (1)

Mặt khác, Xét tam giác cân AO'C (do O'A = O'C) có: \(\widehat {CAO'} = \widehat {O'AC}\).  (2)

Tương tự tam giác cân AOB (do OA = OB) có: \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\).  (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: \(\widehat {ACO'} = \widehat {OBA}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Vậy BD // CE.

Lời giải:

Vì b là trung bình cộng của a và c⇒ b = \(\frac{{a + c}}{2}\)⇒ 2b = a + c.

Từ \(\frac{1}{c} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{d}} \right) \Rightarrow \frac{1}{c} = \frac{1}{2}.\frac{{b + d}}{{bd}} \Rightarrow 2bd = c\left( {b + d} \right)\) (*)

Thay 2b = a + c vào (*), ta được (a + c)d = c(b + d)

⇒ ad = bc \( \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (đpcm).

Lời giải:

Hai hình tròn tâm M và N đều có đường kính là:8 : 2 = 4 (cm)

a. Chu vi hình tròn tâm O là:8 × 3,14 = 25,12 (cm)

Chu vi hình tròn tâm M (hoặc tâm N) là:4 × 3,14 = 12,56 (cm)

b. Tổng chu vi của hình tròn tâm M và hình tròn tâm N là:12,56 × 2 = 25,12 (cm).

Vậy tổng chu vi của hình tròn tâm M và hình tròn tâm N bằng chu vi hình tròn tâm O.

c. Diện tích phần tô đậm của hình tròn tâm O bằng diện tích hình tròn tâm O trừ đi tổng diện tích của hình tròn tâm M và hình tròn tâm N.

Diện tích hình tròn tâm O là:4 × 4 × 3,14 = 50,24 (cm²)

Diện tích hình tròn tâm M (hoặc tâm N) là:2 × 2 × 3,14 = 12,56 (cm²)

Diện tích phần đã tô đậm của hình tròn tâm O là:50,24 – 12,56 × 2 = 25,12 (cm²).

Lời giải:

Ta có OI = IA = \(\frac{{OA}}{2} = \frac{8}{2} = 4\,cm\).

Vì OA vuông góc với dây BC tại I nên I là trung điểm của BC (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy).

Ta có: OB là bán kính của (O) nên OB = 8 cm.

Xét ∆BIO vuông tại I, ta có:

\(BI = \sqrt {O{B^2} - O{I^2}} = \sqrt {{8^2} - {4^2}} = \sqrt {64 - 16} = \sqrt {48} = 4\sqrt 3 \)(cm) (áp dụng định lí Pythagore).

\( \Rightarrow BC = 2BI = 2.4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

Lời giải:

a) ∆AQB nội tiếp đường tròn (O)

\( \Rightarrow \widehat {AQB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

⇒ AQ ⊥ QB hay AQ ⊥ BM.

∆ABM vuông tại A (do Ax là tiếp tuyến của (O) nên Ax ⊥ AB) có AQ ⊥ BM, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông suy ra: MA² = MQ . MB (đpcm).

b) ∆ACB nội tiếp đường tròn (O)

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

⇒ AC ⊥ CB. (1)

Ta có: OA = OC (Bán kính của đường tròn tâm O)

Và MA = MC (Hai tiếp tuyến MA, MC cắt nhau tại M)

Suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

⇒ MO ⊥ AC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC // OM (cùng vuông góc với AC).

\( \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {MBC}\) (so le trong).

Hay \(\widehat {IMQ} = \widehat {MBC}\). (3)

Mặt khác: \(\widehat {QAI} = \widehat {MBC}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung QC). (4)

Từ (3) và (4), suy ra \(\widehat {IMQ} = \widehat {QAI}\).

Do M và A cùng nhìn QI cố định dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác AIQM nội tiếp.

c) Do tứ giác AIQM nội tiếp nên suy ra:

\(\widehat {AMI} = \widehat {AQI}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung AI) (5)

Ta có: \(\widehat {IQN} = \widehat {AQB} - \widehat {AQI} = 90^\circ - \widehat {AQI}\) (6).

Xét tam giác AIM vuông tại I có \(\widehat {AMI} + \widehat {MAI} = 90^\circ \).

Và \(\widehat {MAI} + \widehat {IAO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {AMI} = \widehat {IAO}\) (Hai góc cùng phụ với \(\widehat {MAI}\)) (7)

Xét tam giác CAH vuông tại H có:

\(\widehat {CAH} + \widehat {ACH} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ACH} = 90^\circ - \widehat {CAH}\)

Hay \(\widehat {ICN} = 90^\circ - \widehat {IAO}\) (8).

Từ (5), (6), (7) và (8), suy ra \(\widehat {IQN} = \widehat {ICN}\).

Do Q và C cùng nhìn IN cố định dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác IQCN nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {CIN} = \widehat {CQN}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung CN) (*)

Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {CQB}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung CB) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat {CIN} = \widehat {CAH}\).

Suy ra IN // AH (Có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Mà AH ⊥ CH nên suy ra IN ⊥ CH.

Lời giải:

a. Xét ∆ADB và ∆ADC có:

AD cạnh chung

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)(Vì AD là tia phân giác góc A)

AB = AC (gt)

Do đó, ∆ADB = ∆ADC (c.g.c).

b. Theo câu a ta có ∆ADB = ∆ADC \( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \Rightarrow AD \bot BC\).

c. Vì ∆ADB = ∆ADC (Theo câu a)

⇒ BD = CD (2 cạnh tương ứng); \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\)(2 góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ABD} + \widehat {BDH} = 90^\circ ;\widehat {ACD} + \widehat {CDK} = 90^\circ \). Do đó, \(\widehat {BDH} = \widehat {CDK}\).

Xét ∆HBD và ∆KCD có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {CDK}\left( {cmt} \right)\)

BD = CD (cmt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\left( {cmt} \right)\)

Do đó, \(\Delta HBD = \Delta KCD\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow DH = DK\)(2 cạnh tương ứng).

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{B^2} = BH.BC}\\{A{C^2} = CH.BC}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH.BC}}{{CH.BC}} = \frac{{HB}}{{HC}}\). (đpcm)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(BD.BA = B{H^2} \Leftrightarrow BD = \frac{{H{B^2}}}{{AB}}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(CE.CA = C{H^2} \Leftrightarrow EC = \frac{{H{C^2}}}{{AC}}\)

Ta có: \(\frac{{BD}}{{EC}} = \frac{{H{B^2}}}{{A{B^2}}}:\frac{{H{C^2}}}{{AC}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{EC}} = \frac{{H{B^2}}}{{AB}}.\frac{{AC}}{{H{C^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{EC}} = {\left( {\frac{{HB}}{{HC}}} \right)^2}.\frac{{AC}}{{AB}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{EC}} = {\left( {\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}} \right)^2}.\frac{{AC}}{{AB}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{EC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^4}.\frac{{AC}}{{AB}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{EC}} = \frac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}}.\frac{{AC}}{{AB}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{EC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\). (đpcm)