5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 37)
56 câu hỏi
Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807 200 người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh.
* Phân tích:
Năm ngoái | Năm nay | |
Tỉnh A | x | x + x.1,1% = 1,011.x |
Tỉnh B | 4 – x | (4 – x) + (4 – x).1,2% = (4 – x).1,012 |
Dân số tỉnh A năm nay nhiều hơn dân số tỉnh B là 807 200 người = 0,8072 (triệu người) nên ta có phương trình:
1,011.x – 1,012.(4 – x) = 0,8072.
Gọi x là số dân năm ngoái của tỉnh A (0 < x < 4; x ∈ ℕ*; triệu người)
Số dân năm ngoái của tỉnh B là 4 – x (triệu người).
Năm nay dân số của tỉnh A tăng 1,1% nên số dân của tỉnh A năm nay là:
x + 1,1% x = 1,011.x (triệu người).
Năm nay dân số của tỉnh B tăng 1,2 % nên số dân của tỉnh B năm nay là:
(4 – x) + 1,2% (4 – x) = 1,012(4 – x) (triệu người).
Vì số dân tỉnh A năm nay hơn tỉnh B là 807 200 người = 0,8072 triệu người nên ta có phương trình:
1,011.x – 1,012(4 – x) = 0,8072
⇔ 1,011x – 4,048 + 1,012x = 0,8072
⇔ 2,023. x = 4,8552
⇔ x = 2,4 (thỏa mãn).
Vậy dân số của tỉnh A năm ngoái là 2,4 triệu người, dân số tỉnh B năm ngoái là 4 – 2,4 = 1,6 triệu người.
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – xy + 2x – 2y.
b) x2 + 10xy – 25 + 25y2.
a) x2 – xy + 2x – 2y
= x(x – y) + 2 (x – y)
= (x – y)(x + 2).
b) x2 + 10xy – 25 + 25y2
= (x2 + 10xy + 25y2) – 25
= (x + 5y)2 – 25
= (x + 5y + 5)(x + 5y – 5).
Cho biểu thức P=1x−x+1x−1:xx−2x+1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để P>12.
a) Với x > 0 và x ≠ 1 ta có:
P=1x−x+1x−1:xx−2x+1
=1xx−1+1x−1:xx−12
=1+xxx−1.x−12x
=x+1x−1x=x−1x
Vậy với x > 0 và x ≠ 1 thì P=x−1x.
b) Với x > 0 và x ≠ 1, để P>12 thì x−1x>12
⇔x−1x−12>0
2x−2−x2x>0
⇔x−22x>0
⇔x−2>0 (do x>0)
⇔x>2
Kết hợp điều kiện x > 0 và x ≠ 1, ta được x > 2.
Vậy x > 2 thì P>12.
Cho biểu thức P=15x−11x+2x−3+3x−21−x−2x+3x+3
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của x sao cho P<12.
c) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức P nguyên.
a) Điều kiện xác định: x≥0,x≠1.
P=15x−11x+2x−3+3x−21−x−2x+3x+3
Vậy với x≥0,x≠1 thì P=2−5xx+3.
b) Với x≥0,x≠1, để P<12 thì 2−5xx+3−12<0
⇔22−5x−x+32x+3<0
⇔4−10x−x−32x+3<0
⇔1−11x2x+3<0
⇔1−11x<0 (do 2x+3>0)
⇔x>111⇔x>1121
Kết hợp điều kiện x≥0,x≠1 ta được x>1121,x≠1.
c) Với x≥0,x≠1 ta có P=2−5xx+3=17−5x+3x+3=17x+3−5.
Với x là số nguyên, để P có giá trị nguyên thì 17x+3 có giá trị nguyên
⇔x+3∈ Ư(17) = {1; 17; –1; –17}.
Mà x≥0,x≠1 nên x+3≥3, do đó x+3=17
⇔x=14⇔x=196 (tm)
Vậy x = 196 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng nếu xóa chữ số 2 ở hàng trăm của số đó thì được số mới bằng 19 số đó.
Nếu xóa chữ số 2 ở hàng phần trăm đi ta được số mới kém số đầu 200 đơn vị.
Số mới bằng 19 số ban đầu thì nếu số mới là 1 phần thì số cũ là 9 phần và hơn kém nhau 200 đơn vị.
Vậy số ban đầu là: 200 : (9 – 1) × 9 = 225.
Tìm số nguyên x, y biết xy – 2x – 3y = 1.
Ta có: xy – 2x + 3y = 1.
⇔ (xy − 2x) + (3y − 6) = −5
⇔ x(y − 2) + 3(y − 2) = −5
⇔ (x + 3)(y − 2) = −5 = 1.(−5) = (−1).5
Vì x, y là số nguyên nên x + 3 và y – 2 cũng là số nguyên.
Do đó ta có bảng sau:
x + 3 | 1 | –5 | 5 | –1 |
y – 2 | –5 | 1 | –1 | 5 |
x | –2 | –8 | 2 | –4 |
y | –3 | 3 | 1 | 7 |
Vậy (x; y) ∈ {(−2; −3); (−8; 3); (2; 1); (−4; 7)}.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết ACAB=2, HC – HB = 2. Tính:
a) Tỉ số HCHB.
b) AB, BC, CA.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: y = 4sin2x – 4sinx + 3.
Tập xác định: D = ℝ.
y = 4sin2x – 4sinx + 3
= 4sin2x – 4sinx + 1 + 2
= (2sinx – 1)2 + 2.
Ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1
⇔ –2 ≤ 2sinx ≤ 2
⇔–2 ≤ 2sinx ≤ 2
⇔ –3 ≤ 2sinx – 1 ≤ 1
⇔ 0 ≤ (2sinx – 1)2 ≤ 1
⇔ 2 ≤ (2sinx – 1)2 + 2 ≤ 3
⇔ 2 ≤ y ≤ 3
Khi đó giá trị nhỏ nhất của y là 2, xảy ra khi và chỉ khi (2sinx – 1)2 = 0
⇔sinx=12⇔x=π6+k2πx=5π6+k2π
Khi đó giá trị lớn nhất của y là 3, xảy ra khi và chỉ khi sinx = 1 ⇔x=π2+k2π.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 4sin2x – 4sinx + 1.
Tập xác định: D = ℝ.
y = 4sin2x – 4sinx + 1
= (2sinx – 1)2.
Ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1
⇔ –2 ≤ 2sinx ≤ 2
⇔ –2 ≤ 2sinx ≤ 2
⇔ –3 ≤ 2sinx – 1 ≤ 1
⇔ 0 ≤ (2sinx – 1)2 ≤ 1
⇔ 0 ≤ y ≤ 1
Khi đó giá trị nhỏ nhất của y là 0, xảy ra khi và chỉ khi (2sinx – 1)2 = 0
⇔sinx=12⇔x=π6+k2πx=5π6+k2π
Khi đó giá trị lớn nhất của y là 1, xảy ra khi và chỉ khi sinx = 1 ⇔x=π2+k2π.
Tập nghiệm S của phương trình cos2x – 3cosx = 0 là
S=−π2;
S=π2+k2π,k∈ℤ;
S=π2;
S=π2+kπ,k∈ℤ.
Đáp án đúng là: D
cos2x – 3cosx = 0
Û cosx (cosx – 3) = 0
⇔cosx=0cosx=3loai
⇔x=π2+kπ,k∈ℤ.
Vậy phương trình có tập nghiệm S=π2+kπ,k∈ℤ.
Giải phương trình: cos2x + 3cosx = 0.
cos2x + 3cosx = 0
⇔cosx(cosx + 3) = 0
⇔cosx=0cosx=−3loai
⇔x=π2+kπ,k∈ℤ
Vậy phương trình trên có nghiệm là x=π2+kπ,k∈ℤ.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng a2. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tâm O và cạnh bằng a, cạnh bên bằng a. Khoảng cách từ O đến (SAD) bằng bao nhiêu?
a2;
a2;
a6;
a.
Một người đứng trên tháp quan sát của ngọn hải đăng cao 50 m nhìn về hướng Tây Nam, người đó quan sát hai lần một con thuyền đang hướng về ngọn hải đăng. Lần thứ nhất người đó nhìn thấy thuyền với góc hạ là 20°, lần thứ 2 người đó nhìn thấy thuyền với góc hạ là 30°. Hỏi con thuyền đã đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Ta có Bx // AC nên ACB^=20° và ADB^=30°
Khoảng cách giữa con thuyền và tháp quan sát ở lần quan sát thứ nhất là:
AC=AB.cotACB^=50.cot20°
Khoảng cách giữa con thuyền và tháp quan sát ở lần quan sát thứ hai là:
AD=AB.cotADB^=50.cot30°
Vậy con thuyền đã đi được: CD=AC−AD=50cot20°−50cot30°≈50,8 (m).
Cho biểu thức P=x−2x+1. Tìm x để P<12.
Tính tổng của các số nguyên x thỏa mãn −2009<x≤2008.
Ta có: −2009<x≤2008 và x là số nguyên nên ta có:
x ∈ {–2008; –2007; …; –1; 0 ; 1; …; 2007; 2008}.
Khi đó tổng của các số nguyên x thỏa mãn −2009<x≤2008 là:
–2008 + (–2007) + …+ (–1) + 0 + 1 + … + 2007 + 2008
= [(–2008) + 2008] + [(–2007) + 2007] + …+ [(–1) + 1] + 0
= 0.
Chứng minh các hệ thức:
a) 1+tan2a=1cos2a;
b) 1+cot2a=1sin2a.
Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=5x+3y+10x+8y.
Cho đường tròn (O) dây cung BC (BC không là đường kính). Điểm A di động trên cung nhỏ BC (A khác B và C, độ dài cạnh AB khác AC). Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O), D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hai điểm E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến AA'.
a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, D, E cùng nằm trên 1 đường tròn.
b) Chứng minh BD.AC = AD.A'C.
a) Vì BE ⊥ AA' suy ra BEA^=90°
AD ⊥ BC suy ra ADB^=90°
Suy ra tứ giác AEDB có BEA^=ADB^ cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc bằng 90°.
Suy ra tứ giác AEDB nội tiếp.
Hay 4 điểm A, B, D, E cùng nằm trên 1 đường tròn.
b) Xét tam giác ACA' và tam giác ADB có:
ABD^=CA'F^ (cùng chắn cung AC)
ADB^=A'CA^=90°
Do đó ΔACA'∽ΔADBg.g
Suy ra ACAD=A'CBD (tỉ số đồng dạng)
Hay BD.AC = AD.A'C.
sin15° bằng bao nhiêu?
Cho sin15°=6−24.
a) Tính sin75°, cos105°, tan165°.
b) Tính giá trị của biểu thức: A = sin75°. cos165° + cos105°. sin165°.
Trong khai triển nhị thức (3 + 0,02)7. Tìm tổng của ba số hạng đầu tiên.
2289,3283;
2291,1012;
2275,93801;
2291,1141.
Ta có: (3 + 0,02)7 = C70.37+C71.36.0,02+C72.35.0,022+...
Tổng ba số hạng đầu tiên là:
C70.37+C71.36.0,02+C72.35.0,022=2291,1012.
Chọn B
Cho hình thang ABCD có đáy AB, DC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Chứng minh MN // DC và MN=12AB+DC.
Ta có: MA = MB (Vì M là trung điểm của AD);
NB = NC (Vì N là trung điểm của BC)
Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD với AB // CD.
⇒MN=12AB+DC và MN // AB // CD.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau.
b) Chứng minh AM vuông góc với BC.
c) Chứng minh AM là phân giác của góc A.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC=a2. Tính CA→.CB→.
a2;
a;
a22;
a2.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh AB = a. Khi đó 2AB→−AC→ bằng
a5;
a2;
a3;
a.
Đáp án đúng là: A
Lấy D sao cho AD→=2AB→. Khi đó AD=2AB= a.
Khi đó 2AB→−AC→=AD→−AC→=CD→=CD=AC2+AD2=a2+2a2=a5.
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) là hình gì?
Thiết diện là hình thang cân;
Thiết diện là hình bình hành;
Thiết diện là hình tam giác;
Thiết diện là hình tứ giác không có cặp cạnh nào song song.
Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.
a) Chứng minh tứ giác ABHM nội tiếp.
b) Chứng minh OA.OB = OH.OM = R2.
c) Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.
a) Do ME, MF là tiếp tuyến với đường tròn suy ra ME = MF nên M thuộc đường trung trực của EF.
Ta có OE = OF nên O thuộc đường trung trực của EF.
Do đó OM là đường trung trực của EF.
Þ EF ⊥ OM.
Tứ giác ABHM có BAM^=BHM^=90° , mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác này nội tiếp đường tròn bán kính MB.
b) Xét DOHB và DOAM có:
OHB^=OAM^=90°;MOA^ chung
⇒ΔOHB∽ΔOAMg.g
⇒OHOA=OBAM (tỉ số đồng dạng)
Þ OA.OB = OH.OM (1)
Xét DOHE và DOEM có:
OHE^=OEM^=90°; MOE^ chung
⇒ΔOHE∽ΔOEMg.g
⇒OHOE=OEOM (tỉ số đồng dạng)
Þ OH.OM = OE2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra OA.OB = OH.OM = OE2 = R2.
c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.
Ta có: MFI^=FEI^ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung FI)
Do EF ⊥ OM nên FI⏜=EI⏜ suy ra FEI^=EFI^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
⇒MFI^=EFI^
Suy ra FI là phân giác của MFE^.
Lại có MI là phân giác của góc EMF^ (do ME, MF là tiếp tuyến của (O)).
Do đó I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác MEF.
Þ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Mà I thuộc đường tròn (O) cố định. Suy ra đpcm.
d) Diện tích tam giác HBO là: S=12HO.HB
Xét DOHB và DOAM có:
OHB^=OAM^=90°; AOM^ là góc chung
⇒ΔOHB∽ΔOAMg.g
Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy điểm M. Qua M kẻ hai tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn (O; R) tiếp điểm lần lượt là E và F. Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.
a) Chứng minh OM vuông góc với EF.
b) Cho biết R = 6cm, OM = 10cm. Tính OH.
c) Chứng minh 4 điểm A, B, H, M cùng thuộc một đường tròn.
d) Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M chuyển động trên d.
Cho (O) đường kính AB = 10cm, C là 1 điểm trên đường tròn (O) sao cho AC = 6cm. Vẽ CH vuông góc với AB (H thuộc AB).
a) Tính AH và góc ABC.
b) Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D. Chứng minh rằng OD vuông góc với BC.
c) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh CE.CB = AH.AB.
d) Gọi I là trung điểm của CH tia BI cắt AE tại F. Chứng minh FC là tiếp tuyến của (O).
a) Xét DABC có C thuộc đường tròn đường kính AB nên ACB^=90°
Do đó DABC vuông tại C.
b) Do DB, DC là tiếp tuyến với đường tròn suy ra DB = DC nên D thuộc đường trung trực của BC.
Ta có OB = OC nên O thuộc đường trung trực của BC.
Do đó OD là đường trung trực của BC.
Þ OD ⊥ BC.
c) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông EAB ta có: AC2 = CE.CB
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có: AC2 = AH.AB
Suy ra CE.CB = AH.AB.
d) Ta có: CH ⊥ AB, EA ⊥ AB nên CH // AB.
Xét DABF có IH // FA, theo hệ quả định lí Thalès ta có:BIBF=IHFA.
Xét DEBF có CI // EF, theo hệ quả định lí Thalès ta có: BIBF=CIEF.
⇒IHFA=CIEF, mà IH = CI (do I là trung điểm của CH)
Þ FA = EF, hay F là trung điểm của AE
Xét DACE vuông tại C có đường trung tuyến CF nên FA = FC = FE.
Xét DOAF và DOCF có:
FA = FC (cmt); FO là cạnh chung; OA = OC (cùng bằng bán kính)
Do đó DOAF = DOCF (c.c.c)
⇒OAF^=OCF^=90°
Þ FC ⊥ OC, mà C thuộc đường tròn (O)
Do đó FC là tiếp tuyến của (O).
Giả sử A, B, C là ba góc của tam giác ABC, chứng minh rằng:
sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: sinA+sinB+sinC≤332.
Có bao nhiêu phân số với mẫu số có 2 chữ số tương đương với 15?
Mẫu số bé nhất có hai chữ số mà chia hết cho 5 là 10.
Mẫu số lớn nhất có hai chữ số mà chia hết cho 5 là 95.
Vậy có số các phân số bằng 15 có mẫu số là số có 2 chữ số là (95 – 10) : 5 + 1 = 18.
Cho đường tròn tâm O, bán kính R, điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với đường tròn tại A lấy K cố định. Một đường thẳng d đi qua K và không đi qua tâm O cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C (B nằm giữa C và K). Gọi M trung điểm BC
a) Chứng minh 4 điểm A, O, M, K cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Vẽ đường kính AN của đường tròn tâm O. Đường thẳng qua A và vuông góc BC cắt MN tại H. Chứng minh tứ giác BHCN là hình bình hành.
c) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
d) Khi đường thẳng d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài thì H di động trên đường nào?
Cho đường tròn (O; R) và điểm A là một điểm cố định thuộc đường tròn. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A), kẻ dây cung AB vuông góc với OM tại H.
a) Chứng minh BM tiếp tuyến của (O) và bốn điểm A; O; M; B cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Kẻ đường kính AD của (O), đoạn thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là E. Chứng minh MA2 = MH.MO = ME.MD , từ đó suy ra EHM^=ODM^.
Diện tích hình bình hành bằng 24 cm2. Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến các cạnh hình bình hành bằng 2 cm và 3 cm. Tính chu vi của hình bình hành.
Cho hàm số y = (2 – m)x + 3.
a) Tìm m để (d) đi qua điểm A(2; 3).
b) Tìm m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –1.
c) Tìm m để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.
a) Để (d) đi qua điểm A(2; 3) thì:
3 = (2 – m).2 + 3 Û 2.(2 – m) = 0 Û m = 2.
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
b) Để (d) cắt trục hoành thì 2 – m ≠ 0 Û m ≠ 2.
Do (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –1 nên tọa độ giao điểm đó là A(–1; 0).
Do điểm A thuộc (d) nên ta có:
0 = (2 – m).(–1) + 3 Û m – 2 = –3 Û m = –1 (tm).
Vậy m = –1 là giá trị cần tìm.
c) Do (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3 nên tọa độ giao điểm đó là B(0; 3).
Do điểm B thuộc (d) nên ta có:
3 = (2 – m).0 + 3 Û 0.(2 – m) = 0 (luôn đúng với mọi m).
Vậy với mọi giá trị m ∈ ℝ thì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.
Cho hàm số y = (a – 2)x + 5 có đồ thị là đường thẳng d. Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3).
a = –1;
a = 0;
a = –2;
a = 1.
Đáp án đúng là: D
Để đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 3) thì:
3 = (a – 2).2 + 5 Û 2.(a – 2) = –2 Û a – 2 = –1 Û a = 1.
Một chiếc cổng hình parabol dạng y=−12x2 có chiều rộng d = 8 m. Hãy tính chiều cao h của cổng (Xem hình minh họa bên cạnh).
h = 8 m;
h = 7 m;
h = 5 m;
h = 9 m.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng chứa chiều rộng d = 8m cắt (P) tại A(4; –h)
Điểm A ∈ (P) ⇒−h=−12.42⇒h=8m.
Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Văn và 5 học sinh giỏi cả Văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất của biến cố C: “Học sinh được chọn không giỏi Văn và Toán” là:
1532;
78;
12;
Một đáp số khác.
Đáp án đúng là: C
Ta có n(Ω) = 40
Số học sinh giỏi Văn hoặc Toán gồm: học sinh chỉ giỏi Văn, học sinh chỉ giỏi Toán, học sinh giỏi cả Văn và Toán nên bằng
(15 +10) – 5 = 20 (bạn).
Do đó, số học sinh không giỏi cả Toán và Văn là 40 – 20 = 20 bạn, nên n(C) = 20.
Vì vậy PC=nCnΩ=2040=12.
Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Văn và 5 học sinh giỏi cả Văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh.
Xác suất của biến cố A: “Học sinh được chọn giỏi Toán” là:
140;
83;
38;
18.
Đáp án đúng là: C
Ta có n(Ω) = 40 và n(A) = 15.
Do đó PA=nAnΩ=1540=38.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB, AB. Điểm M là một điểm bất kì trên nửa đường thẳng Ax chứa C. Biện luận theo vị trí của điểm M trên Ax các dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJM).
Gọi K là giao điểm của AC và JD.
Khi đó:
• Nếu M ∈ Cx thì thiết diện là hình tam giác;
• Nếu M ∈ KC thì thiết diện là hình tứ giác;
• Nếu M ∈ Cx thì thiết diện là hình ngũ giác.
Cho tam giác AEB vuông tại A, từ điểm C trên cạnh BE kẻ đường vuông góc với BE cắt tia đối của tia AB ở F, cắt AE ở D. Tia phân giác của góc E cắt AB, CD lần lượt ở M, P. Tia phân giác của góc F cắt BC, DA lần lượt ở N và Q. Chứng minh:
a) EM vuông góc với FN.
b) Tứ giác MPNQ là hình thoi.
Cho (O), điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao của BC và DE. Chứng minh AB2 = AI.AH.
d) BH cắt (O) ở K. Chứng minh AE // CK.
Cho đường thẳng (d): y = (m2 – 3)x – m + 1. Tìm m để (d) cắt (d’): y = –2x tại điểm có hoành độ x = 2.
Để (d) cắt (d’) thì m2 – 3 ≠ –2 Û m2 ≠ 1 Û m ≠ ± 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’) là:
(m2 – 3)x – m + 1 = –2x
Û (m2 – 1)x = m – 1
⇔x=m−1m2−1=m−1m−1m+1=1m+1
Để (d) cắt (d’) tại điểm có hoành độ x = 2 thì
1m+1=−2⇒−2m−2=1⇔m=−32tm
Vậy m=−32.
Mỗi giờ ô tô đi được 43,8km. Hỏi trong 5 giờ ô tô đi được số ki lô mét là bao nhiêu?
5 giờ ôtô đi được số ki lô mét là:
43,8 × 5 = 219 (km)
Đáp số: 219 km.
Tính giới hạn: lim11.3+13.5+...+12n−12n+1.
![Tính giới hạn: lim [1/1.3+ 1/3.5+...+ 1/ (2n-1) (2n+1) ] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/05/blobid43-1683645633.png)
Một mảnh đất hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là là 76,4m. Tính diện tích mảnh đất đó, biết đường chéo thứ nhất hơn đường chéo thứ 2 là 4,4m.
Đường chéo lớn hơn có độ dài là: (76,4 + 4,4) : 2 = 40,4 (m).
Đường chéo nhỏ hơn có độ dài là: 40,4 – 4,4 = 36 (m).
Diện tích mảnh đất đó là: 40,4 . 36 : 2 = 727,2 (m2).
Rút gọn phân thức 5x2−10xy22y−x3.
Ta có: 5x2−10xy22y−x3=5xx−2y22y−x3=−5x2y−x22y−x3=−5x22y−x2.
Rút gọn phân thức 5x2−10xy22y−x2.
Ta có: 5x2−10xy22y−x2=5xx−2y2x−2y2=5x2x−2y
Trong một cuộc thi chạy, nếu bạn vượt qua người thứ 2, bạn sẽ đứng thứ mấy?
Trong một cuộc thi chạy, nếu bạn vượt qua người thứ 2 thì bạn vẫn sau người đi đầu thứ nhất, nên bạn vẫn chỉ đứng thứ 2.
Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày. Biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?
Gọi số thợ cần thiết là x (người), x ∈ ℕ* , thời gian cần thiết là y (ngày), y > 0.
Số ngày công cần để hoàn thành công việc là: xy (ngày).
Nếu giảm đi 3 người thì thời gian kéo dài 6 ngày. Như vậy, x – 3 người làm trong y + 6 ngày thì xong công việc. Do đó, ta có phương trình (x – 3)(y + 6) = xy.
Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày. Như vậy, x + 2 người làm trong y – 2 ngày thì xong công việc. Do đó, ta có phương trình: (x + 2)(y – 2) = xy.
Ta có hệ phương trình:
x−3y+6=xyx+2y−2=xy⇔xy+6x−3y−18=xyxy−2x+2y−4=xy
⇔6x−3y=18−2x+2y=4⇔2x−y=6x−y=−2
⇔x=8y=x+2⇔x=8y=10tm
Vậy cần 8 người làm trong 10 ngày thì xong công việc.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF của đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh H, I, F thẳng hàng.
b) Chứng minh AH = 2OI.
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh SΔAHG=2SΔAGO.
Một mảnh đất hình chữ nhật bị xén đi một góc (hình vẽ), phần còn lại có dạng hình tứ giác ABCD với độ dài các cạnh là AB = 15m, BC = 19m, CD = 10m, DA = 20m. Diện tích mảnh đất ABCD bằng bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài 65,3m. Vì mở rộng đường quốc lộ nên miếng đất bị xén đi một góc có dạng hình tam giác (phần tô đậm của hình vẽ). Tính diện tích phần đất còn lại.
Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là:
(2 . 46,5) : 7,5 = 12,4 (m).
Diện tích miếng đất hình chữ nhật ban đầu là:
65,3 . 12,4 = 809,72 (m2)
Vậy diện tích phần đất còn lại là:
809,72 – 46,5 = 763,22 (m2).
Đáp số: 763,22 m2.
