5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 28)

Ta có:

Hay \(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} = \frac{1}{4}\overrightarrow {A{\rm{E}}} \)

Suy ra IJ // AE và IJ = \(\frac{1}{4}\)AE                  

Vậy IJ // AE và IJ = \(\frac{1}{4}\)AE.

a) Điều kiện xác định \[x \ge 0,x \ne 1\]

Ta có :

\(P = \left( {\frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {\frac{{1 + \sqrt {{x^3}} }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\)

Vậy với \[x \ge 0,x \ne 1\] thì \(P = \sqrt x - 1\).

b) Với \[x \ge 0,x \ne 1\] để P = 3 thì \(\sqrt x - 1 = 3\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\) (thỏa mãn)

Vậy x = 16 thì P = 3.

a) Biểu thức P xác định khi

b) Ta có :

a) Xét tam giác AHE có AM vừa là đường cao vừa là trung tuyến

Do đó tam giác AHE cân tại A

Suy ra AH = AE, AH là tia phân giác của \(\widehat {HA{\rm{E}}}\)

Suy ra \(\widehat {HAM} = \widehat {MAE} = \frac{1}{2}\widehat {HA{\rm{E}}}\)

Xét tam giác AHD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến

Do đó tam giác AHD cân tại A

Suy ra AH = AD, AN là tia phân giác của \(\widehat {HA{\rm{D}}}\)

Suy ra \(\widehat {HAN} = \widehat {NAD} = \frac{1}{2}\widehat {HAD}\)

Ta có:

\(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {DAN} + \widehat {NAH} + \widehat {HAM} + \widehat {MA{\rm{E}}} = 2\widehat {NAH} + 2\widehat {HAM} = 2\widehat {BAC} = 2.90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra D, A, E thẳng hàng

b) Xét tam giác EDH có M là trung điểm của EH, N là trung điểm của DH

Suy ra MN là đường trung bình

Do đó MN // DE

c) Xét △AHB và △ADB có

AB là cạnh chung

\(\widehat {HAB} = \widehat {BAD}\)(chứng minh câu a)

AH = AD (chứng minh câu a)

Do đó △AHB = △ADB (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {ADB}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \)

Hay AD ⊥ BD                                   (1)

Xét △AHC và △AEC có

AC là cạnh chung

\(\widehat {HAC} = \widehat {EAC}\)(chứng minh câu a)

AH = AE (chứng minh câu a)

Do đó △AHC = △AEC (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AHC} = \widehat {AEC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AEC} = 90^\circ \)

Hay AE ⊥ EC                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra EC // BD

d) Ta có AD = AH, AE = AH (chứng minh câu a)

Suy ra AD = AE = AH

Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat {ANH} = \widehat {AMH} = \widehat {MAN} = 90^\circ \)

Suy ra AMHN là hình chữ nhật

Do đó \(\widehat {MHN} = 90^\circ \)

Hay tam giác DEH vuông tại H

Vậy AD = AE = AH và DHE vuông tại H.

Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên \(\widehat {\rm{A}} = 90^\circ \)

Tam giác A'B'C' vuông tại A' (theo giả thiết) nên \(\widehat {{\rm{A'}}} = 90^\circ \)

Do đó \(\widehat {\rm{A}} = \widehat {{\rm{A'}}} = 90^\circ \)

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

\(\widehat {\rm{A}} = \widehat {{\rm{A'}}}\) (chứng minh trên);

AB = A'B' (theo giả thiết);

\(\widehat B = \widehat {B'}\) (theo giả thiết).

Vậy DABC = DA’B’C’ (g.c.g). 

Đáp án đúng là D

Ta có: \(4\overrightarrow {BM} - 3\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \)

Vậy ta chọn đáp án D.

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \)

Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \)

b) Vẽ hình bình hành ABMC

Suy ra \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} \)

Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABMC.

Ta có: a² – 2b= c² – 2a

⇔ a² – c² = 2b – 2a

⇔ (a – c)(a + c) = 2(b – a)

⇔ a + c = \(\frac{{{\rm{2(b - a)}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)

⇔ a + c + 2 = \(\frac{{{\rm{2(b - a)}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)+2

⇔ a + c + 2 = \(\frac{{{\rm{2(b - a) + 2(a - c)}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)

⇔ a + c + 2 = \(\frac{{{\rm{2b - 2a + 2a - 2c}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)

⇔ a + c + 2 = \(\frac{{{\rm{2(b - c)}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)

Chứng minh tương tự ta có:

a + b + 2 = \(\frac{{{\rm{2(a - c)}}}}{{{\rm{a - b}}}}\) và b + c + 2 = \(\frac{{{\rm{2(b - a)}}}}{{{\rm{b - c}}}}\)

Suy ra A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2)

           A =\(\frac{{{\rm{2(a - c)}}}}{{{\rm{a - b}}}}\). \(\frac{{{\rm{2(b - a)}}}}{{{\rm{b - c}}}}\).\(\frac{{{\rm{2(b - c)}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)

           A = – 8

Vậy A = – 8.

Số gạo kho thứ nhất nhiều hơn số gạo kho thứ hai là:

                17 – 8 = 9 (tấn)

Số gạo lúc đầu của kho thứ nhất là:

                (155 + 9) : 2 = 82 (tấn)

Số gạo lúc đầu của kho thứ hai là

               155 – 82 = 73 (tấn)

Vậy lúc đầu kho thứ nhất có 82 tấn gạo, kho thứ hai có 73 tấn gạo.

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, hai lần chiều dài hình chữ nhật là:

26 + 8 = 34 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là:

34 : 2 = 17 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

17 – 8 = 9 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

17 × 9 = 153 (cm²)

Vậy diện tích hình chữ nhật là 153 cm².

Ta có:

A = 32 . 53 – 31

A = 31 . 53 + 53 – 31

A = 31 . 53 + (53 – 31)

A = 31 . 53 + 22

Vì 22 < 32

Suy ra A < B và nhỏ hơn 32 – 22 = 10

Vậy A < B.

a, Ta có:

A = 1998 . 1998 = (1996 + 2) . 1998 = 1996 . 1998 + 2 . 1998

B = 1996 . 2000 = 1996 . (2 + 1998) = 1996 . 2 + 1996 . 1998

Vì 2 . 1998 > 1996 . 2 nên 2 . 1998 + 1996 . 1998 > 1996 . 2 + 1996 . 1998

Vậy A > B.

b, Ta có:

A=2000 . 2000

B=1990 . 2010 = (2000 – 10) . (2000 + 10) = 2000 . 2000 – 10 . 10

Suy ra A > B.

c, Ta có:

A =25 . 33 –10 = (26 – 1) . 33 –10 = 26 . 33 – 33 – 10 = 26 . 33 – 43

B= 31 . 26 + 10 = (33 – 2) . 26 + 10 = 33 . 26 – 2 . 26 + 10 = 26 . 33 – 42

Vì 42 < 43 nên 26 . 33 – 42 > 26 . 33 – 43 hay B > A.

Nên A < B

d, Ta có:

A = 32 . 53 – 31

A = 31 . 53 + 53 – 31

A = 31 . 53 + (53 – 31)

A = 31 . 53 + 22

Vì 22 < 32 nên 31 . 53 + 22 < 53 . 31 + 32 hay A < B.

Vậy A < B.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

Do đó :

Vậy ta chọn đáp án D.

Đổi 2dam² 60m² = 260 m²

Diện tích để làm nhà là :

260 : 5 × 2 = 104 (m²)

Diện tích còn lại sau khi làm nhà là:

260 – 104 = 156 (m²)

Diện tích để trồng rau là :

156 : 3 × 1 = 52 (m²)

Diện tích đất làm chuồng trại chăn nuôi là :

156 – 52 = 104 (m²)

Vậy diện tích phần làm chuồng trại chăn nuôi là 104 m².

a) Áp dụng định lí côsin ta có: cos A = \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Ta có \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\), suy ra  \(\sin A = \frac{{2{\rm{S}}}}{{bc}}\)

Do đó cot A = \(\frac{{co{\rm{sA}}}}{{\sin {\rm{A}}}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{{2{\rm{S}}}}{{bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}.\frac{{bc}}{{2{\rm{S}}}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4{\rm{S}}}}\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta có:

\(\cot B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4{\rm{S}}}}\);  \(\cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4{\rm{S}}}}\)

Do đó:

\(\cot {\rm{A + cot B + cot C = }}\frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{4{\rm{S}}}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4{\rm{S}}}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4{\rm{S}}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4{\rm{S}}}}\)

Vậy \(\cot {\rm{A + cot B + cot C}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4{\rm{S}}}}\).

a) Áp dụng định lí côsin ta có: cos A = \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Ta có \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\), suy ra  \(\sin A = \frac{{2{\rm{S}}}}{{bc}}\)

Do đó cot A = \(\frac{{co{\rm{sA}}}}{{\sin {\rm{A}}}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{{2{\rm{S}}}}{{bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}.\frac{{bc}}{{2{\rm{S}}}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4{\rm{S}}}}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\cot B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4{\rm{S}}}}\);  \(\cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4{\rm{S}}}}\)

Do đó:

\(\cot {\rm{A + cot B + cot C = }}\frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{4{\rm{S}}}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4{\rm{S}}}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4{\rm{S}}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4{\rm{S}}}}\)

Vậy \(\cot {\rm{A + cot B + cot C}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4{\rm{S}}}}\).

b) Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:

\(m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\), \(m_b^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}\) và \(m_c^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\)

Suy ra:

Vậy \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).

Chu vi khu đất hình chữ nhật là :

(48 + 25) x 2 = 146 (m)

Đổi : 146 m = 1460 dm và 2 m = 20 dm

Số dm rào ông Tư cần là :

1460 – 20 = 1440 (dm)

Số tiền ông Tư cần là :

1440 × 2 500 = 3 600 000 (đồng)

Vậy ông Tư tốn tất cả 3 600 000 đồng.

Tổng số học sinh tiên tiến của cả hai lớp là : 22 × 2 = 44 ( học sinh ) 

Lớp 4B có số học sinh tiên tiến là : 44 – 24 = 20 ( học sinh )

Vậy lớp 4B có 20 học sinh tiên tiến.

Tổng của hai số là: 8 × 2 = 16

Số kia là: 16 – 9 = 7

Vậy số còn lại là 7.

Số kg chè chị hái được là:

27 – 12 = 15 (kg)

Số kg chè em hái được là:

15 – 6 = 9 (kg)

Trung bình mỗi người hái được số kg chè là:

(27 + 15 + 9) : 3 = 17 (kg)

Vậy trung bình mỗi người hái được 17 kg chè.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và Ox là

(m–3)x +3m+2 = 0

⇔(m–3)x = –3m–2

\( \Leftrightarrow x = \frac{{3m + 2}}{{3 - m}}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{3m - 9 + 11}}{{3 - m}} = \frac{{ - 3(3 - m) + 11}}{{3 - m}} = - 3 + \frac{{11}}{{3 - m}}\)

Để x đạt giá trị nguyên thì \(\frac{{11}}{{3 - m}}\) nguyên

⇔ 11 ⋮ 3 – m

⇔ 3 – m ∈ Ư(11)

⇔ 3 – m ∈ {1; 11; – 1; – 11}

⇔ m ∈ {2; – 8; 4; 14}

Vậy m ∈ {2; – 8; 4; 14} thì (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên.

Ta có

sin 2a = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos a

Vậy sin 2a = 2sin a cos a.

Đáp án đúng là C

Chiều dài hình chữ nhật MNPQ là:

8 + 8 + 8 = 24 (cm)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

24 × 12 = 288 (cm²)

Diện tích hình vuông EGHK là:

8 × 8 = 64 (cm²)

Diện tích miếng bìa là :

288 – 64 = 224 (cm²)

Vậy ta chọn đáp án C.

Chia miếng bìa ra thành hai miếng bìa nhỏ. Từ đó ta có hai miếng bìa hình chữ nhật.

Diện tích của miếng bìa thứ nhất (H₁) là:

9 × 3 = 27 (cm²)

Chiều rộng của miếng bìa thứ hai (H₂) là:

10 – 3 = 7 (cm)

Diện tích của miếng bìa thứ hai (H₂) là:

21 × 7 = 147 (cm²)

Diện tích cả miếng bìa là:

27 + 147 = 174 (cm² )

Vậy diện tích miếng bìa là 174 cm².

a) Để (d) đi qua gốc tọa độ thì (d) đi qua điểm O(0; 0)

Suy ra m – 3 = 0

Hay m = 3

b) Phương trình hoành độ giao điểm M của (d₁) và (d₃) là:

(2x + m – 3) – (4x – 1) = 0

⇔2x + m – 3 – 4x + 1 = 0

⇔– 2x + m – 2 = 0

⇔ x = \(\frac{{m - 2}}{2}\)

Suy ra y = 4. \(\frac{{m - 2}}{2}\)– 1 = 2(m – 2) – 1 = 2m – 5

Do đó \(M\left( {\frac{{m - 2}}{2};2m - 5} \right)\)

Để (d₁), (d₂), (d₃) đồng quy thì M thuộc (d₂)

Hay 2m – 5 = (m + 1).\(\frac{{m - 2}}{2}\) – 3

\( \Leftrightarrow 2m - 5 = \frac{{{m^2} - m - 2}}{2} - 3\)

\( \Leftrightarrow 2m - 5 = \frac{{{m^2} - m - 8}}{2}\)

⇔4m – 10 = m² – m – 8

⇔m² – 5m + 2 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{5 + \sqrt {17} }}{2}\\m = \frac{{5 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)

c) Hoành độ giao điểm của (d₃) và trục hoành là

4x – 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Nên giao điểm của (d₃) và trục hoành là \(A\left( {\frac{1}{4};0} \right)\).

Để (d₁) đi qua giao điểm của (d₃) và trục hoành thì A thuộc (d₁)

Suy ra 0 = 2. \(\frac{1}{4}\)  + m – 3

⇔ m – \(\frac{5}{2}\) = 0

⇔ m = \(\frac{5}{2}\)

d) Tung độ giao điểm của (d₃) và trục tung là

y = 4x – 1 = 4 . 0 – 1 = – 1

Nên giao điểm của (d₃) và trục tung là B(0; – 1)

Để (d₂) đi qua giao điểm của (d₃) và trục tung thì B thuộc (d₂)

Suy ra – 1 = (m + 1) . 0 – 3

⇔– 1 = – 3 (vô lý)

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Để (d) đi qua gốc tọa độ thì (d) đi qua điểm O(0; 0)

Suy ra m + 1 = 0

Hay m = – 1

Vậy với m = – 1 thì (d) đi qua gốc tọa độ.

Theo định lí hàm cos ta có

\[{\rm{cosB = }}\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{49 + 25 - 64}}{{2.7.5}} = \frac{{10}}{{70}} = \frac{1}{7}\]

\[{\rm{cosA = }}\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{64 + 25 - 49}}{{2.8.5}} = \frac{{40}}{{80}} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \(\widehat A = 60^\circ \)

Diện tích tam giác ABC là:

\[S = \frac{1}{2}bc\sin {\rm{A = }}\frac{1}{2}.8.5.\sin 60^\circ = 20.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \]

Ta có \({h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{7} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}\)

Ta có sin² B + cos² B = 1

Hay \(si{n^2}B + \frac{1}{{49}} = 1\)

Suy ra \(\sin B = \frac{{4\sqrt 3 }}{7}\).

Áp dụng định lí sin ta có \(\frac{b}{{\sin B}} = 2{\rm{R}}\)

Suy ra \[{\rm{R}} = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{8}{{2.\frac{{4\sqrt 3 }}{7}}} = \frac{7}{{\sqrt 3 }}\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: y = 3 + 2sin² 2x \( = 3 + \frac{{1 - cos4{\rm{x}}}}{2} = \frac{7}{2} - \frac{{cos4{\rm{x}}}}{2}\)

Do đó chu kì của hàm số trên là \(T = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm của AC.

Ta có: tam giác ABC là tam giác đều nên BH ⊥ AC.

Mà BH ⊂ (ABC) và (ABC) ⊥ (ACC’A’).

Do đó BH ⊥ (ACC’A’)

Lại có C’H ⊂ (ACC’A’) nên BH ⊥ C’H.

Suy ra góc giữa BC’ và (ACC’A’) là \(\widehat {BC'H}\)

Do đó \(\widehat {BC'H} = 30^\circ \).

Xét tam giác BHC’ vuông tại H có

\(C'H = \frac{{BH}}{{\tan 30^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}:\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{3{\rm{a}}}}{2}\)

Xét tam giác CHC’ vuông tại C có \(C'C = \sqrt {C'{H^2} - C{H^2}} = \sqrt {\frac{{9{{\rm{a}}^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2 \)

Thể tích khối lăng trụ là

\(V = C'C.{S_{ABC}} = C'C.\frac{1}{2}.BH.AC = a\sqrt 2 .\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{\sqrt 6 }}{4}{a^3}\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC cạnh a.

SH ⊥ (ABC) và \(\widehat {SAH} = \alpha \)

Gọi I là trung điểm của BC

Suy ra \(AH = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác vuông AHS có \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{{AH}}{{SA}}\]

Suy ra \[{\rm{bcos}}\alpha = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow a = b\sqrt 3 \cos \alpha \]

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{b^2}co{{\rm{s}}^2}\alpha \).

Mà SH = SA . sinα = b . sinα

Thể tích hình chóp là \(V = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.b\sin \alpha .\frac{{3\sqrt 3 }}{4}{b^2}co{{\rm{s}}^2}\alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \).

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

Khối chóp S.ABC đều nên H là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra

Ta có AH là hình chiếu của SA lên (ABC)

Vậy ta chọn đáp án D.

Số tiền dùng để mua kẹo Trung thu là:

5000 × 18 = 90 000 (đồng)

Số gói kẹo mua được nếu mua kẹo loại 7 500 đồng 1 gói là:

90 000 : 7 500 = 12 (gói)

Vậy mua được 12 gói kẹo loại 7 500 đồng.

Số mét đường ống cần phải lắp là:

200 x 15 = 3000 (m)

Nếu cải tiến kỹ thuật thì mỗi ngày đội công nhân đó lắp được số ống là:

200 + 50 = 250 (m)

Số ngày cần có để đội công nhân lắp xong đường ống đó là:

3000 : 250 = 12 (ngày)

Vậy cần 12 ngày để đội nhân công đố lắp xong đường ống.

Trong 5 giờ vòi nước chả được số phần bể là

\(\frac{2}{7} + \frac{9}{{14}} = \frac{{13}}{{14}}\) (bể)

Trung bình mỗi giờ vòi nước chảy được là

\(\frac{{13}}{{14}}:5 = \frac{{13}}{{70}}\) (bể)

Vậy trung bình mỗi giờ vòi nước đó chảy được \(\frac{{13}}{{70}}\) bể nước.

a) Đường thẳng đi qua hai điểm A và B có dạng: y = ax + b

Đường thẳng đi qua hai điểm A và B nên tọa độ A và B nghiệm đúng phương trình

Ta có:

Tại A: 2 = a + b ⇔ b = 2 – a               (1)

Tại B: 4 = 3a + b                      (2)

Thay (1) và (2) ta có: 4 = 3a + 2 – a ⇔ 2a = 2 ⇔ a = 1

Vậy hệ số a của đường thẳng đi qua A và B là 1

b) Ta có: b = 2 – a = 2 – 1 = 1

Vậy đường thẳng đi qua A và B là y = x + 1.

Ta có x² – 4x + xy – 4y = 0

⇔ (x² – 4x) + (xy – 4y) = 0

⇔ x(x – 4) + y(x – 4) = 0

⇔ (x – 4)(x + y) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\y = - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm (x;y) = (4; – 4).

Đáp án đúng là: B

Ta có \({V_{A'.ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Suy ra \({V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{A'.ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)

Vậy ta chọn đáp án B.

Phần còn lại để trồng trọt là hình vuông có cạnh là: 

20 – 2 – 2 = 16 (m)

Diện tích trồng trọt của mảnh vườn là:     

16 × 16 = 256 (m²)

Vậy diện tích trồng trọt của mảnh vườn là 256 m².

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm của B’C’

Khi đó góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và đáy là góc \(\widehat {AHA'} = 60^\circ \)

Ta có:

Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là \(V = {S_{ACB}}{\rm{.AA' = }}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{{\rm{a}}^3}}}{8}\).

Vậy ta chọn đáp án A.

Ta có (x – 1)² ≥ 0

⇔ x² + 1 ≥ 2x

(y – 1)² ≥ 0

⇔ y² + 1 ≥ 2y

(z – 1)² ≥ 0

⇔ z² + 1 ≥ 2z

(x – y – z)² ≥ 0

⇔ 2(x² + y² + z² ) ≥ 2(xy + yz + zx)

Suy ra 3(x² + y² + z²) + 3 ≥ 2(x + y + z + xy + yz + xz)

Hay 3P + 3 ≥ 2 . 6

⇔ P ≥ 3

Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z =1

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z =1.

Vì hàm số y = (m – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất

Nên m – 1 ≠ 0

Hay m ≠ 1

Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = – x + 1

Nên m – 1 = –1

Hay m = 0

Vậy m = 0 thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = – x + 1.

a) Dễ thấy thiết diện là hình bình hành MNPQ và S_MNPQ = MN . NQ . sin \(\widehat {MNQ}\)

Do MN // AB, NQ // CD nên góc giữa MN và NQ bằng góc giữa AB và CD

Do đó sin \(\widehat {MNQ}\) = sin α

Ta có:

Vậy S_MNPQ = \(\frac{{AB.C{\rm{D}}}}{{A{C^2}}}(AC - x)x\sin \alpha \)

Từ đó diện tích thiết diện MNQR đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = \(\frac{{AC}}{2}\)

Như vậy, khi M là trung điểm của AC thì diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) đạt giá trị lớn nhất.

b) Gọi P là nửa chu vi của thiết diện, khi đó:

Từ đó, chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi:

CD – AB = 0

Hay AB = CD

Vậy chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB = CD.

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c. Chiều cao tương ứng với 3 cạnh trên lần lượt là h_a = 12, h_b = 15, h_c = 20

Diện tích tam giác ABC là

\[S = \frac{{a{h_a}}}{2} = \frac{{b{h_b}}}{2} = \frac{{c{h_c}}}{2}\]

⇔ ah_a = bh_b = ch_c

⇔ 12a = 15b = 20c = k

Suy ra \(a = \frac{k}{{12}},b = \frac{k}{{15}},c = \frac{k}{{20}}\)

Ta có: \({a^2} = \frac{{{k^2}}}{{144}}\) và \({b^2} + {c^2} = \frac{{{k^2}}}{{225}} + \frac{{{k^2}}}{{400}} = \frac{{{k^2}}}{{144}}\)

Do đó a² = b² + c²

Suy ra tam giác ABC là tam giác vuông.

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC, P là trung điểm của AB

Suy ra MP là đường trung bình

Do đó MP // AC, \(MP = \frac{1}{2}AC\)

Mà N là trung điểm của AC nên \(NC = \frac{1}{2}AC\)

Suy ra \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {NC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} \)

= \(\overrightarrow 0 \)

Vậy \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0 \)

b) Ta có:

⇔\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0 \) (đã chứng minh câu a)

Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \).

Điều kiện xác định n ≥ 1

\(\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}}{n} < 15\)

⇔ n² + 7n + 12 < 15n

⇔ n² – 8n + 12 < 0

⇔ 2 < n < 6

Suy ra n ∈ {3; 4 ; 5}

Tích các nghiệm là 3 . 4 . 5 = 60

Vây tích các nghiệm của bất phương trình là 60.

a) Ta có: \(y = \left| {{\rm{400 000x}} - 5{\rm{00 000 000}}} \right|\)

b) Để số tiền lời trên 15 000 000 đồng

⇔ y > 15 000 000

\( \Leftrightarrow \left| {{\rm{400 000x}} - 5{\rm{00 000 000}}} \right| > 15{\rm{ }}000{\rm{ }}000\)

⇔ 400 000x – 500 000 000 > 15 000 000

⇔ 400 000x > 515 000 000

⇔ x > 1 287,5

⇔ x = 1288

Vậy nhà máy A phải bán 1288 cái áo để đạt được số tiền lời trên 15 000 000 (đồng).

Ta có

12¹⁸ = (2² . 3)¹⁸ = 2³⁶ . 3¹⁸

27¹⁶ . 16⁹ = (3³)¹⁶ . (2⁴)⁹ = 3⁴⁸ . 2³⁶

Vì 3¹⁸ < 3⁴⁸ nên 12¹⁸ < 27¹⁶ . 16⁹

Vậy12¹⁸ < 27¹⁶ . 16⁹

Ta có △’ = (m + 1)² – 4m = m² + 2m + 1 – 4m = m² – 2m + 1 = (m – 1)²

△’ ≥ 0 nên phương trình có 2 nghiệm là

\({x_1} = m + 1 + \sqrt {{{(m - 1)}^2}} = m + 1 + \left| {m - 1} \right| = m + 1 + m - 1 = 2m\)

\({x_2} = m + 1 - \sqrt {{{(m - 1)}^2}} = m + 1 - \left| {m - 1} \right| = m + 1 - m + 1 = 2\)

Ta có: (x₁ + m)(x₂ + m) = 3m² + 12

⇔ (2m + m)(2 + m) = 3m² + 12

⇔ 4m + 2m² + 2m + m² = 3m² + 12

⇔ 6m + 3m² = 3m² + 12

⇔ 6m = 12

⇔ m = 2

Vậy m = 2.

Vì 1 < 6 nên – 1 > – 6

Vậy – 1 > – 6.

Đáp án đúng là: B

Ta có: y’ = x² – 4mx + 4

△’ = (– 2m)² – 4 = 4m² – 4

Để làm số đồng biến trên ℝ thì y’ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\4{m^2} - 4 \le 0\end{array} \right.\)

⇔ m² – 1 ≤ 0

⇔ – 1 ≤ m ≤ 1

Vậy – 1 ≤ m ≤ 1.

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O

Nên O là giao điểm của AC và BD, AB = CD, AD = BC

Suy ra O là trung điểm của AC và BD

Do đó OA = OC, OB = OD

Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + (\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} ) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)

b)Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {{\rm{DO}}} = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {CO} ) + (\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {{\rm{DO}}} ) = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {CA} \)

c) Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow {AC} \)

Ta có

\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {{\rm{DA}}} = (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {{\rm{DA}}} ) + \overrightarrow {B{\rm{D}}} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} } \right) + \overrightarrow {B{\rm{D}}} \)

= \(\overrightarrow 0 + \overrightarrow {B{\rm{D}}} = \overrightarrow {B{\rm{D}}} \)

d) Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + (\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} ) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)

Số cần tìm là 

25 × 100 : 20 = 125

Vậy số đó là 125.

Điều kiện xác định n ≥ 1

\(\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\)

⇔\(\frac{{(n + 4)(n + 3)}}{n} < 15\)

⇔ n² + 7n + 12 < 15n

⇔ n² – 8n + 12 < 0

⇔ 2 < n < 6

Suy ra n ∈ {3; 4 ; 5}

Vậy có 3 số tự nhiên thỏa mãn là 3, 4, 5.