5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 27)

a) (x⁴ + 6x² + 8) : (x² + 2)

Thực hiện đặt phép chia đa thức như sau:

 

Vậy (x⁴ + 6x² + 8) : (x² + 2) = x² + 4.

b) (3x³ – 2x² + 3x – 2) : (x² + 1)

Thực hiện phép tính chia đa thức sau:

 

Vậy (3x³ – 2x² + 3x – 2) : (x² + 1) = 3x – 2

Ta có x⁴ + x² + 1= x⁴ – x + x² + x + 1

= x(x³ – 1) + (x² + x + 1)

= x(x – 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)[x(x – 1) + 1]

= (x² + x + 1)(x² – x + 1).

Ta có:
• 530 = 2.5.53

Suy ra ta có: Ư(530) = {1; 2; 5; 10; 53; 106; 265; 530}.

• 240 = 2⁴. 3. 5

Suy ra ta có:Ư(240) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 16; 48; 80; 240}.

• 438 = 2. 3. 73

Suy ra ta có:
Ư(438) = {1; 2; 3; 6; 73; 146; 219; 438}.

12x² + 5x – 12y² + 12y – 10xy – 3

= 12x² + 9x – 4x – 12y² – 18xy + 8xy – 3 + 6y – 6y

= (12x² – 18xy + 9x) – (4x – 6y + 3) + (8xy – 12y² + 6y)

= 3x(4x – 6y + 3) – (4x – 6y + 3) + 2y(4x – 6y + 3)

= (4x – 6y + 3)(3x + 2y – 1).

\(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right|\)

Ta có:\(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = MA\)

\(\left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB\)

Nên \(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| \Leftrightarrow MA = MB\).

Hay M là điểm thuộc đường trung trực của đoạn AB.

Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

\(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = {\overrightarrow {CM} ^2}\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} - {\overrightarrow {CM} ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} \left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CM} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {MB} = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MB} = 0\)

Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn đường kính BC.

Gọi số kẹo mỗi phần là a tổng số kẹo là b

Khi đó ta có:  

12a + 6 = b

b : 4 = (12a + 6 ) : 4

Vì 12a chia hết cho 4 mà 6 : 4 = 1 dư 2 nên b : 4 sẽ dư 2

 Do đó số kẹo của cô chia 4 dư 2

Vậy cô ko thể chia 4 phần mà ko dư.

Mẹ chia số kẹo thành 6 phần bằng nhau thì dư 3 cái 

Tổng số kẹo có dạng: 6k + 3

a)Ta có:\[6\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow 6k\,\, \vdots \,\,3\]

\(3\,\, \vdots \,\,3\)

Vậy số kẹo đó có thể chia thành 3 phần bằng nhau.

b)Ta có:\(6\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow 6k\,\, \vdots \,\,2\)

\(3\,\,\cancel{ \vdots }\,\,2\)

Vậy số kẹo không thể thành 2 phần bằng nhau.

Ta có:

(a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c)

= a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac (đpcm)

Vậy (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac.

a) Ta có:x(x – 2) + x – 2 = 0

\( \Leftrightarrow \)(x – 2)(x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: x = 2; x = −1.

b) 2(x + 3) – x² – 3x = 0

\( \Leftrightarrow \)2x + 6 – x² – 3x = 0

\( \Leftrightarrow \)−x² – x + 6 = 0

Ta có: \(\Delta \) = 1 – 4.(−1).6 = 25.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

\(x = \frac{{1 + \sqrt {25} }}{{ - 2}} = - 3\); \(x = \frac{{1 - \sqrt {25} }}{{ - 2}} = 2\).

\(\sqrt 3 \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = \sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\x - \frac{\pi }{6} = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right.\)(k ∈ ℤ)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\)(k ∈ ℤ)

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\).

ĐKXĐ: \(x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\), k ∈ ℤ.

Ta có:tan3x = tanx

\( \Leftrightarrow \tan 3x - \tan x = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sin 3x.\cos x - \sin x.\cos 3x}}{{\cos x.\cos 3x}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x}}{{\cos 3x.\cos x}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \)sin2x = 0

\( \Leftrightarrow \)2x = kπ

\( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\)( k ∈ ℤ) (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: \(x = \frac{{k\pi }}{2}\), k ∈ ℤ.

Xét ∆ABC có: \(\widehat {ABC} = 90^\circ \)(gt)

Suy ra AC là cạnh huyền.

Lại có: AO = OC (gt)

\( \Rightarrow \) BO là đường trung tuyến ∆ABC

\( \Rightarrow \) BO = AO = OC (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền) (1)

Tương tự ta chứng minh được: DO = AO = OC (2)

Từ (1) và (2) ta có: BO = AO = OC = DO

Suy ra 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường trong đường kính AC.

Đáp án đúng là: B.

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A, ta có:

A² = b² + c² – 2bc.cosA

\( \Rightarrow \) a² = b² + c² – 2bc.cos120° = b² + c² + bc.

a) \(A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\)

\( = \frac{{\sqrt a \left( {a\sqrt a + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a \left( {2\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }} + 1\)

\( = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a \left( {2\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }} + 1\)

\( = \sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {2\sqrt a + 1} \right) + 1\)

\( = a + \sqrt a - 2\sqrt a - 1 + 1\)\( = a - \sqrt a \).

b) Ta có:A = \(a - \sqrt a \)

\( = {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2\sqrt a .\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = {\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\)

Mà ta có: \({\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall a \ge 0\)

Suy ra \(A \ge - \frac{1}{4}\)

Vậy \({A_{\min }} = \frac{{ - 1}}{4}\) khi \(a = \frac{1}{4}\).

Số tuổi của Lan sau 8 năm nữa là: 12 + 8 = 20 (tuổi)

Số tuổi của mẹ Lan sau 8 năm nữa là: 32 + 8 = 40 (tuổi)

Sau 8 năm nữa thì số tuổi của mẹ số lần số tuổi của Lan là:

40 : 20 = 2 (lần)

Vậy sau 8 năm nữa số tuổi của mẹ gấp 2 lần số tuổi của Lan.

\(A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}\)

\(A = \frac{{x + 2\sqrt {xy} + y - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\)

\(A = \frac{{x - 2\sqrt {xy} + y}}{{\sqrt x - \sqrt y }} - \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\)

\(A = \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x - \sqrt y }} - \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\)

\(A = \sqrt x - \sqrt y - \sqrt x - \sqrt y = - 2\sqrt y \)

Ta có \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{64}}\)

\( = \frac{{32}}{{64}} + \frac{{16}}{{64}} + \frac{8}{{64}} + \frac{4}{{64}} + \frac{2}{{64}} + \frac{1}{{64}}\)

\( = \frac{{32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1}}{{64}} = \frac{{63}}{{64}}\).

cos²x – 3sinx.cosx – 2sin²x – 1 = 0

\( \Leftrightarrow \)cos²x – 3sinx.cosx – 2sin²x – sin²x – cos²x = 0

\( \Leftrightarrow \)−3sinx.cosx – 3sin²x = 0

\( \Leftrightarrow \)3sinx(cosx – sinx) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x - \sin x = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\end{array} \right.\) (k ∈ ℤ)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\)(k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm là:\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) và x = kπ (k ∈ ℤ).

Ta có: y’ = 3x² – 6mx = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m phải khác 0.

Giả sử hàm số có 2 cực trị là:

A(0; 4m³), B(2m; 0) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2m; - 4{m^3}} \right)\)

Trung điểm của đoạn AB là: I(m; 2m³)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 4{m^3} = 0\\2{m^3} = m\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\{m^2} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \frac{{ \pm \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, ta có:\(m = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy với \(m = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có:\(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)

f(−x) = 3(−x)⁴ – 4(−x)² + 3 = 3x⁴ – 4x² + 3 = f(x), \(\forall \)x ∈ D.

Do đó hàm số y = f(x) là hàm số chẵn.

8x³ – 12x² + 6x – 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) (8x³ – 1) – (12x² – 6x) = 0

\( \Leftrightarrow \) [(2x)³ – 1] – 6x(2x – 1) = 0

\( \Leftrightarrow \) (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – 6x(2x – 1) = 0

\( \Leftrightarrow \) (2x – 1)(4x² + 2x + 1 – 6x) = 0

\( \Leftrightarrow \) (2x – 1)(4x² – 4x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(2x – 1)(2x – 1)² = 0

\( \Leftrightarrow \) 2x – 1 = 0

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = \frac{1}{2}\).

Ta có:a + b + c + d = 0

\( \Leftrightarrow \)a + d = −b – c

\( \Leftrightarrow \)(a + d)³ = −(b + c)³

\( \Leftrightarrow \)a³ + d³ + 3ad² + 3a²d = − b³ – c³ – 3b²c – 3bc²

\( \Leftrightarrow \)a³ + b³ + c³ + d³ = −3ad(a + d) – 3bc(b + c)

\( \Leftrightarrow \) a³ + b³ + c³ + d³ = 3ad(b + c) – 3bc(b + c) (do –(a + d) = b + c)

\( \Leftrightarrow \) a³ + b³ + c³ + d³ = 3(b + c)(ad – bc) (đpcm).

Gọi K là giao điểm của hai đường chéo AC và BD suy ra K là trung điểm của AC và BD.

Trong \(\Delta MAC\)có:

\(M{A^2} + M{C^2} = 2M{K^2} + \frac{1}{2}A{C^2}\) (1) (công thức trung tuyến).

Trong \(\Delta MBD\): \(M{B^2} + M{D^2} = 2M{K^2} + \frac{1}{2}B{D^2}\) (2) (công thức trung tuyến)

Mặt khác AC = BD (3) (đường chéo hình chữ nhật)

Từ (1) và (2), (3) suy raMA² + MC² = MB² + MD² (đpcm).

Vì \(\Delta \)ABC vuông tại A và AH là đường cao nên ta có:

AH² = BH.HC \( \Leftrightarrow \)AH² = 4.9 = 36 \( \Leftrightarrow \) AH = 6 (cm).

Vì AM là đường trung tuyến của ∆ABC nên ta có:
\(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\left( {4 + 9} \right) = \frac{{13}}{2}\)

\( \Rightarrow HM = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{13}}{2}} \right)}^2} - {6^2}} = \frac{5}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{AHM}} = \frac{1}{2}AH.HM = \frac{1}{2}.6.\frac{5}{2} = \frac{{15}}{2}\) (cm²)

sin²x – 5sinx.cosx + 6cos²x − 1 = 0

\( \Leftrightarrow \)sin²x – 5sinx.cosx + 6cos²x – sin²x – cos²x = 0

\( \Leftrightarrow \)−5sinx.cosx + 5cos²x = 0

\( \Leftrightarrow \)5cosx(sinx – cosx) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \cos x\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\) (k ∈ ℤ)

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \); \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) (k ∈ ℤ).

\[\frac{5}{{x - 3}} - \frac{4}{{x + 3}} = \frac{{20{x^2} - 5}}{{{x^2} - 9}}\]

ĐKXĐ: x ≠ ± 3

\[\frac{5}{{x - 3}} - \frac{4}{{x + 3}} = \frac{{20{x^2} - 5}}{{{x^2} - 9}}\]

\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{\left( {5x + 15} \right)\left( {4x - 12} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{20{x^2} - 5}}{{{x^2} - 9}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {5x + 15} \right)\left( {4x - 12} \right)}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{20{x^2} - 5}}{{{x^2} - 9}}\)

\( \Leftrightarrow \)(5x + 15)(4x – 12) = 20x² – 5

\( \Leftrightarrow \)20x² – 60x + 60x – 180 = 20x² – 5

\( \Leftrightarrow \)−180 = −5 (vô lý)

Vậy phương trình đã cho là một phương trình vô nghiệm.

\(A = \frac{5}{{x + 3}} + \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{3{x^2} - 2x - 9}}{{{x^2} - 9}}\)

\( = \frac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{3{x^2} - 2x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{5x - 15 + 2x + 6 - 3{x^2} + 2x + 9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{ - 3{x^2} + 9x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)\( = \frac{{ - 3x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - 3x}}{{x + 3}}\).

x³ + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x³ + 3³) + (x + 3)(x – 9) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 3)(x² – 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 3)(x² – 3x + 9 + x – 9) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 3)(x² – 2x) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 3).x.(x – 2) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là x = −3; x = 0; x = 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\frac{{{x^3} - 27}}{{9 - 6x + {x^2}}}\)\( = \frac{{{x^3} - {3^3}}}{{{3^2} - 2.3x + {x^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{x - 3}}\)

\( = \frac{{ - \left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{3 - x}}\).

Đáp án đúng là: C

Hàm số có tập xác định:D = ℝ.

Suy ra ta có: x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có: f(-x) = sin²⁰⁰⁷(-x) + cos(−nx) = −sin²⁰⁰⁷x + cosnx \( \ne \pm f(x)\).

Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.

Đáp án đúng là: D

Hình không có trục đối xứng là hình bình hành.

ĐK: −4 ≤ x ≤ 4.

Ta có:\(A = \sqrt {x + 4} + \sqrt {4 - x} \)

\( \Leftrightarrow \)\({A^2} = {\left( {\sqrt {x + 4} + \sqrt {4 - x} } \right)^2}\)

\( = x + 4 + 4 - x + 2\sqrt {\left( {x + 4} \right)\left( {4 - x} \right)} \)

\( = 4 + 2\sqrt {16 - {x^2}} \)

Với −4 ≤ x ≤ 4 \( \Rightarrow \sqrt {16 - {x^2}} \le \sqrt {16} = 4\) nên suy ra:

A² ≤ 4 + 2.4 = 12

Khi đó:A²_max = 12

Dấu “=” xảy ra khi:x² = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 0 (TMĐK)

Vậy với x = 0 thì A²_max = 12.

Ta có:3x(x – 1) + x – 1 = 0

\( \Leftrightarrow \)3x(x – 1) + (x – 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x – 1)(3x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\).

Phát biểu định lí trên bằng các dùng thuật ngữ "điều kiện đủ" như sau:

Với n là số tự nhiên, n⁵ chia hết cho 5 là điều kiện đủ để n chia hết cho 5.

a) Xét ∆BAC có: \(\widehat A = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow 60^\circ + \widehat C = 90^\circ \Leftrightarrow \widehat C = 30^\circ \)

b) Xét ∆ABE có

BD là đường phân giác của ∆ABE.

Mặt khác ∆ABE cân tại B nên suy ra BD cũng là đường trung trực của ∆ABE.

Theo tính chất của đường trung trực ta có: DA = DE.

12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y)

\( \Leftrightarrow \)3y² + 2(3x – 14)y + 12x² – 28x = 0 (1)

Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y, ta có:

\(\Delta '\) = (3x – 14)² – 36x² + 84x = k² ≥ 0

= −27x² + 196 = k² ≥ 0

\( \Rightarrow \) 27x² ≤ 196 \( \Rightarrow \) x² ≤ 7.

\( \Rightarrow \) x ∈ {0; ±1; ±2}.

• Với x = 0 thì y = 0;

• Với x = 1 thì y = 8;

• Với x = −1 thì y = 10;

• Với x = ± 2 thì y ∉ ℤ.

Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (0; 0); (1; 8); (−1; 10).

1) Xét ∆OPQ có I là trung điểm của PQ và IN//OP.

Do đó N là trung điểm của OQ (*).

Xét ∆OPQ có I là trung điểm của PQ, IM // OQ.

Do đó M là trung điểm của OP (**).

Từ (*) và (**) suy ra MN là đường trung bình của \(\Delta \)OPQ suy ra MP = NQ.

Xét ∆MPI và ∆NQI có 

MP = NQ (cmt)

\(\widehat P = \widehat Q\) (gt)

PI = QI (gt)

Do đó ∆MPI = ∆NQI

Suy ra: IM = IN hay ∆IMN cân tại I.

2) Ta có: OM = ON nên O nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: IM = IN nên suy I nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra OI là đường trung trực của MN.

a)Ta có:\(A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\)
\( = \frac{{\sqrt a \left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a \left( {2\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }} + 1\)

\( = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - 2\sqrt a - 1 + 1\)

\( = \sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) - 2\sqrt a \)

\( = a + \sqrt a - 2\sqrt a = a - \sqrt a \)

b) ĐKXĐ: a ≥ 0.

Để A = 2 thì:\(a - \sqrt a = 2\)

\( \Leftrightarrow a - \sqrt a - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a + \sqrt a } \right) - \left( {2\sqrt a + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt a - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \)a = 4 (TMĐK)

Vậy với a = 4 thì A = 2.

sin5x + 2cos²x = 1

\( \Leftrightarrow \)sin5x = 1 – 2cos²x

\( \Leftrightarrow \)sin5x = −cos2x = cos(−2x) = \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - 2x} \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \)sin5x = cos(−2x) = \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - 2x} \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \)sin5x = \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - 2x} \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \)sin5x \( = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = 2x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5x = - 2x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + 2k\frac{\pi }{3}\\x = - \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7}\end{array} \right.\) (k ∈ ℤ).

4x² – 25 – (2x – 5)(2x + 7) = 0

\( \Leftrightarrow \)[(2x)² – 5²] – (2x – 5)(2x + 7) = 0

\( \Leftrightarrow \)(2x – 5)(2x + 5) – (2x – 5)(2x + 7) = 0

\( \Leftrightarrow \)(2x – 5)(2x + 5 – 2x – 7) = 0

\( \Leftrightarrow \)(2x – 5)(−2) = 0

\( \Leftrightarrow \)2x – 5 = 0

\( \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\).

Vậy \(x = \frac{5}{2}\).

y = x³ – 3x² + m² – m + 1

\( \Rightarrow \) y’ = 3x² – 6x = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Suy ra 2 điểm cực trị là A(0; m² – m + 1) và B(2; m² – m – 3).

Khi đó ta có phương trình đường thẳng AB:

\(\frac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{y - {m^2} + m - 1}}{{{m^2} - m - 3 - {m^2} + m - 1}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{{y - {m^2} + m - 1}}{{ - 4}}\)

\( \Leftrightarrow \)−2x = y – m² + m – 1

\( \Leftrightarrow \)2x + y – m² + m – 1 = 0

\(AB = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {{m^2} - m + 1 - {m^2} + m + 3} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 16} = 2\sqrt 5 \)

\(d(C;\,\,AB) = \frac{{\left| { - 4 + 4 - {m^2} + m - 1} \right|}}{{2\sqrt 5 }}\)

\( \Rightarrow \)|−m² + m – 1| = 7

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 2\end{array} \right.\)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán:m = −2; m = 3.

Gọi O là tâm của tam giác ABC

Suy ra \(SO \bot SABC\) (do SABC đều)

Khi đó góc hợp giữa SC và (ABC) là góc: \(\widehat {SCO} = 60^\circ \)

Xét ∆SOC vuông tại A.

\(SO = \sin 60^\circ .SC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

\(OC = \cos 60^\circ .SC = \frac{1}{2}a\)

\( \Rightarrow CE = \frac{3}{2}OC = \frac{3}{4}a\) (tính chất của đường trung tuyến tam giác đều)

\( \Rightarrow AB = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.CE = \frac{{2\sqrt 3 }}{4}a = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

\( \Rightarrow {V_{SABC}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a.\frac{1}{2}.\frac{3}{4}a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{{3{a^3}}}{{32}}\).

Gọi I là giao điểm của AH và PN.
Xét ∆ABC có:AP = BP và AN = NC.

Do đó PN là đường trung bình của \(\Delta \)ABC

Suy ra PN//BC mà AH\( \bot \)BC

Do đó PN\( \bot \)AH (1)
Ta có: PN//BC mà PI ∈ PN

Suy ra PI//BC
Xét ∆AHB có:PI//BC và AP = BP

Suy ra AI = IH (2)
Từ (1) và (2) suy ra PN là đường trung trực của AH.

Ta có:

N là trung điểm của AC;

P là trung điểm của AB.

Suy ra NP là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra MP // BC

Suy ra MNPH là hình thang (1).

Ta có:

\(\widehat B = \widehat {NMC}\) (đồng vị, AB // MN)

\(\widehat B = \widehat {PHB}\) (\(\Delta PHB\) cân)

Suy ra \(\widehat {NMC} = \widehat {PHB}\)\( \Rightarrow \widehat {NMH} = \widehat {PHM}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra được tứ giác MNPH là hình thang cân.

Ta có: \(\sin 2x = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{{ - \pi }}{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\) (k ∈ ℤ).

Với 0 < x < π ta có:

• \(0 < \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi < \pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}\)

Vì k nguyên nên ta có: k = 1 khi đó \(x = \frac{{11\pi }}{{12}}\)

• \(0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{{12}} < k < \frac{5}{{12}}\).

Vì k nguyên nên k = 0 khi đó ta có nghiệm\(x = \frac{{7\pi }}{{12}}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng (0; π) là: \(x = \frac{{7\pi }}{{12}}\); \(x = \frac{{11\pi }}{{12}}\).

Ta có:2²⁰²² + 2²⁰²⁴

= 2²⁰²²(2² + 1)= 2²⁰²².5

= 2²⁰¹².2¹⁰.5= 2²⁰¹².1024.5

= 2²⁰¹².5120.

Suy ra:2²⁰¹².5120 \( \vdots \) 5120

Hay (2²⁰²² + 2²⁰²⁴) \( \vdots \) 5120.