5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 24)

Thay a = 6, ta được: \(h = AH = a\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \).

Ta có: \(P = \left( {\frac{{x - 3\sqrt x }}{{x - 9}} - 1} \right):\left( {\frac{{9 - x}}{{x + \sqrt x - 6}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right)\)\( = \frac{{ - 3}}{{2 - \sqrt x }}\).

Để \(P < 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{2 - \sqrt x }} < 1 \Leftrightarrow 1 + \frac{3}{{2 - \sqrt x }} > 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2 - \sqrt x + 3}}{{2 - \sqrt x }} > 0 \Leftrightarrow \frac{{5 - \sqrt x }}{{3 - \sqrt x }} > 0\)

TH1: \(5 - \sqrt x > 0\)và \(3 - \sqrt x > 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x < 5\)và \(\sqrt x < 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow 0 \le x < 9\)

TH2: \(5 - \sqrt x < 0\) và \(3 - \sqrt x < 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x > 5\)và \(\sqrt x > 3\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x > 5 \Leftrightarrow x > 25\).

x + 12 = – 5 – x

⟺ 2x = – 17 ⟺\(x = - \frac{{17}}{2}\).

Vậy \(x = - \frac{{17}}{2}\).

Ta có:

+) \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0 \Leftrightarrow \frac{{ayz + bxz + cxy}}{{xyz}} = 0 \Leftrightarrow ayz + bxz + cxy = 0\)

+) \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}} \right)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{{xy}}{{ab}} + \frac{{yz}}{{bc}} + \frac{{xz}}{{zc}}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{{ayz + bxz + cxy}}{{abc}}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\)(đpcm).

Chọn D

Hàm số có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\), đáp án B đúng.

\(y = \frac{{2x + 7}}{{x + 2}} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên (–∞; –2) và (2; +∞).

Vì α là góc tù nên \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } \).

Do đó, sinα – cosα = \(\frac{4}{5}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } - \cos \alpha = \frac{4}{5}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \cos \alpha + \frac{4}{5} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - {{\cos }^2}\alpha = {{\left( {\cos \alpha + \frac{4}{5}} \right)}^2}}\\{\cos \alpha \ge - \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{50{{\cos }^2}\alpha + 40\cos \alpha - 9 = 0}\\{\cos \alpha \ge - \frac{4}{5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha = \frac{{ - 4 + \sqrt {34} }}{{10}}}\\{\cos \alpha = \frac{{ - 4 - \sqrt {34} }}{{10}}}\end{array}} \right.}\\{\cos \alpha \ge - \frac{4}{5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \cos \alpha = - \frac{{4 + \sqrt {34} }}{{10}}\) (do α tù)

⇒ m = sin α – 2cosα = (sinα – cosα) – cos α = \(\frac{4}{5} + \frac{{4 + \sqrt {34} }}{{10}} = \frac{{12 + \sqrt {34} }}{{10}}\).

Đặt \(\sqrt {4{x^2} + 5x + 1} = a;\sqrt {{x^2} - x + 1} = b\) (a, b ≥ 0).

Ta có: \({a^2} - 4{b^2} = 4{x^2} + 5x + 1 - 4\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 9x - 3\).

Khi đó từ phương trình đã cho ta suy ra a – 2b = \({a^2} - 4{b^2}\)

⇔ a – 2b = (a – 2b)(a + 2b)

⇔ (a – 2b)(1 – a – 2b) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2b\\a = 1 - 2b\end{array} \right.\).

TH1: a = 2b

⇒\(\sqrt {4{x^2} + 5x + 1} = 2\sqrt {{x^2} - x + 1} \Rightarrow 9x = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\)

TH2: a = 1 – 2b

\( \Rightarrow \sqrt {4{x^2} + 5x + 1} = 1 - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} \)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x + 1 = 1 - 4\sqrt {{x^2} - x + 1} + 4{x^2} - 4x + 4\)

\( \Leftrightarrow 4\sqrt {{x^2} - x + 1} = 4 - 9x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 9x \ge 0\\16{x^2} - 16x + 16 = 16 - 72x + 81{x^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{4}{9}\\65{x^2} - 56x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{4}{9}\\x\left( {65x - 56} \right) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{4}{9}\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\\x = \frac{{56}}{{65}}\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\)

Thử lại ta thấy \(x = \frac{1}{3}\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy \(x = \frac{1}{3}\) là nghiệm của phương trình.

\( \Rightarrow V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}\).

Kẻ BK ⊥ AD

Xét ∆ADC\((\widehat A = 90^\circ ):\widehat {ADC} = 65^\circ \Rightarrow \widehat {ACD} = 25^\circ \)

Khi đó: \(CA = \frac{{AH}}{{\sin \widehat C}} = \frac{3}{{\sin 25^\circ }}\)

Dễ thấy BCAK là hình chữ nhật \( \Rightarrow BK = AC = \frac{3}{{\sin 25^\circ }}(cm)\)và BC = AK

⟹ DA = AK (= BC) ⇒ DK = 2DA

Ta có: \(DA = \frac{{AH}}{{\sin \widehat {CDA}}} = \frac{3}{{\sin 25^\circ }}(cm)\)

\(DK = 2DA = \frac{6}{{\sin 25^\circ }}(cm)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ∆BKD vuông tại K có \(B{K^2} + K{D^2} = B{D^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{{\sin 25^\circ }}} \right)^2} + {\left( {\frac{6}{{\sin 25^\circ }}} \right)^2} = B{D^2} \Leftrightarrow B{D^2} = \frac{{45}}{{{{\sin }^2}25^\circ }} \Leftrightarrow BD = \frac{{3\sqrt 5 }}{{\sin 25^\circ }}(cm)\)

Ta có \({S_{ABD}} = {S_{BKD}} - {S_{BAK}} = \frac{{BK.KD}}{2} - \frac{{AK.BK}}{2} = \frac{{BK}}{2}(KD - AK)\)

\( = \frac{{BK.AD}}{2} = \frac{{\frac{3}{{\sin 25^\circ }}.\frac{3}{{\sin 25^\circ }}}}{2} = \frac{{18}}{{\sin 25^\circ }}(c{m^2})\).

Gọi O là trọng tâm ∆ABC và M là trung điểm AB. Đặt AB = 2a (a > 0)

Vì O cũng là tâm đường trong ngoại tiếp ∆ABC nên SO ⊥ (ABC)

Mặt khác, vì ∆SAB cân tại S nên SM ⊥ AB

⇒ ∆SMB vuông tại M ⇒ SM = MB. tan𝛂 = atan𝛂 (1).

Ngoài ra, \(OM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

∆SOM vuông tại O ⇒ SM = \(\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} (2)\)

Từ (1) và (2) ⇒𝛂tan𝛂 = \(\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \Rightarrow 3{a^2}.{\tan ^2}\alpha = 3{h^2} + {a^2} \Rightarrow {a^2}.(3{\tan ^2}\alpha - 1) = 3{h^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} = \frac{{3{h^2}}}{{3{{\tan }^2}\alpha - 1}} \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{{{(2a)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 = \frac{{3{h^2}\sqrt 3 }}{{3{{\tan }^2}\alpha - 1}}\)

Vậy \(V = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.h.\frac{{3{h^2}\sqrt 3 }}{{3{{\tan }^2}\alpha - 1}} = \frac{{{h^3}\sqrt 3 }}{{3{{\tan }^2}\alpha - 1}}\).

Gọi O = AC ∩ BD

Vì chóp S.ABCD đều nên SO ⊥ (ABCD)

Đặt SA = SB = SC = SD = a

∆SCD có: SC = SD; \(\widehat {CSD} = 60^\circ \Rightarrow \Delta SCD\)đều ⇒ CD = SC = SD = a

⇒ Hình vuông cạnh ABCD cạnh a ⇒ AC = BD = \(a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ OC ⇒ ∆SOC vuông tại O

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} \Rightarrow h = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow a = h\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = {a^2} = {(h\sqrt 2 )^2} = 2{h^2}\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}h.2{h^2} = \frac{{2{h^3}}}{3}\).

Bước 1: Gán biến x = x + y

Bước 2: Gán biến y = x (bước 1) – y = x + y – y = x.

Bước 3: Gán biến x = x (bước 1) – y (bước 2) = (x + y) – x = y.

Kết quả của thuật toán là x = y và y = x.

Dựa vào định nghĩa của số nguyên tố chúng ta sẽ có cách giải như sau:

– Bước 1: Nhập vào n

– Bước 2: Kiểm tra nếu n < 2 thì kết luận n không phải là số nguyên tố

– Bước 3: Lặp từ 2 tới (n – 1), nếu trong khoảng này tồn tại số mà n chia hết thì kết luận n không phải là số nguyên tố, ngược lại n là số nguyên tố.

Phương trình đường thẳng AB là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0\)

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a; b).

Đường trong (C) nội tiếp ∆OAB, suy ra (C) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc Ox, Oy, AB

⇒ R = d(I, Ox) = d(I, Oy) = d(I, AB)

\( \Rightarrow R = \left| b \right| = \left| a \right| = \frac{{\left| {4a + 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {7a - 12} \right|\)

TH1: Nếu a = b, ta có \(\left| a \right| = \frac{{\left| {4a + 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {7a - 12} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a = 7a - 12}\\{5a = 12 - 7a}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\{a = 1}\end{array}} \right.\)

TH2: Nếu a – b, ta có \(\left| a \right| = \frac{{\left| {4a - 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {a - 12} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a = a - 12}\\{5a = 12 - a}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{a = 2}\end{array}} \right.\)

Vì (C) có bán kính nhỏ nhất nên chọn R = \(\left| a \right| = 1\)

Suy ra (C) có tâm I(1; 1) và R = 1 ⇒ (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\).

Đặt \({x^2} - 5x + 1 = a;x - 1 = b \Rightarrow {x^2} - 4 = a + 5b\)

PT đã cho trở thành: \(a(a + 5b) = 6{b^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 5ab - 6{b^2} = 0 \Leftrightarrow a(a - b) + 6b(a - b) = 0 \Leftrightarrow (a + 6b)(a - b) = 0\)

Xét 2 trường hợp:

TH1: a + 6b = 0

\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 1 + 6(x - 1) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {21} }}{2}\)

TH2: a – b = 0

\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 1 - (x - 1) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 2 = 0 \Rightarrow x = 3 \pm \sqrt 7 \).

Bước 1: Xác định tổng

– Tổng các số từ 1 đến 9 là: 1 + 2 +....+ 9 = 45

– Vì 3 ô cộng lại đều bằng nhau nên: Tổng 3 ô là 45 : 3 = 15

Bước 2: Lấy 15 : 3 = 5 suy ra ô trung tâm phải là 5

Bước 3: Chỉ cần nghĩ ra 2 số cộng lại bằng 10 (vì đều cộng với số 5): 10 = 1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6

Bước 4: Điền vào các ô theo cặp số.

\(5{x^2} - 4xy + {y^2} = 169\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {(2x - y)^2} = {13^2} = 144 + 25\)

\( \Leftrightarrow x = 12\)và 2x – y = 5 hoặc 2x – y = –5 ⇒ y = 21 hoặc y = 29 hoặc x = 5 và 2x – y = 12 hoặc 2x – y = –12 ⇒ y = –2 hoặc y = 22

Vậy chúng ta có 4 cặp số (x; y) thỏa mãn là (12; 21); (12; 29); (5; –12); (5; 22).

\(2\overrightarrow {IA} - 3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} = 2\overrightarrow {ID} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {ID} \)

⇒ ABIJ là hình bình hành.

Số đường còn lại trong thùng là: 39,75 – 10,5 – 5 = 24,25 (kg).

Ngày thứ 2 cửa hàng đó bán được số mét vải là: 35,5 x 2 = 71 (m)

Ngày thứ 3 cửa hàng đó bán được số mét vải là: 71 + 3 = 74 (m)

Cả 3 ngày của hàng đó bán được số mét vải là: 35,5 + 71 + 74 = 180,5 (m).

a = float(input(“a=”))

b = float(input(“b=”))

c = float(input(“c=”))

if (a > 0) and (b > 0) and (c > 0):

print(“Cả ba số đều dương”)

Buổi sáng bán được số tạ xi măng là: 127,5 × \(\frac{1}{5}\) = 25,5 (tạ xi măng)

Số tạ xi măng còn lại sau buổi sáng là: 127,5 – 25,5 = 102 (tạ xi măng)

Số tạ xi măng buổi chiều bán là: 102 ×\(\frac{1}{5}\) = 20,4 (tạ xi măng)

Số tạ xi măng buổi sáng và buổi chiều bán được là: 25,5 + 20,4 = 45,9 (tạ xi măng).

123 phút = 2 giờ 3 phút

Ta có: ab + a + b = 95

a × 10 + b + a + b = 95

a × 11 + b x 2 = 95

aa + b × 2 = 95

Vì 95 là số lẻ, b × 2 là số chẵn nên aa là số lẻ.

Ta có aa = 11, 33, 55, 77, 99

Để b là số có 1 chữ số thì b × 2 cao nhất là: 9 × 2 = 18

Ta có: 95 – 11 = 84,95 – 33 = 62, 95 – 55 = 40,95 – 77 = 18,95 – 99 = –5

Trong các giá trị tìm được, chỉ có 95 – 77 mới không vượt qua 18 và là số tự nhiên.

Vậy a = 7, b = 9.

Thử lại: 79 + 7 + 9 = 95.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )\)

\( = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 2.3.\cos 60^\circ = 3\)

Áp dụng định lí côsin ta được:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)

\( \Rightarrow B{C^2} = {6^2} + {3^2} - 2.6.3.\cos 60^\circ \Rightarrow B{C^2} = 27\)

\( \Rightarrow BC = 3\sqrt 3 cm\)

\( \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}\)⇒ ∆ABC vuông tại C

Mặt khác: \(\)\(\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = 0 \Rightarrow CM = \frac{1}{3}BC = \sqrt 3 cm\)

Áp dụng định lý Pytago ta được:

\(AM{}^2 = A{C^2} + C{M^2} \Rightarrow AM = \sqrt {A{C^2} + C{M^2}} = \sqrt {9 + 3} \Rightarrow AM = 2\sqrt 3 cm\).

Ta có: \(\overrightarrow {{\rm{AJ}}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AC} } \right);\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BH} } \right)\)

\(\overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {BI} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BH} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BH} } \right)\)

          \( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HA} + 0 + 0 + \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {BH} } \right) = \frac{1}{4}\left( { - A{H^2} + BH.HC} \right)\)

Vì ∆ABC vuông tại A nên: \(A{H^2} = HB.HC\)

Do đó: \(\overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {BI} = 0 \Leftrightarrow AJ \bot BI\).

Tổng số phần là: \(\frac{1}{3} + \frac{3}{7} + \frac{1}{6} = \frac{{13}}{{14}}\)

Như vậy 3 học sinh kém chiếm: \(1 - \frac{{13}}{{14}} = \frac{1}{{14}}\) (học sinh cả lớp)

Số học sinh của lớp 5A là: \(3:\frac{1}{{14}} = 42\)(học sinh).

Ta có \(\frac{1}{6}\)SKG =  \(\frac{2}{3}\)STK ⇒\(\frac{2}{{12}}\)SGK = \(\frac{2}{3}\)STK ⇒ STK = \(\frac{3}{{12}}\)SGK = \(\frac{1}{4}\)SGK

Sách giáo khoa là: 60 : (4 + 1) x 4 = 48 sách

Sách tham khảo là: 60 – 48 = 12 sách.

\(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^2} + 2(2 - m)x - 2\)

Cho f(x) = 0. Để f(x) có 2 nghiệm dương phân biệt.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 0}\\{\Delta ' > 0}\\{P > 0}\\{S > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 3m + 2 \ne 0}\\{{{\left( {2 - m} \right)}^2} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)\left( { - 2} \right) > 0}\\{\frac{2}{{{m^2} - 3m + 2}} > 0}\\{\frac{{ - 4 + 2m}}{{{m^2} - 3m + 2}} > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 2;m \ne 1}\\{4 - 4m + {m^2} + 2{m^2} - 6m + 4 > 0}\\{{m^2} - 3m + 2 > 0}\\{1 < m < 2;m > 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 2;m \ne 1}\\{3{m^2} - 10m + 8 > 0}\\{m < 1;m > 2}\\{1 < m < 2;m > 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 2,m \ne 1}\\{m < \frac{4}{3},m > 2}\\{m < 1;m > 2}\\{1 < m < 2;m > 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 1}\\{m > 2}\end{array}} \right.\).

Để f(x) = 0, f(x) có 2 nghiệm dương phân biệt

⇒ m ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞).

a. Ta có AB, AC là tiếp tuyến của (O) ⇒ AB ⊥ BO, AC ⊥ CO

M là trung điểm DE ⇒ OM ⊥ DE

\( \Rightarrow \widehat {ABO} = \widehat {AMO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \)

⇒ A, B, M, O, C ∈ đường tròn đường kính AO

b. Xét ∆SCD, ∆SCB có:

Chung \(\widehat S\)

\(\widehat {SCD} = \widehat {SBC}\)vì SC là tiếp tuyến của (O)

⇒ ∆SAD \(\# \) ∆SBC (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{SC}}{{SB}} = \frac{{SD}}{{SC}} \Rightarrow S{C^2} = SB.SD\)

c. Xét ∆SAD, ∆SAB có:

Chung \(\widehat S\)

\(\widehat {SAD} = \widehat {DEB} = \widehat {ABS}\) vì AB là tiếp tuyến của (O) và BE //AC

⇒ ∆SAD \(\# \) ∆SBA (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{SD}}{{SA}} \Rightarrow S{A^2} = SB.SD \Rightarrow S{A^2} = S{C^2} \Rightarrow SA = SC\)

Lại có AC//BE

\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{SC}} = \frac{{VH}}{{VS}} = \frac{{HE}}{{AS}} \Rightarrow BH = HE\)

H là trung điểm BE ⇒ OH ⊥ BE (1)

Ta có BE // AC

\( \Rightarrow \widehat {EBC} = \widehat {ACB} = \widehat {CEB}\)⇒ ∆CBE cân tại C ⇒ CO ⊥ BE (2)

Từ (1), (2) ⇒ C, O, H thẳng hàng.

a. Theo tính chất tiếp tuyến của đường tròn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{EA = EC}\\{FC = FB}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow EC + CF = EA + BF \Rightarrow EF = AE + BF\)

b. Xét ∆ABC có OA = OB = OC (bán kính)

⇒ ∆ABC vuông tại C ⇒ AC ⊥ BC

Xét ∆DAB vuông tại A có AC là đường cao

\( \Rightarrow A{D^2} = DC.DB\)(Hệ thức lượng).

Áp dụng BĐT Cô–si cho vế trái ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}}\\{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}}\)

\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\sqrt[3]{{\frac{{abc}}{{abc}}}}\)

\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\)(điều phải chứng minh).

Xét phương trình: \(C_n^{n - 1} + C_5^n = 9\)⟺ n = 4

Với n = 4 thì phương trình trở thành: \({x^2} - 8x - 5 = 0\)

Suy ra phương trình có 2 nghiệm \(x = 4 \pm \sqrt {21} \).

4 lần số lớn là: 18,1 – 0,14 = 17,96

Số lớn là: 17,96 : 4 = 4,49

Số bé là: 4,49 – 0,14 = 4,35.

Sau 2h vòi chảy được: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}}\)(bể)

Sau khi dùng nước, trong bể còn số phần chiếm nước là: \(\frac{5}{{12}} - \frac{1}{3} = \frac{1}{{12}}\)(bể).

Phương trình \(\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\) có nghĩa\(\forall \)x ∈ℝ⟺ D = ℝ.

Ta có: \(\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\)⟺ sinx + cosx +sinxcosx – 1 = 0 (1)

Đặt t = sinx +cosx, \(\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)\). Ta có sinxcosx = \(\frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

⇒ (1) ⟺\(t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 3}\end{array}} \right.\)

Do \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)nên t = 1

Với t = 1, ta có t = sinx + cosx = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \Leftrightarrow x = k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \(x = - \frac{{3\pi }}{2}\)

Gọi \(M({x_M};{y_M})\)

Vì M ∈ Oy ⇒ M(0;\({y_M}\))

Ta có:

\(\overrightarrow {MA} = (2 - 0;3 - {y_M}) = (2;3 - {y_M})\)

\(\overrightarrow {MB} = \left( {4 - 0; - 1 - {y_M}} \right) = \left( {4; - 1 - {y_M}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow {MB} = \left( {4k; - 1k - {y_M}k} \right)\)

Khi đó: \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = 4k}\\{3 - {y_M} = - 1k - {y_M}k}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{1}{2}}\\{3 - {y_M} = - 1k - {y_M}k}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{1}{2}}\\{3 - {y_M} = - 1.\frac{1}{2} - {y_M}.\frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{1}{2}}\\{3 - {y_M} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}{y_M}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{1}{2}}\\{ - {y_M} + \frac{1}{2}{y_M} = - \frac{1}{2} - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{1}{2}}\\{ - \frac{1}{2}{y_M} = - \frac{7}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{1}{2}}\\{{y_M} = 7}\end{array}} \right.\)

Vậy giá trị của k là \(\frac{1}{2}\).

Đồ thị 2 hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung nên ta thay hoành độ x = 0 vào:

Hàm số y = 2x + (3 + m) ta được tung độ: y = 3 + m

Hàm số y = 3x + (5 – m) ta được tung độ: y = 5 – m

Vì cùng là tung độ của giao điểm nên: 3 + m = 5 – m ⇒ m = 1

Vậy khi m = 1 thì 2 đường thẳng đã cho cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.

Kẻ PH ⊥ AD; PK ⊥ CD; PM // CD; PN // AD

∆HMP  ∆KNP (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{PH}}{{PK}} = \frac{{PM}}{{PN}} \Rightarrow \frac{{PH}}{{PK}} = \frac{{DN}}{{PN}}\)(Do PMDN là hình bình hành)

∆DNP \(\# \)\(\Delta DCB\)(g.g) \( \Rightarrow \frac{{DN}}{{DC}} = \frac{{PN}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow \frac{{DN}}{{PN}} = \frac{{DC}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{PH}}{{PK}} = \frac{{DC}}{{BC}} \Rightarrow PH.BC = PK.DC\)

PH.AD = PK.DC (điều phải chứng minh).

Phương trình chuyển động của xe đi từ Hà Nội: \({x_1} = {x_0} + {v_1}t = 52t\)

Phương trình chuyển động của xe đi từ Hải Phòng: \({x_2} = 100 - {v_2}t = 100 - 48t\).

\(D = \left( {{x^4} - 2{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {2{x^2} - 2x + 1} \right)\)

\(D = {\left( {{x^2} - x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - x} \right) + 1 = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}\)

\(D = {\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right]^2}\)

\({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \in R \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\)

\( \Rightarrow D \ge {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\).

a. Ta có: BH + HC = BC

⟺ AH.cotB + AH.cotC = BC

\( \Leftrightarrow AH.\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} + 1,3} \right) = BC \Leftrightarrow AH.1,9 = 10 \Rightarrow AH = 5,3(cm)\)

\( \Rightarrow AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{{5,3}}{{0,6}} = 8,2(cm)\)

b. Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{{AH.BC}}{2} = \frac{{5,3.10}}{2} = 26,5(c{m^2})\).

ĐKXĐ: sin3x – sinx ≠ 0

\( \Rightarrow \sin 3x \ne {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x \ne x + k2\pi }\\{3x \ne \pi - x + k2\pi }\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne k\pi }\\{x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.\).

\(150 - {x^5} + 18 = 118 \Leftrightarrow {x^5} = 150 + 18 - 118\)

\( \Leftrightarrow {x^5} = 50 \Leftrightarrow x = 50:5 \Leftrightarrow x = 10\).

Gọi x; y cây (x; y > 0) lần lượt là số cây mà anh em mỗi người trồng trong 1 ngày.

Cả 2 người trông 90 cây 1 ngày nên x + y = 90

Thời gian để anh, em trồng xong lần lượt là \(\frac{{200}}{x};\frac{{200}}{y}\)ngày

Vì anh trồng ít hơn em 1 ngày nên \(\frac{{200}}{y} - \frac{{200}}{x} = 1\)

Ta có hệ PT: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 90}\\{\frac{{200}}{y} - \frac{{200}}{x} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 90 - y}\\{\frac{{200}}{y} - \frac{{200}}{{90 - y}} = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 90 - y}\\{200(90 - y) - 200y = y(90 - y)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 90 - y}\\{18000 - 400y = 90y - {y^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 90 - y}\\{{y^2} - 490y + 18000 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 90 - y}\\{y = 40;y = 450}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 50}\\{y = 40}\end{array}} \right.\)(nhận) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 360}\\{y = 450}\end{array}} \right.\)(loại)

Vậy 1 ngày anh trồng 50 cây, em trồng 40 cây.

0,2288 xấp xỉ 0,2 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Giải thích: Sau số 2 là 1 số nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên ⇒ Kết quả 0,2.

\(\overline {abc} \) chia hết cho 45 nên \(\overline {abc} \) chia hết cho 5 và 9 nên c = 0 hoặc 5 mà c ≠ 0 nên c = 5

Ta có: \(\overline {ab5} - \overline {5ba} = 396\)

Ta viết lại biểu thức như sau: \(396 + \overline {5ba} = \overline {ab5} \)

6 + a tận cùng là 5 nên a = 9

Nên ta lại có: \(\overline {abc} = \overline {9b5} \) chia hết cho 9 và 5

Nên 9 + b + 5 chia hết cho 9, nên b = 4

Suy ra \(\overline {abc} \) = 945

ĐKXĐ: x ≠ –1

\(\frac{1}{{2x + 2}} - \frac{{x - 1}}{{3{x^2} + 6x + 3}} = \frac{1}{{2(x + 1)}} - \frac{{x - 1}}{{3({x^2} + 2x + 1)}}\)

\( = \frac{1}{{2(x + 1)}} - \frac{{x - 1}}{{3{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{3(x + 1)}}{{2(x + 1).3(x + 1)}} - \frac{{2(x - 1)}}{{3{{(x + 1)}^2}.2}}\)

\( = \frac{{3x + 3}}{{6{{(x + 1)}^2}}} - \frac{{2x - 2}}{{6{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{3x + 3 - 2x + 2}}{{6{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{x + 5}}{{6{{(x + 1)}^2}}}\).

2x(3x + 5) – x(6x – 1)= 33

\( \Leftrightarrow 6{x^2} + 10x - 6{x^2} + 1 = 33\)

\( \Leftrightarrow 10x + 1 = 33 \Leftrightarrow 10x = 32 \Leftrightarrow x = 3,2\).