5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 20)

Lời giải

Ta có: A − B = 2017.2019 − 2018²

= 2017.(2018 + 1) − 2018.(2017 + 1)

= 2017.2018 + 2017 − 2018.2017 − 2018

= 2017 − 2018 = −1 < 0

Þ A − B < 0 Þ A < B.

Lời giải

Ta có: \(A = \frac{{2017 + 2018}}{{2018 + 2019}}\)\( = \frac{{2017}}{{2018 + 2019}} + \frac{{2018}}{{2018 + 2019}}\).

Ta thấy \(\frac{{2017}}{{2018 + 2019}} < \frac{{2017}}{{2018}}\); \(\frac{{2018}}{{2018 + 2019}} < \frac{{2018}}{{2019}}\)

Nên \(\frac{{2017}}{{2018 + 2019}} + \frac{{2018}}{{2018 + 2019}} < \frac{{2017}}{{2018}} + \frac{{2018}}{{2019}}\).

Do đó A < B.

Lời giải

Ta có \[x - 2\sqrt x - 3\]\( = x - 3\sqrt x + \sqrt x - 3\)

\( = \sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x - 3\)\( = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)\)

Lời giải

\[x - 2\sqrt {x - 3} = 3\] (ĐK: x ≥ 3)

\[ \Leftrightarrow x - 3 - 2\sqrt {x - 3} = 0\]

\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 3} \left( {\sqrt {x - 3} - 2} \right) = 0\)

+) TH1: \(\sqrt {x - 3} = 0\)

Û x − 3 = 0

Û x = 3 (TMĐK)

+) TH2: \(\sqrt {x - 3} = 2\)

Û x − 3 = 4

Û x = 7 (TMĐK)

Vậy x = 3 hoặc x = 7.

Lời giải

+) Vì ABCD là hình vuông nên \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a\)

+) \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

+) Vì O là tâm hình vuông nên \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

+) Vì M là trung điểm của AB nên OM là đường trung bình ∆ABD nên ta có:

\(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\).

+) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE} = 2\overrightarrow {OM} \) (dựng AOBE là hình bình hành)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {OM} } \right| = 2OM = a\).

Lời giải

\(\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = 2OM = AD = a.\)

Lời giải

Độ dài đáy của hình bình hành đó là:

(24 + 4) : 2 = 14 (cm)

Chiều cao của hình bình hành đó là:

24 − 14 = 10 (cm)

Diện tích của hình bình hành đó là:

14 × 10 = 140 (cm²)

Đáp số: 140 cm²

Lời giải

Độ dài đáy của hình bình hành đó là:

(25 + 7) : 2 = 16 (cm)

Chiều cao của hình bình hành đó là:

25 − 16 = 9 (cm)

Diện tích của hình bình hành đó là:

16 × 9 = 126 (cm²)

Đáp số: 126 cm²

Lời giải

Với điều kiện x ≠ −3, ta có:

\(\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{2x + 6}}\)\( = \frac{{{x^2} + 3x + x + 3}}{{2\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right) + x + 3}}{{2\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x + 1}}{2}\).

Lời giải

Ta có \(\frac{6}{{{x^2} + 4x}} + \frac{3}{{2x + 8}} = \frac{6}{{\left( {x + 4} \right)x}} + \frac{3}{{2\left( {x + 4} \right)}}\)

\( = \frac{{6\,.\,2}}{{2\left( {x + 4} \right)x}} + \frac{{3x}}{{2x\left( {x + 4} \right)}}\)

\( = \frac{{12}}{{2x\left( {x + 4} \right)}} + \frac{{3x}}{{2x\left( {x + 4} \right)}}\)

\( = \frac{{12 + 3x}}{{2x\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 4} \right)}}{{2x\left( {x + 4} \right)}} = \frac{3}{{2x}}\).

Lời giải

\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = - \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi - x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\).

Lời giải

\(\sin 2x + \cos \left( {6x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {6x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \sin 2x\)

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {6x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x + \frac{\pi }{3} = 2x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\6x + \frac{\pi }{3} = - 2x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\8x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}\\x = - \frac{{5\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{4}\end{array} \right.\).

Lời giải

\[A = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \]

\( = \frac{{\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}{{\sqrt 2 }}\)

\( = \frac{{\sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} + \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} }}{{\sqrt 2 }}\)

\( = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }}\)

\( = \frac{{\sqrt 3 + 1 + \sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \,.\,\sqrt 3 = \sqrt 6 \).

Lời giải

Ta có \[\sqrt {2 - \sqrt 3 } = \frac{{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}{{\sqrt 2 }}\]\( = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} }}{{\sqrt 2 }}\)

\( = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }}\)\( = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải

Do \(\sqrt x \ge 0,\;\forall x \ge 0\)

Nên \(\sqrt x + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{3}{3} = 1\).

Do đógiá trị lớn nhất của \(\frac{3}{{\sqrt x + 3}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Rightarrow x = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(\frac{3}{{\sqrt x + 3}}\) là 1 khi x = 0.

Lời giải

Do \(\sqrt x \ge 0,\;\forall x \ge 0\)

Nên \(\sqrt x + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{3}{3} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} \ge - 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) là −1 khi và chỉ khi \(\sqrt x = 1 \Rightarrow x = 0\).

Lời giải

Số học sinh khá và giỏi bằng:

\(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)(số học sinh cả lớp)

Số học sinh giỏi bằng \(\frac{2}{3}\)số học sinh khá nên số học sinh giỏi bằng:

\(2:\left( {2 + 3} \right) = \frac{2}{5}\) (số học sinh khá vàgiỏi)

Và số học sinh giỏi bằng:

\(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{{10}}\) (số học sinh cả lớp)

Số học sinh giỏi hơn số học sinh trung bình là:

\(\frac{3}{{10}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{20}}\) (số học sinh cả lớp) ứng với 2 học sinh

⇒ Số học sinh cả lớp là:

 \(2:\frac{1}{{20}} = 40\) (học sinh)

Đáp số: 40 (học sinh)

Lời giải

Ta có:

sin 2a = sin (a + a)

\( = \sin a.\cos a + \cos a.\sin a = 2\sin a.{\mathop{\rm co}\nolimits} sa\)

Lời giải

Ta có:

\(\sin 2\alpha = \sin \left( {2\widehat {ACB}} \right) = \sin \left( {\widehat {MCA} + \widehat {MAC}} \right)\)

\( = \sin \left( {\widehat {AMH}} \right) = \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{2AH}}{{BC}}\)

\( = 2.\frac{{AH}}{{AC}}.\frac{{AC}}{{BC}} = 2\sin \alpha .\cos \alpha \)

Lời giải

Áp dụng định lí tổng số đo ba góc trong một tam giác, ta có:

\[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \]

Suy ra \(\widehat B = 180^\circ - \widehat A - \widehat C = 180^\circ - 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ \).

Vậy số đo góc B bằng 38^o.

Lời giải

Ta có: sinB.cosC + sinC.cosB = sin (B + C)

\( = \sin \left( {{{180}^ \circ } - B - C} \right) = \sin A\).

Do đó sinA = sinB.cosC + sinC.cosB (đpcm).

Lời giải

Ta có 2x+5y=15

\( \Leftrightarrow x = \frac{{15 - 5y}}{2}\)

\( \Leftrightarrow x = 7 - 2y + \frac{{1 - y}}{2}\)

Vì x, y Î ℤ Þ 1 − y ⋮ 2

Þ 1 − y = 2m (m Î ℤ)

Û y = 1 − 2m (m Î ℤ)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{15 - 5\left( {1 - 2m} \right)}}{2} = 5m + 5\) (m Î ℤ)

Vậy các cặp nghiệm (x; y) nguyên thỏa mãn là (5m + 5; 1 − 2m), với m Î ℤ

Lời giải

Ta có 5x − 3y=8

\( \Leftrightarrow y = \frac{{5x - 8}}{3}\)

\( \Leftrightarrow y = x - 2 + \frac{{2x - 2}}{3}\)

Vì x, y Î ℤ Þ x − 1 ⋮ 3

Þ x − 1 = 3m

Û x = 3m + 1 (m Î ℤ)

\( \Leftrightarrow y = \frac{{5\left( {3m + 1} \right) - 8}}{3} = 5m - 1\) (m Î ℤ)

Vậy các cặp nghiệm (x; y) nguyên thỏa mãn là (3m + 1; 5m − 1), với m Î ℤ.

Lời giải

• TH1: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ có:

\(C_8^2.C_5^2 = 280\) (cách).

• TH2: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi vàng có:

\(C_8^2.C_3^2 = 84\) (cách).

• TH3: Chọn 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng có:

\(C_8^2.C_5^1.C_3^1 = 420\) (cách).

Vậy có: 280 + 84 + 420 = 784 (cách).

Lời giải

• TH1: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ có:

\(C_8^2.C_5^2 = 280\) (cách).

• TH2: Chọn 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng có:

\(C_8^1.C_5^1.C_3^2 = 120\) (cách).

Vậy có: 280 + 120 = 400 (cách).

Lời giải

Ta có:\(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

\(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{8}{{\cos {{60}^ \circ }}} = 16\;(cm)\)

\(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{16}^2} - {8^2}} = 8\sqrt 3 \;\,(cm)\).

Lời giải

Ta có:

•\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\cos C}} = \frac{8}{{\cos {{60}^ \circ }}} = 16\;(cm)\);

•\(AB = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{16}^2} - {8^2}} = 8\sqrt 3 \;(cm)\);

•\(AH\,.\,BC = AB\,.\,AC \Leftrightarrow AH = \frac{{AB\,.\,AC}}{{BC}} = \frac{{8\,\,.\,\,8\sqrt 3 }}{{16}} = 4\sqrt 3 \;\,(cm)\)

Lời giải

Để x + 21 là bội của x + 3 nên

x + 21 ⋮ x + 3

(x + 3) + 18 ⋮ x + 3

18 ⋮ x + 3

Do đó x + 3 Î Ư(18) = {−18; −9; −6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6; 9; 18}.

Vậy x Î {−21; −12; −9; −6; −5; −4; −2; −1; 0; 3; 6; 15}.

Lời giải

Ta có x + 17 ⋮ x + 3

(x + 3) + 14 ⋮ x + 3

14 ⋮ x + 3

Do đó x + 3 Î Ư(14) = {−14; −7; −2; −1; 1; 2; 7; 14}.

Vậy x Î {−17; −10; −5; −4; −2; −1; 4; 11}.

Lời giải

X= {a; b}

X= {a; b; c}; X= {a; b; d}

X= {a; b; c; d}.

Lời giải

Mỗi tầng hơn nhau 1 khối lập phương.

Vậy để xếp được cái tháp cao 8 tầng thì cần số khối lập phương là:

Áp dụng công thức \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).

Vậy số khối lập phương cần tìm là:\(\frac{{8\,\,.\,\,\left( {8 + 1} \right)}}{2} = 36\) (khối).

Lời giải

Do độ dài của tập F bằng 5: (2m + 2) − (2m − 3) = 5.

Nên C = E ∪ F có độ dài bằng 5 khi và chỉ khi C = F

Û E Ì F

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \le 2\\2m + 2 \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{3}{2} \le m \le \frac{5}{2}\).

Lời giải

Vì A có đọ dài bằng 3 nên A giao B không thể là một tập có độ dài bằng 5.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Lời giải

Ta có:\(\frac{1}{{\sqrt {k - 1} + \sqrt k }} > \frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }}\)

\( \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt {k - 1} + \sqrt k }} > \frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {k - 1} + \sqrt k }}\)

\( = \sqrt k - \sqrt {k - 1} + \sqrt {k + 1} - \sqrt k = \sqrt {k + 1} - \sqrt {k - 1} \)

\( \Rightarrow 2\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}} \right) > \sqrt 3 - \sqrt 1 + \sqrt 5 - \sqrt 3 + ... + \sqrt {81} - \sqrt {79} \)

\( \Rightarrow 2\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}} \right) > 9 - 1 = 8\).

Vậy \[\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4\].

Lời giải

Ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\(S = \frac{{a + b + c}}{{2r}} = R.r.\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right)\)

Mặt khác: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{{2R\sin A.2R\sin B.2R\sin C}}{{4R}} = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C\).

Nên \(R.r.\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C\).

Hay \[\frac{R}{r} = \frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{2\sin A\sin B\sin C}}\].

Lời giải

Ta có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(S = \frac{{2R\,.\,\sin A\,.\,\sin B\,.\,\sin C}}{{4R}} = 2{R^2}\sin A\,.\,\sin B\,.\,\sin C\).

Lời giải

Gọi G  là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN.

Áp dụng công thức tính trung tuyến, ta có:

•\(G{B^2} = \frac{4}{9}B{M^2} = \frac{1}{9}\left( {2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}} \right)\);

•\(G{C^2} = \frac{4}{9}C{N^2} = \frac{1}{9}\left( {2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \right)\).

BM và CN vuông góc với nhau khi BG² + CG² = BC².

\( \Leftrightarrow \frac{1}{9}\left( {2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}} \right) + \frac{1}{9}\left( {2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \right) = {a^2}\)

Û 4a² + b² + c² = 9a²

Ûb²+ c² = 5a².

Lời giải

Ta có c.m_c = b.m_b

\( \Leftrightarrow {c^2}.{m_c}^2 = {b^2}.{m_b}^2\)

\( \Leftrightarrow {c^2}.\frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4} = {b^2}.\frac{{2\left( {{a^2} + {c^2}} \right) - {b^2}}}{4}\)

Û 2c²(a² + b²) − c⁴ = 2b²(a² + c²) − b⁴

Û 2c²a² + 2c²b² − c⁴ = 2b²a² + 2b²c² − b⁴

Û b⁴ − c⁴ = 2b²a² − 2c²a²

Û (b²+ c²)(b²− c²) = 2a²(b² − c²)

Ûb²+ c² = 2a² (với b ≠ c).

Lời giải

Ta có \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = - x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\4x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{6} = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{6} = - x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\4x = k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải

Gọi thang là AB (A là điểm dựa vào tường, B là điểm trên mặt đất), chân tường là C

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

\(\cos \widehat {ABC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ \).

\(\widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Vậy góc tạo bởi thang với mặt đất là 60° và góc tạo bởi thang với mặt tường là 30°.

Lời giải

Xét ∆ABC vuông tại A có:

\(\cos \widehat C = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\cos \widehat C = 4.\cos 60^\circ = 2\) (m)

Vậy khoảng cách giữa chân thang và tường bằng 2 m.

Lời giải

Với \(x = \frac{1}{2};\;y = - \frac{1}{3}\) thì:

\[A = 3{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\left( { - \frac{1}{3}} \right) + 6{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\rm{ }}3\left( {\frac{1}{2}} \right){\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3}\]

\(\begin{array}{l} = 3.\frac{1}{8}.\left( { - \frac{1}{3}} \right) + 6.\frac{1}{4}.\frac{1}{9} + 3.\frac{1}{2}.\left( { - \frac{1}{{27}}} \right)\\ = - \frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \frac{1}{{18}} = - \frac{1}{{72}}\end{array}\)

Lời giải

Ta có: A = 1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵.

Suy ra 2A = 2 . (1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵) = 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁶.

Do đó 2A – A = (2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁶) – (1 + 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁵)

= 2 + 2¹ + 2² + … + 2²⁶ – 1 – 2 – 2¹ – 2² – … – 2²⁵

= (2 – 2) + (2¹ – 2¹) + (2² – 2²) + … (2²⁵ – 2²⁵) + 2²⁶ – 1.

= 2²⁶ – 1.

Lời giải

A = x² − 6x + 17

= (x² − 6x + 9) + 8 = (x − 3)² + 8

Có (x − 3)² ≥ 0 với mọi x

Þ (x − 3)² + 8 ≥ 8 Þ A ≥ 8.

Dấu ''='' xảy ra Û x − 3 = 0 Û x = 3.

Lời giải

Ta có\( - 1 \le \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)

\( \Leftrightarrow 1 \le 3 + 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 5\).

Vậy GTNN của hàm số là \(y = 3 + 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\) khi \[\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = - 1\]

\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \;\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy GTLN của hàm số là \(y = 3 + 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 5\) khi \[\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Lời giải

Ta có\( - 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)

\( \Leftrightarrow - 7 \le - 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - 5 \le - 3\).

Do đó GTLN của hàm số là \[y = - 2{\mathop{\rm co}\nolimits} s\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - 5 = - 3\] khi \[\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = - 1\]

\[ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy GTLN của hàm số là \[y = - 2{\mathop{\rm co}\nolimits} s\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - 5 = - 3\] khi \[x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Lời giải

Vì p, q là các số nguyên tố nên p.q > 1

Lại có p² − 2q²=17Þp² > 17Þ p ≥ 5

* Xét p = 5, thay vào ta có q = 2.

Khi đó, p + q = 7.

* Xét p > 5, vì p là số nguyên tố nên p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5 (k Î ℤ⁺).

• Với p = 6k + 1, ta có:

(6k + 1)² − 2q² = 17

Û 36k² + 12k + 1 − 2q² = 17

Û 36k² + 12k − 2q² = 16

Û 18k² + 6k − q² = 8

Ta thấy VP ⋮ 2 nên VT ⋮ 2

Mà 18k² + 6k ⋮ 2 Þ q² ⋮ 2 Þ q = 2

Thay vào ta được p = 5

• Với p = 6k + 5, ta có:

(6k + 5)² − 2q² = 17

Û 36k² + 60k + 25 − 2q² = 17

Û 36k² + 60k − 2q² = −8

Û 18k² + 30k − q² = −4

Ta thấy VP ⋮ 2 Þ VT ⋮ 2

Mà 18k² + 30k ⋮ 2 Þ q² ⋮ 2 Þ q = 2.

Thay vào ta được p = 5.

Vậy p + q = 7.

Lời giải

Ta có: p² − 2q²=41 (1)

Ûp²=2q² + 41 là số lẻ, suy ra p là số lẻ

Đặt p = 2k + 1 (k Î ℤ⁺), khi đó ta có:

2q² + 41= (2k + 1)²

Û2q² + 41= 4k² + 4k + 1

Ûq²= 2k² + 2k − 20

Þq²⋮ 2 Þ q = 2.

Khi đó thay vào (1) ta có p = 7 (TM).

Vậy (p; q) = (7; 2).

Lời giải

Ta có:\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {24} + \sqrt {25} }}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right)\left( {\sqrt 2 + \sqrt 1 } \right)}}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{{\left( {\sqrt {25} - \sqrt {24} } \right)\left( {\sqrt {25} + \sqrt {24} } \right)}}{{\sqrt {24} + \sqrt {25} }}\)

\( = \sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + ... + \sqrt {25} - \sqrt {24} \)

\( = \sqrt {25} - 1 = 5 - 1 = 4\).

Lời giải

Vì\(\frac{1}{{\sqrt 1 }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }};\;\frac{1}{{\sqrt 2 }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }};\;\frac{1}{{\sqrt 3 }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }};\;...;\;\frac{1}{{\sqrt {24} }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }}\).

Nên \(A = \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {24} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }}\)

Do đó \(A > 25.\frac{1}{{\sqrt {25} }} = \frac{{25}}{5} = 5\).

Vậy A > 5.

Lời giải

Ta có \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {100} }}\)

\[ = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} + \frac{2}{{2\sqrt 3 }} + \frac{2}{{2\sqrt 4 }} + ... + \frac{2}{{2\sqrt {100} }}\]

\( < \frac{2}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{2}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{2}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{2}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }}\)

\[ = 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {99}  + \sqrt {100} }}} \right)\]

\[ = 2\left( {\frac{{\sqrt 1 - \sqrt 2 }}{{1 - 2}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{2 - 3}} + \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 4 }}{{3 - 4}} + ... + \frac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{99 - 100}}} \right)\]

\[ = 2\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 + ... + \sqrt {100} - \sqrt {99} } \right)\]

\[ = 2\left( {\sqrt {100} - \sqrt 1 } \right) = 2\left( {10 - 1} \right) = 18\].

Vậy\(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {100} }} < 18\).

Lời giải

Ta có \(\frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {100} }}\)

\( = \frac{2}{{2\sqrt 1 }} + \frac{2}{{2\sqrt 2 }} + \frac{2}{{2\sqrt 3 }} + ... + \frac{2}{{2\sqrt {100} }}\)

\( > \frac{2}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{2}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{2}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{2}{{\sqrt {100} + \sqrt {101} }}\)

\[ = 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {100} + \sqrt {101} }}} \right)\]

\[ = 2\left( {\frac{{\sqrt 1 - \sqrt 2 }}{{1 - 2}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{2 - 3}} + \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 4 }}{{3 - 4}} + ... + \frac{{\sqrt {100} - \sqrt {101} }}{{100 - 101}}} \right)\]

\[ = 2\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 + ... + \sqrt {101} - \sqrt {100} } \right)\]

\[ = 2\left( {\sqrt {101} - \sqrt 1 } \right) > 2\left( {\sqrt {100} - \sqrt 1 } \right) = 2\left( {10 - 1} \right) = 18\].

Vậy\(\frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {100} }} > 18\).

Lời giải

Ta có: 2x² − x + 1

\( = 2\left( {{x^2} - 2.\frac{1}{4}x + \frac{1}{{16}} + \frac{7}{{16}}} \right)\)

\( = 2{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8}\)

Do \({\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0;\;\forall x\)

\( \Rightarrow 2{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0;\;\forall x\)

\( \Rightarrow 2{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} \ge \frac{7}{8};\;\forall x\)

\( \Rightarrow 2{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0;\;\forall x\)

Vậy 2x² − x + 1 > 0 với mọi số thực x.

Lời giải

Ta có: 2x − 2x² – 1 =− (2x² − 2x + 1)

\( = - 2\left( {{x^2} - x + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right)\)\( = - 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2}\)

Do \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0;\;\forall x\)

\( \Rightarrow - 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0;\;\forall x\)

\( \Rightarrow - 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} \le - \frac{1}{2};\;\forall x\)

\( \Rightarrow - 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} < 0;\;\forall x\)

Vậy 2x − 2x² − 1 < 0 với mọi số thực x.

Lời giải

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{h_a}.a = \frac{1}{2}{h_b}.b = \frac{1}{2}{h_c}.c\).

Khi đó, với b + c = 2a thì \(\frac{{2{S_{ABC}}}}{{{h_b}}} + \frac{{2{S_{ABC}}}}{{{h_c}}} = \frac{{4{S_{ABC}}}}{{{h_a}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{h_a}}} = \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}\).

Lời giải

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 3x \ne 0\\\cos 3x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 6x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{6}\).

Khi đó \(\tan \left( {3x} \right) - \cot \left( {3x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \tan 3x = \cot 3x\)

\( \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)\)

\[ \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} - 3x + k\pi \]

\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{6}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] (TMĐK)

Lời giải

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 3x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{3}\)

Ta có cot 3x = cot x

Û 3x = x + kp

\( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Với \(x \in \left( {0;\;10\pi } \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < k\frac{\pi }{2} \le 10\pi \\x \ne \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\)

Û k Î {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19}.

Suy ra phương trình đã cho có 10 nghiệm thỏa mãn.

Lời giải

Ta có:\(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Suy ra ∆ABC vuông cân tại A nên b = c.

Khi đó \(b = c = \frac{a}{{\sin A}}.\sin C = \frac{{12}}{{\sin 90^\circ }}.\sin 45^\circ \approx 10,21\;\left( {cm} \right)\)

Lời giải

Ta có:\(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Suy ra ∆ABC vuông cân tại A nên b = c = 10 cm.

Khi đó \(a = \frac{b}{{\sin B}}.\sin A = \frac{{10}}{{\sin 45^\circ }}.\sin 90^\circ \approx 14,14\;\left( {cm} \right)\).

Vậy a ≈ 14,14 cm; b = 10 cm; \(\widehat A = 90^\circ ;\,\,\widehat B = 45^\circ \).

Lời giải

Tổng số học sinh thích cả Toán và Tiếng Việt là:

45 − 3=42(học sinh)

Có số học sinh thích cả 2 môn là:

(28 + 20) − 42=6(học sinh)

Đáp số: 6 học sinh thích cả Toán và Tiếng Việt.

Lời giải

Số học sinh giỏi là: 

45 : 100 . 20 = 9 (học sinh)

Số học sinh tiên tiến là:

9 :\(\frac{3}{7}\)= 21 (học sinh)

Tổng số học sinh giỏi và học sinh tiên tiến của lớp đó là:

21 + 9 =30 (học sinh)

Số học sinh trung bình là:

45 − 30 = 15 (học sinh)

Tỉ số phần trăm số học sinh trung bình so với số học sinh cả lớp là:

\[15:45 = \frac{1}{3}\] (số học sinh trong lớp).

Vậy số học sinh trung bình chiếm \[\frac{1}{3}\] số học sinh trong lớp.

Lời giải

Ta có \(\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\cos x + 2\cos 2x - \sin x = 0\)

Û cos 2x(cos x + 2) + sin x(2cos² x − 1) = 0

Û cos 2x(cos x + 2) + sin x. cos 2x = 0

Û cos 2x(cos x + sin x + 2) = 0

Vì cos x + sin x + 2 > 0 nên cos 2x = 0

\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Ta có \(\sin 2x + \cos x + \cos 2x - \sin x = 0\)

Û sin 2x + cos 2x = sin x − cos x

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\]

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = \pi - \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với:\(\left( {2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2 } \right)\cos 2x = 0\)

• TH1:\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

• TH2: \(2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} - x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{4} - x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\); \(x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \); \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \) với \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Ta có sin³ x + cos³ x − sin x − cos x = cos 2x

Û (sin x + cos x)(sin² x − sin x.cos x + cos² x) − (sin x + cos x) − (cos² x − sin² x) = 0

Û (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) − (sin x + cos x) − (sin x + cos x)(cos x − sin x) = 0

Û (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x − 1 − cos x + sin x) = 0

Û (sin x + cos x)(− sin x.cos x − cos x + sin x) = 0

•TH1: sin x + cos x = 0

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

•TH2: − sin x.cos x − cos x + sin x = 0 (1)

Đặt t = sin x − cos x; t Î (−2; 2)

\( \Rightarrow \frac{{{t^2} - 1}}{2} = - \sin x.\cos x\)

Phương trình (1) Û\(t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 1 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 + \sqrt 2 \;\left( {TM} \right)\\t = - 1 - \sqrt 2 \;\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin x - \cos x = - 1 + \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 + 1\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm arc}\nolimits} \,cos\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \,cos\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Ta có sinx.sin7x = sin3x.sin5x

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + 7x} \right) - \cos \left( {7x - x} \right)} \right] = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {5x + 3x} \right) - \cos \left( {5x - 3x} \right)} \right]\)

Û cos 8x − cos 6x = cos 8x − cos 2x

Û cos 6x = cos 2x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 2x + k2\pi \\6x = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k2\pi \\8x = k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{2}\\x = k\frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Rightarrow x = k\frac{\pi }{4}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).