57 bài tập Phương trình bậc hai và hệ thức Viète có lời giải

Chọn B

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.3.2 = 25 > 0\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt {25} }}{{2.3}} = 2\); \({x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt {25} }}{{2.3}} = \frac{1}{3}\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \(x = 2\); \(x = \frac{1}{3}\).

Chọn D

Ta có: Δ'=−m+12−1.4m

\( = {m^2} + 2m + 1 - 4m\)

\( = {m^2} - 2m + 1\)

\( = {\left( {m - 1} \right)^2}\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) hay \({\left( {m - 1} \right)^2} > 0\) nên \(m \ne 1\).

Chọn D

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: \[a{x^2} + bx + c = 0\].

Do đó phương trình: \(3{x^2} - 2020 = 0\) (\(a = 3\); \(b = 0\); \(c = - 2020\)) là phương trình bậc hai một ẩn.

Chọn C

Ta có \(mx + \left( {m - 1} \right){x^2} - 1 = 0\) hay \(\left( {m - 1} \right){x^2} + mx - 1 = 0\)

Để phương trình \(mx + \left( {m - 1} \right){x^2} - 1 = 0\) hay phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} + mx - 1 = 0\) là phương trình bậc 2 một ẩn thì \(m - 1 \ne 0\) hay \(m \ne 1\).

Chọn C

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac = 0\)

Suy ra: Phương trình có nghiệm kép.

Chọn D

Thay \(x = - 2\) vào từng phương trình.

Với phương trình \({x^2} - 3x = 2\) ta được \({\left( { - 2} \right)^2} - 3.\left( { - 2} \right) = 2\).

Với phương trình \(2{x^2} - x - 6 = 0\) ta được \(2.{\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 2} \right) - 6 = 0\).

Với phương trình \(2x - 4 = 0\) ta được \(2.\left( { - 2} \right) - 4 = 0\).

Với phương trình \(\frac{1}{2}{x^2} - 2 = 0\) ta được \(\frac{1}{2}.{\left( { - 2} \right)^2} - 2 = 0\).

Chọn A

Bấm máy tính ta được \({x_1} = - \frac{{11}}{5};\,{x_2} = 3\).

Chọn C

Phương trình \(3{x^2} - 7x + 15 = 0\) có \(a = 3;{\rm{ }}b = - 7;{\rm{ }}c = 15\)

\(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.3.15 = - 131 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Chọn C

\(\sqrt 5 x - {x^2} - \frac{2}{3} = 0\) hay \({x^2} - \sqrt 5 x + \frac{2}{3} = 0\)

Ta có: \(\Delta = {\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} - 4.1.\frac{2}{3} = 5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3} > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt

Chọn C

\[\left( {\rm{A}} \right)\] \[{x^3} + 7{x^2} - 1 = 0\], phương trình có hạng tử \[{x^3}\] nên không phải là phương trình bậc hai

\[ \Rightarrow \] Khẳng định \[\left( {\rm{A}} \right)\] đúng.

\[\left( B \right)\] \[{x^2} - (m + 2)x - m = 0\], phương trình có \[a = 1 \ne 0\] với mọi \[m\] nên là phương trình bậc hai ẩn \[x\] với mọi \[m\] \[ \Rightarrow \] Khẳng định \[\left( B \right)\] đúng.

\[\left( C \right)\] \[ - ({n^2} + 1){x^2} + \frac{2}{3} = 0\], phương trình có \[a = - ({n^2} + 1) \ne 0,\forall n\] nên là phương trình bậc hai ẩn \[x\] với mọi \[n\] \[ \Rightarrow \] Khẳng định \[\left( C \right)\] đúng.

\[\left( D \right)\] \[(m + 2){x^2} + \left( {n - 1} \right)x = 0\] là phương trình bậc hai ẩn \[x\] khi \[m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2\] \[ \Rightarrow \] Khẳng định \[\left( D \right)\] sai.

Vậy có 3 khẳng định đúng.

Chọn C

Xét phương trình \[{x^2} - 3x + 5 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\] có \[\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.5 = - 11 < 0\] \[ \Rightarrow \] phương trình \[\left( 1 \right)\] vô nghiệm.

Xét phương trình \[2{x^2} + 5x + 2 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\] có \[\Delta = {5^2} - 4.2.2 = 9 > 0\] \[ \Rightarrow \] phương trình \[\left( 2 \right)\] có hai nghiệm phân biệt: \[{x_1} = \frac{{ - 5 - 3}}{4} = - 2 \in \mathbb{Z};{\rm{ }}{x_2} = \frac{{ - 5 + 3}}{4} = - \frac{1}{2} \in \mathbb{Q}\].

Chọn B

Phương trình \[{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m = 0\] có \[\Delta = {\left[ { - \left( {2m + 1} \right)} \right]^2} - 4.1.m = 4{m^2} + 1 > 0,\forall m\]

\[ \Rightarrow \] Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\). Tức là phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\)

Chọn C

Phương trình \[\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - 3mx + 2 = 0\] có \[a = {m^2} + 1 > 0;{\rm{ b = - 3m; c = 2}}\]

Suy ra phương trình đã cho là phương trình bậc hai với mọi \(m\).

Có \[\Delta = {\left( { - 3m} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + 1} \right).2 = {m^2} - 8\]

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \[\Delta = {m^2} - 8 < 0 \Leftrightarrow {m^2} < 8 \Leftrightarrow - 2\sqrt 2 < m < 2\sqrt 2 \]

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \[\Delta = {m^2} - 8 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \ge 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\sqrt 2 \\m \le - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \[\Delta = {m^2} - 8 > 0 \Leftrightarrow {m^2} > 8\]

Chọn C

Xét phương trình \[(k - 1){x^2} - 2(k - 4)x + k - 3 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\]

- Nếu \(k = 1\), thay vào phương trình \[\left( 1 \right)\] ta có: \[ - 2(1 - 4)x + 1 - 3 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow 6x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\].

- Nếu \(k \ne 1\), ta có \[\Delta ' = {\left[ { - \left( {k - 4} \right)} \right]^2} - \left( {k - 1} \right)\left( {k - 3} \right) = - 4k + 13\]

Để phương trình \[\left( 1 \right)\] vô nghiệm thì \[\Delta ' = - 4k + 13 < 0\] hay \[k > \frac{{13}}{4}\].</>

Vậy số nguyên k nhỏ nhất để phương trình \[\left( 1 \right)\] vô nghiệm là \(k = 4\).

Chọn C

Xét phương trình \[2m{x^2} - 4(m - 1)x + 1 = 0{\rm{ (1)}}\]

- Nếu \(m = 0\), thay vào phương trình \[\left( 1 \right)\] ta có: \[ - 4.( - x) + 1 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}\]. Suy ra \(m = 0\) thỏa mãn.

- Nếu \({\rm{m}} \ne 0\), ta có \[\Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 2m.1 = 4.{\left( {m - 1} \right)^2} - 2m = 4{m^2} - 10m + 4\]

Để phương trình \[\left( 1 \right)\] có nghiệm duy nhất, tức là phương trình \[\left( 1 \right)\] có nghiệm kép thì

\[\Delta ' = 4{m^2} - 10m + 4 = 0\]

\[m = 2\] hoặc \[m = \frac{1}{2}\]

Vì \[m \in \mathbb{Z}\] nên có hai giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là \[m = 0;{\rm{ }}m = 2\]

Chọn C

Ta có \(\Delta = {( - 2020)^2} - 4.2 > 0\). Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - ( - 2020)}}{1} = 2020\).

Chọn D

Ta có \(\Delta = {( - 3)^2} + 4.2 > 0\). Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn định lí Viète:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{3}{2};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Suy ra hiệu của tích các nghiệm và tổng các nghiệm của phương trình là \(\frac{{ - 1}}{2} - \frac{3}{2} = - 2\).

Chọn A

Cách 1: Hai số 3 và \( - 8\) có tổng \(S = 3 + ( - 8) = - 5\), tích \(P = 3.( - 8) = - 24\).

Theo định lí Viète đảo, hai số 3 và \( - 8\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\), tức là \({x^2} + 5x - 24 = 0\).

Cách 2: Phương trình bậc hai nhận 3 và \( - 8\) làm nghiệm là

\((x - 3)[x - ( - 8)] = 0\)

\((x - 3)(x + 8) = 0\)

\({x^2} + 5x - 24 = 0\)

Chọn C

Cách 1: Theo định lí Viète đảo hai số có tổng là \(S = 1\), tích là \(P = - 1\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\), tức là \({x^2} - x - 1 = 0\). \((1)\)

Biệt thức \(\Delta = 1 + 4 = 5 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2},{x_2} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)

Vậy hai số cần tìm là \(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\) và \(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).

Cách 2: Thử trực tiếp các phương án và nhận thấy \(C\) là phương án thỏa mãn.

Chọn B

Phương trình có \(\Delta = {5^2} + 4.2 > 0\) nên nó có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn định lí Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 5}}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( { - {x_1}} \right) + \left( { - {x_2}} \right) = \frac{5}{2}}\\{\left( { - {x_1}} \right)\left( { - {x_2}} \right) = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Theo định lí Viète đảo thì \( - {x_1}\), \( - {x_2}\) là nghiệm của phương trình

\({x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 1 = 0\).

Nhận xét: Nếu giải chi tiết nghiệm \({x_1},{x_2}\)của phương trình \((1)\), sau đó lập phương trình bậc hai nhận \( - {x_1}, - {x_2}\) làm nghiệm sẽ mất nhiều thời gian hơn là cách ứng dụng định lí Viète như lời giải ở trên

Chọn B

Cách 1: Ta có \(\Delta = 9 > 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = 1\) và \({x_1} \cdot {x_2} = - 2\).

Do đó \(M = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {1^2} - 2 \cdot ( - 2) = 5\).

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi, tính được các nghiệm \({x_1},{x_2}\)của phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\). Từ đó suy ra giá trị của \(M\).

Nhận xét: Việc ghi nhớ hằng đẳng thức \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\) giúp chúng ta ứng dụng được định lí Vi ét trong cách giải bài toán ở cách 1.

Chọn D

Phương trình \[2{x^2}\, - \,x\, - \,2020\, = \,0\] có \[\Delta \, = \,{\left( { - 1} \right)^2}\, - \,4.2.\left( { - 2020} \right)\, = \,16161\, > \,0\] nên phương trình có hai nghiệm \[{x_1}\,,\,{x_2}\] thỏa mãn định lí Viète: \[{x_1}.{x_2}\, = \,\frac{c}{a}\, = \,\frac{{ - 2020}}{2}\, = \, - 1010\].

Chọn C

Phương trình \[ - 3{x^2}\, - \,x\, + \,5\, = \,0\] có \[\Delta \, = \,{\left( { - 1} \right)^2}\, - \,4.\left( { - 3} \right).5\, = \,61\, > \,0\] nên phương trình có hai nghiệm \[{x_1}\,,\,{x_2}\] thỏa mãn định lí Viète: \[{x_1}\, + \,{x_2}\, = \,\frac{{ - b}}{a}\, = \,\frac{{ - 1}}{3}\] và \[{x_1}.{x_2}\, = \,\frac{c}{a}\, = \,\frac{{ - 5}}{3}\].

Suy ra hiệu của tổng và tích các nghiệm của phương trình là \[\frac{{ - 1}}{3}\, - \,\frac{{ - 5}}{3}\, = \,\frac{4}{3}\].

Chọn C

Nếu hai số có tổng bằng \[S\], tích bằng \[P\] thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \[{x^2}\, - \,Sx\, + \,P\, = \,0\].

Điều kiện để tồn tại hai số thực đó là \[{S^2}\, - \,4P\, \ge \,0\].

Chọn A

Hai số \[ - 2\] và \[7\] có tổng là \[S\, = \, - 2\, + \,7\, = \,5\], tích là \[P\, = \, - 2.7\, = \, - 14\].

Theo định lí Viète đảo hai số đó là nghiệm của phương trình \[{x^2}\, - \,Sx\, + \,P\, = \,0\], tức là \[{x^2}\, - \,5x\, - \,14\, = \,0.\]

Chọn D

Phương trình \[{x^2}\, - \,3x\, - \,2\, = \,0\] có \[\Delta \, = \,{\left( { - 3} \right)^2}\, - 4.1.\left( { - 2} \right)\, = \,17\, > \,0\] nên phương trình có hai nghiệm \[{x_1}\,,\,{x_2}\] thỏa mãn định lí Viète: \[{x_1}\, + \,{x_2}\, = \,\frac{{ - b}}{a}\, = \,3\] và \[{x_1}.{x_2}\, = \,\frac{c}{a}\, = \, - 2\].

Suy ra \[\frac{1}{{{x_1}}}\, + \,\frac{1}{{{x_2}}}\, = \,\frac{{{x_1}\, + \,{x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}}\, = \,\frac{{ - 3}}{2}\] và \[\frac{1}{{{x_1}}}.\frac{1}{{{x_2}}}\, = \,\frac{1}{{{x_1}.{x_2}}}\, = \,\frac{{ - 1}}{2}\].

Do vậy \[\frac{1}{{{x_1}}}\], \[\frac{1}{{{x_2}}}\] là nghiệm của phương trình \[{x^2}\, + \,\frac{3}{2}x\, - \frac{1}{2}\, = \,0\] \[ \Leftrightarrow 2{x^2}\, + \,3x\, - \,1\, = \,0\].

Chọn B

Thử trực tiếp các phương án và nhận thấy B là phương án thỏa mãn.

Xét phương án A có \(\frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} + \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} = 1\). Do đó phương án A sai.

Xét phương án B có \(\frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2} = - 1\),

\(\frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{2}.\frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2} = \frac{{ - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{2}.\frac{{ - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{2} = \frac{{1 - 2}}{4} = - \frac{1}{4}\). Do đó phương án B đúng.

Xét phương án C có \(\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 5}}{4} = \frac{{1 - 5}}{4} = - 1\). Do đó phương án C sai.

Xét phương án D có \(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}.\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{{1 - 5}}{4} = - 1\). Do đó phương án D sai.

Chọn C

Phương trình \({x^2} - 2x - 1 = 0\) có \( = 2 > 0\) nên có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] thỏa mãn định lí Viète:

\({x_1}^{} + {x_2} = 2\) và \({x_1}{x_2} = - 1\)

\(N = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)

Suy ra \(N = {2^2} - 3\left( { - 1} \right) = 7\).

Chọn B

Phương trình: \({x^2} - 3x + 1 = 0\) có \( = 5 > 0\) nên có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] thỏa mãn định lí Viète:

\({x_1}^{} + {x_2} = 3\) và \({x_1}{x_2} = 1\).

Do đó \(P = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{3^2} - 4.1} = \sqrt 5 \).

Chọn A

Phương trình \( - {x^2} + 2x + 1 = 0\) có \( = 2 > 0\) nên có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] thỏa mãn định lí Viète:

\({x_1}^{} + {x_2} = 2\) và \({x_1}{x_2} = - 1\)

Do vậy \(Q = {x_1}^3 + {x_2}^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {2^3} - 3\left( { - 1} \right).2 = 14\).

Chọn B

Phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\) có \( = 5 > 0\) nên có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] thỏa mãn định lí Viète:

\({x_1}^{} + {x_2} = 1\) và \({x_1}{x_2} = - 2\).

Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình trên trục số bằng

\(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{1^2} - 4.( - 2)} = 3\)

Chọn C

Ta có: \(2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 2{x^2} + {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2}(x + 1) + \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow (x + 1)\left( {2{x^2} + x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow (x + 1)\left( {2{x^2} + 2x - x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow (x + 1)\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = \frac{1}{2}\\{x_3} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow P = - 1.\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.( - 1) + - 1( - 1) = 0\).

Chọn D

Phương trình \({x^2} - 2x - 1 = 0\) có có \[a.c = 1.\left( { - 1} \right) = - 1 < 0\]. Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) trái dấu.

Theo hệ thức Viète ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}.{x_2} = - 1}\end{array}} \right.\].

Gọi \(A\) và \(B\) lần lượt là điểm biểu diễn \({x_1}\) và \({x_2}\) trên \[Ox\].

Tam giác \(ABC\) có \[AB = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow A{B^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right) = 8\]

\[ \Rightarrow AB = 2\sqrt 2 \,\,(AB > 0)\]

\(CH = \left| {{y_c}} \right| = 5\).

Vậy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.CH = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .5 = 5\sqrt 2 \)

Chọn C

Phương trình \(2{x^2} - x - 2020 = 0\) có \(a.c = 2.\left( { - 2020} \right) = - 4040 < 0\)

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\).

Theo định lý Vi- ét ta có \({x_1}.\,{x_2} = \frac{{ - 2020}}{2} = - 1010\).

Gọi \(M\) và \(P\) lần lượt là điểm biểu diễn \({x_1}\) và \({x_2}\) trên \[Ox\].

Xét \[\Delta MNP\] vuông tại \[N\], \[NO \bot MP\] tại \[O\].

Áp dụng hệ thức lượng có \[O{N^2} = OM.OP = \left| {{x_1}} \right|.\left| {{x_2}} \right| = \left| {{x_1}{x_2}} \right| = \left| { - 1010} \right| = 1010\].

Vậy \[b = ON = \sqrt {1010} \].

Chọn C

Vì \(x = 1\) là một nghiệm của phương trình đã cho nên \(1 - 2\left( {m + 1} \right) - m + 7 = 0 \Leftrightarrow m = 2\).

Suy ra nghiệm còn lại của phương trình là \(\frac{c}{a} = \frac{{ - m + 7}}{1} = 5\).

Chọn A

Vì \(x = - 3\) là một nghiệm của phương trình: \( - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m = 0\) nên thay \(x = - 3\) vào phương trình ta có \( - 2.9 - 3\left( {m - 1} \right) + m = 0\)

\( \Leftrightarrow - 2m - 15 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 15}}{2}\).

Theo định lí Viète, phương trình đã cho có tổng các nghiệm là \(\frac{{ - b}}{a} = \frac{{m - 1}}{2} = \frac{{ - 17}}{4}\).

Chọn D

Do \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình đã cho nên:

\({3.2^2} - \left( {8m + 1} \right).2 + {m^2} - m = 0\) hay \({m^2} - 17m + 10 = 0\) \(\left( 1 \right)\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(\Delta > 0\) nên theo định lí Viète sẽ có hai nghiệm \({m_1}\); \({m_2}\) thỏa mãn \({m_1}.{m_2} = 10.\)

Vậy tích các giá trị \(m\) tìm được bằng \(10\).

Chọn C

Phương trình đã chon nhận \(x = 1\)làm một nghiệm khi và chỉ khi

\(4 - \left( {m + 1} \right) - 2m + 5 = 0\) hay \( - 3m + 8 = 0\) nên \(m = \frac{8}{3}\)

Chọn A

Phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 1\) khi và chỉ khi

\( - 3 - \left( { - 1} \right) + 2m - 4 = 0 \Leftrightarrow 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = 3\).

! Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có nghiệm \(x = - 1 \Leftrightarrow a - b + c = 0\).

Chọn C

Vì \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 3m = 0\) nên thay \(x = 2\) vào phương trình, ta có \[4 - 2\left( {m + 1} \right) + 3m = 0\] hay \[m + 2 = 0\] nên \[m = - 2\].

Theo định lí Viète, tích hai nghiệm của phương trình đã cho là \(\frac{c}{a} = 3m = - 6\).

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là \(\frac{{ - 6}}{2} = - 3\).

Chọn D

Phương trình \(2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1 = 0\) (\(m\) là tham số) có một nghiệm là \(m\). Nên: \(x = m\) thoả mãn phương trình \(2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1 = 0\).

Do đó: \(2{m^2} - \left( {2m - 1} \right).m + 1 = 0 \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\).

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: \(2{x^2} - \left[ {2.\left( { - 1} \right) - 1} \right]x + 1 = 0\) hay \(2{x^2} + 3x + 1 = 0\).

Theo Vi-et ta có:\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 3}}{2};\,\,\,\,{x_1}.{x_2} = \frac{1}{2}\).

Suy ra: \({x_1} + {x_2} - \,\,{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 3}}{2} - \,\,\frac{1}{2} = - 2\).

Chọn B

Vì đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 3mx + m\] (\[m\] là tham số) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ là \[ - 2\] và \[a\] nên \[ - 2\] và \[a\] là các nghiệm của phương trình \[{x^2} - 3mx + m = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\]

Vì \[x = - 2\] là một nghiệm của phương trình \[\left( 1 \right)\] nên

\[{\left( { - 2} \right)^2} - 3m\left( { - 2} \right) + m = 0 \Leftrightarrow 4 + 7m = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{7}\].

Theo định lí lí Viète, tích hai nghiệm của phương trình \[\left( 1 \right)\] là \[ - 2.a = m = \frac{{ - 4}}{7}\] hay \[a = \frac{2}{7}.\]

Chọn C

Vì đồ thị hàm số \[y = - 2{x^2} + x - m\] (\[m\] là tham số) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ là \[3\] và \[b\] nên \[3\] và \[b\] là các nghiệm của phương trình \[ - 2{x^2} + x - m = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\]

Vì \[x = 3\] là một nghiệm của phương trình \[\left( 1 \right)\] nên \[ - {2.3^2} + 3 - m = 0\] hay \[m = - 15\].

Theo định lí Viète, tổng hai nghiệm của phương trình \[\left( 1 \right)\] là \[3 + b = \frac{1}{2}\] hay \[b = - \frac{5}{2}\].

Chọn D

Có \(\Delta = {m^2} - 8\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2}.\) Phương trình có hai nghiệm \({x_1}\); \({x_2}\) phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta > 0\) hay \(m \ne 4\).

Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{m}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 2}}{2}.\end{array} \right.\)

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\(\frac{{{m^2}}}{4} - \left( {m - 2} \right) = 10\)

\({m^2} - 4m - 32 = 0\)

\(m = 8\) hoặc \(m = - 4\) (TM)

Tích các giá trị \(m\) tìm được bằng \( - 32\).

Chọn C

Phương trình đã cho có \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + m = {m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\) với mọi giá trị \(m\) nên nó luôn có hai nghiệm \({x_1}\); \({x_2}\).

Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m + 2\\{x_1}{x_2} = - m.\end{array} \right.\)

\(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = {\left( { - 2m + 2} \right)^2} + 3m = 4{m^2} - 5m + 1 = {\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}} \ge \frac{{39}}{{16}}.\)

Suy ra\(A\) nhỏ nhất khi \(2m - \frac{5}{4} = 0\) hay \(m = \frac{5}{8}.\)

Vậy giá trị \(m = \frac{5}{8}\) là giá trị cần tìm.

Chọn B

Phương trình đã cho có \(a + b + c = 1 - m - 1 + m = 0\) nên nó luôn có hai nghiệm \({x_1} = 1,{x_2} = m\).

Phương trình có hai nghiệm \({x_1}\); \({x_2}\) là độ dài của hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng \[\sqrt 2 \] hay\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 0\\{x_2} > 0\\{x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\,\left( {{\rm{Pythagore}}} \right)\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{m^2} = 1\end{array} \right.\] suy ra \[m = 1.\]

Vậy \[m = 1\] là giá trị cần tìm.

Chọn B

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \[ac < 0\] hay \[2\left( {m - 1} \right) < 0\].

Khi đó \[m - 1 < 0\] suy ra \[m < 1\].

Chọn C

Phương trình có nghiệm khi \[\Delta \ge 0\] \[ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 24 \ge 0\] \[ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 24\].

Nếu phương trình có hai nghiệm thì theo định lí Viète tích hai nghiệm đó là \[\frac{3}{2} > 0\], tức là hai nghiệm đấy cùng dấu.

Chọn C

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

\[\Delta ' > 0\]\[ \Leftrightarrow {m^2} - 10 > 0\] \[ \Leftrightarrow {m^2} > 10\]. \[\left( 1 \right)\]

Theo định lí Viète, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 10.\end{array} \right.\]

\[x_1^2 + x_2^2 = 29\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 29\]

\[4{m^2} - 20 = 29\]

\[{m^2} = \frac{{49}}{4}\]

\[m = \pm \frac{7}{2}\].

Cả hai giá trị \[m\] tìm được thỏa mãn điều kiện \[\left( 1 \right)\].

Vậy \(m = \frac{7}{2}\) hoặc \(m = \frac{{ - 7}}{2}\).

Chọn B

Phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) hay \(2 - m > 0\) nên \(m < 2\).

Theo định lí Viète ta có \({x_1} + {x_2} = 2\) và \({x_1}{x_2} = m - 1\).

\(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {4^2}\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\)

\(4 - 4\left( {m - 1} \right) = 16\)

\( - 4m = 8\)

\(m = - 2\).

Vậy \(m = - 2\) là giá trị cần tìm.

Chọn A

Phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\) hay \({\left( {m - 4} \right)^2} > 0\) nên \(m \ne 4\).

Theo định lí Viète ta có \({x_1} + {x_2} = m\) và \({x_1}{x_2} = 2m - 4\).

\(x_1^3 + x_2^3 = 9\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 9\)

\({m^3} - 3\left( {2m - 4} \right)m = 9\)

 \({m^3} - 6{m^2} + 12m - 8 = 1\)

\({\left( {m - 2} \right)^3} = 1\)

\(m - 2 = 1\)

\(m = 3\).

Vậy \(m = 3\) là giá trị cần tìm.

Chọn C

Phương trình \({x^2} - \left( {2m + 3} \right)x - 2m - 4 = 0\)có \(a - b + c = 1 + \left( {2m + 3} \right) - 2m - 4 = 0\)nên luôn có hai nghiệm \({x_1} = - 1,\,{x_2} = 2m + 4\).

Để \({x_1} \ne {x_2}\)thì \(2m + 4 \ne - 1\) nên \(m \ne \frac{{ - 5}}{2}\).

Ta có \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 5\)

\(1 + \left| {2m + 4} \right| = 5\)

\(\left| {2m + 4} \right| = 4\)

\(2m + 4 = 4\) hoặc \[2m + 4 = - 4\]

\(m = 0\) hoặc \(m = - 4\).

Cả hai giá trị \(m\) tìm được đều thỏa mãn điều kiện. Vậy \(m = 0\)hoặc \(m = - 4\).

Chọn B

Phương trình \({x^2} = 2mx + {m^2}\) hay \({x^2} - 2mx - {m^2} = 0.\,\,\left( 1 \right)\)

Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) hay \(2{m^2} > 0\) nên \(m \ne 0\)

Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - {m^2}.\end{array} \right.\)

\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{2022}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\)

\(\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2022}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\)

\(\frac{{2m}}{{ - {m^2}}} = \frac{{2022}}{{ - {m^2}}} + 1\)

\(2m = 2022 - {m^2}\,\,\left( {m \ne 0} \right)\)

 \({m^2} + 2m - 2022 = 0.\,\,\left( 2 \right)\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\)có hai nghiệm \({m_1}\); \({m_2}\) đều khác \(0\)và thỏa mãn \({m_1}{m_2} = - 2022\).

Vậy tích các giá trị \(m\)tìm được bằng \( - 2022\).

Chọn C

Nhận xét: Đáp án A bị loại vì hệ thức của \[{x_1}\], \[{x_2}\] không độc lập với tham số \[m\].

Nếu phương trình có hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] thì theo định lí Viète ta có

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2m + 1}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - m}\end{array}} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 1}\\{{x_1}{x_2} = - m}\end{array}} \right.\]\[ \Rightarrow {x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2}\]\[ = 2m + 1 - 2m = 1\].

Vậy hệ thức của \[{x_1}\], \[{x_2}\] độc lập với \[m\] là \[{x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} = 1\].

Chọn B

Phương trình đã cho có \(ac = - 3 < 0\)nên luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\).

Theo định lý Viète ta có \({x_1}{x_2} = \frac{c}{q} = - 3 \Rightarrow {x_1}{x_2} + 3 = 0.\)

Hệ thức của \({x_1}\), \({x_2}\)độc lập với tham số \(m\)là \({x_1}{x_2} + 3 = 0\).

Chọn A

Phương trình \({x^2} - mx - {m^2} = 0\) có \(\Delta = 5{m^2} \ge 0,\,\forall m\) nên luôn có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\)

Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - {m^2}.\end{array} \right.\)

Suy ra \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = {m^2} - {m^2} = 0.\)

Vậy hệ thức của \({x_1}\), \({x_2}\) độc lập với tham số \[m\] là \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = 0\).

Chọn B

Phương trình đã cho có \(ac = - {m^2} - 1 < 0,\,\forall m\) nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\); \[{x_2}\].

Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}{x_2} = - {m^2} - 1.\end{array} \right.\]

Suy ra: \[{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = {\left( { - m} \right)^2} - {m^2} - 1 = - 1\]

\[ \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = - 4\]

Vậy hệ thức của \({x_1}\); \[{x_2}\] độc lập với \[m\] là: \[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = - 4\].