Đề thi
52 bài tập Hệ Phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có lời giải
AdminToánÔn vào 1093 lượt thi
52 câu hỏi
1. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trong các hệ phương trình sau, hệ nào không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 5\\x + 2y = - 1\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} - 3y = 6\\3x + 5y = 15\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4{y^2} = 0\\2x + 5y = 7\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = - 3\\3x - 15 = 0\end{array} \right.\)
Xem đáp án
Chọn C
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4{y^2} = 0\\2x + 5y = 7\end{array} \right.\) ta thấy bậc của \(x,y\) là bậc 2
Nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4{y^2} = 0\\2x + 5y = 7\end{array} \right.\) ta thấy bậc của \(x,y\) là bậc 2
Nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn
2. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 6\\ - 2x - y = - 5\end{array} \right.\), hệ số \(a,b,c\) và \(a',b',c'\) của hệ phương trình?
\(a = 3;b = 1;c = 6\)và \(a' = - 2;b' = - 1;c = - 5\)
\(a = 1;b = 3;c = 6\)và\(a' = - 2,b' = - 1,c = - 5\)
\(a = 1;b = 3;c = 6\) và \(a' = - 2,b' = - 1,c = - 5\)
\(a = 1;b = 3;c = 6\)và\(a' = - 1,b' = - 2,c = 5\)
Xem đáp án
Chọn C
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 6\\ - 2x - y = - 5\end{array} \right.\) có hệ số \(a,b,c\) và \(a',b',c'\) là:
\(a = 1;b = 3\); \(c = 6\) và \(a' = - 2;b' = - 1\); \(c' = - 5\)
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 6\\ - 2x - y = - 5\end{array} \right.\) có hệ số \(a,b,c\) và \(a',b',c'\) là:
\(a = 1;b = 3\); \(c = 6\) và \(a' = - 2;b' = - 1\); \(c' = - 5\)
3. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 6\\ - x - y = 0\end{array} \right.\), cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình?
\(\left( {2;1} \right)\)
\(\left( {3;2} \right)\)
\(\left( {6;0} \right)\)
\(\left( { - 3;3} \right)\)
Xem đáp án
Chọn D
* Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(2 + 3 \cdot 1 = 5 \ne 6\) (không thỏa mãn)
Suy ra \(\left( {2;1} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {2;1} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = 3\) và \(y = 2\) vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(3 + 3 \cdot 2 = 9 \ne 6\)
Suy ra \(\left( {3;2} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {3;2} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = 6\) và \(y = 0\)
- Vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(6 + 3 \cdot 0 = 6\) (thỏa mãn)
- Vào phương trình \( - x - y = 0\) ta được \( - 6 - 6 = 12 \ne 0\) (không thỏa mãn)
Suy ra \(\left( {6;0} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {6;0} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = - 3\) và \(y = 3\)
- Vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \( - 3 + 3 \cdot 3 = 6\) (thỏa mãn)
- Vào phương trình \( - x - y = 0\) ta được \( - \left( { - 3} \right) - 3 = 0\) (thỏa mãn)
Suy ra \(\left( { - 3;3} \right)\) đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( { - 3;3} \right)\)là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(2 + 3 \cdot 1 = 5 \ne 6\) (không thỏa mãn)
Suy ra \(\left( {2;1} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {2;1} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = 3\) và \(y = 2\) vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(3 + 3 \cdot 2 = 9 \ne 6\)
Suy ra \(\left( {3;2} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {3;2} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = 6\) và \(y = 0\)
- Vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(6 + 3 \cdot 0 = 6\) (thỏa mãn)
- Vào phương trình \( - x - y = 0\) ta được \( - 6 - 6 = 12 \ne 0\) (không thỏa mãn)
Suy ra \(\left( {6;0} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {6;0} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = - 3\) và \(y = 3\)
- Vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \( - 3 + 3 \cdot 3 = 6\) (thỏa mãn)
- Vào phương trình \( - x - y = 0\) ta được \( - \left( { - 3} \right) - 3 = 0\) (thỏa mãn)
Suy ra \(\left( { - 3;3} \right)\) đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( { - 3;3} \right)\)là nghiệm hệ phương trình.
4. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + {b_1}y = 1\\ - 3x + {b_2}y = 5\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất khi:
\(\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{ - 2}}{3}\)
\(\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{ - 2}}{3}\)
\(\frac{{{b_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{ - 2}}{3}\)
\(\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{1}{5}\)
Xem đáp án
Chọn B
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + {b_1}y = 1\\ - 3x + {b_2}y = 5\end{array} \right.\)
Ta có: \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\) thì hệ có nghiệm duy nhất, mà \(\frac{a}{{a'}} = \frac{{ - 2}}{3}\) suy ra \(\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{ - 2}}{3}\)
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + {b_1}y = 1\\ - 3x + {b_2}y = 5\end{array} \right.\)
Ta có: \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\) thì hệ có nghiệm duy nhất, mà \(\frac{a}{{a'}} = \frac{{ - 2}}{3}\) suy ra \(\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{ - 2}}{3}\)
5. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 2\\y = 2x + 1\end{array} \right.\) có?
Nghiệm duy nhất
Hai nghiệm
Vô số nghiệm
Vô nghiêm
Xem đáp án
Chọn A
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 2\\y = 2x + 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\2x - y = - 1\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{3}{2} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} = 1\) hay \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\)
Nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 2\\y = 2x + 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\2x - y = - 1\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{3}{2} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} = 1\) hay \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\)
Nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất
6. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 2 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right.\) có?
Nghiệm duy nhất
Hai nghiệm
Vô số nghiệm
Vô nghiêm
Xem đáp án
Chọn D
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 2 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x - y = - 3\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{1}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{3}\) hay \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\)
Nên hệ phương trình vô nghiệm.
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 2 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x - y = - 3\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{1}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{3}\) hay \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\)
Nên hệ phương trình vô nghiệm.
7. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\4x - 2y + 6 = 0\end{array} \right.\) có?
Nghiệm duy nhất
Hai nghiệm
Vô số nghiệm
Vô nghiêm
Xem đáp án
Chọn C
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\4x - 2y + 6 = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\4x - 2y = - 6\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 6}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\) hay \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\)
Nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\4x - 2y + 6 = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\4x - 2y = - 6\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 6}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\) hay \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\)
Nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
8. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Để chuẩn bị cho buổi liên hoan của gia đình, bác Ngọc mua hai loại thực phẩm là thịt lợn và cá chép. Giá tiền thịt lợn là \(130\)nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là \(50\) nghìn đồng/kg. Bác Ngọc đã chi \(295\) nghìn để mua \(3,5{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên. Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kilogam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,5\\130x + 50y = 295\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3,5\\130x + y = 295\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,5\\x + 50y = 295\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 295\\130x + 50y = 3,5\end{array} \right.\)
Xem đáp án
Chọn A
Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kilogam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua.
Do bác Ngọc chỉ mua \(3,5{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên.
Ta có phương trình: \(x + y = 3,5\)
Và giá tiền thịt lợn là \(130\)nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là \(50\) nghìn đồng/kg. Bác Ngọc đã chi \(295\) nghìn để mua \(3,5{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên
Ta có phương trình: \(130x + 50y = 295\)
Vậy ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,5\\130x + 50y = 295\end{array} \right.\)
Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kilogam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua.
Do bác Ngọc chỉ mua \(3,5{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên.
Ta có phương trình: \(x + y = 3,5\)
Và giá tiền thịt lợn là \(130\)nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là \(50\) nghìn đồng/kg. Bác Ngọc đã chi \(295\) nghìn để mua \(3,5{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên
Ta có phương trình: \(130x + 50y = 295\)
Vậy ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,5\\130x + 50y = 295\end{array} \right.\)
9. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - m\\ - 4x + 2y = 10\end{array} \right.\) có vô số nghiệm, khi \(m\) có giá trị:
\(m = 2\)
\(m \ne - 4\)
\(m = - 5\)
\(m = 5\)
Xem đáp án
Chọn D
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - m\\ - 4x + 2y = 10\end{array} \right.\) có vô số nghiệm
Khi \(\frac{{ - 2}}{4} = \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{ - m}}{{10}}\) suy ra \( - 2m = - 1 \cdot 10\) suy ra \(m = 5\)
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - m\\ - 4x + 2y = 10\end{array} \right.\) có vô số nghiệm
Khi \(\frac{{ - 2}}{4} = \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{ - m}}{{10}}\) suy ra \( - 2m = - 1 \cdot 10\) suy ra \(m = 5\)
10. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - my = - 3\\ - 4x + 2y = 6\end{array} \right.\) vô nghiệm, khi \(m\) có giá trị:
\(m = 2\) và \(m \ne \frac{1}{2}\)
\(m \ne 4\)
\(m = - 1\)
\(m \ne 1\)
Xem đáp án
Chọn D
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - my = - 3\\ - 4x + 2y = 6\end{array} \right.\) vô nghiệm khi \(\frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - m}}{2} \ne \frac{{ - 3}}{6}\) suy ra \(m \ne 1\)
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - my = - 3\\ - 4x + 2y = 6\end{array} \right.\) vô nghiệm khi \(\frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - m}}{2} \ne \frac{{ - 3}}{6}\) suy ra \(m \ne 1\)
11. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Đường thẳng \({d_1}:y = \frac{1}{2}x\) và \({d_2}:y = - x + 3\) cắt nhau tại điểm \(M\). Tọa điểm \(M\) là cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\)?
\(M\left( {1;2} \right)\)
\(M\left( {2;0} \right)\)
\(M\left( {2;1} \right)\)
\(M\left( {2; - 1} \right)\)
Xem đáp án
Chọn C
Vì \({d_1}\) cắt \({d_2}\) nên ta có phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{1}{2}x = - x + 3\)
\(x = - 2x + 6\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\) suy \(y = 1\)
Vậy \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại \(M\left( {2;1} \right)\)
Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào
- Phương trình \(x - 2y = 0\) ta được \(2 - 2 \cdot 1 = 0\) (thỏa mãn)
- Phương trình \(x + y = 3\) ta được \(2 + 1 = 3\) (thỏa mãn)
Do cặp số \(\left( {2;1} \right)\) đều thỏa mãn hai phương trình
Nên \(M\left( {2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\)
Vì \({d_1}\) cắt \({d_2}\) nên ta có phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{1}{2}x = - x + 3\)
\(x = - 2x + 6\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\) suy \(y = 1\)
Vậy \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại \(M\left( {2;1} \right)\)
Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào
- Phương trình \(x - 2y = 0\) ta được \(2 - 2 \cdot 1 = 0\) (thỏa mãn)
- Phương trình \(x + y = 3\) ta được \(2 + 1 = 3\) (thỏa mãn)
Do cặp số \(\left( {2;1} \right)\) đều thỏa mãn hai phương trình
Nên \(M\left( {2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\)
12. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 8\\2x - 7y = - 23\end{array} \right.\) có nghiệm là:
\(x = 1;y = - 3\)
\(x = - 1;y = 3\)
\(x = - 3;y = 1\)
\(x = 3;y = - 1\)
Xem đáp án
Chọn B
Giải hệ phương trình trên ta được \(x = - 1;y = 3.\)
Chú ý: Ta cũng có thể thay các giá trị của x và y ở các phương án và các phương trình đã cho. Tuy nhiên, cách này chỉ tối ưu khi việc giải hệ phương trình trên gặp khó khăn.
Giải hệ phương trình trên ta được \(x = - 1;y = 3.\)
Chú ý: Ta cũng có thể thay các giá trị của x và y ở các phương án và các phương trình đã cho. Tuy nhiên, cách này chỉ tối ưu khi việc giải hệ phương trình trên gặp khó khăn.
13. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biết rằng \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y = 23\\x - 6y = 17\end{array} \right.\). Tính \({x_0} + {y_0}\)
3
4
2
5
Xem đáp án
Chọn A
Giải hệ phương trình trên ta được \({x_0} = 5;\) \({y_0} = - 2\)\( \Rightarrow {x_0} + {y_0} = 3\).
Giải hệ phương trình trên ta được \({x_0} = 5;\) \({y_0} = - 2\)\( \Rightarrow {x_0} + {y_0} = 3\).
14. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \(a,b\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}3a + 3b = 2\\11a + 6b = 4\end{array} \right.\). Tính \(P = 19ab.\)
3
\( - 2\)
4
0
Xem đáp án
Chọn D
Từ giả thiết ta tính được \(a = 0\), \(b = \frac{2}{3} \Rightarrow P = 0\).
Từ giả thiết ta tính được \(a = 0\), \(b = \frac{2}{3} \Rightarrow P = 0\).
15. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \(a,b\)là các số thực thỏa mãn điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 1\\3a - 4b = - 40\end{array} \right.\). Tính \(P = ab\)
\(1\)
\( - 28\)
\(28\)
\( - 32\)
Xem đáp án
Chọn B
Từ giả thiết ta tính được \[a = - 4\] và \[b = 7\], \(P = - 28\).
Từ giả thiết ta tính được \[a = - 4\] và \[b = 7\], \(P = - 28\).
16. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \(\left( {x,y} \right)\)là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = - 16\\3x + 2y = 3\end{array} \right.\)
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(y = 3x\)
\(x = 3y\)
\(y = - 3x\)
\(x = - 3y\)
Xem đáp án
Chọn C
Từ giả thiết ta tính được \[x = - 1\] và \[y = 3\]. Hay \(y = - 3x\).
Từ giả thiết ta tính được \[x = - 1\] và \[y = 3\]. Hay \(y = - 3x\).
17. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = - 5\end{array} \right.\)có nghiệm là:
\(x = 1,y = - 4\).
\(x = 1,y = 4\).
\(x = - 1,y = - 1\).
\(x = y = 1\)
Xem đáp án
Chọn A
Từ giả thiết ta tính \(x = 1,y = - 4\).
Từ giả thiết ta tính \(x = 1,y = - 4\).
18. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biết rằng \(\left( {x,y} \right)\)là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 2y = - 20\\x - y = - 11\end{array} \right.\). Tính \(S = {x^2} + {y^2}\)
\(61\).
\(64\).
\(50\).
\(74\)
Xem đáp án
Chọn A
Từ giả thiết ta tính \(x = - 6,\,\,y = 5\).
Từ giả thiết ta tính \(x = - 6,\,\,y = 5\).
19. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Có bao nhiêu giá trị của tham số \(k\) để \(x = - 1,y = 2\) là một nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 5\\x + \left( {{k^2} - 6k + 4} \right)y = 7\end{array} \right.\)
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\)
Xem đáp án
Chọn C
\(x = - 1,y = 2\) luôn thoả mãn phương trình thứ nhất. Thay \(x = - 1,y = 2\) vào phương trình thứ hai ta được \( - 1 + \left( {{k^2} - 6k + 4} \right).2 = 7\) hay \({k^2} - 6k + 4 = 4\) nên \[k\left( {k - 6} \right) = 0\]nên \[k = 0\]hoặc \[k = 6\]. Vạy có 2 giá trị của k thoả mãn.
\(x = - 1,y = 2\) luôn thoả mãn phương trình thứ nhất. Thay \(x = - 1,y = 2\) vào phương trình thứ hai ta được \( - 1 + \left( {{k^2} - 6k + 4} \right).2 = 7\) hay \({k^2} - 6k + 4 = 4\) nên \[k\left( {k - 6} \right) = 0\]nên \[k = 0\]hoặc \[k = 6\]. Vạy có 2 giá trị của k thoả mãn.
20. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm giá trị của tham số \(m\)để hệ phương trình sau vô số nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 5\\\left( {{m^2} - 7m + 6} \right)x - 2y = 10\end{array} \right.\)
\(m \in {\rm{\{ }}0;7{\rm{\} }}\).
\(m \in {\rm{\{ }}0; - 7{\rm{\} }}\).
\(m = 1\).
Không tồn tại \(m\)
Xem đáp án
Chọn A
Nhân 2 vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 10\\\left( {{m^2} - 7m + 6} \right)x - 2y = 10\end{array} \right.\)
Hệ có vô số nghiệm khi \({m^2} - 7m + 6 = 6\) nên \(m \in {\rm{\{ }}0;7{\rm{\} }}\).
Nhân 2 vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 10\\\left( {{m^2} - 7m + 6} \right)x - 2y = 10\end{array} \right.\)
Hệ có vô số nghiệm khi \({m^2} - 7m + 6 = 6\) nên \(m \in {\rm{\{ }}0;7{\rm{\} }}\).
21. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm giá trị của tham số \(k\)để hai hệ phương trình sau có cùng giá trị nghiệm: \(\left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 9\\x + y = 2\end{array} \right.\) và \(\left( {II} \right)\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 5\\\left( {k + 2} \right)x - y = 25\end{array} \right.\)
\(4\).
\(5\).
\(6\).
\( - 6\)
Xem đáp án
Chọn C
Giải hệ phương trình (I) ta được nghiệm\[x = 3\]; \[y = - 1\] thay vào hệ (II) ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}3.3 + 4.( - 1) = 5\\\left( {k + 2} \right).3 - ( - 1) = 25\end{array} \right.\). Phương trình thứ nhất của hệ (II) đúng, phương trình thứ hai của hệ (II) có \[k + 2 = 8\] nên \[k = 6\].
Giải hệ phương trình (I) ta được nghiệm\[x = 3\]; \[y = - 1\] thay vào hệ (II) ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}3.3 + 4.( - 1) = 5\\\left( {k + 2} \right).3 - ( - 1) = 25\end{array} \right.\). Phương trình thứ nhất của hệ (II) đúng, phương trình thứ hai của hệ (II) có \[k + 2 = 8\] nên \[k = 6\].
22. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm giá trị của \(a,b\)để \(x = 1,y = 4\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + \left( {a - 3} \right)y = - 2\\\left( {b - 2} \right)x + 3y = 13\end{array} \right.\)
\(a = 2,b = 3\).
\(a = - 2,b = 3\).
\(a = 2,b = - 3\).
\(a = 2,b = - 3\)
Xem đáp án
Chọn A
Thay \(x = 1,y = 4\) ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}2 + (a - 3).4 = - 2\\b - 2 + 12 = 13\end{array} \right.\] ta được \(a = 2,b = 3\)
Thay \(x = 1,y = 4\) ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}2 + (a - 3).4 = - 2\\b - 2 + 12 = 13\end{array} \right.\] ta được \(a = 2,b = 3\)
23. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho biết\[x\], \[y\]là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{11}}{{30}}\\\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = \frac{9}{{10}}\end{array} \right.\)Khẳng định nào dưới đây là đúng:
\(x < y\)
\(x = y\)
\(x + y = 15\)
\(x > y\)
Xem đáp án
Chọn D
Giải hệ phương trình trên ta được \(x = 6,\) \(y = 5.\)
Giải hệ phương trình trên ta được \(x = 6,\) \(y = 5.\)
24. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Gọi \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt x + 3\sqrt {y - 3} = 18\\3\sqrt x - \sqrt {y - 3} = 5\end{array} \right.\). Tính \(x + y\).
26
27
28
32
Xem đáp án
Chọn C
Đặt \(a = \sqrt x ,b = \sqrt {y - 3} \) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 18\\3a - b = 5\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow a = 3,b = 4 \Rightarrow x = 9,y = 19.\)
Đặt \(a = \sqrt x ,b = \sqrt {y - 3} \) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 18\\3a - b = 5\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow a = 3,b = 4 \Rightarrow x = 9,y = 19.\)
25. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm giá trị của tham số \[m\] để hai hệ phương trình sau có cùng giá trị nghiệm \((I)\left\{ \begin{array}{l}x - y = 7\\4x + 3y = 0\end{array} \right.\)\((II)\left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = - m\\4x + 3y = 0\end{array} \right.\)
14
\( - 14\)
7
\( - 7\)
Xem đáp án
Chọn B
Biến đổi hệ (I) thành \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = 14\\4x + 3y = 0\end{array} \right.\), Khi đó hai hệ phương trình có cùng giá trị nghiệm khi \( - m = 14 \Leftrightarrow m = - 14\).
Biến đổi hệ (I) thành \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = 14\\4x + 3y = 0\end{array} \right.\), Khi đó hai hệ phương trình có cùng giá trị nghiệm khi \( - m = 14 \Leftrightarrow m = - 14\).
26. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm các giá trị tham số a để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + y = 3\\4x + ay = - 1\end{array} \right.\) có một nghiệm là \(x = 2;y = - 3\)
4
\( - 3\)
2
3
Xem đáp án
Chọn D
Thay \(x = 2;y = - 3\) vào hệ\(:\left\{ \begin{array}{l}ax + y = 3\\4x + ay = - 1\end{array} \right.\) ta được \(a = 3\).
Thay \(x = 2;y = - 3\) vào hệ\(:\left\{ \begin{array}{l}ax + y = 3\\4x + ay = - 1\end{array} \right.\) ta được \(a = 3\).
27. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm tất cả các giá trị của tham số \[k\]để hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}kx - 2y = 1\\3x + y = 3\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất.
\(k \ne - 6\)
\(k = - 6\)
\(k \ne - 2\)
Không tồn tại k
Xem đáp án
Chọn A
Hệ có nghiệm duy nhất khi \(\frac{k}{3} \ne \frac{{ - 2}}{1} \Leftrightarrow k \ne - 6\).
Hệ có nghiệm duy nhất khi \(\frac{k}{3} \ne \frac{{ - 2}}{1} \Leftrightarrow k \ne - 6\).
28. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có vô nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\mx + 4y = - 1\end{array} \right.\)
1
2
3
4
Xem đáp án
Chọn B
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{1}{m} = \frac{m}{4} \ne \frac{3}{{ - 1}} \Leftrightarrow m \ne \pm 2\).
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{1}{m} = \frac{m}{4} \ne \frac{3}{{ - 1}} \Leftrightarrow m \ne \pm 2\).
29. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có vô số nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 2\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\\{m^2}x - 3y = 2\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 2 \right)}\end{array}\end{array} \right.\)
\( \pm 1\)
2
\( - 2\)
3
Xem đáp án
Chọn A
Trừ từng vế ta được \((1 - {m^2})x = 0\) \(\left( 3 \right)\). Hệ phương trình có vô số nghiệm \((1 - {m^2}) = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
Trừ từng vế ta được \((1 - {m^2})x = 0\) \(\left( 3 \right)\). Hệ phương trình có vô số nghiệm \((1 - {m^2}) = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
30. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm \(M(x,y)\) với x, y thỏa mãn điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3 - m\\x - y = 3m - 3\end{array} \right.\). Tìm các giá trị của m để điểm M thuộc đường thẳng \(\left( d \right):y = x\).
\( - 1\)
0
2
1
Xem đáp án
Chọn D
Từ điều kiện đã cho ta có: \(x = m,y = 3 - 2m\). Để \(M \in d \Leftrightarrow 3 - 2m = m \Rightarrow m = 1\).
Từ điều kiện đã cho ta có: \(x = m,y = 3 - 2m\). Để \(M \in d \Leftrightarrow 3 - 2m = m \Rightarrow m = 1\).
31. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Có bao nhiêu giá trị k để hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}(x - 3)(y + {k^2} - 16) = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\\(x - k)(y - 7) = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 2 \right)}\end{array}\end{array} \right.\)
1
2
3
0
Xem đáp án
Chọn A
Giải phương trình (1) tìm được \(x = 3,y = 16 - {k^2};\) giải phương trình (2) tìm được\(x = k,y = 7\)
Hệ có nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l}k = 3\\7 = 16 - {k^2}\end{array} \right.\) suy ra \(k = 3\) thoả mãn.
Giải phương trình (1) tìm được \(x = 3,y = 16 - {k^2};\) giải phương trình (2) tìm được\(x = k,y = 7\)
Hệ có nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l}k = 3\\7 = 16 - {k^2}\end{array} \right.\) suy ra \(k = 3\) thoả mãn.
32. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm tất cả giá trị của tham số \(k\)để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: \(\left\{ \begin{array}{l}8x - {k^2}y = 12\\2x - y = 1 - k\end{array} \right.\)
\(k \ne - 2\).
\(k \ne 2\).
\(k \ne \pm 3\).
\(k \ne \pm 2\)
Xem đáp án
Chọn D
Trừ hai vế của hệ phương trình ta được\((4 - {k^2})y = 8 - 4{k^2}\,\,\,\,(I)\)
(I) có nghiệm duy nhất khi \(4 - {k^2} \ne 0 \Leftrightarrow k \ne \pm 2\).
Trừ hai vế của hệ phương trình ta được\((4 - {k^2})y = 8 - 4{k^2}\,\,\,\,(I)\)
(I) có nghiệm duy nhất khi \(4 - {k^2} \ne 0 \Leftrightarrow k \ne \pm 2\).
33. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trên mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M(x;y)\) với \(x,y\)thỏa mãn điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3k - 1\\3x - y = k + 1\end{array} \right.\). Tìm giá trị \(k\) để điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(y = 3x - 7\)
\(7\).
\(5\).
\( - 6\).
\(6\)
Xem đáp án
Chọn D
Giải hệ ta được \[x = k\] và \[y = 2k - 1\]. Do M thuộc \(y = 3x - 7\) nên \[2k - 1 = 3k - 7\]. Ta được \[k = 6\].
Giải hệ ta được \[x = k\] và \[y = 2k - 1\]. Do M thuộc \(y = 3x - 7\) nên \[2k - 1 = 3k - 7\]. Ta được \[k = 6\].
34. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Số nghiệm của hệ phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 1) = xy - 1\\(x - 3)(y - 3) = xy - 3\end{array} \right.\] là:
\(1\).
\[0\].
\[2\].
Vô số nghiệm.
Xem đáp án
Chọn A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 1) = xy - 1\\(x - 3)(y - 3) = xy - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 3y - 3y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 6y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\y = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (2;2)\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 1) = xy - 1\\(x - 3)(y - 3) = xy - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 3y - 3y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 6y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\y = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (2;2)\]
35. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 3) = (x - 1)(y + 3)\\(x - 3)(y + 1) = (x + 1)(y - 3)\end{array} \right.\]. Chọn câu đúng.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (1;1)\].
Hệ phương trình vô nghiệm.
Hệ phương trình vô số nghiệm.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (0;0)\].
Xem đáp án
Chọn D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 3) = (x - 1)(y + 3)\\(x - 3)(y + 1) = (x + 1)(y - 3)\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}xy - 3x + y - 3 = xy + 3x - y - 3\\xy + x - 3y - 3 = xy - 3x + y - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 0\\4x - 4y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\6y - 2y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\4y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (0;0)\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 3) = (x - 1)(y + 3)\\(x - 3)(y + 1) = (x + 1)(y - 3)\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}xy - 3x + y - 3 = xy + 3x - y - 3\\xy + x - 3y - 3 = xy - 3x + y - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 0\\4x - 4y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\6y - 2y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\4y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (0;0)\].
36. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hai đường thẳng: \[{d_1}:mx - 2(3n + 2)y = 6\] và \[{d_2}:(3m - 1)x + 2ny = 56\]. Tìm tích \(m.n\) để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(I( - 2;3)\).
\[0\].
\[1\].
\[2\].
\[ - 2\].
Xem đáp án
Chọn A
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_1}\] ta được \[m.( - 2) - 2(3n + 2).3 = 6\] hay \[ - 2m - 18n = 18\] vậy \[m + 9n = - 9\]
+) Thay tọa độ điểm \[I\]vào phương trình \[{d_2}\] ta được \[(3m - 1).( - 2) + 2n.3 = 56\] hay \[ - 6m + 2 + 6n = 56\] vậy \[m - n = - 9\]
Suy ra hệ phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}m + 9n = - 9\\m - n = - 9\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\ - 9 + n + 9n = - 9\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\10n = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = 0\\m = - 9\end{array} \right.\] suy ra \[m.n = 0\]. Vậy \[m.n = 0\].
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_1}\] ta được \[m.( - 2) - 2(3n + 2).3 = 6\] hay \[ - 2m - 18n = 18\] vậy \[m + 9n = - 9\]
+) Thay tọa độ điểm \[I\]vào phương trình \[{d_2}\] ta được \[(3m - 1).( - 2) + 2n.3 = 56\] hay \[ - 6m + 2 + 6n = 56\] vậy \[m - n = - 9\]
Suy ra hệ phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}m + 9n = - 9\\m - n = - 9\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\ - 9 + n + 9n = - 9\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\10n = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = 0\\m = - 9\end{array} \right.\] suy ra \[m.n = 0\]. Vậy \[m.n = 0\].
37. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hai đường thẳng: \[{d_1}:mx - 2(3n + 2)y = 18\] và \[{d_2}:(3m - 1)x + 2ny = - 37\]. Tìm tích \(m.n\) để hai đường thẳng \[{d_1},{d_2}\] cắt nhau tại điểm \(I( - 5;2)\).
\[m = 2;n = 3\].
\[m = - 2;n = - 3\].
\[m = 2;n = - 3\].
\[m = 3;n = - 2\].
Xem đáp án
Chọn C
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_1}\] ta được \[m.( - 5) - 2(3n + 2).2 = 18\] hay \[ - 5m - 12n - 8 = 18\] vậy \[5m + 12n = - 26\]
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_2}\] ta được \[(3m - 1).( - 5) + 2n.2 = - 37\] hay \[ - 15m + 5 + 4n = - 37\] vậy \[15m - 4n = 42\]
Suy ra hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}5m + 12n = - 26\\15m - 4n = 42\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5m + 12n = - 26\\n = \frac{{15m - 42}}{4}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\5m + 12.\frac{{15m - 42}}{4} = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\5m + 3(15m - 42) = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\50m - 126 = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - 3\end{array} \right.\]
Vậy \[m = 2;n = - 3\].
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_1}\] ta được \[m.( - 5) - 2(3n + 2).2 = 18\] hay \[ - 5m - 12n - 8 = 18\] vậy \[5m + 12n = - 26\]
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_2}\] ta được \[(3m - 1).( - 5) + 2n.2 = - 37\] hay \[ - 15m + 5 + 4n = - 37\] vậy \[15m - 4n = 42\]
Suy ra hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}5m + 12n = - 26\\15m - 4n = 42\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5m + 12n = - 26\\n = \frac{{15m - 42}}{4}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\5m + 12.\frac{{15m - 42}}{4} = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\5m + 3(15m - 42) = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\50m - 126 = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - 3\end{array} \right.\]
Vậy \[m = 2;n = - 3\].
38. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm \(a,b\) để đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua hai điểm \(M(3; - 5),N(1;2)\)
\[a = \frac{7}{2};b = \frac{{ - 11}}{2}\].
\[a = \frac{{ - 7}}{2};b = \frac{{ - 11}}{2}\].
\[a = \frac{7}{2};b = \frac{{11}}{2}\].
\[a = \frac{{ - 7}}{2};b = \frac{{11}}{2}\].
Xem đáp án
Chọn D
Thay tọa độ điểm \[M\] vào phương trình đường thẳng ta được \[3a + b = - 5\]
Thay tọa độ điểm \[N\] vào phương trình đường thẳng ta được \[a + b = 2\]
Từ đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\3a + b = - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\3a + 2 - a = - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\2a = - 7\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 7}}{2}\\b = \frac{{11}}{2}\end{array} \right.\]
Vậy \[a = \frac{{ - 7}}{2};b = \frac{{11}}{2}\].
Thay tọa độ điểm \[M\] vào phương trình đường thẳng ta được \[3a + b = - 5\]
Thay tọa độ điểm \[N\] vào phương trình đường thẳng ta được \[a + b = 2\]
Từ đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\3a + b = - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\3a + 2 - a = - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\2a = - 7\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 7}}{2}\\b = \frac{{11}}{2}\end{array} \right.\]
Vậy \[a = \frac{{ - 7}}{2};b = \frac{{11}}{2}\].
39. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho đa thức \[P(x) = m{x^3} + (m - 2){x^2} - (3n - 5)x - 4n\] đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\)
\[m = - \frac{{22}}{9};n = 7\].
\[m = \frac{{22}}{9};n = - 7\].
\[m = - \frac{{22}}{9};n = - 7\].
\[m = - 7;n = - \frac{{22}}{9}\].
Xem đáp án
Chọn C
Ta sử dụng: Đa thức \[P(x)\] chia hết cho đa thức \[x - a\] khi và chỉ khi \[P(a) = 0\]
Áp dụng mệnh đề trên với \[a = - 1\], rồi với \[a = 3\], ta có
\[\begin{array}{l}P( - 1) = m{( - 1)^3} + (m - 2).{( - 1)^2} - (3n - 5).( - 1) - 4n = - n - 7\\P(3) = m{.3^3} + (m - 2){.3^2} - (3n - 5).3 - 4n = 36m - 13n - 3\end{array}\]
Theo giả thiết, \[P(x)\]chia hết cho \[x + 1\] nên \[P( - 1) = 0\] tức là \[ - n - 7 = 0\]
Tương tự, vì \[P(x)\]chia hết cho \[x - 3\] nên \[P(3) = 0\] tức là \[36m - 13n - 3 = 0\]
Vậy ta phải giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - n - 7 = 0\\36m - 13n - 3 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\36m - 13.( - 7) - 3 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\m = - \frac{{22}}{9}\end{array} \right.\]
Trả lời: Vậy \[m = - \frac{{22}}{9};n = - 7\].
Ta sử dụng: Đa thức \[P(x)\] chia hết cho đa thức \[x - a\] khi và chỉ khi \[P(a) = 0\]
Áp dụng mệnh đề trên với \[a = - 1\], rồi với \[a = 3\], ta có
\[\begin{array}{l}P( - 1) = m{( - 1)^3} + (m - 2).{( - 1)^2} - (3n - 5).( - 1) - 4n = - n - 7\\P(3) = m{.3^3} + (m - 2){.3^2} - (3n - 5).3 - 4n = 36m - 13n - 3\end{array}\]
Theo giả thiết, \[P(x)\]chia hết cho \[x + 1\] nên \[P( - 1) = 0\] tức là \[ - n - 7 = 0\]
Tương tự, vì \[P(x)\]chia hết cho \[x - 3\] nên \[P(3) = 0\] tức là \[36m - 13n - 3 = 0\]
Vậy ta phải giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - n - 7 = 0\\36m - 13n - 3 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\36m - 13.( - 7) - 3 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\m = - \frac{{22}}{9}\end{array} \right.\]
Trả lời: Vậy \[m = - \frac{{22}}{9};n = - 7\].
40. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho đa thức \[Q(2) = (3m - 1){x^3} - (2n - 5){x^2} - n.x - 9m - 72\] đồng thời chia hết cho \(x - 2\) và \(x + 3\)
\[n = \frac{4}{5};m = - \frac{{24}}{5}\].
\[m = \frac{4}{5};n = - \frac{4}{5}\].
\[m = \frac{4}{5};n = \frac{{24}}{5}\].
\[m = \frac{4}{5};n = - \frac{{24}}{5}\].
Xem đáp án
Chọn D
Ta sử dụng: Đa thức \(Q(x)\) chia hết cho đa thức \[x - a\] khi và chỉ khi \[Q(a) = 0\]
Áp dụng mệnh đề đã cho với \[a = 2\], rồi với \[a = - 3\], ta có
\[\begin{array}{l}Q(2) = (3m - 1){2^3} - (2n - 5){2^2} - n.2 - 9m - 72\\ = 24m - 8 - 8n + 20 - 2n - 9m - 72 = 15m - 10n - 60\\Q( - 3) = (3m - 1){( - 3)^3} - (2n - 5){( - 3)^2} - n.( - 3) - 9m - 72\\ = - 81m + 27 - 18n + 45 + 3n - 9m - 72 = - 90m - 15n\end{array}\]
Theo giả thiết, \(Q(x)\)chia hết cho \[x - 2\] nên \[Q(2) = 0\] tức là \[15m - 10n - 60 = 0\] (1)
Tương tự, vì \(Q(x)\)chia hết cho \[x + 3\] nên \[Q( - 3) = 0\] tức là \[ - 90m - 15n = 0\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}15m - 10n - 60 = 0\\ - 90m - 15n = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 6m\\15m - 10( - 6m) = 60\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{4}{5}\\n = - \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\]
Trả lời: Vậy \[m = \frac{4}{5};n = - \frac{{24}}{5}\].
Ta sử dụng: Đa thức \(Q(x)\) chia hết cho đa thức \[x - a\] khi và chỉ khi \[Q(a) = 0\]
Áp dụng mệnh đề đã cho với \[a = 2\], rồi với \[a = - 3\], ta có
\[\begin{array}{l}Q(2) = (3m - 1){2^3} - (2n - 5){2^2} - n.2 - 9m - 72\\ = 24m - 8 - 8n + 20 - 2n - 9m - 72 = 15m - 10n - 60\\Q( - 3) = (3m - 1){( - 3)^3} - (2n - 5){( - 3)^2} - n.( - 3) - 9m - 72\\ = - 81m + 27 - 18n + 45 + 3n - 9m - 72 = - 90m - 15n\end{array}\]
Theo giả thiết, \(Q(x)\)chia hết cho \[x - 2\] nên \[Q(2) = 0\] tức là \[15m - 10n - 60 = 0\] (1)
Tương tự, vì \(Q(x)\)chia hết cho \[x + 3\] nên \[Q( - 3) = 0\] tức là \[ - 90m - 15n = 0\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}15m - 10n - 60 = 0\\ - 90m - 15n = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 6m\\15m - 10( - 6m) = 60\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{4}{5}\\n = - \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\]
Trả lời: Vậy \[m = \frac{4}{5};n = - \frac{{24}}{5}\].
41. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biết nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1\\\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5\end{array} \right.\]là \((x;y)\). Tính \(9x + 2y\)
\[10\].
\[14\].
\[11\].
\[13\].
Xem đáp án
Chọn B
Điều kiện: \[x \ne 0;y \ne 0\]
Đặt \[\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b\] khi đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 1\\3a + 4b = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\3(1 + b) + 4b = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\7b = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{2}{7}\\a = 1 + \frac{2}{7}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{7}\\b = \frac{2}{7}\end{array} \right.\]
Trả lại biến ta được \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{9}{7}\\\frac{1}{y} = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{9}\\b = \frac{7}{2}\end{array} \right.\] (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó \[9x + 2y = 9.\frac{7}{9} + 2.\frac{7}{2} = 14\]
Điều kiện: \[x \ne 0;y \ne 0\]
Đặt \[\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b\] khi đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 1\\3a + 4b = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\3(1 + b) + 4b = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\7b = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{2}{7}\\a = 1 + \frac{2}{7}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{7}\\b = \frac{2}{7}\end{array} \right.\]
Trả lại biến ta được \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{9}{7}\\\frac{1}{y} = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{9}\\b = \frac{7}{2}\end{array} \right.\] (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó \[9x + 2y = 9.\frac{7}{9} + 2.\frac{7}{2} = 14\]
42. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3(y - 5) + 2(x - 3) = 0\\7(x - 4) + 3(x + y - 1) - 14 = 0\end{array} \right.\] là \((x;y)\). Tính \[{x^2} + {y^2}\].
\[8\].
\[34\].
\[21\].
\[24\].
Xem đáp án
Chọn B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}3(y - 5) + 2(x - 3) = 0\\7(x - 4) + 3(x + y - 1) - 14 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3y - 15 + 2x - 6 = 0\\7x - 28 + 3x + 3y - 3 - 14 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 21\\10x + 3y = 45\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3y = 21 - 2x\\8x = 24\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\3y = 15\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {3;5} \right)\] \[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {3^2} + {5^2} = 34\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}3(y - 5) + 2(x - 3) = 0\\7(x - 4) + 3(x + y - 1) - 14 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3y - 15 + 2x - 6 = 0\\7x - 28 + 3x + 3y - 3 - 14 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 21\\10x + 3y = 45\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3y = 21 - 2x\\8x = 24\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\3y = 15\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {3;5} \right)\] \[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {3^2} + {5^2} = 34\].
43. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2(x + y) + 3(x - y) = 4\\(x + y) + 2(x - y) = 5\end{array} \right.\] là \((x;y)\). Chọn câu đúng.
\[x > 0;y < 0\].
\[x - y = 7\].
\[x - y = - 7\].
\[x > y\].
Xem đáp án
Chọn D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2(x + y) + 3(x - y) = 4\\(x + y) + 2(x - y) = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y + 3x - 3y = 4\\x + y + 2x - 2y = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\y = 3x - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - (3x - 5) = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - 3x + 5 = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = 3x - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = 3.\frac{{ - 1}}{2} - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right) \Rightarrow x > y\] và \[x - y = 6\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2(x + y) + 3(x - y) = 4\\(x + y) + 2(x - y) = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y + 3x - 3y = 4\\x + y + 2x - 2y = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\y = 3x - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - (3x - 5) = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - 3x + 5 = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = 3x - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = 3.\frac{{ - 1}}{2} - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right) \Rightarrow x > y\] và \[x - y = 6\].
44. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm \[(x;y)\] của hệ phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{3}\\\frac{x}{4} = \frac{y}{2} + 1\end{array} \right.\].
\[x > 0;y < 0\].
\[x < 0;y < 0\].
\[x < 0;y > 0\].
\[x > 0;y > 0\].
Xem đáp án
Chọn D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{3}\\\frac{x}{4} = \frac{y}{2} + 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 5x - 5y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x = 8y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\2y - 4 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 8\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (2;8)\] suy ra \[x > 0;y > 0\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{3}\\\frac{x}{4} = \frac{y}{2} + 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 5x - 5y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x = 8y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\2y - 4 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 8\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (2;8)\] suy ra \[x > 0;y > 0\].
45. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{y}{2} = \frac{{2x - 3}}{2}\\\frac{x}{2} + 3y = \frac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\]
\[x > 0;y < 0\].
\[x < 0;y < 0\].
\[x < 0;y > 0\].
\[x > 0;y > 0\].
Xem đáp án
Chọn A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{y}{2} = \frac{{2x - 3}}{2}\\\frac{x}{2} + 3y = \frac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2x - 3\\4x + 24y = 25 - 9y\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\4x + 33y = 25\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 31\\y = - 3\end{array} \right.\]. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (31; - 3)\] \[ \Rightarrow x > 0;y < 0\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{y}{2} = \frac{{2x - 3}}{2}\\\frac{x}{2} + 3y = \frac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2x - 3\\4x + 24y = 25 - 9y\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\4x + 33y = 25\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 31\\y = - 3\end{array} \right.\]. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (31; - 3)\] \[ \Rightarrow x > 0;y < 0\].
46. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm a , b biết đường thẳng d: y = ax + b đi qua điểm A ( − 4 ; − 2 ) , B ( 2 ; 1 ) .
\[a = 0;b = \frac{1}{2}\].
\[a = \frac{1}{2};b = 0\].
\[a = 1;b = 1\].
\[a = - \frac{1}{2};b = \frac{1}{2}\].
Xem đáp án
Chọn B
Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm \[A( - 4; - 2) \Leftrightarrow - 4a + b = - 2\] (1)
Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm \[B(2;1) \Leftrightarrow 2a + b = 1\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ \[\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b = - 2\\2a + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - 6a = - 3\\2a + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\2.\frac{1}{2} + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\]. Vậy \[a = \frac{1}{2};b = 0\].
Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm \[A( - 4; - 2) \Leftrightarrow - 4a + b = - 2\] (1)
Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm \[B(2;1) \Leftrightarrow 2a + b = 1\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ \[\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b = - 2\\2a + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - 6a = - 3\\2a + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\2.\frac{1}{2} + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\]. Vậy \[a = \frac{1}{2};b = 0\].
47. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right.\] (\(m\)là tham số). Tìm \(m\) để hệ có nghiệm duy nhất \((x;y)\) thỏa mãn \(x + y = - 3\).
\[m = - 6\].
\[m = 6\].
\[m = 3\].
\[m = - 4\].
Xem đáp án
Chọn A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 2m + 6\\2x - 3y = m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\7y = m + 6\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5m + 9}}{7}\\y = \frac{{m + 6}}{7}\end{array} \right.\]
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = \left( {\frac{{5m + 9}}{7};\frac{{m + 6}}{7}} \right)\]
Lại có \[x + y = - 3\] hay \[\frac{{5m + 9}}{7} + \frac{{m + 6}}{7} = - 3\]
\[5m + 9 + m + 6 = - 21\]
\[6m = - 36\]
\[m = - 6\]
Vậy với \[m = - 6\] thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x,y)\] thỏa mãn \[x + y = - 3\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 2m + 6\\2x - 3y = m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\7y = m + 6\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5m + 9}}{7}\\y = \frac{{m + 6}}{7}\end{array} \right.\]
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = \left( {\frac{{5m + 9}}{7};\frac{{m + 6}}{7}} \right)\]
Lại có \[x + y = - 3\] hay \[\frac{{5m + 9}}{7} + \frac{{m + 6}}{7} = - 3\]
\[5m + 9 + m + 6 = - 21\]
\[6m = - 36\]
\[m = - 6\]
Vậy với \[m = - 6\] thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x,y)\] thỏa mãn \[x + y = - 3\].
48. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5m - 1\\x - 2y = 2\end{array} \right.\]. Có bao nhiêu giá trị của \[m\] để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: \[{x^2} - 2{y^2} = - 2\].
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Xem đáp án
Chọn C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5m - 1\\x - 2y = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 5m - 1 - 2x\\x - 2(5m - 1 - 2x) = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 5m - 1 - 2x\\5x = 10m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2m\\y = m - 1\end{array} \right.\]
Thay vào \[{x^2} - 2{y^2} = - 2\] ta có \[{x^2} - 2{y^2} = - 2\] hay \[{(2m)^2} - 2{(m - 1)^2} = - 2\]
\[2{m^2} + 4m = 0\]. Giải phương trình này ta được\[m = 0\];\[m = - 2\].
Vậy \[m \in \left\{ { - 2;0} \right\}\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5m - 1\\x - 2y = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 5m - 1 - 2x\\x - 2(5m - 1 - 2x) = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 5m - 1 - 2x\\5x = 10m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2m\\y = m - 1\end{array} \right.\]
Thay vào \[{x^2} - 2{y^2} = - 2\] ta có \[{x^2} - 2{y^2} = - 2\] hay \[{(2m)^2} - 2{(m - 1)^2} = - 2\]
\[2{m^2} + 4m = 0\]. Giải phương trình này ta được\[m = 0\];\[m = - 2\].
Vậy \[m \in \left\{ { - 2;0} \right\}\].
49. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = \frac{7}{2} - m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]. Có bao nhiêu giá trị của \[m\] mà \(m > \frac{1}{2}\) để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn:\[{x^2} + {y^2} = \frac{{25}}{{16}}\].
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Xem đáp án
Chọn B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = \frac{7}{2} - m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 7 - 2m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}7y = 7 - 7m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - m\\4x - (1 - m) = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - m\\x = 4m + 14\end{array} \right.\]
Thay vào \[{x^2} + {y^2} = \frac{{25}}{{16}}\] ta có \[{x^2} + {y^2} = \frac{{25}}{{16}}\]
\[{\left( {\frac{{4m + 1}}{4}} \right)^2} + {(1 - m)^2} = \frac{{25}}{{16}}\]
\[16{m^2} + 8m + 1 + 16{m^2} - 32m + 16 = 25\]
\[32{m^2} - 24m - 8 = 0\]
\[4{m^2} - 3m - 1 = 0\]
\[4{m^2} - 4m + m - 1 = 0\]
\[(4m + 1)(m - 1) = 0\] ta được \[m = 1\]hoặc \[m = - \frac{1}{4}\]
Mà \[m > \frac{1}{2} \Rightarrow m = 1\] thỏa mãn. Vậy \[m = 1\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = \frac{7}{2} - m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 7 - 2m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}7y = 7 - 7m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - m\\4x - (1 - m) = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - m\\x = 4m + 14\end{array} \right.\]
Thay vào \[{x^2} + {y^2} = \frac{{25}}{{16}}\] ta có \[{x^2} + {y^2} = \frac{{25}}{{16}}\]
\[{\left( {\frac{{4m + 1}}{4}} \right)^2} + {(1 - m)^2} = \frac{{25}}{{16}}\]
\[16{m^2} + 8m + 1 + 16{m^2} - 32m + 16 = 25\]
\[32{m^2} - 24m - 8 = 0\]
\[4{m^2} - 3m - 1 = 0\]
\[4{m^2} - 4m + m - 1 = 0\]
\[(4m + 1)(m - 1) = 0\] ta được \[m = 1\]hoặc \[m = - \frac{1}{4}\]
Mà \[m > \frac{1}{2} \Rightarrow m = 1\] thỏa mãn. Vậy \[m = 1\].
50. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2m + 9\\x + y = 5\end{array} \right.\) có nghiệm \((x;y)\). Tìm \[m\] để biểu thức \(A = xy + x - 1\) đạt giá trị lớn nhất.
\[m = 1\].
\[m = 0\].
\[m = - 1\].
\[m = 2\].
Xem đáp án
Chọn A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2m + 9\\x + y = 5\end{array} \right.\)
\[\left\{ \begin{array}{l}x = m + 2\\y = 3 - m\end{array} \right.\]. Suy ra \[A = xy + x - 1 = 8 - {(m - 1)^2}\]\[ \Rightarrow {A_{max}} = 8\] khi \[m = 1\].
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2m + 9\\x + y = 5\end{array} \right.\)
\[\left\{ \begin{array}{l}x = m + 2\\y = 3 - m\end{array} \right.\]. Suy ra \[A = xy + x - 1 = 8 - {(m - 1)^2}\]\[ \Rightarrow {A_{max}} = 8\] khi \[m = 1\].
51. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.\) (\[m\] là tham số). Tìm \[m\] để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge 1\end{array} \right.\).
\(m < 1\).
\(m < - 1\).
\(m > 1\).
\[m > - 1\].
Xem đáp án
Chọn B
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\,\,\,\,\,(1)\\mx + y = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Từ (2) suy ra \[y = 2m - mx\] thay vào (1) ta được \[x + m(2m - mx) = m + 1\]
\[2{m^2} - {m^2}x + x = m + 1\]
\[(1 - {m^2})x = - 2{m^2} + m + 1\]
\[({m^2} - 1)x = 2{m^2} - m - 1\]\[(3)\]
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow (3)\]có nghiệm duy nhất \[{m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\]
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất \[\;\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2m + 1}}{{m + 1}}\\y = \frac{m}{{m + 1}}\end{array} \right.\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge 1\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m + 1}}{{m + 1}} \ge 2\\\frac{m}{{m + 1}} \ge 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\\\frac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\end{array} \right.\] hay \[m + 1 < 0\] vậy \[m < - 1\]
Kết hợp với \[( * )\] ta được giá trị \[m\] cần tìm là \[m < - 1\].
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\,\,\,\,\,(1)\\mx + y = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Từ (2) suy ra \[y = 2m - mx\] thay vào (1) ta được \[x + m(2m - mx) = m + 1\]
\[2{m^2} - {m^2}x + x = m + 1\]
\[(1 - {m^2})x = - 2{m^2} + m + 1\]
\[({m^2} - 1)x = 2{m^2} - m - 1\]\[(3)\]
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow (3)\]có nghiệm duy nhất \[{m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\]
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất \[\;\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2m + 1}}{{m + 1}}\\y = \frac{m}{{m + 1}}\end{array} \right.\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge 1\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m + 1}}{{m + 1}} \ge 2\\\frac{m}{{m + 1}} \ge 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\\\frac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\end{array} \right.\] hay \[m + 1 < 0\] vậy \[m < - 1\]
Kết hợp với \[( * )\] ta được giá trị \[m\] cần tìm là \[m < - 1\].
52. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + ay = - 4\\ax - 3y = 5\end{array} \right.\). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:
\(a < 1\).
\(a < - 2\).
mọi \(a\).
\[a > - 1\].
Xem đáp án
Chọn C
Ta xét 2 trường hợp:
+ Nếu \[a = 0\], hệ có dạng: \[\left\{ \begin{array}{l}2x = - 4\\ - 3y = 5\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - \frac{5}{3}\end{array} \right.\]
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
+ Nếu \[a \ne 0\], hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: \[\frac{2}{a} \ne \frac{a}{{ - 3}} \Leftrightarrow {a^2} \ne - 6\] (luôn đúng, vì \[{a^2} \ge 0\] với mọi \[a\])
Do đó, với \[a \ne 0\], hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi \[a\].
Ta xét 2 trường hợp:
+ Nếu \[a = 0\], hệ có dạng: \[\left\{ \begin{array}{l}2x = - 4\\ - 3y = 5\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - \frac{5}{3}\end{array} \right.\]
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
+ Nếu \[a \ne 0\], hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: \[\frac{2}{a} \ne \frac{a}{{ - 3}} \Leftrightarrow {a^2} \ne - 6\] (luôn đúng, vì \[{a^2} \ge 0\] với mọi \[a\])
Do đó, với \[a \ne 0\], hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi \[a\].
