5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì A ∈ d₁ nên Aa;−a3  a>0

    B, C ∈ d₂ nên Bb;b3,  Cc;c3.

Suy ra AB→=b−a;b3+a3,  AC→=c−a;c3+a3,BC→=c−b;c3−b3

Đường thẳng d₁: 3x+y=0 có vectơ pháp tuyến là n→1=3;1 nên có vectơ chỉ phương là u→1=1;-3.

Đường thẳng d₂: 3x-y=0 có vectơ pháp tuyến là n→2=3;-1 nên có vectơ chỉ phương là u→2=1;3.

Ba điểm A, B, C đều nằm trên đường tròn mà tam giác ABC vuông tại B

Do đó AC là đường kính của đường tròn (C).

⇒ AC ⊥ d₁ ⇔AC→.u→1=0⇔1.c−a−3c3+a3=0

⇔ c – a – 3c – 3a = 0 Û 2a + c = 0     (1).

Lại có tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ d₂

⇔AB→.u2→=0⇔1. (b-a)+3.(b3+a3)=0

⇔ b – a + 3b + 3a = 0 ⇔ a + 2b = 0    (2).

Mặt khác SABC=32⇔12.dA;d2.BC=32

⇔3.a−−a332+−12.c−b2+c3−b32=3

⇔2a32.4c−b2=3⇔2a32.2c−b=3 (do a > 0)

⇔ 2a|c – b| = 1      (3)

Từ (1) và (2) suy ra 2(2a + c) – (a + 2b) = 2 Û 2c – 2b = –3a

Thay vào (2) ta được a.|–3a| = 1 Û 3a² = 1 (do a > 0)

⇔a=33    (do a > 0).

Khi đó b=−36,  c=−233

⇒A33;−1,   C−233;−2 và AC→=−3;−1

Đường tròn (C) có AC là đường kính nên nhận trung điểm I−36;−32 của AC làm tâm và bán kính R=AC2=−32+−122=1.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là C:   x+362+y+322=1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(1; –2) và bán kính R = 22.

Giả sử tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến là n→d=a;b (a² + b² ≠ 0).

Phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A(5; –2) và nhận n→d=a;b làm vectơ pháp tuyến là:

a(x – 5) + b(y + 2) = 0 hay ax + by – 5a + 2b = 0.

Ta có: dI,d=R⇔a.1+b.−2−5a+2ba2+b2=22

⇔ |a – 2b – 5a + 2b| = 22a2+b2

⇔ (– 4a)² = 8(a² + b²)

⇔16a² – 8a² = 8b²

⇔ a² = b²

⇔a = b hoặc a = – b.

Với a = b, chọn b = 1 thì a = 1.

Khi đó phương trình d là x + y – 3 = 0.

Với a = – b, chọn b = – 1 thì a = 1.

Khi đó phương trình d là x – y – 7 = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có x² + y² – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 có a = m + 1; b = –2 và c = –1.

Để (1) là phương trình đường tròn thì a² + b² – c > 0

⇔ (m + 1)² + (–2)² – (–1) > 0

⇔ (m + 1)² + 5 > 0 (luôn đúng với mọi m).

Khi đó bán kính của đường tròn này là R=a2+b2−c 

Hay R² = (m + 1)² + 5 ≥ 5, với mọi m.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m + 1 = 0 ⇔ m = –1.

Vậy đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng R=5 khi m = –1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn.

Khi đó IM vuông góc với tiếp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn là: x – y = 0 có vectơ pháp tuyến n→1=1;−1.

Đường thẳng IM có vectơ pháp tuyến n→2=1;1 nên phương trình có dạng: x + y + c = 0.

Điểm I nằm trên đường thẳng IM nên ta có I(t; – c – t)

⇒OI→=t;−c−t 

O nằm trên đường tròn nên OI = R = 2

Do đó t² + (– c – t)² = 4.

Mặt khác, IM vuông góc với tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến tiếp tuyến d bằng 2.

Hay  dI,d=2⇔t−−c−t12+12=2 

⇔c+2t=22⇔c=22−2tc=−22−2t 

Khi c=22−2t thì ta có: t2+22−2t−t2=4         

⇔t2+22−3t2=4⇔10t2−122t+4=0 

⇔t=2t=25 

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Khi c=−22−2t thì ta có: t2+−22−3t2=4          

 ⇔10t2+122t+4=0⇔t=−2t=−25

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Vậy có 4 phương trình đường tròn thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 1) và R = 5.

Ta có IM→=10;−5 

Giả sử tiếp tuyến d có vectơ pháp tuyến là n→=a;b (với a, b ≠ 0 do d không song song với các trục toạ độ).

Khi đó tiếp tuyến d đi qua điểm M(9; – 4) nên có phương trình:

a(x – 9) + b(y + 4) = 0 ⇔ ax + by – 9a + 4b = 0.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn nên d(I, d) = R

⇔−a+b−9a+4ba2+b2=5⇔5b−10a=5a2+b2 

⇔ 5² . (b – 2a)² = 5² . (a² + b²) ⇔ b² – 4ab + 4a² = a² + b²

⇔ 3a² – 4ab = 0 Û a(3a – 4b) = 0

⇔3a = 4b.

Chọn b = 3 thì a = 4.

Khi đó d có phương trình là:

4x + 3y – 36 + 12 = 0 hay 4x + 3y – 24 = 0.

Do đó d(P; d) = 4.6+3.5−2442+32=155=3.