20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 1} \right)} = \sqrt 6 \). Chọn C.

Ta có \(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot \left( { - 4} \right) + 4 \cdot 1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{18}}{5}\). Chọn C.

Vì \(I \in Ox\) nên \(I\left( {a;0} \right)\).

Lại có \(R = IA = IB\) nên \({\left( {1 - a} \right)^2} + {1^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {3^2}\)\( \Leftrightarrow 8a = 32 \Rightarrow a = 4\).

Do đó đường tròn\(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {4;0} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \) có phương trình là \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\). Chọn B.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\).

Tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {3; - 4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {2; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(2\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 2y - 14 = 0\) hay \(x - y - 7 = 0\). Chọn D.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( { - 1;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 4;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 4\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(4x - 3y + 10 = 0\). Chọn B.

Phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\), bán kính bằng 3 là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\). Chọn D.

Tâm và bán kính của đường tròn đã cho lần lượt là \(I\left( { - 1;2} \right),R = 2\). Chọn A.

Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) vào phương trình đường tròn \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\) ta thấy thỏa mãn.

Vậy điểm \(A\left( {1;1} \right)\) nằm trên đường tròn \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\). Chọn B.

Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 1;b = - 1;c = - 3\).

Mà \({a^2} + {b^2} - c > 0\) nên phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0\) là phương trình đường tròn. Chọn D.

Ta có \(R = IM = \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {52} \).

Phương trình đường tròn cần lập là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52\). Chọn D.

a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\).

b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 5\).

c) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\).

d) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A\) nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {3;4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(3\left( {x - 6} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y - 26 = 0\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Đúng;     c) Sai;     d) Đúng.

a) Tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là điểm \(I\left( {0;1} \right),R = 3\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;0} \right)\) vào phương trình đường tròn ta thấy không thỏa mãn.

Do đó điểm \(A\left( {1;0} \right)\) không nằm trên đường tròn.

c) \(d\left( {I,Ox} \right) = 1\).

d) Ta có khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(y = 3\) là \(\frac{{\left| {1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 2 < R\).

Do đó đường thẳng \(y = 3\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;     c) Sai;     d) Đúng.

a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + {2^2} - 9} = 2\).

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(B\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) theo một dây cung có độ dài lớn nhất thì \(\Delta \) phải đi qua tâm \(I\).

Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {IB} = \left( { - 1; - 3} \right)\) là vectơ chỉ phương nên có \(\overrightarrow n = \left( {3; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(3\left( {x - 3} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(3x - y - 7 = 0\).

Suy ra \(a = 3;c = - 7\). Do đó \(a + c = - 4\).

c) Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 4 > R\); \(IB = \sqrt {{{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {10} > R\).

Do đó hai điểm \(A,B\) đều nằm ngoài đường tròn.

d)

Gọi \(N\) là giao điểm của \(IA\) với đường tròn \(\left( C \right)\).

Trên đoạn \(IN\) lấy điểm \(P\) sao cho \(IP = \frac{1}{2}IN\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IP} = \frac{1}{4}\overrightarrow {IA} \)\( \Rightarrow P\left( {2;2} \right)\).

Có \(\frac{{IM}}{{IP}} = 2;\frac{{IA}}{{IM}} = 2\).

Ta có \(\Delta IAM\) đồng dạng \(\Delta IMP\)\( \Rightarrow \frac{{IA}}{{IM}} = \frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{AM}}{{MP}} = 2 \Rightarrow 2MP = AM\).

Khi đó \(P = MA + 2MB = 2MP + 2MB \ge 2PB = 6\).

Đáp án: a) Sai;      b) Đúng;     c) Đúng;     d) Sai.

a) Đường thẳng \(AB\) có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right)\) là một vectơ chỉ phương nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0\).

b) Đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R = 2\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).

c) Cho \(y = 0\) thì \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) \( \Rightarrow M\left( { - 1;0} \right)\).

Vậy điểm \(M\) có hoành độ bằng \( - 1\).

d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\).

Theo đề có \(IA = IB = IM\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( { - 1 - a} \right)^2} + {b^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 6b = 0\\4a + 4b = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{4}} \right)\).

Đáp án: a) Sai;      b) Sai;     c) Đúng;     d) Sai.

a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;1} \right)\) và có bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2} - \left( { - 20} \right)} = 5\).

b) Thay tọa độ điểm \(\left( {5;3} \right)\) vào phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) ta thấy không thỏa mãn.

Do đó đường tròn \(\left( C \right)\) không đi qua điểm \(\left( {5;3} \right)\).

c) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {5; - 3} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(3\left( {x - 5} \right) - 4\left( {y + 3} \right) = 0\) hay \(3x - 4y - 27 = 0\).

d) Ta có \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - 35} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 5 = R\).

Vậy đường thẳng \(\left( d \right):3x + 4y - 35 = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).

Đáp án: a) Sai;      b) Sai;     c) Đúng;     d) Đúng.

Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn.

Theo đề ta có \(IA = IB = IC\)\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 4 - b} \right)^2}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3\\14b = - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\].

Suy ra \(I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3 + \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{5}{{\sqrt 2 }}\).

Do đó \(a = \frac{3}{2};b = - \frac{1}{2};c = \frac{{25}}{2}\). Vậy \(a + b + c = 13,5\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Hạ \(IH \bot AB\).

Suy ra \(I,R = IH\) là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\).

\(AC\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(BD\) có phương trình là \(4x - 3y - 6 = 0\).

Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 7 = 0\\4x - 3y - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

Ta có \(AC = 2d\left( {A,BD} \right) = 2 \cdot \frac{{\left| {3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 - 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4\). Suy ra \(AB = 2\sqrt 2 \Rightarrow AH = \sqrt 2 \).

Xét \(\Delta AIH\) có \(IH = \sqrt {A{I^2} - A{H^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 2 \).

Vậy đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\) có phương trình là \({\left( {x - \frac{9}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{2}{5}} \right)^2} = 2\).

Suy ra \(a = \frac{9}{5};b = \frac{2}{5};{R^2} = 2\). Vậy \(25ab{R^2} = 36\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2\cos t\\y = 4 + 2\sin t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 2\cos t\\y - 4 = 2\sin t\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\).

Vậy \(a = 4\).

Hạ \(IH \bot MN\).

Khi đó \(MH = HN = \frac{{MN}}{2} = 4\); \(IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).

Xét \(\Delta IHN\) có \(R = IN = \sqrt {I{H^2} + H{N^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

Vậy đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính là 10.

Vì \(I \in d\) nên \(I\left( {6a + 10;a} \right)\).

Theo đề có \(d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3\left( {6a + 10} \right) + 4a + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {4\left( {6a + 10} \right) - 3a - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {22a + 35} \right| = \left| {21a + 35} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}22a + 35 = 21a + 35\\22a + 35 = - 21a - 35\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - \frac{{70}}{{43}}\end{array} \right.\). Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}I\left( {10;0} \right)\\I\left( {\frac{{10}}{{43}}; - \frac{{70}}{{43}}} \right)\end{array} \right.\).

Vì tâm đường tròn nằm trên trục \(Ox\) nên \(I\left( {10;0} \right)\)

Do đó bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = d\left( {I,{d_1}} \right) = \frac{{35}}{5} = 7\).