Bài tập Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là phương trình đường tròn tâm I(30; 40), bán kính R = 50 là: (x − 30)² + (y − 40)² = 50².

Ta có: IM→ = (x – a; y – b).

Khi đó IM = IM→=(x−a)2+(y−b)2.

Vậy khoảng cách giữa hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng Oxy là IM = (x−a)2+(y−b)2.

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4 là: (x – 0)² + (y – 0)² = 4² hay x² + y² = 16.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4 là: x² + y² = 16.

b) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; − 2), bán kính R = 8 là: (x − 2)² + (y + 2)² = 8² hay (x − 2)² + (y + 2)² = 64.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; − 2), bán kính R = 8 là: (x − 2)² + (y + 2)² = 64.

c) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C), khi đó ta có:

AI→(a-1;b-4) ⇒ AI = (a-1)2+ (b-4)2;

BI→(a; b-1) ⇒ BI = a2+(b-1)2;

CI→ (a-4; b-3) ⇒ CI = (a-4)2+ (b-3)2.

Vì đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:

AI = BI = CI = R

Khi đó ta có hệ phương trình sau:

(a-1)2+ (b-4)2=a2+ (b-1)2(a-4)2+ (b-3)2=a2+(b-1)2

⇔ a2-2a+1+b2-8b+16=a2+b2-2b+1a2-8a+16+b2=6b+9=a2+b2-2b+1

⇔ a+3b=82a+b=6

⇔ 5a=102a+b=6

⇔ b=2a=2

Suy ra tâm I(2; 2)

Bán kính của đường tròn (C) là: R = a2+ (b-1)2 = 22+ (2-1)2 = 5.

Phương trình đường tròn (C) là:

(x – 2)² + (y – 2)² = (5)2

⇔ (x – 2)² + (y – 2)² = 5.

Vậy phương trình đường tròn (C) là (x – 2)² + (y – 2)² = 5.

a) Phương trình đã cho có dạng: x²+ y²− 2ax − 2by + c = 0 với a = 1; b = 2; c = −20.

Ta có: a²+ b²− c = 1² + 2² + 20 = 25 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R =  25 = 5.

b) Phương trình có dạng (x − a)²+ (y − b)²= R² với a = −5; b = −1; R = 11.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(−5; −1) và bán kính R = 11.

c) Phương trình có dạng x²+ y²− 2ax − 2by + c = 0 với a = 2; b = 4; c = 5.

Ta có: a²+ b²− c  = 2² + 4² – 5 = 15 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = 15.

d) Ta có: 2x²+2y²+6x+8y–2=0⇔ x²+y²+3x+4y–1=0.

Phương trình có dạng x²+ y²− 2ax − 2by + c = 0 với a =  −32; b = −2; c = −1.

Ta có: a²+ b²− c  = ( −32) + (−2)² + 1 =  294 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I−32;−2 và bán kính R =  292.

Phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là phương trình đường tròn tâm I(30; 40), bán kính R = 50 là:

(x − 30)²+ (y − 40)²= 50² hay (x − 30)²+ (y − 40)²= 2 500.

Vậy phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là (x − 30)²+ (y − 40)²= 2 500.

a) Đường tròn (C): (x – 13)² + (y − 4)² = 16 có tâm I(13; 4) và bán kính R = 16 = 4.

Vậy đường tròn (C) có tâm I(13; 4) và bán kính R = 16= 4.

b) Thay tọa độ điểm A(11; 4) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

 (11 − 13)²+ (4 − 4)²= 4 < 16 .

⇒ Diễn viên A đứng trong vùng sáng bên trong đường tròn (C).

Do vậy diễn viên A đang được đèn chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm B(8; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

 (8 − 13)²+ (5 − 4)²= 26 >16 ,

⇒ Diễn viên B đứng ngoài vùng sáng bên trong đường tròn (C).

⇒ Diễn viên B không được chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm C(15; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được: 

(15 − 13)²+ (5 − 4)²= 5 < 16 ⇒Diễn viên C đứng trong vùng sáng bên trong đường tròn (C).

⇒ Diễn viên C đang được chiếu sáng.

Vậy diễn viên A và C đang được đèn chiếu sáng, diễn viên B không được chiếu sáng.

a) Ta có : M0M→ = (x – x₀; y – y₀);  M0I→ = (a – x₀; b – y₀).

b) Ta có: .M0M→.M0I→ = (x – x₀).(a – x₀) + (y – y₀).(b – y₀)

c) Phương trình  M0M→. M0I→ = 0 tức là

(x – x₀).(a – x₀) + (y – y₀).(b – y₀) = 0⇔(a – x₀).(x – x₀) + (b – y₀).(y – y₀) = 0(1)

Mặt khác:

Vì Δ là tiếp tuyến với (C) tại M₀ nên M₀I⊥ Δ

⇒ Đường thẳng Δ nhận vectơ M0I→ = (a – x₀; b – y₀) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó, đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) có vectơ pháp tuyến M0I→ = (a – x₀; b – y₀) có phương trình là: (a – x₀).(x – x₀) + (b – y₀).(y – y₀) = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra M0M→. M0I→ = 0 là phương trình đường thẳng Δ.

Vậy phương trình M0M→. M0I→ = 0 là phương trình của đường thẳng Δ.

Phương trình đường tròn (C): x²+ y² − 2x − 4y − 20 = 0 có dạng: x²+ y²− 2ax − 2by + c = 0 với a = 1; b = 2; c = −20.

Ta có: a²+ b²− c = 1² + 2² + 20 = 25.

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 25 = 5.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(4; 6) là:

(1 − 4)(x − 4) + (2 − 6)(y − 6) = 0 ⇔ −3x − 4y + 36 = 0 ⇔ 3x + 4y – 36 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x²+ y² − 2x − 4y − 20 = 0 tại điểm A(4; 6) là 3x + 4y – 36 = 0.

Đường tròn (C): (x − 1)² + (y − 1)² = 169144 có tâm I(1; 1).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là:

(1 − 1712 )(x − 1712) + (1 − 2)(y − 2) = 0 ⇔ 512x + y − 373144 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là 512x + y − 373144 = 0.

a)  Phương trình có dạng x²+y²−2ax−2by+c=0 với a = 3, b = 4, c = 21.

Ta có: a²+ b²− c = 3² + 4² – 21 = 4 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và có bán kính R = 4= 2.

b) Phương trình có dạng x²+ y²− 2ax − 2by + c = 0 với a = 1, b = −2, c = 2.

Ta có: a²+ b²− c = 1² + (−2)²– 2 = 3 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; −2) và có bán kính R = 3.

c) Phương trình có dạng x²+ y²− 2ax − 2by + c = 0 với a = 32, b = −1, c = 7.

Ta có: a²+ b²− c = ( 32)2 + (−1)²  −7 = −3,75 < 0.

Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

d) Ta có: 2x²+2y²+x+y–1=0⇔ x²+y²+ 12x+ 12y−12 = 0.

Phương trình có dạng x²+ y²− 2ax − 2by + c = 0 với a = -14, b = -14, c = -12

Ta có: a²+ b² − c = -142+ -142+ 12=58 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I−14;−14 và bán kính R = 104.

a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(1; 5) và bán kính r = 4 là: (x − 1)² + (y − 5)²= 16.

b) Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của MN ⇒ I3+92;−1+32 ⇒ I(6; 1)

Ta có: MI→ = (6−3; 1+1) = (3; 2).

R = MI = MI→=32+22=13.

Phương trình đường tròn (C) tâm I(6; 1) và bán kính R = 13 là: (x − 6)²+ (y − 1)²= 13.

c) Gọi ∆ là đường thẳng5x − 12y + 11= 0.

Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 5x − 12y + 11 = 0 nên bán kính R = d(I, ∆)

d(I, ∆) = |5.2−12.1+11|52+(−12)2 = 913.

⇒ R = d(I, ∆) = 913 .

Phương tròn đường tròn (C) tâm I(2; 1) và bán kính R = 913 là: (x − 2)²+ (y − 1)² =  81169.

d) Ta có AB→ = (4−1; −5+2) = (3; −3) ⇒ AB = AB→=32+(−3)2=32.

Vì (C) có tâm A(1; −2) và đi qua điểm B(4; −5) nên bán kính R = AB = 32.

Vậy phương trình đường tròn (C) tâm A(1; −2) và bán kính R = 32 là: (x − 1)²+ (y + 2)²= 18.

a) Phương trình đường tròn có dạng x²+y²−2ax−2by+c=0.

Thay tọa độ các đỉnh M(2; 5), N(1; 2), P(5, 4) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình: 

22+52−4a−10b+c=012+22−2a−4b+c=052+42−10a−8b+c=0⇔−4a−10b+c=−29−2a−4b+c=−5−10a−8b+c=−41⇔a=3b=3c=13

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là: x²+ y²− 6x − 6y + 13 = 0.

b) Phương trình đường tròn có dạng x²+ y²− 2ax − 2by + c = 0.

Thay tọa độ các đỉnh A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

62−12b+c=072+72−14a−14b+c=082−16a+c=0⇔−12b+c=−36−14a−14b+c=−98−16a+c=−64⇔a=4b=3c=0

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:  x²+ y²− 8x − 6y = 0.

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Ta có: R = d(I; Ox) = d(I; Oy) ⇒ R = a = b ⇒ (C) có tâm I(a; a) và bán kính R = a.

⇒ Phương trình đường tròn (C) là: (x − a)²+ (y − a)²= a².

Ta có A(4; 2) ∈ (C) nên (4 − a)²+ (2 − a)²= a²

⇔ 16 − 8a + a² + 4 − 4a + a² = a²

⇔ a² − 12a + 20 = 0 ⇔ a = 10 hoặc a = 2

Với a = 10 thì ta có phương trình đường tròn (C): (x − 10)²+ (y − 10)² = 100.

Với a = 2 thì ta có phương trình đường tròn (C): (x − 2)²+ (y − 2)²= 4.

Vậy (C): (x − 10)²+ (y − 10)² = 100 hoặc (C): (x − 2)²+ (y−2)²=4.

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn (C), ta có: 

4² + 6² − 2.4 − 4.6 – 20 = 0

⇒ M ∈ (C).

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b) Đường tròn (C) x²+y²−2x−4y–20=0 có a = 1; b = 2; c = −20.

Khi đó R = 12+22+20 = 5 và tâm I(1; 2).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là: 

(1 − 4)(x − 4) + (2 − 6)(y − 6) = 0 ⇔ −3x − 4y + 36 = 0 ⇔ 3x + 4y – 36 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6) là 3x + 4y – 36 = 0.

c) Tiếp tuyến Δ của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng

Δ: 4x + 3y + c = 0 (với c ≠ 2022)

Ta có: d(I; Δ) 4.1+3.2+c42+32 = R ⇔  5 ⇔ 10+c5 = 5 ⇔ |10 + c| = 25 ⇔ c = 15 hoặc c = −35.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 là: Δ: 4x + 3y + 15 = 0 hoặc Δ: 4x + 3y – 35 = 0.

a) Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Ta có phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 8,4 : 2 = 4,2 là: 

x² + y² = 17,64.

Vậy phương trình mô phỏng cái cổng là: x² + y² = 17,64 (y ≥ 0)

b) Chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m tương ứng với x = 2,2 và chiều cao của cổng tại x = 2,2 phải lớn hơn 2,6 thì xe tải mới đi qua được.

Thay x = 2,2 vào phương trình đường tròn, ta được 2,2² + y² = 17,64

⇒y² = 17,64 – 2,2² = 12,8

Vì y > 0 nên y = 12,8 ≈ 3,6 > 2,6.

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.