48 bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải

Chọn A

Đổi \(45\) phút \( = \frac{3}{4}\); \(15\) phút \( = \frac{1}{4}\).

Gọi vận tốc xe đạp là \(x\), \(\left( {x > 0} \right)\).

\( \Rightarrow \) Thời gian người thứ hai đi hết quãng đường là \(\frac{{60}}{x}\).

Quãng đường từ \(A\) đến \(C\) là \(\frac{2}{3}.60 = 40\)

\( \Rightarrow \) Thời gian người thứ nhất đi xe đạp từ\(A\) đến \(C\) là \(\frac{{40}}{x}\).

Thời gian người thứ nhất đi ô tô từ \(C\) về \(A\) là \(\frac{{40}}{{x + 48}}\).

Tổng thời gian người thứ nhất đi từ lúc xuất phát đến lúc về là \(\frac{{40}}{x} + \frac{3}{4} + \frac{{40}}{{x + 48}}\)

Vì người thứ nhất về \(A\) trước \(15\) phút nên ta có phương trình:

\(\frac{{60}}{x} - \left( {\frac{{40}}{x} + \frac{3}{4} + \frac{{40}}{{x + 48}}} \right) = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{20}}{x} - \frac{{40}}{{x + 48}} - 1 = 0\)

\(\frac{{20\left( {x + 48} \right)}}{{x\left( {x + 48} \right)}} - \frac{{40x}}{{x\left( {x + 48} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 48} \right)}}{{x\left( {x + 48} \right)}} = 0\)

\(20x + 960 - 40x - {x^2} - 48x = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 68x - 960 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 12\) hoặc \(x = - 80\)

Vậy vận tốc xe đạp là \(12\),.

Chọn A

Đổi \(30\) phút \( = \frac{1}{2}\)

Tổng thời gian thuyền đi, nghỉ, rồi về là \(15 - 7 = 8\).

Gọi vận tốc thuyền khi nước yên lặng là \(x\), \(\left( {x > 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Vận tốc thuyền khi đi xuôi dòng là \(x + 1\), khi đi ngược dòng là \[x - 1\].

\( \Rightarrow \) Thời gian để thuyền đi từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{30}}{{x + 1}}\);

Thời gian để thuyền đi từ \(B\) đến \(C\) là \(\frac{{10}}{{x - 1}}\);

Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{{30}}{{x + 1}} + \frac{{10}}{{x - 1}} + \frac{1}{2} = 8\)

\(\frac{{30}}{{x + 1}} + \frac{{10}}{{x - 1}} - \frac{{15}}{2} = 0\)

\[\frac{6}{{x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}} - \frac{3}{2} = 0\]

\(6.2\left( {x - 1} \right) + 2.2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(12x - 12 + 4x + 4 - 3{x^2} + 3 = 0\)

\(3{x^2} - 16x + 5 = 0\)

\(x = 5\) hoặc \[x = \frac{1}{3}\]

Vậy vận tốc thuyền khi nước yên lặng là \(5\).

Chọn B

Gọi số xe tải được điều đến là \[x\], \[x > 5\].

Theo dự định mỗi xe chở \(\frac{{120}}{x}\), có \[5\] xe hỏng nên số xe chở than là \[x--5\].

Do đó thực tế mỗi xe chở \(\frac{{120}}{{x - 5}}\).

Theo giả thiết ta có

\(\frac{{120}}{{x - 5}} - \frac{{120}}{x} = 2\)

\({x^2} - 5x - 300 = 0\)

\(\left( {x - 20} \right)\left( {x + 15} \right) = 0\)

\(x = 20\).

Vậy số xe được điều đến là \[20\] xe.

Chọn D

Sau \[4\] giờ hai tổ làm chung được khối lượng công việc là \(\frac{4}{{16}} = \frac{1}{4}\).

Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) \[(1\]).

Gọi thời gian tổ hai làm một mình để hoàn thành công việc là \[x\], \[x > 16\left( 2 \right).\]

Trong \[1\] giờ tổ hai làm được \(\frac{1}{x}\), nên \[14\] giờ tổ hai làm được \(\frac{{14}}{x}\).

Kết hợp \[\left( 1 \right)\]ta có phương trình \(\frac{{14}}{x} = \frac{3}{4}\) hay \(x = 18\frac{2}{3}\) giờ hay \[18\] giờ \[40\] phút, thoả mãn \[\left( 2 \right).\]

Vậy tổ hai làm một mình thì trong \[18\] giờ \[40\] phút sẽ hoàn thành công việc.

Chọn B

Gọi số bộ Vest phải may trong một ngày theo kế hoạch là \[x\], \[x \in N*\].

Số ngày hoàn thành theo kế hoạch là \(\frac{{1200}}{x}\).

Số bộ Vest may trong một ngày khi thực hiện là \[x + 20\].

Số ngày hoàn thành khi thực hiện là \(\frac{{1200}}{{x + 20}}\).

Theo bài ra ta có phương trình

\(\frac{{1200}}{x} - \frac{{1200}}{{x + 20}} = 2\)

\({x^2} + 20x - 12000 = 0\)

\(\left( {x - 100} \right)\left( {x + 120} \right) = 0\)

\(x = 100\).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải hoàn thành \[100\] bộ Vest.

Chọn D

Đổi \[{\rm{6}}\] giờ \[{\rm{24}}\]phút bằng \[\frac{{32}}{5}\] giờ.

Tổng thời gian thu hoạch mía là \[2 + \frac{{32}}{5} = \frac{{42}}{5}\] giờ.

Gọi thời gian đội xe thứ nhất thu hoạch xong một mình là \[x\], \[x > 6\].

Thời gian đội xe thứ hai thu hoạch xong một mình là \[x - 6\].

Trong 1 giờ, đội thứ nhất thu hoạch được \[\frac{1}{x}\],

đội thứ hai thu hoạch được \[\frac{1}{{x - 6}}\].

Theo bài ra, trong cả quá trình thu hoạch mía thì:

Đội thứ nhất thu hoạch được \[\frac{{42}}{5}.\frac{1}{x} = \frac{{42}}{{5x}}\],

Đội thứ hai thu hoạch được \[\frac{{32}}{5}.\frac{1}{{x - 6}} = \frac{{32}}{{5x - 30}}\].

Vậy ta có \[\frac{{42}}{{5x}} + \frac{{32}}{{5x - 30}} = 1\]

\[25{x^2} - 520x + 1260 = 0\]

\[5{x^2} - 104x + 252 = 0\]

\(\left( {x - 18} \right)\left( {5x - 14} \right) = 0\)

\[x = 18({\rm{t/m}}\,\,\,{\rm{v\`i }}\,\,x > 6)\] hoặc \[x = \frac{{14}}{5}({\rm{kh\^o ng}}\,\,{\rm{t/m}})\]

Vậy đội thứ nhất nếu làm một mình không có đội thứ hai giúp thì phải làm hết 18 giờ mới thu hoạch xong cánh đồng mía.

Chọn A

Đổi \[{\rm{1}}\] giờ \[{\rm{36}}\]phút bằng \[\frac{8}{5}\] giờ.

Gọi năng suất dự định ban đầu là \[x\], \[x \in {\mathbb{N}^*}\].

Thời gian làm theo năng suất dự định là \[\frac{{200}}{x}\].

Hai giờ đầu làm được số cốc là \[2x\], nên số cốc còn lại là \[200 - 2x\].

Thời gian còn lại sau khi tăng năng suất lên \[5\] cái cốc một giờ là \[\frac{{200 - 2x}}{{x + 5}}\].

Theo bài ra ta có \[\frac{{200}}{x} = 2 + \frac{8}{5} + \frac{{200 - 2x}}{{x + 5}}\]

\[\frac{{200}}{x} = \frac{{8x + 1090}}{{5\left( {x + 5} \right)}}\]

\[4{x^2} + 45x - 2500 = 0\]

\(\left( {x - 20} \right)\left( {4x + 125} \right) = 0\)

 \(x = 20\) hoặc \(x = \frac{{ - 125}}{4}\)

Vì \(x > 0\) nên \[x = 20\].

Vậy năng suất dự định ban đầu là \[20\]cái cốc/giờ.

Chọn B

Gọi dung tích bể chứa là \[x\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\], \[x > 5\left( 1 \right)\].

Thời gian quy định bơm đầy bể là \[\frac{x}{5}\].

Thời gian để bơm \[\frac{1}{3}\] bể với công suất \[5{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\] trên một giờ là \[\frac{x}{{15}}\].

Thời gian để bơm \[\frac{2}{3}\] bể còn lại với công suất tăng gấp đôi (\[10{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\] một giờ) là \[\frac{{2x}}{{30}} = \frac{x}{{15}}\].

Do khi bơm được \[\frac{1}{3}\] bể chứa, người công nhân tăng công suất lên gấp đôi, nên bể đầy trước thời gian quy định là \[2\] giờ, ta có phương trình

\[\frac{x}{5} - \left( {\frac{x}{{15}} + \frac{x}{{15}}} \right) = 2\]

\[3x - 2x = 30\]

\[x = 30\,\,({\rm{t/m}}\,\,\left( 1 \right))\]

Vậy dung tích bể chứa là \[30{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\].

Chọn A

Gọi thời gian chỉ mở vòi chảy vào đầy bể là \[x\], với \[x > 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\].

Sau 1 giờ vòi chảy vào chảy được \[\frac{1}{x}\] bể, vòi chảy ra chảy được \[\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{{4x}}\].

Theo bài ra ta có phương trình \[\left( {\frac{1}{x} - \frac{3}{{4x}}} \right) \cdot 4 = \frac{1}{2}\] suy ra \[\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\] nên \[x = 2\].

Vậy nếu bể không có nước và chỉ mở vòi chảy vào thì sau 2 giờ sẽ đầy bể.

Chọn B

Gọi công suất máy bơm theo kế hoạch là \[x{\rm{ }}({{\rm{m}}^{\rm{3}}}/\]giờ), \[x > 0\].

Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là \[\frac{{120}}{x}\].

Thời gian hoàn thành sau khi tăng công suất thêm \[2{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/\]giờ là \[\frac{{120}}{{x + 2}}\].

Theo bài ra ta có: \[\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 2}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 120 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x + 12} \right) = 0,\]vì \[x > 0\] nên \[x = 10\].

Vậy công suất của máy bơm theo kế hoạch là \[10{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/\]giờ.

Chọn B

Đổi 2 giờ 40 phút \[ = \frac{8}{3}\]giờ

Gọi thời gian máy một bơm đầy bể là \[x\], \[x > \frac{8}{3}{\rm{ }}(1)\].

Thời gian máy hai bơm đầy bể là \[x + 4\].

Trong 1 giờ máy bơm thứ nhất bơm được \[\frac{1}{x}\], máy bơm thứ hai bơm được \[\frac{1}{{x + 4}}\].

Vậy 1 giờ cả hai máy bơm bơm được \[\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 4}}\].

Theo bài ra ta có \[\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 4}} = \frac{1}{8}\]

\[3{x^2} - 4x - 32 = 0\]

\[\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 8} \right) = 0\].

Kết hợp nên \[x = 4\].

Vậy máy một bơm riêng thì trong 4 giờ đầy bể.

Chọn A

Sau \[1\] năm Hiếu nhận được số tiền là \[100\, + \,100.6,5\% \, = \,106,5\].

Sau \[2\] năm Hiếu nhận được số tiền là \[100\, + \,100.2.6,5\% \, = \,113\].

Sau \[3\] năm Hiếu nhận được số tiền là \[100\, + \,100.3.6,5\% \, = \,119,5\].

Cách \[2\]: Áp dụng công thức tính “lãi đơn” tổng quát:

Giả sử có \[X\] đồng, lãi suất là \[r\] một tháng, số tiền nhận được sau \[n\] tháng là \[{A_n}\, = \,X\, + \,nX.r\, = \,X\left( {1\, + \,nr} \right)\].

Sau \[3\] năm Hiếu nhận được số tiền là \[100\, + \,100.3.6,5\% \, = \,119,5\].

Chọn A

Sau \[1\] năm Hải nhận được số tiền là \[100\, + \,100.6,5\% \, = \,106,5\].

Sau \[2\] năm Hải nhận được số tiền là \[106,5\, + \,106,5.6,5\% \, = \,113,42\].

Sau \[3\] năm Hải nhận được số tiền là \[113,42\, + \,113,42.6,5\% \, = \,120,79\].

Cách \[2\]: Áp dụng công thức tính “lãi kép” tổng quát:

Giả sử có \[X\] đồng, lãi suất là \[r\] một tháng, số tiền nhận được sau \[n\] tháng là \[{B_n}\, = \,X{\left( {1\, + \,r} \right)^n}\].

Sau \[3\] năm Hải nhận được số tiền là \[100{\left( {1\, + \,6,5\% } \right)^3}\, = \,120,79\].

Chọn C

Gọi số tiền lúc đầu Quân gửi vào ngân hàng là \[x\], \[\left( {x\, > \,0} \right)\].

Áp dụng công thức tính “lãi đơn” tổng quát: \[{A_n}\, = \,X\, + \,nX.r\, = \,X\left( {1\, + \,nr} \right)\]ta có \[13,6\, = \,x\left( {1\, + \,3.0,12} \right)\, \Rightarrow \,x\, = \,10\] triệu đồng.

Vậy số tiền lúc đầu Quân gửi vào ngân hàng là \[10\] triệu đồng.

Chọn B

Đổi \[48\] triệu \[400\]ngàn đồng = \[48,4\].

Cách 1:

Gọi lãi suất cho vay là \[x\] trong một năm, \[\left( {x\, > \,0} \right)\].

Nhận thấy đây là dạng bài lãi kép, ta có thể áp dụng công thức \[{B_n}\, = \,X{\left( {1\, + \,r} \right)^n}\].

Suy ra \[48,4\, = \,40.{\left( {1\, + \,x} \right)^2}\, \Rightarrow \,x\, = \,0,1\, = \,10\% \].

Cách 2:

Số tiến lãi Nam phải trả trong năm đầu là \[40x\].

Số tiền vốn và lãi trong năm đầu là \[40\, + \,40x\], được chuyển thành tiền vốn năm thứ hai nên số tiền lãi trong năm thứ hai là \[\left( {40\, + \,40x} \right)x\].

Theo bài ra ta có: \[40\, + \,40x\, + \,\left( {40\, + 40x} \right)x\, = \,48,4\, \Leftrightarrow \,10{x^2}\, + \,20x\, - 2,1\, = \,0\].

\[ \Leftrightarrow \,\left( {x\, - \,0,1} \right)\left( {10x\, + \,21} \right)\, = \,0\]

\[ \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,0,1\\x\, = \, - 2,1\end{array} \right.\]

Vậy lãi suất cho vay là \[0,1\, = \,10\% \] trong một năm.

Chọn C

Số tiền ông Bách thu được trong ba năm đầu là:

\[20\,\,000\,\,000.{(1 + 3,35\% )^3} = 22\,\,078\,\,087\]

Số tiền ông Bách thu được trong hai năm tiếp theo là:

\[22\,\,078\,\,087.{(1 + 3,75\% )^2} = 23\,\,764\,\,991\]

Số tiền ông Bách thu được trong năm năm tiếp theo là:

\[23\,\,764\,\,991 \cdot {\left( {1 + 4,8\% } \right)^5} = 30\,\,043\,\,053\]

Chọn B

Gọi lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng \[A\] là \[x\% \left( {x > 0} \right)\]

Lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng \[B\] là \[(x + 1)\% \]

Tiền lãi bác Bình nhận được sau 1 năm gửi vào ngân hàng \[A\] và \[B\] tương ứng là \[100.x\% \] và \[150.(x + 1)\% \].

Theo bài ra ta có PT: \[100.x\% + 150.(x + 1)\% = 16,5\]

\[ \Leftrightarrow 100.x + 150.x + 150 = 1650\]

\[ \Leftrightarrow x = 6\]

Vậy lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng\[A\] là \[6\% \]

Chọn C

Giảm giá \[20\% \] cho một món hàng nên giá bán một món hàng là \[80\% .40\,\,000 = 32\,\,000\]

Trả \[60\% \] giá đang bán, tức là \[60\% .40\,\,000 = 24\,\,000\]

Khách hàng phải trả \[272\,\,000\] nên khách hàng đã mua nhiều hơn 4 món hàng, từ món hàng thứ 5 khách mua với giá \[24\,\,000\] ngàn đồng.

Gọi số món hàng khách mua là \[x\] món hàng (\[x \in {N^*}\]và \[x > 4\]).

Theo bài ra ta có: \[4 \cdot 32\,\,000 + \left( {x - 4} \right).24\,\,000 = 272\,\,000\] nên \[x = 10\]

Vậy nếu khách hàng phải trả \[272\,\,000\] đồng thì khách đó mua 10 món hàng.

Chọn B 

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là \(x,(g)\), \((x > 0)\)

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là \(\frac{{50}}{{x + 50}}\,\).

Nếu đổ thêm \[100\] gram nước vào dung dịch thì khối lượng của dung dịch sẽ là \(x + 50 + 100 = x + 150, (g)\), khi đó nồng độ muối của dung dịch là: \(\frac{{50}}{{x + 150}}\)

Theo bài ra ta có:

\(\)\[\frac{{50}}{{x + 50}} - \frac{{50}}{{x + 150}} = 25\% \]

\[{x^2} + 200x - 12500 = 0\]

\[(x - 50)(x + 250) = 0\]

\[x - 50 = 0\] hoặc \[x + 250 = 0\]

\[x = 50\] hoặc \[x = - 250\]

Vì \(x > 0\) nên \(x = 50\,\left( g \right)\), vậy trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa \[50\] gam nước.

Chọn C

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là \(x\left( {g/c{m^3}} \right),\left( {x > 2} \right)\)

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là \(x - 2\left( {g/c{m^3}} \right)\)

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là \(\frac{{250}}{x}\left( {c{m^3}} \right)\).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là \(\frac{{320}}{{x - 2}}\left( {c{m^3}} \right)\).

Theo bài ra ta có:

\(\frac{{320}}{{x - 2}} - \frac{{250}}{x} = 15\)

\(3{x^2} - 20 - 100 = 0\)

\((x - 10)(3x + 10) = 0\)

\(x - 10 = 0\) hoặc \(3x + 10 = 0\)

\[x = 10\] hoặc \[x = - \frac{{10}}{3}\]

Vì \(x > 2\) nên $x = 10 g/c{m}^3$

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là $x = 10 g/c{m}^3$

Chọn C

Tăng \(5\% \) của \[100\] triệu tương đương tăng \(5\) triệu.

Vì mỗi gian hàng của trung tâm cho thuê với giá \(100\,\,000\,\,000\) đồng một năm thì tất cả gian hàng đều được thuê hết, nên để tăng doanh thu thì người quản lý phải cho thuê với giá lớn hơn

\(100\,\,000\,\,000\) đồng một năm.

Giả sử giá tiền thuê mỗi gian hàng tăng lên là \(x\), \(\left( {x > 0} \right)\).

Khi đó giá mỗi gian hàng cho thuê là \(100 + x\).

Tăng \(5\% \) tức là \(5\) triệu tiền thuê mỗi gian hàng thì có thêm 2 gian hàng trống nên khi tăng \(x\)

triệu đồng thì có thêm \(\frac{{2x}}{5}\) gian hàng trống, do đó số gian hàng được thuê sau khi tăng giá là

\(100 - \frac{{2x}}{5}\).

Vậy số tiền thu được là \[T = \left( {100 + x} \right)\left( {100 - \frac{{2x}}{5}} \right)\]

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \({T_{\max }}\), ta có

\(T = \left( {100 + x} \right)\left( {100 - \frac{{2x}}{5}} \right) = - \frac{2}{5}{x^2} + 60x + 10\,\,000 = - \frac{2}{5}{\left( {x - 75} \right)^2} + 12\,\,250 \le 12\,\,250\)

Suy ra khi \({T_{\max }} = 12\,\,250\) nên \(x = 75\).

Vậy người quản lý phải cho thuê mỗi gian hàng với giá là \(100 + 75 = 175\) một năm thì doanh thu từ tiền cho thuê gian hàng đạt lớn nhất.

Chọn A

Gọi số thứ nhất là \[a;a \in \mathbb{N}\] số thứ hai là \[b;b \in \mathbb{N}\].

Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là \(9\) nên ta có

\[2a - 3b = 9 \Rightarrow b = \frac{{2a - 9}}{3}\]

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng \(119\) nên ta có phương trình:

\[{a^2} - {\left( {\frac{{2a - 9}}{3}} \right)^2} = 119\]

\[9{a^2} - {\left( {2a - 9} \right)^2} = 1071\]

\[5{a^2} + 36a - 1152 = 0\]

Ta có \[\Delta \prime = 6084\] nên \[\left[ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 18 + \sqrt {6084} }}{5}\\a = \frac{{ - 18 - \sqrt {6084} }}{5}\end{array} \right.\] hay \[\left[ \begin{array}{l}a = 12(N)\\a = - \frac{{96}}{5}(L)\end{array} \right.\]

Với \[a = 12 \Rightarrow b = 5\]

Vậy số lớn hơn là \(12\).

Chọn D

Gọi số thứ nhất là \[a;a \in {\mathbb{N}^ * }\]; số thứ hai là \[b;b \in {\mathbb{N}^ * }\] Giả sử \[a > b.\]

Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \[3\] nên ta có \[a - 2b = 3 \Rightarrow a = 2b + 3\]

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng \[360\] nên ta có phương trình: \[{a^2} - {b^2} = 360{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ( * )\]

Thay \[a = 2b + 3\] vào (*) ta được \[{\left( {2b + 3} \right)^2} - {b^2} = 360 \Leftrightarrow 3{b^2} + 12b - 351 = 0\]

Ta có \[\Delta ' = 1089 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 33\] nên \[b = \frac{{ - 6 + 33}}{3} = 9(tm)\] hoặc \[b = \frac{{ - 6 - 33}}{3} = - 13(ktm)\]

Với \[b = 9 \Rightarrow a = 2.9 + 3 = 21\]

Vậy số bé hơn là \[9\].

Chọn D

Gọi số bé hơn là \[a;a \in {\mathbb{N}^ * }\]thì số lớn hơn là \[a + 1\]

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là \[109\] nên ta có phương trình \[a(a + 1) - (a + a + 1) = 109\] \[ \Leftrightarrow {a^2} - a - 110 = 0 \Leftrightarrow (a - 11)(a + 10) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 11(N)\\a = - 10(L)\end{array} \right.\]

Vậy số bé hơn là \[11\].

Chọn B

Gọi \[x\] là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu \[(x > 0)(cm)\]

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: \[3x(cm)\]

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: \[x + 5(cm)\]

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: \[3x + 5(cm)\]

Theo đề bài ta có phương trình: \[(x + 5)(3x + 5) = 153\]

\[ \Leftrightarrow 3{x^2} + 20x - - 128 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4(N)\\x = - \frac{{32}}{3}(L)\end{array} \right.\]

Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: \[12cm\] và \[4cm\].

Suy ra chu vi hình chữ nhật ban đầu là \[(12 + 4).2 = 32{\mkern 1mu} (cm)\]

Chọn D

Gọi \(x\) là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu \[(x > 0)(cm)\] Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: \[2x(cm)\]

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: \[x + 3(cm)\]

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: \[2x + 3(cm)\]

Theo đề bài ta có phương trình: \[(x + 3)(2x + 3) = 135\] \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} + 9x - 126 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 21x - 126 = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - 6) + 21(x - 6) = 0 \Leftrightarrow (2x + 21)(x - 6) = 0\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 6 = 0\\2x + 21 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6(tm)\\x = - \frac{{21}}{2}(ktm)\end{array} \right.\]

Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: \[6cm\] và \[12cm\]

Suy ra chu vi hình chữ nhật ban đầu là \[(12 + 6).2 = 36{\mkern 1mu} (cm)\]

Chọn A

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là \[x\,(cm)\,(x > 0)\]

Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là \[x + 4(cm)\]

Vì cạnh huyền bằng \[20\,cm\] nên theo định lý Pythagore ta có

\[{x^2} + {(x + 4)^2} = {20^2}\]

\[{x^2} + {(x + 4)^2} = 400\]

\[2{x^2} + 8x - 384 = 0\]

\[x = 12(N)\] hoặc \[x = - 16(L)\]

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là \[12\,cm\] và \[12 + 4 = 16{\mkern 1mu} \,{\mkern 1mu} cm\].

Chọn D

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là \[x(cm)(x > 0)\]

Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là \[x + 14(cm)\]

Vì cạnh huyền bằng \[26\,cm\] nên theo định lý Pythagore ta có

\[{x^2} + {(x + 14)^2} = {26^2}\]

\[{x^2} + {x^2} + 28x + 196 = 676\]

\[2{x^2} + 28x - 480 = 0\]

\[{x^2} + 14x - 240 = 0\]\[{x^2} - 10x + 24x - 240 = 0\]

\[x(x - 10) + 24(x - 10) = 0\]

\[(x + 24)(x - 10) = 0\]

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là \[10\,cm\] và \[10 + 14 = 24{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm\]

Cạnh góc vuông có độ dài nhỏ hơn là \[10\,cm\].

Chọn C

Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là \[h(m);h > 0\]

Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích \[180{\mkern 1mu} {m^2}\] nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là \[\frac{{180.2}}{h}\] hay \[\frac{{360}}{h}(m)\]

Vì tăng cạnh đáy thêm \[4\,m\] và chiều cao giảm đi \[1m\] thì diện tích không đổi nên ta có phương trình

\[\frac{1}{2}\left( {\frac{{360}}{h} + 4} \right)(h - 1) = 180\]

\[4{h^2} - 4h - 360 = 0\]

\[\left[ \begin{array}{l}h = 10(TM)\\h = - 9(L)\end{array} \right.\]

Nên chiều cao \[h = 10{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m\]

Suy ra cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là \[\frac{{360}}{{10}} = 36{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (m)\]

Chọn B

Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là \[h\left( m \right);h > 4\]

Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích \[120{\mkern 1mu} {m^2}\] nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là \[\frac{{120.2}}{h}\] hay \[\frac{{240}}{h}(m)\]

Vì tăng cạnh đáy thêm \[5m\] và chiều cao giảm đi \[4m\] thì diện tích giảm \[40{m^2}\] nên ta có phương trình

\[\frac{1}{2}\left( {\frac{{240}}{h} + 5} \right)(h - 4) = 120 - 20\]

\[\left( {\frac{{240}}{h} + 5} \right)(h - 4) = 200\]

\[5{h^2} + 20h - 960 = 0\].

Phương trình trên có \[\Delta \prime = 4900\] nên \[\left[ \begin{array}{l}h = \frac{{ - 10 + 70}}{5} = 12(tm)\\h = \frac{{ - 10 - 70}}{5} = - 16(ktm)\end{array} \right.\]

Nên chiều cao \[h = 12{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m\]

Suy ra cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là \[\frac{{240}}{{12}} = 20{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (m)\]

Chọn C

Gọi năng suật dự định là \[x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (0 < x < 20,\]sản phẩm/giờ).

Sản phẩm làm được sau \[2\] giờ là: \[2x\] (sản phẩm).

Số sản phẩm còn lại là: \[120 - 2x\] (sản phẩm)

Năng suất sau khi cải tiến là \[x + 3\] (sản phẩm/giờ)

Thời gian làm số sản phẩm còn lại là: \[\frac{{120 - 2x}}{{x + 3}}\] (giờ)

Do sau khi cải tiến người đó hoàn thành sớm hơn dự định \[1\] giờ \[36\] phút.

Đổi \(1\) giờ \(36\) phút bằng \(1.6\)giờ.

Theo bài ra có phương trình:

\[2 + \frac{{120 - 2x}}{{x + 3}} + 1,6 = \frac{{120}}{x}\]

\[1,6{x^2} + 10,8x - 360 = 0\]

\[\left[ \begin{array}{l}x = 12(N)\\x = - \frac{{75}}{4}(L)\end{array} \right.\]

Vậy năng suất dự định của công nhân đó là \(12\) sản phẩm/giờ.

Chọn A

Gọi số sản phẩm nhóm thợ theo kế hoạch phải làm mỗi ngày là \[x(x \in {N^ * })\] *) Theo kế hoạch: Thời gian hoàn thành là \[\frac{{3000}}{x}\] (ngày)

*) Thực tế:

Số sản phẩm làm trong 8 ngày là \[8x\](sản phẩm),

Số sản phẩm còn lại là \[3000 - 8x\] (sản phẩm)

Mỗi ngày sau đó nhóm thợ làm được \[x + 10\] ( sản phẩm)

Thời gian hoàn thành \[\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}\] (ngày).

Vì thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 2 ngày nên ta có phương trình:

\[8 + \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} + 2 = \frac{{3000}}{x}\]

\[\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} - \frac{{3000}}{x} + 10 = 0\]

\[\frac{{3000x - 8{x^2}}}{{x(x + 10)}} - \frac{{3000x + 30000}}{{x(x + 10)}} + \frac{{10x(x + 10)}}{{x(x + 10)}} = 0\]

\[2{x^2} + 100x - 30\,\,000 = 0\]

\[{x^2} + 50x - 15\,000 = 0\]

\[\Delta ' = {25^2} - 1( - 15\,\,000) = 15\,625 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 125\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = - 25 - 125 = - 150\](loại) và \[{x_2} = - 25 + 125 = 100\] (tmđk).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày cần làm \(100\) sản phẩm.

Chọn B

Gọi \[x\] là số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo kế hoạch. \[(x \in {N^ * },x < 84)\]

Số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo thực tế \[x + 2\]

Thời gian mà công nhân hoàn thành theo kế hoạch: \[\frac{{84}}{x}(h)\]

Thời gian mà công nhân hoàn thành theo thực tế: \[\frac{{84}}{{x + 2}}(h)\]

Người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn định \[1h\] nên ta có phương trình: \[\frac{{84}}{x} - \frac{{84}}{{x + 2}} = 1\] \[ \Leftrightarrow 84\left( {x + 2} \right) - 84x = x\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 126 = 0\]

\[ \Leftrightarrow x = 12\] (nhận) hoặc \[x = - 14\] (loại)

Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người công nhân phải làm \[12\] sản phẩm.

Chọn C

Gọi số sản phẩm đội dự định làm mỗi ngày là \[x(x \in {N^ * },\:x < 100)\] (sản phẩm).

*) Theo kế hoạch

Thời gian hoàn thành là \[\frac{{1000}}{x}\] (ngày).

*) Thực tế.

Mỗi ngày tổ làm được \[x + 10\] ( sản phẩm).

Thời gian hoàn thành \[\frac{{1080}}{{x + 10}}\] ( ngày).

Vì thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 2 ngày nên ta có phương trình:

\[\frac{{1000}}{x} - \frac{{1080}}{{x + 10}} = 2\]

\[\frac{{500}}{x} - \frac{{540}}{{x + 10}} = 1\]

\[\frac{{500(x + 10) - 540x}}{{x(x + 10)}} = \frac{{x(x + 10)}}{{x(x + 10)}}\]

\[500x + 5000 - 540x = {x^2} + 10x\]

\[{x^2} + 50x - 5000 = 0\]

\[\Delta ' = {25^2} - 1( - 5000) = 5625 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 75\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

\[{x_1} = - 25 - 75 = - 100\] (loại) và \[{x_2} = - 25 + 75 = 50\] (TMĐK).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ dự định làm \[50\] sản phẩm.

Chọn D

Gọi \[x\] (quyển sách) là số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch, \[(x \in {\mathbb{N}^ * })\]

Số ngày in theo kế hoạch: \[\frac{{6000}}{x}\] (ngày)

Số quyển sách xưởng in được thực tế trong mỗi ngày: \[x + 300\] (quyển sách)

Số ngày in thực tế: \[\frac{{6000}}{{x + 300}}\]

Theo đề bài ta có phương trình:

\[\frac{{6000}}{x} - \frac{{6000}}{{x + 300}} = 1\]

\[{x^2} + 300x - 1\,\,800\,\,000 = 0\]

\[\left[ \begin{array}{l}x = 1200(N)\\x = - 1500(L)\end{array} \right.\]

Vậy số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch là \[1200\] quyển sách.

Chọn A

Gọi số xe ban đầu là \[x,{\mkern 1mu} x \in {\mathbb{N}^ * }\] (xe) nên số hàng theo kế hoạch mỗi xe chở là \[\frac{{24}}{x}\] (tấn).

Số xe thực tế là \[x + 2\] (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là \[\frac{{24}}{{x + 2}}\] (tấn).

Theo bài ra ta có phương trình

\[\frac{{24}}{x} - \frac{{24}}{{x + 2}} = 2\]

\[\frac{{12}}{x} - \frac{{12}}{{x + 2}} = 1\]

\[12(x + 2) - 12x = x(x + 2)\]

\[{x^2} + 2x - 24 = 0\]

\[(x - 4)(x + 6) = 0\]

\[\left[ \begin{array}{l}x = 4(TM)\\x = - 6(L)\end{array} \right.\]

Vậy số xe ban đầu là \[4\] xe.

Chọn C

Gọi số xe ban đầu là \[x\:(x \in {N^ * },\:x > 5,\:xe)\].

* Theo dự định: Tổng số hàng là: \[150\;\] (tấn)

Số hàng mỗi xe chở là: \[\frac{{150}}{x}\] (tấn)

* Thực tế: Tổng số xe là \[x{\rm{ }}--{\rm{ }}5{\rm{ }}\;\] (xe)

Số hàng mỗi xe chở là: \[\frac{{150}}{{x - 5}}\] (tấn)

Vì số hàng thực tế mỗi xe chở hơn dự định 5 tấn nên ta có phương trình:

\[\frac{{150}}{{x - 5}} - \frac{{150}}{x} = 5\]

\[\frac{{30}}{{x - 5}} - \frac{{30}}{x} = 1\]

\[\frac{{30x}}{{x(x - 5)}} - \frac{{30(x - 5)}}{{x(x - 5)}} = \frac{{x(x - 5)}}{{x(x - 5)}}\]

\[30x - 30(x - 5) = x(x - 5)\]

\[30x - 30x + 150 = {x^2} - 5x\]

\[{x^2} - 5x - 150 = 0\]

\[\Delta = {( - 5)^2} - 4.1.( - 150) = 625 > 0\]

⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{5 + \sqrt {625} }}{2} = 15(tm)\\{x_2} = \frac{{5 - \sqrt {625} }}{2} = - 10(ktm)\end{array} \right.\]

Vậy số xe ban đầu của đội là \[15\] xe.

Chọn B

Gọi số dãy ghế là \(x(x \in N * )\) (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy là: \[\frac{{360}}{x}\] (ghế)

Số dãy ghế lúc sau là: \[x + 1\] (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy lúc sau là: \[\frac{{360}}{x} + 1\] (ghế)

Vì sau khi tăng số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có \[400\] ghế nên ta có phương trình:

\[(x + 1)\left( {\frac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\]

\[(x + 1)\left( {\frac{{360 + x}}{x}} \right) = 400\]

\[(x + 1)(360 + x) = 400x\]

\[360x + {x^2} + 360 + x = 400x\]

\[{x^2} - 39x + 360 = 0\]

\[\Delta = {( - 39)^2} - 4.1.360 = 81 > 0\].

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{39 + \sqrt {81} }}{2} = 24(ktm)\\{x_2} = \frac{{39 - \sqrt {81} }}{2} = 15(tm)\end{array} \right.\]

Vậy số dãy ghế là \[15\] (dãy).