46 câu Trắc nghiệm Toán 12 Mũ và lôgarit có đáp án (Mới nhất)

Chọn D

Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$ .

${\log }_2\left(x-2\right)=3\iff x-2=8\iff x=10$(thỏa).

Vậy phương trình có nghiệm $x=10$ .

Chọn A

Ta có: $3^{x+1}=9\iff 3^{x+1}=3^2\iff x+1=2\iff x=1$ .

Chọn B.

Điều kiện xác định: $x>0$ .

Chọn D

 Ta có: ${\log }_{a^3}b=\frac{1}{3}{\log }_{a}b.$

Chọn A

Ta có : $2^{x^2-7}<4\iff 2^{x^2-7}<2^2\Rightarrow x^2-7<2\iff x^2<9\Rightarrow x\in \left(-3;3\right).$

Chọn D

Ta có : $9^{{\log }_3\left(ab\right)}=4a\iff 2{\log }_3\left(ab\right)={\log }_3\left(4a\right)\iff {\log }_3\left(a^2{b}^2\right)={\log }_3\left(4a\right)\Rightarrow a^2{b}^2=4a$

$\iff a{b}^2=4$.

Chọn A

$3^{x-1}=27\iff 3^{x-1}=3^3\iff x=4$.

Chọn C

Hàm số xác định khi $x>0$ . Vậy tập xác định $D=\left(0;+\infty \right)$ .

Chọn D

Ta có ${\log }_2\left(a^3\right)=3{\log }_{2}a$  .

Chọn C

$\log x\ge 1\iff x\ge 10$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[10;+\infty \right)$ .

Chọn D

${\log }_3\left(3^a{.9}^b\right)={\log }_{9}3\Rightarrow {\log }_3\left(3^a\right)+{\log }_3\left(9^b\right)=\frac{1}{2}$.

Chọn B

Đặt $t=3^x\left(t>0\right)$  bất phương trình đã cho trở thành $t^2+2t-3>0\iff \left[\begin{array}{l}t>1\\ t<-3\left(loai\right)\end{array}\right.$

Với $t>1$  thì $3^x>1\iff x>0$ .

Đáp án B

${\log }_3\left(2x-1\right)=2\iff 2x-1=3^2\iff x=5$

Đáp án D

${\log }_{2}a={\log }_8\left(ab\right)\iff {\log }_{2}a=\frac{1}{3}{\log }_2\left(ab\right)$.

$\iff 3{\log }_{2}a={\log }_2\left(ab\right)\iff {\log }_2{a}^3={\log }_2\left(ab\right)\iff a^3=ab\iff a^2=b$

Đáp án B

Giả sử ${\log }_{9}x={\log }_{6}y={\log }_4(2x+y)=t$ . Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}x=9^t\\ y=6^t\\ 2x+y=4^t\end{array}\right.\Rightarrow {2.9}^t+6^t=4^t$

$\iff 2.{\left(\frac{9}{4}\right)}^t+\left(\frac{3}{2}\right){}^t-1=0\iff \left[\begin{array}{l}{\left(\frac{3}{2}\right)}^t=-1\left(loai\right)\\ {\left(\frac{3}{2}\right)}^t=\frac{1}{2}\end{array}\right.$.

Ta có :$\frac{x}{y}=\frac{9^t}{6^t}={\left(\frac{3}{2}\right)}^t=\frac{1}{2}$

Chọn A

Ta có .

Lời giải

Chọn A

Chọn A

Ta có

Chọn D

·

·  .

· Vậy (1) có một nghiệm x=2.

Chọn C.

Ta có $\ln \left(5a\right)-\ln \left(3a\right)=\ln \frac{5a}{3a}=\ln \frac{5}{3}$  .

Chọn B.

Ta có   $2^{2x+1}=32\iff 2x+1=5\iff x=2$

Chọn C

Nhận xét $x^2+y^2-2x+2>0\forall x;y$

Bất phương trình $2^{x^2+y^2+1}\le \left(x^2+y^2-2x+2\right){.4}^x\iff \frac{2^{x^2+y^2+1}}{2^{2x}}\le \left(x^2+y^2-2x+2\right)$ .

$\iff 2^{x^2+y^2-2x+1}\le \left(x^2+y^2-2x+2\right)$

Đặt  $t=x^2+y^2-2x+1$

Bất phương trình $\iff 2^t\le t+1$$\iff 2^t-t-1\le 0$

Đặt $f\left(t\right)=2^t-t-1$ . Ta thấy $f\left(0\right)=f\left(1\right)=0$  .

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=2^t\ln 2-1$

$f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff 2^t\ln 2=1\iff t={\log }_2\left(\frac{1}{\ln 2}\right)\approx 0,52$

Quan sats BBT ta thấy $f\left(t\right)\le 0\iff 0\le t\le 1$

 $0\le x^2+y^2-2x+1\le 1\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2\le 1\left(1\right)$

Xét  $P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\iff 2Px-Py+P=8x+4$

$\iff P-4=\left(8-2P\right)x+Py$$\iff P-4+2P-8=\left(8-2P\right)x+2P-8+Py$

$\iff 3P-12=\left(8-2P\right)\left(x-1\right)+Py$

$\iff {\left(3P-12\right)}^2={\left[\left(8-2P\right)\left(x-1\right)+Py\right]}^2\le \left[{\left(8-2P\right)}^2+P^2\right]\left[{\left(x-1\right)}^2+y^2\right]$

Thế vào ta có ${\left(3P-12\right)}^2\le \left[{\left(8-2P\right)}^2+P^2\right]\iff 4P^2-40P+80\le 0\iff 5-\sqrt{5}\le P\le 5+\sqrt{5}$  .

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\frac{8-2P}{P}=\frac{x-1}{y}=\frac{-2}{\sqrt{5}}\\ {\left(x-1\right)}^2+y^2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-1=\frac{-2}{\sqrt{5}}y\\ {\left(\frac{-2}{\sqrt{5}}y\right)}^2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-1=\frac{-2}{\sqrt{5}}y\\ y=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{3}\\ y=\frac{-\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của là  $5-\sqrt{5}\approx 2,76$ gần giá trị 3 nhất.

Chọn D

Ta có $2a^m=n\ln \left(a+\sqrt{a^2+1}\right)\iff \frac{2a^m}{n}=\ln \left(a+\sqrt{a^2+1}\right)$ .

Xét hai hàm số $f\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$  và $g\left(x\right)=\frac{2}{n}{x}^m$  trên $\left(-1;1\right)$ .

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$  nên $f\left(x\right)$  luôn đồng biến và  

$f\left(-x\right)=\ln \left(-x+\sqrt{x^2+1}\right)=\ln \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)=-\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=-f\left(x\right)$nên $f\left(x\right)$  là hàm số lẻ.

+ Nếu m chẵn thì $g\left(x\right)$  là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng

Suy ra phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, do đó m lẻ.

+ Nếu m lẻ thì hàm số $g\left(x\right)$  là hàm số lẻ và luôn đồng biến.

Ta thấy phương trình luôn có nghiệm $x=0$ . Dựa vào tính chất đối xứng của đồ thị hàm số lẻ, suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên $\left(-1;1\right)$  khi có 1 nghiệm trên (0,1), hay $f\left(1\right)>g\left(1\right)\iff \ln \left(1+\sqrt{2}\right)<\frac{2}{n}\iff n<\frac{2}{\ln \left(1+\sqrt{2}\right)}\approx 2,26\Rightarrow n\in \left\{1;2\right\}$ .

Đối chiếu điều kiện, với $n=1$  suy ra , có $m\in \left\{1;3;5;7;9\right\}$  cặp số thỏa mãn

Với  n=2 thì $m\in \left\{1;3;5;7\right\}$  có 4   cặp số thỏa mãn.

Vậy có 9 cặp số thỏa mãn bài toán.

Chọn D

Ta có $2a^m=n\ln (a+\sqrt{a^2+1})\iff \frac{2}{n}{a}^m=\ln (a+\sqrt{a^2+1})(*)$ .

Xét hàm $f\left(a\right)=\ln (a+\sqrt{a^2+1})$  trên $(-1,1)$  (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến trên R), có BBT:

Xét hàm $g\left(a\right)=\frac{2}{n}.a^m$  trên $(-1,1)$  .

Với m chẵn, $g\left(a\right)$   là hàm chẵn và $g\left(a\right)\ge 0,\forall a\in R$ , do đó $(*)$  không thể có 3 nghiệm.

Với m lẻ, $g\left(a\right)$  là hàm lẻ, đồng biến trên  và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm a=0 là đường thẳng y=0.

Dễ thấy $(*)$  có nghiệm $a=0\in (-1;1)$ . Để $(*)$  có đúng 3 nghiệm tức là còn có 2 nghiệm nữa là $\pm a_0$  với $0<a_0<1$ .

Muốn vậy, thì $g\left(1\right)=\frac{2}{n}{.1}^m=\frac{2}{n}>f\left(1\right)=\ln (1+\sqrt{2})\iff n<\frac{2}{\ln (1+\sqrt{2})}\approx 2,26\Rightarrow n=1;n=2$

Cụ thể:

+ $m\in \left\{3;5;7;9\right\}$  thì $n\in \left\{1;2\right\}$ : Có 8 cặp $(m,n)$

+ $m=11$  thì : $n\in \left\{1\right\}$ Có  cặp $(m,n)$

+ $m=1$ : Đồ thị hàm số $g\left(a\right)$  là đường thẳng ($g\left(a\right)=a;g\left(a\right)=2a$) không thể cắt đồ thị hàm số $f\left(a\right)$  tại giao điểm $a_0\ne 0$  được vì tiếp tuyến của hàm số $f\left(a\right)$  tại điểm có hoành độ $a=0$  là đường thẳng $y=a$ .

Vậy có cả thảy 9 cặp $y=a$

Chọn D

Ta có ${\log }_3\left(x^2+y\right)\ge {\log }_2\left(x+y\right)\left(1\right)$

Đặt $t=x+y\in \mathbb{N}*$  (do $x,y\in \mathbb{Z},x+y>0$ )

$\left(1\right)\iff {\log }_3\left(x^2-x+t\right)\ge {\log }_{2}t\iff g\left(t\right)={\log }_{2}t-{\log }_3\left(x^2-x+t\right)\le 0\left(2\right)$

Đạo hàm $g^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 2}-\frac{1}{\left(x^2-x+t\right)\ln 3}>0$  với mọi y. Do đó $g\left(t\right)$  đồng biến trên $\left[1;+\infty \right)$

Vì mỗi x nguyên có không quá 127 giá trị $t\in \mathbb{N}*$  nên ta có

$g\left(128\right)>0\iff {\log }_{2}128-{\log }_3\left(x^2-x+128\right)>0$

$\iff x^2-x+128<3^7\iff -44,8\le x\le 45,8$

Như vậy có 90 giá trị thỏa yêu cầu bài toán

Chọn B.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+y>0\\ x^2+y^2>0\end{array}\right..$

Điều kiện cần

Đặt $t={\log }_3\left(x+y\right)={\log }_4\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y=3^t\left(d\right)\\ x^2+y^2=4^t\left(C\right)\end{array}\right.$ .

Suy ra $x,y$  tồn tại nếu đường thẳng d cắt đường tròn $\left(C\right)$  tại ít nhất một điểm.

Hay  $\frac{\left|-3^t\right|}{\sqrt{2}}\le 2^t\Rightarrow t\le {\log }_{\frac{3}{2}}\sqrt{2}\approx 0,8548.$

Khi đó:

Điều kiện đủ:

 Với $x=-1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=3^t+1\\ y^2=4^t-1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{4}^t-1>0\\ 4^t-1={\left(3^t+1\right)}^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}t>0\\ f\left(t\right)=9^t+{2.3}^t+2-4^t=0\end{array}\right.$ .

Khi $0<t<0,8548\Rightarrow 9^t\ge 4^t\Rightarrow f\left(t\right)>0$ . Suy $x=-1\left(l\right)$ .

 Với $x=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=3^t\\ y^2=4^t\end{array}\right.\Rightarrow 4^t=3^t\Rightarrow t=0\Rightarrow y=1\left(t/m\right)$ .

 $x=1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=3^t-1\\ y^2=4^t-1\end{array}\right.\Rightarrow y=t=0(t/m)$ .