20 câu Trắc nghiệm Hàm số mũ. Hàm số Logarit có đáp án (Vận dụng)

Ta có phương trình $2^x-2=2-2^y$

Đặt

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=2^x-2\\ g\left(y\right)=2-2^y\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=2^x\ln 2>0, \forall x\\ g\text{'}\left(y\right)=-2^y\ln 2<0, \forall y\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra hàm số f(x) luôn đồng biến với mọi x và hàm số g(y) luôn nghịch biến với mọi y.

$\Rightarrow$Phương trình có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.

Lại có:  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=0\\ g\left(1\right)=0\end{array}\right.\iff x=y=1 \\ \Rightarrow P_{min}\iff x=y=1\Rightarrow P=18 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}y\text{'}=-\sin x.e^{\cos x}\\ y\text{'}\text{'}={\sin }^{2}x.e^{\cos x}-\cos x.e^{\cos x}\end{array}\right.$

Thay lần lượt vào các đáp án thì ta được đáp án B đúng.

Thật vậy:

Ta có

$$\begin{gathered} y\text{'}.\sin x+y.\cos x+y\text{'}\text{'} \\ =-\sin x.e^{\cos x}.\sin x+e^{\cos x} \\ .\cos x+{\sin }^{2}x.e^{\cos x}-\cos x.e^{\cos x}=0 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B.

Ta có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=4\frac{\left(\sqrt{x-4}+\sqrt{x}\right)\text{'}}{\sqrt{x-4}+\sqrt{x}}+\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x}} \\ =\frac{x}{\sqrt{x^2-4x}} \end{gathered}$$

Khi đó: $f\text{'}\left(8\right)=\sqrt{2}$ và f(4)=4ln2

Vậy $$\begin{gathered} P=f\left(4\right)-{\left[f\text{'}\left(8\right)\right]}^2.\ln 2 \\ =4\ln 2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2.\ln 2=2\ln 2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là A.

Ta có:

$y=\frac{1}{x+1+\ln x}\Rightarrow y\text{'}=\frac{-\left(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}{{\left(x+1+\ln x\right)}^2}$

Khi đó

$-\frac{y\text{'}}{y^2}=\frac{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\left(x+1+\ln x\right)}^2}=1+\frac{1}{x}$

Đáp án cần chọn là: C.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\ln (e^x+\mathrm{\pi m})\Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{\pi m}} \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\ln 3\right)=3\iff \frac{3}{3+\mathrm{\pi m}}=3 \\ \iff \mathrm{m}=-\frac{2}{\mathrm{\pi }}\approx -0,64\in \left(-1;0\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A.

Nhận xét:

Hàm số $y={\log }_{a}x, y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)\Rightarrow a;c>1$

Hàm số $y={\log }_{b}x$ nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)\Rightarrow b<1$

Lấy $x_0>1$ (như hình vẽ). ta có:

$$\begin{gathered} {\log }_a{x}_0>{\log }_c{x}_0\Rightarrow a<c \\ \Rightarrow b<1<a<c\Rightarrow b<a<c \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B.

Từ đồ thị các hàm số đã cho ta thấy:

Hàm số $y=a^x$ luôn đồng biến trên R nên a > 1.

Hàm số $y={\log }_{b}x, y={\log }_{c}x$ luôn nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$ nên 0<b, c<1. Mặt khác, với mọi giá trị của x trong khoảng $\left(1;+\infty \right)$ thì ${\log }_{b}x>{\log }_{c}x$ nên b < c.

Do đó $0<b<c<1<a\iff b<c<a$

Đáp án cần chọn là: D.

Hàm số $y={\log }_3\left(x^2-mx+2\right)$ có tập xác định là R khi

$$\begin{gathered} x^2-mx+2>0 \forall x\in R \\ \iff \left\{\begin{array}{l}1>0\\ ∆=m^2-8<0\end{array}\right. \\ \iff -2\sqrt{2}\le m\le 2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D.

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $\left[1;e\right]$

Đạo hàm

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\left(\sqrt{x}\right)\text{'}.\ln x+\sqrt{x}\left(\ln x\right)\text{'} \\ =\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}} \end{gathered}$$

Suy ra

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=0\iff \ln x+2=0\iff \ln x=-2 \\ \iff x=e^{-2}=\frac{1}{e^2}\in \left[1;e\right] \end{gathered}$$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=0\\ f\left(e\right)=\sqrt{e}\end{array}\right.\Rightarrow \underset{\left[1;e\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(e\right)=\sqrt{e}$

Do đó $x_0=e$

Đáp án cần chọn là: D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $x_1$ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ${\log }_b{x}_1=3\iff x_1=b^3$

Và $x_2$ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ${\log }_a{x}_2=3\iff x_2=a^3$

Theo đề bài ta có:

$$\begin{gathered} x_2=2x_1\Rightarrow a^3=2b^3 \\ \iff \frac{a^3}{b^3}=2\iff \frac{a}{b}=\sqrt[3]{2} \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D.

ĐKXĐ: $9^x-3^x+m>0\iff m>-9^x+3^x$

Để hàm số: $y={\log }_3\left(9^x-3^x+m\right)$ có tập xác định là R thì $m>-9^x+3^x, \forall x\in R \left(*\right)$

Đặt $t=3^x, t>0$, xét hàm số

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=-t^2+t, (t>0), \\ f\text{'}\left(t\right)=-2t+1, f\text{'}\left(t\right)=0\iff t=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

BBT:

Khi đó (*) $\iff m>\frac{1}{4}$

Đáp án cần chọn là: A.