46 bài tập Hàm số y=ax^2 (a khác 0) và các bài toán tương giao có lời giải

Chọn B

Đồ thị của hàm số \[y = a{x^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a \ne 0)\] là một parabol đi qua gốc tọa độ \[O,\] nhận \[Oy\] là trục đối xứng (\[O\] là đỉnh của parabol).

- Nếu \[a > 0\] thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, \[O,\]là điểm thấp nhất của đồ thị.

- Nếu \[a < 0\] thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, \[O,\]là điểm cao nhất của đồ thị.

Chọn D

Thay \[{x_0} = - 2\] vào hàm số \[y = f(x) = - 7{x^2}\] ta được \[f( - 2) = - 7.( - 2)2 = - 28\].

Chọn A

Thay \[{x_0} = - 5\] vào hàm số \[y = f(x) = \frac{4}{5}{x^2}\] ta được \[f( - 5) = 45.( - 5)2 = 20\]

Chọn A

Thay tọa độ điểm \[A( - 2;4)\] vào hàm số \[y = f(x) = ( - 2m + 1){x^2}\] ta được

\[( - 2m + 1).{( - 2)^2} = 4\] hay \[ - 2m + 1 = 1\] nên \[m = 0\]

Vậy \[m = 0\] là giá trị cần tìm.

Chọn C

Thay tọa độ điểm \[B( - 3;5)\] vào hàm số \[y = f(x) = \frac{{2m - 3}}{3}{x^2}\] ta được

\[\frac{{2m - 3}}{3}.{( - 3)^2} = 5\] hay \[3(2m - 3) = 5\] nên \[6m - 9 = 5\] suy ra \[m = \frac{7}{3}\]. Vậy \[m = \frac{7}{3}\] là giá trị cần tìm.

Chọn D

• Thay tọa độ điểm \[A(1;2)\] vào hàm số \[y = - {x^2}\] ta được \[2 = - {1^2}\] (vô lý) nên \[A \notin (P)\].

• Thay tọa độ điểm \[C(10; - 200)\] vào hàm số \[y = - {x^2}\] ta được \[ - 200 = - {(10)^2}\] hay \[ - 200 = - 100\] ( vô lý) nên loại \[C \notin (P)\]

• Thay tọa độ điểm \[D\left( {\sqrt {10} ; - 10} \right)\] vào hàm số \[y = - {x^2}\] ta được \[ - 10 = - {\left( {\sqrt {10} } \right)^2}\] hay \[ - 10 = - 10\] ( luôn đúng) nên \[D \in (P)\]

• Thay tọa độ điểm \[B( - 1; - 1)\] vào hàm số \[y = - {x^2}\] ta được \[ - 1 = - {( - 1)^2}\] hay \[ - 1 = - 1\] (luôn đúng) \[B \in (P)\]

Chọn B

Ta thấy hàm số \[y = ( - {m^2} + 4m - 5){x^2}\] có

\[a = - {m^2} + 4m - 5 = - ({m^2} - 4m + 4) - 1 = - {(m - 2)^2} - 1 \le - 1 < 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m\]

Nên đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng suy ra A,C sai.

Và đồ thị hàm số là một parabpl nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Suy ra A sai.

Chọn C

Ta thấy hàm số \[y = (4{m^2} + 12m + 11){x^2}\] có

\[a = 4{m^2} + 12m + 11 = (4{m^2} + 12m + 9) + 2 = {(2m + 3)^2} + 2 \ge 2 > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m\]

Và đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

Chọn D

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\2x - y = 3\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = y + 1\\2(y + 1) - y = 3\end{array} \right.\] giải hệ được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A(2;1)\]

Thay \[x = 2;y = 1\] vào hàm số \[y = (2m + 2){x^2}\] ta được

\[1 = (2m + 2){.2^2}\] hay \[2m + 2 = \frac{1}{4}\] suy ra \[m = \frac{{ - 7}}{8}\]. Vậy \[m = - \frac{7}{8}\] là giá trị cần tìm.

Chọn B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = - 2\\x - 2y = - 3\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 3\\4(2y - 3) - 3y = - 2\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 3\\5y = 10\end{array} \right.\). Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right. \Rightarrow A(1;2)\)

Thay \[x = 1;y = 2\] vào hàm số \[y = ( - 3m + 1){x^2}\] ta được

\[2 = ( - 3m + 1){.1^2}\] nên \[ - 3m + 1 = 2\] suy ra \[m = \frac{{ - 1}}{3}\]. Vậy \[m = - \frac{1}{3}\] là giá trị cần tìm.

Chọn A

Từ hình vẽ suy ra \[a < 0\] nên loại B, C

Vì đồ thị đi qua điểm có tọa độ \[(1; - 1)\] nên loạiD.

>

Chọn D

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị đi qua điểm có tọa độ \[(3;3)\], ta thay \[x = 3;y = 3\] vào từng hàm số ở các đáp án ta được:

• Đáp án A: \[3 = 9\] (vô lý) nên loại A.

• Đáp án B: \[3 = \frac{9}{2}\] (vô lý) nên loại B.

• Đáp án C: \[3 = 27\] (vô lý) nên loại C.

• Đáp án D: \[3 = 3\] (luôn đúng) nên chọn D.

Chọn D

Gọi điểm \[M(x;y)\] là điểm cần tìm.

Vì \[M\]có tung độ gấp đôi hoành độ nên \[M(x;2x)\] Thay tọa độ điểm \[M\]vào hàm số ta được \[2x = \sqrt 3 {x^2}\]

Giải phương trình tích ta được \[x = 0 \Rightarrow y = 0\] hoặc \[x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\]

Hay có hai điểm thỏa mãn điều kiện là \[O(0;0),M\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)\]

Chọn B

Gọi điểm \[M(x;y)\] là điểm cần tìm. Vì \[M\] có tung độ gấp ba lần hoành độ nên \[M(x;3x)\]

Thay tọa độ điểm \[M\]vào hàm số ta được

\[3x = - \frac{2}{5}{x^2}\] hay \[x\left( {\frac{2}{5}x + 3} \right) = 0\]

Giải phương trình tích này ta được \[x = 0 \Rightarrow y = 0\] hoặc \[x = - \frac{{15}}{2} \Rightarrow y = - \frac{{45}}{2}\]

Hay điểm khác gốc tọa độ thỏa mãn điều kiện là \[M\left( {\frac{{ - 15}}{2};\frac{{ - 45}}{2}} \right)\]

Chọn A

Thay \[x = \sqrt 2 ;y = m\] vào hàm số \[y = \frac{1}{4}{x^2}\] ta được \[m = \frac{1}{4}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{2}.\] Vậy \[m = \frac{1}{2}\]

Chọn D

Thay \[x = m\sqrt 5 ;y = - 2\sqrt 5 \] vào hàm số \[y = - \sqrt 5 {x^2}\] ta được \[ - 2\sqrt 5 = - \sqrt 5 .{\left( {m\sqrt 5 } \right)^2}\] hay \[ - 5m\sqrt 5 = 2\sqrt 5 \] nên \[m = - \frac{2}{5}\]. Vậy \[m = - \frac{2}{5}\].

Chọn A

Thay từng toạ độ điểm vào các công thức hàm số nhận thấy \(x = 1;y = \frac{1}{2}\) thoả mãn cả \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\]. Nên tọa độ giao điểm cần tìm là \[\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\]

Chọn C

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \((P)\) và đường thẳng \((d)\)

\[3{x^2} = - 4x - 1\] hay \[3x(x + 1) + x + 1 = 0\] ta được \[(3x + 1)(x + 1) = 0\]

Giải phương trình tích này có \[x = - \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3{x^2} = \frac{1}{3}\] hoặc \[x = - 1 \Rightarrow y = 3{x^2} = 3\]

Nên tọa độ giao điểm cần tìm là \[\left( { - \frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right);( - 1;3)\]

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm

\[{x^2} = 2x + 3\]

\[{x^2} - 2x - 3 = 0\]

\[(x + 1)(x - 3) = 0\]

\[x = - 1\] hoặc \[x = 3\]

• Với \[x = - 1\] thì \[y = {( - 1)^2} = 1\].

• Với \[x = 3\] thì \[y = {3^2} = 9\].

Giao điểm của \[d\] và \[(P)\] là \[A( - 1;1);B(3;9)\].

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 4x + 5\]

\[{x^2} - 4x - 5 = 0\]\[(x + 1)(x - 5) = 0\]

\[\left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = {( - 1)^2} = 1\\x = 5 \Rightarrow y = {5^2} = 25\end{array} \right.\]

Giao điểm của \[d\] và \((P)\)là \[A( - 1;1);B(5;25)\].

Chọn C

Thay \[y = 5\] vào phương trình đường thẳng \[d\] ta được \[5 = 3 - 2x\] suy ra \[x = - 1\]

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng \[d\] và parabol \[(P)\] là \[( - 1;5)\] Thay \[x = - 1;y = 5\] vào hàm số \[y = (m - 1){x^2}\] ta được \[(m - 1).{( - 1)^2} = 5\] hay \[m - 1 = 5\] nên \[m = 6\]

Vậy \[m = 6\] là giá trị cần tìm.

Chọn D

ĐK: \[m > \frac{{ - 1}}{5}\]

Thay \[y = 9\] vào phương trình đường thẳng \[d\]ta được \[9 = 5x + 4\] nên \[x = 1\]

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol \((P)\)là \[(1;9)\]

Thay \[x = 1;y = 9\] vào hàm số \[y = \sqrt {5m + 1} .{x^2}\] ta được

\[\sqrt {5m + 1} {.1^2} = 9\] suy ra \[\sqrt {5m + 1} = 9\] hay \[5m + 1 = 81\] nên \[m = 16\] (thoả mãn)

Vậy \[m = 16\] là giá trị cần tìm.

Chọn A

Thay \[y = 4\] vào phương trình đường thẳng \[d\] ta được \[2x + 2 = 4\] hay \[x = 1\]

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng \[d\]và parabol \((P)\) là \[(1;4)\]

Thay \[x = 1;y = 4\] vào hàm số \[y = \left( {\frac{{1 - 2m}}{2}} \right){x^2}\] ta được

\[\frac{{1 - 2m}}{2}{.1^2} = 4\] suy ra \[1 - 2m = 8\] nên \[m = - \frac{7}{2}\]. Công thức hàm số \[(P):y = 4{x^2}\]

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[d\] và : \[4{x^2} = 2x + 2\]

\[2{x^2} - x - 1 = 0\] hay \[(2x + 1)(x - 1) = 0\]. Giải phương trình được \[x = 1\]; \[x = - \frac{1}{2}\]

Vậy hoành độ giao điểm còn lại là \[x = - \frac{1}{2}\].

Chọn B

Điểm có hoành độ bằng là một điểm chung của parabol \(y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(y = (m - 1)x - 2\) thì có tung độ là \(y = {2.1^2} = 2\) nên \(\left( {1;2} \right)\) là điểm chung của parabol và đường thẳng.

\(\left( {1;2} \right)\) thuộc đường thẳng nên \(\begin{array}{l}y = (m - 1)x - 2\\2 = (m - 1).1 - 2\\m = 5\end{array}\)

Vậy \(m = 5\) là giá trị cần tìm.

Chọn B

Điểm thuộc (P) có hoành độ bằng -1 thì tung độ là \(y = {( - 1)^2} = 1\) nên điểm đó là \(\left( { - 1;1} \right)\).

Điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 thì tung độ là \(y = {2^2} = 4\) nên điểm đó là \(\left( {2;4} \right)\).

Đường thẳng cần tìm có dạng \(y = ax + b\) \((d)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( { - 1;1} \right) \in (d)}\\{\left( {2;4} \right) \in (d)}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = - a + b}\\{4 = 2a + b}\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy đường thẳng cần tìm là \(y = x + 2\).

Chọn A

Điểm thuộc (P) có tung độ bằng -6 thì hoành độ \(x\) thoả mãn phương trình \( - 6 = - 2{x^2}\)

Khi đó \[x = 3\] hoặc \[x = - 3\]

Vậy toạ độ các điểm cần tìm là \(\left( {\sqrt {3;} - 6} \right);\left( { - \sqrt {3;} - 6} \right)\)

Chọn C

Đồ thị hàm số \(y = ({m^2} + 3m - 3){x^2}\) với \(({m^2} + 3m - 3 \ne 0)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) nên\(1 = \left( {{m^2} + 3m - 3} \right){( - 1)^2}\)

\({m^2} + 3m - 4 = 0\)

\[m = 1\] hoặc \[m = - 4\]

Khi đó tổng các giá trị của \(m\) là -4 +1 =-3.

Chọn A

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right):y = x + \frac{3}{2}\) và parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2} = x + \frac{3}{2}\\{x^2} - 2x - 3 = 0\\{x^2} - 3x + x - 3 = 0\\x(x - 3) + (x - 3) = 0\\(x - 3)(x + 1) = 0\end{array}\)

\(x - 3 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = 3\) hoặc \(x = - 1\)

D. • Với \(x = - 1\) thì \(y = - 1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\) nên \(A\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\);

A. • Với \(x = 3\) thì \(y = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\) nên \(B\left( {3;\frac{9}{2}} \right)\)

B. Độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} - \frac{9}{2}} \right)}^2}} = 4\sqrt 2 \).

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 2x + 4\] hay \[{x^2} - 2x - 4 = 0\] có \[\Delta ' = 5 > 0\]

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

Chọn D

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[\frac{{{x^2}}}{2} = \frac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - x - 2m = 0\] có \[\Delta = 8m + 1\]

Để đường thẳng \[d\] tiếp xúc với parabol \[(P)\] thì \[\Delta = 0\] hay \[8m + 1 = 0\] nên \[m = - \frac{1}{8}\].

Chọn D

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[\frac{{{x^2}}}{2} = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0\] có \[\Delta ' = {m^2} + 4\]

Vì \[\Delta ' = {m^2} + 4 > 0;\] với mọi \[m\] nên đường thẳng \[d:y = mx + 2\] cắt parabol \[(P):y = \frac{{{x^2}}}{2}\] tại hai điểm phân biệt với mọi \[m\].

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[ - 2{x^2} = - 2(m + 1)x + \frac{1}{2}{m^2}\] hay \[2{x^2} - 2(m + 1)x + \frac{1}{2}{m^2} = 0\,\,( * )\]. Ta có \[\Delta ' = 2m + 1\].

Để đường thẳng \[d:y = mx + 2\] cắt parabol \[(P):y = \frac{{{x^2}}}{2}\] tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt hay \[\Delta ' > 0\] hay \[2m + 1 > 0\] nên \[m > - \frac{1}{2}.\]

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[2{x^2} = 2x + m\] hay \[2{x^2} - 2x - m = 0\] có \[\Delta ' = 1 + 2m\]

Để đường thẳng \[d:y = 2x + m\] không cắt parabol \[(P):y = 2{x^2}\] thì \[\Delta ' < 0\] hay \[2m + 1 < 0\] nên \[m < - \frac{1}{2}\].

Chọn C

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[\frac{1}{2}{x^2} = \frac{m}{2}x - \frac{{{m^2}}}{8} - m + 1\]

\[\frac{1}{2}{x^2} - \frac{m}{2}x + \frac{{{m^2}}}{8} + m - 1 = 0\] có \[\Delta = - 2m + 2\]

Để đường thẳng \[d:y = \frac{m}{2}x - \frac{{{m^2}}}{8} - m + 1\] không cắt parabol \[(P):y = \frac{1}{2}{x^2}\] thì \[\Delta < 0 \Leftrightarrow - 2m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 1\].

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = (m - 2)x + 3m\] \[ \Leftrightarrow {x^2} - (m - 2)x - 3m = 0\]

Đường thẳng \[d\] cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi \[ac < 0\] hay \[ - 3m < 0\] nên \[m > 0\].

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của \[d\] và \((P)\) \[{x^2} = (m + 2)x - m - 1\]

\[d\] cắt \((P)\)tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình \[(1)\] có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên \[ac < 0\] nên \[m + 1 < 0\] hay \[m < - 1\].

Vậy \[m < - 1\].

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 2mx + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0\] nên đường thẳng \[d\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\]

Theo hệ thức Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = - 4\end{array} \right.({x_1};{x_2} \ne 0)\]

Ta có \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3\]

\[\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3\]

\[{({x_1} + {x_2})^2} + {x_1}{x_2} = 0\]

\[4{m^2} - 4 = 0\]

\[m = 1\] hoặc \[m = - 1\]

Vậy \[m = 1;m = - 1\] là các giá trị cần tìm.

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 5x - m - 4\] hay \[{x^2} - 5x + m + 4 = 0\] có \[\Delta = 9 - 4m\]

Để đường thẳng \[d\] cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\] thì \[\Delta > 0\] hay \[9 - 4m > 0\] nên \[m < \frac{9}{4}\]

Theo hệ thức Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = m + 4\end{array} \right.({x_1};{x_2} \ne 0 \Rightarrow m \ne - 4)\]

Ta có \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 5\]

\[\frac{{{x_1}^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = 5\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 7{x_1}{x_2} = 0\]

\[25 - 7m - 28 = 0\]

\[m = - \frac{3}{7}(TM)\]

Vậy \[m = - \frac{3}{7}\] là giá trị cần tìm.

Chọn A

Ta có \[A( - 1;1);B(3;9)\] nên \[C( - 1;0);D(3;0)\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow AC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 1;\\DC = 4;BD = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9\end{array}\]

Vì \[AC \bot BC;BD \bot BC \Rightarrow ABDC\]là hình thang vuông nên \[{S_{ABDC}} = \frac{{(AC + BD).DC}}{2} = 20\] (đvdt)

Chọn A

Ta có \[A( - 1;1);B(5;25)\] nên \[C( - 1;0);D(5;0)\]

\[ \Rightarrow AC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 1;DC = 6;BD = \sqrt {{0^2} + {{25}^2}} = 25\]

Vì \[AC \bot BC;BD \bot BC \Rightarrow ABDC\] là hình thang vuông nên 

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm \[ - \frac{1}{4}{x^2} = - \frac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4m = 0\] có \[\Delta ' = 1 - 4m\]

Để đường thẳng \[d\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\] thì \[\Delta > 0\] hay \[1 - 4m > 0\] nên \[m < \frac{1}{4}\]

Theo hệ thức Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,(1)\\{x_1}.{x_2} = 4m\,\,(2)\end{array} \right.\]

Ta có \[3{x_1} + 5{x_2} = 5 \Leftrightarrow {x_1} = \frac{{5 - 5{x_2}}}{3}\] thay vào phương trình \[(1)\]ta được \[\frac{{5 - 5{x_2}}}{3} + {x_2} = 2\]

Khi đó \[{x_2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow {x_1} = \frac{5}{2}\]

Thay \[{x_2} = - \frac{1}{2};{x_1} = \frac{5}{2}\] vào phương trình \((2)\) ta được \[\left( { - \frac{1}{2}} \right).\frac{5}{2} = 4m \Leftrightarrow m = - \frac{5}{{16}}\] Vậy \[m = - \frac{5}{{16}}\] là giá trị cần tìm.

Chọn C

\((P)\)đi qua điểm \(A( - 2;4)\) nên \[4 = a.{( - 2)^2} = 4a \Leftrightarrow a = 1\].

Vậy phương trình parabol \((P)\) là \[y = {x^2}\].

Để \((P)\) tiếp xúc với \((d)\) thì phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} - 2(m - 1)x + (m - 1) = 0\] có nghiệm kép

\[\Delta ' = {\left[ { - (m - 1)} \right]^2} - m + 1 = 0\]

\[{m^2} - 2m + 1 - m + 1 = 0\]

\[{m^2} - 3m + 2 = 0\]

\[m = 1\] hoặc \[m = 2\]

Nếu \[m = 1\] thì hoành độ giao điểm là \[x = 0\;\]. Vậy tiếp điểm \[(0;0)\]

Nếu \[m = 2\]thì hoành độ giao điểm là \[x = 1\;\]. Vậy tiếp điểm \[(1;1)\]

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

Phương trình có \(a + b + c = 1 - m + 1 = 0\)

\(x = 1;x = m\).

Vì vai trò \({x_1};{x_2}\) là như nhau nên ta có

\(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 2022\)

\(\left| 1 \right| + \left| m \right| = 2022\)

\(\left| m \right| = 2021\)

\(m = 2021\) hoặc \(m = - 2021\)

Vậy\(m \in \left\{ { - 2021;2021} \right\}\).

Chọn D

Thay \[y = 1\] vào phương trình đường thẳng \[d\] ta được \[3x - 5 = 1\] hay \[x = 2\]

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng dvà parabol (P) là \[(2;1)\] Thay \[x = 2;y = 1\] vào hàm số \[y = \left( {\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4}} \right){x^2}\] ta được \[\left( {\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4}} \right){.2^2} = 1\]

\[\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}\]

\[\sqrt {3m + 4} = 2\]

\[3m + 4 = 4\]

\[m = 0 \Rightarrow \left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\]

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

\[\frac{1}{4}{x^2} = 3x - 5\]

\[{x^2} - 12x + 20 = 0\]

\[(x - 2)(x - 10) = 0\]. Giải phương trình ta được \[x = 2\]và \[x = 10\]

Vậy hoành độ giao điểm còn lại là \[x = 10\].

Chọn D

Ta có \[2{x^2} - m - 5 = 0\] \[\left( * \right)\] suy ra \[2{x^2} = m + 5\]

Số nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\] là số giao điểm của parabol \((P):y = 2{x^2}\) đường thẳng \[d:y = m + 5\].

Để \[\left( * \right)\] có hai nghiệm phân biệt thì  cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt. Từ đồ thị hàm số ta thấy

Với \[m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - 5\;\] thì  cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt hay phương trình \[\left( * \right)\]có hai nghiệm phân biệt khi \[m > - 5\].

Chọn A

Xét phương trình \({x^2} - 2m + 4 = 0\) \(\left( * \right)\) hay \({x^2} = 2m - 4\) nên \(\frac{1}{2}{x^2} = m - 2\).

Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là số giao điểm của parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = m - 2\).

Để \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt thì \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Từ đồ thị hàm số ta thấy

Với \(m - 2 > 0\) hay \(m > 2\) thì \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt hay phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi \(m > 2.\)