46 bài tập Hàm số y=ax^2 (a khác 0) và các bài toán tương giao có lời giải

Chọn B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = - 2\\x - 2y = - 3\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 3\\4(2y - 3) - 3y = - 2\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 3\\5y = 10\end{array} \right.\). Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right. \Rightarrow A(1;2)\)

Thay \[x = 1;y = 2\] vào hàm số \[y = ( - 3m + 1){x^2}\] ta được

\[2 = ( - 3m + 1){.1^2}\] nên \[ - 3m + 1 = 2\] suy ra \[m = \frac{{ - 1}}{3}\]. Vậy \[m = - \frac{1}{3}\] là giá trị cần tìm.

Chọn A

Từ hình vẽ suy ra \[a < 0\] nên loại B, C

Vì đồ thị đi qua điểm có tọa độ \[(1; - 1)\] nên loạiD.

>

Chọn D

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị đi qua điểm có tọa độ \[(3;3)\], ta thay \[x = 3;y = 3\] vào từng hàm số ở các đáp án ta được:

• Đáp án A: \[3 = 9\] (vô lý) nên loại A.

• Đáp án B: \[3 = \frac{9}{2}\] (vô lý) nên loại B.

• Đáp án C: \[3 = 27\] (vô lý) nên loại C.

• Đáp án D: \[3 = 3\] (luôn đúng) nên chọn D.

Chọn D

Gọi điểm \[M(x;y)\] là điểm cần tìm.

Vì \[M\]có tung độ gấp đôi hoành độ nên \[M(x;2x)\] Thay tọa độ điểm \[M\]vào hàm số ta được \[2x = \sqrt 3 {x^2}\]

Giải phương trình tích ta được \[x = 0 \Rightarrow y = 0\] hoặc \[x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\]

Hay có hai điểm thỏa mãn điều kiện là \[O(0;0),M\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)\]

Chọn B

Gọi điểm \[M(x;y)\] là điểm cần tìm. Vì \[M\] có tung độ gấp ba lần hoành độ nên \[M(x;3x)\]

Thay tọa độ điểm \[M\]vào hàm số ta được

\[3x = - \frac{2}{5}{x^2}\] hay \[x\left( {\frac{2}{5}x + 3} \right) = 0\]

Giải phương trình tích này ta được \[x = 0 \Rightarrow y = 0\] hoặc \[x = - \frac{{15}}{2} \Rightarrow y = - \frac{{45}}{2}\]

Hay điểm khác gốc tọa độ thỏa mãn điều kiện là \[M\left( {\frac{{ - 15}}{2};\frac{{ - 45}}{2}} \right)\]

Chọn A

Thay \[x = \sqrt 2 ;y = m\] vào hàm số \[y = \frac{1}{4}{x^2}\] ta được \[m = \frac{1}{4}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{2}.\] Vậy \[m = \frac{1}{2}\]

Chọn D

Thay \[x = m\sqrt 5 ;y = - 2\sqrt 5 \] vào hàm số \[y = - \sqrt 5 {x^2}\] ta được \[ - 2\sqrt 5 = - \sqrt 5 .{\left( {m\sqrt 5 } \right)^2}\] hay \[ - 5m\sqrt 5 = 2\sqrt 5 \] nên \[m = - \frac{2}{5}\]. Vậy \[m = - \frac{2}{5}\].

Chọn A

Thay từng toạ độ điểm vào các công thức hàm số nhận thấy \(x = 1;y = \frac{1}{2}\) thoả mãn cả \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\]. Nên tọa độ giao điểm cần tìm là \[\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\]

Chọn C

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \((P)\) và đường thẳng \((d)\)

\[3{x^2} = - 4x - 1\] hay \[3x(x + 1) + x + 1 = 0\] ta được \[(3x + 1)(x + 1) = 0\]

Giải phương trình tích này có \[x = - \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3{x^2} = \frac{1}{3}\] hoặc \[x = - 1 \Rightarrow y = 3{x^2} = 3\]

Nên tọa độ giao điểm cần tìm là \[\left( { - \frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right);( - 1;3)\]

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm

\[{x^2} = 2x + 3\]

\[{x^2} - 2x - 3 = 0\]

\[(x + 1)(x - 3) = 0\]

\[x = - 1\] hoặc \[x = 3\]

• Với \[x = - 1\] thì \[y = {( - 1)^2} = 1\].

• Với \[x = 3\] thì \[y = {3^2} = 9\].

Giao điểm của \[d\] và \[(P)\] là \[A( - 1;1);B(3;9)\].

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 4x + 5\]

\[{x^2} - 4x - 5 = 0\]\[(x + 1)(x - 5) = 0\]

\[\left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = {( - 1)^2} = 1\\x = 5 \Rightarrow y = {5^2} = 25\end{array} \right.\]

Giao điểm của \[d\] và \((P)\)là \[A( - 1;1);B(5;25)\].

Chọn C

Thay \[y = 5\] vào phương trình đường thẳng \[d\] ta được \[5 = 3 - 2x\] suy ra \[x = - 1\]

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng \[d\] và parabol \[(P)\] là \[( - 1;5)\] Thay \[x = - 1;y = 5\] vào hàm số \[y = (m - 1){x^2}\] ta được \[(m - 1).{( - 1)^2} = 5\] hay \[m - 1 = 5\] nên \[m = 6\]

Vậy \[m = 6\] là giá trị cần tìm.

Chọn D

ĐK: \[m > \frac{{ - 1}}{5}\]

Thay \[y = 9\] vào phương trình đường thẳng \[d\]ta được \[9 = 5x + 4\] nên \[x = 1\]

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol \((P)\)là \[(1;9)\]

Thay \[x = 1;y = 9\] vào hàm số \[y = \sqrt {5m + 1} .{x^2}\] ta được

\[\sqrt {5m + 1} {.1^2} = 9\] suy ra \[\sqrt {5m + 1} = 9\] hay \[5m + 1 = 81\] nên \[m = 16\] (thoả mãn)

Vậy \[m = 16\] là giá trị cần tìm.

Chọn A

Thay \[y = 4\] vào phương trình đường thẳng \[d\] ta được \[2x + 2 = 4\] hay \[x = 1\]

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng \[d\]và parabol \((P)\) là \[(1;4)\]

Thay \[x = 1;y = 4\] vào hàm số \[y = \left( {\frac{{1 - 2m}}{2}} \right){x^2}\] ta được

\[\frac{{1 - 2m}}{2}{.1^2} = 4\] suy ra \[1 - 2m = 8\] nên \[m = - \frac{7}{2}\]. Công thức hàm số \[(P):y = 4{x^2}\]

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[d\] và : \[4{x^2} = 2x + 2\]

\[2{x^2} - x - 1 = 0\] hay \[(2x + 1)(x - 1) = 0\]. Giải phương trình được \[x = 1\]; \[x = - \frac{1}{2}\]

Vậy hoành độ giao điểm còn lại là \[x = - \frac{1}{2}\].

Chọn B

Điểm có hoành độ bằng là một điểm chung của parabol \(y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(y = (m - 1)x - 2\) thì có tung độ là \(y = {2.1^2} = 2\) nên \(\left( {1;2} \right)\) là điểm chung của parabol và đường thẳng.

\(\left( {1;2} \right)\) thuộc đường thẳng nên \(\begin{array}{l}y = (m - 1)x - 2\\2 = (m - 1).1 - 2\\m = 5\end{array}\)

Vậy \(m = 5\) là giá trị cần tìm.

Chọn B

Điểm thuộc (P) có hoành độ bằng -1 thì tung độ là \(y = {( - 1)^2} = 1\) nên điểm đó là \(\left( { - 1;1} \right)\).

Điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 thì tung độ là \(y = {2^2} = 4\) nên điểm đó là \(\left( {2;4} \right)\).

Đường thẳng cần tìm có dạng \(y = ax + b\) \((d)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( { - 1;1} \right) \in (d)}\\{\left( {2;4} \right) \in (d)}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = - a + b}\\{4 = 2a + b}\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy đường thẳng cần tìm là \(y = x + 2\).

Chọn A

Điểm thuộc (P) có tung độ bằng -6 thì hoành độ \(x\) thoả mãn phương trình \( - 6 = - 2{x^2}\)

Khi đó \[x = 3\] hoặc \[x = - 3\]

Vậy toạ độ các điểm cần tìm là \(\left( {\sqrt {3;} - 6} \right);\left( { - \sqrt {3;} - 6} \right)\)

Chọn C

Đồ thị hàm số \(y = ({m^2} + 3m - 3){x^2}\) với \(({m^2} + 3m - 3 \ne 0)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) nên\(1 = \left( {{m^2} + 3m - 3} \right){( - 1)^2}\)

\({m^2} + 3m - 4 = 0\)

\[m = 1\] hoặc \[m = - 4\]

Khi đó tổng các giá trị của \(m\) là -4 +1 =-3.

Chọn A

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right):y = x + \frac{3}{2}\) và parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2} = x + \frac{3}{2}\\{x^2} - 2x - 3 = 0\\{x^2} - 3x + x - 3 = 0\\x(x - 3) + (x - 3) = 0\\(x - 3)(x + 1) = 0\end{array}\)

\(x - 3 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = 3\) hoặc \(x = - 1\)

D. • Với \(x = - 1\) thì \(y = - 1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\) nên \(A\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\);

A. • Với \(x = 3\) thì \(y = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\) nên \(B\left( {3;\frac{9}{2}} \right)\)

B. Độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} - \frac{9}{2}} \right)}^2}} = 4\sqrt 2 \).

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 2x + 4\] hay \[{x^2} - 2x - 4 = 0\] có \[\Delta ' = 5 > 0\]

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

Chọn D

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[\frac{{{x^2}}}{2} = \frac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - x - 2m = 0\] có \[\Delta = 8m + 1\]

Để đường thẳng \[d\] tiếp xúc với parabol \[(P)\] thì \[\Delta = 0\] hay \[8m + 1 = 0\] nên \[m = - \frac{1}{8}\].

Chọn D

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[\frac{{{x^2}}}{2} = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0\] có \[\Delta ' = {m^2} + 4\]

Vì \[\Delta ' = {m^2} + 4 > 0;\] với mọi \[m\] nên đường thẳng \[d:y = mx + 2\] cắt parabol \[(P):y = \frac{{{x^2}}}{2}\] tại hai điểm phân biệt với mọi \[m\].

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[ - 2{x^2} = - 2(m + 1)x + \frac{1}{2}{m^2}\] hay \[2{x^2} - 2(m + 1)x + \frac{1}{2}{m^2} = 0\,\,( * )\]. Ta có \[\Delta ' = 2m + 1\].

Để đường thẳng \[d:y = mx + 2\] cắt parabol \[(P):y = \frac{{{x^2}}}{2}\] tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt hay \[\Delta ' > 0\] hay \[2m + 1 > 0\] nên \[m > - \frac{1}{2}.\]

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[2{x^2} = 2x + m\] hay \[2{x^2} - 2x - m = 0\] có \[\Delta ' = 1 + 2m\]

Để đường thẳng \[d:y = 2x + m\] không cắt parabol \[(P):y = 2{x^2}\] thì \[\Delta ' < 0\] hay \[2m + 1 < 0\] nên \[m < - \frac{1}{2}\].

Chọn C

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[\frac{1}{2}{x^2} = \frac{m}{2}x - \frac{{{m^2}}}{8} - m + 1\]

\[\frac{1}{2}{x^2} - \frac{m}{2}x + \frac{{{m^2}}}{8} + m - 1 = 0\] có \[\Delta = - 2m + 2\]

Để đường thẳng \[d:y = \frac{m}{2}x - \frac{{{m^2}}}{8} - m + 1\] không cắt parabol \[(P):y = \frac{1}{2}{x^2}\] thì \[\Delta < 0 \Leftrightarrow - 2m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 1\].

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = (m - 2)x + 3m\] \[ \Leftrightarrow {x^2} - (m - 2)x - 3m = 0\]

Đường thẳng \[d\] cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi \[ac < 0\] hay \[ - 3m < 0\] nên \[m > 0\].

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của \[d\] và \((P)\) \[{x^2} = (m + 2)x - m - 1\]

\[d\] cắt \((P)\)tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình \[(1)\] có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên \[ac < 0\] nên \[m + 1 < 0\] hay \[m < - 1\].

Vậy \[m < - 1\].

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 2mx + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0\] nên đường thẳng \[d\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\]

Theo hệ thức Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = - 4\end{array} \right.({x_1};{x_2} \ne 0)\]

Ta có \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3\]

\[\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3\]

\[{({x_1} + {x_2})^2} + {x_1}{x_2} = 0\]

\[4{m^2} - 4 = 0\]

\[m = 1\] hoặc \[m = - 1\]

Vậy \[m = 1;m = - 1\] là các giá trị cần tìm.

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 5x - m - 4\] hay \[{x^2} - 5x + m + 4 = 0\] có \[\Delta = 9 - 4m\]

Để đường thẳng \[d\] cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\] thì \[\Delta > 0\] hay \[9 - 4m > 0\] nên \[m < \frac{9}{4}\]

Theo hệ thức Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = m + 4\end{array} \right.({x_1};{x_2} \ne 0 \Rightarrow m \ne - 4)\]

Ta có \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 5\]

\[\frac{{{x_1}^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = 5\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 7{x_1}{x_2} = 0\]

\[25 - 7m - 28 = 0\]

\[m = - \frac{3}{7}(TM)\]

Vậy \[m = - \frac{3}{7}\] là giá trị cần tìm.

Chọn A

Ta có \[A( - 1;1);B(3;9)\] nên \[C( - 1;0);D(3;0)\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow AC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 1;\\DC = 4;BD = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9\end{array}\]

Vì \[AC \bot BC;BD \bot BC \Rightarrow ABDC\]là hình thang vuông nên \[{S_{ABDC}} = \frac{{(AC + BD).DC}}{2} = 20\] (đvdt)

Chọn A

Ta có \[A( - 1;1);B(5;25)\] nên \[C( - 1;0);D(5;0)\]

\[ \Rightarrow AC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 1;DC = 6;BD = \sqrt {{0^2} + {{25}^2}} = 25\]

Vì \[AC \bot BC;BD \bot BC \Rightarrow ABDC\] là hình thang vuông nên 

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm \[ - \frac{1}{4}{x^2} = - \frac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4m = 0\] có \[\Delta ' = 1 - 4m\]

Để đường thẳng \[d\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\] thì \[\Delta > 0\] hay \[1 - 4m > 0\] nên \[m < \frac{1}{4}\]

Theo hệ thức Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,(1)\\{x_1}.{x_2} = 4m\,\,(2)\end{array} \right.\]

Ta có \[3{x_1} + 5{x_2} = 5 \Leftrightarrow {x_1} = \frac{{5 - 5{x_2}}}{3}\] thay vào phương trình \[(1)\]ta được \[\frac{{5 - 5{x_2}}}{3} + {x_2} = 2\]

Khi đó \[{x_2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow {x_1} = \frac{5}{2}\]

Thay \[{x_2} = - \frac{1}{2};{x_1} = \frac{5}{2}\] vào phương trình \((2)\) ta được \[\left( { - \frac{1}{2}} \right).\frac{5}{2} = 4m \Leftrightarrow m = - \frac{5}{{16}}\] Vậy \[m = - \frac{5}{{16}}\] là giá trị cần tìm.

Chọn C

\((P)\)đi qua điểm \(A( - 2;4)\) nên \[4 = a.{( - 2)^2} = 4a \Leftrightarrow a = 1\].

Vậy phương trình parabol \((P)\) là \[y = {x^2}\].

Để \((P)\) tiếp xúc với \((d)\) thì phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} - 2(m - 1)x + (m - 1) = 0\] có nghiệm kép

\[\Delta ' = {\left[ { - (m - 1)} \right]^2} - m + 1 = 0\]

\[{m^2} - 2m + 1 - m + 1 = 0\]

\[{m^2} - 3m + 2 = 0\]

\[m = 1\] hoặc \[m = 2\]

Nếu \[m = 1\] thì hoành độ giao điểm là \[x = 0\;\]. Vậy tiếp điểm \[(0;0)\]

Nếu \[m = 2\]thì hoành độ giao điểm là \[x = 1\;\]. Vậy tiếp điểm \[(1;1)\]

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

Phương trình có \(a + b + c = 1 - m + 1 = 0\)

\(x = 1;x = m\).

Vì vai trò \({x_1};{x_2}\) là như nhau nên ta có

\(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 2022\)

\(\left| 1 \right| + \left| m \right| = 2022\)

\(\left| m \right| = 2021\)

\(m = 2021\) hoặc \(m = - 2021\)

Vậy\(m \in \left\{ { - 2021;2021} \right\}\).

Chọn D

Thay \[y = 1\] vào phương trình đường thẳng \[d\] ta được \[3x - 5 = 1\] hay \[x = 2\]

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng dvà parabol (P) là \[(2;1)\] Thay \[x = 2;y = 1\] vào hàm số \[y = \left( {\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4}} \right){x^2}\] ta được \[\left( {\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4}} \right){.2^2} = 1\]

\[\sqrt {3m + 4} - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}\]

\[\sqrt {3m + 4} = 2\]

\[3m + 4 = 4\]

\[m = 0 \Rightarrow \left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\]

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

\[\frac{1}{4}{x^2} = 3x - 5\]

\[{x^2} - 12x + 20 = 0\]

\[(x - 2)(x - 10) = 0\]. Giải phương trình ta được \[x = 2\]và \[x = 10\]

Vậy hoành độ giao điểm còn lại là \[x = 10\].

Chọn D

Ta có \[2{x^2} - m - 5 = 0\] \[\left( * \right)\] suy ra \[2{x^2} = m + 5\]

Số nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\] là số giao điểm của parabol \((P):y = 2{x^2}\) đường thẳng \[d:y = m + 5\].

Để \[\left( * \right)\] có hai nghiệm phân biệt thì  cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt. Từ đồ thị hàm số ta thấy

Với \[m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - 5\;\] thì  cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt hay phương trình \[\left( * \right)\]có hai nghiệm phân biệt khi \[m > - 5\].

Chọn A

Xét phương trình \({x^2} - 2m + 4 = 0\) \(\left( * \right)\) hay \({x^2} = 2m - 4\) nên \(\frac{1}{2}{x^2} = m - 2\).

Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là số giao điểm của parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = m - 2\).

Để \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt thì \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Từ đồ thị hàm số ta thấy

Với \(m - 2 > 0\) hay \(m > 2\) thì \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt hay phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi \(m > 2.\)