43 bài tập Phương trình bậc nhất hai ẩn có lời giải
43 câu hỏi
\(x - 2y = 3\)
\(0x - 0y = 5\)
\(0x + 3y = 1\)
\( - 3x + 0y = 3\)
Do \(a,b\) đồng thời là bằng \(0\)
\(a = - 2;b = 0\)và \(c = 13\)
\(a = - 2;b = 13\)và \(c = 0\)
\(a = 0;b = - 2\)và \(c = 13\)
\(a = 13;b = 0\)và \(c = - 2\)
Phương trình bậc nhất hai ẩn \( - 2x = 13\) hay \( - 2x + 0y = 13\)
Nên \(a = - 2\), \(b = 0\) và \(c = 13\)
\(a = - 1;b = 0\)và \(c = 1\)
\(a = 0;b = - 1\)và \(c = 1\)
\(a = 1;b = - 1\)và \(c = 1\)
\(a = - 1;b = - 1\)và \(c = 0\)
Phương trình bậc nhất hai ẩn \( - y - 1 = 0\) hay \(0x - y = 1\)
Nên \(a = 0;b = - 1\) và \(c = 1\)
\(a = 1;b = 1\)và \(c = 0\)
\(a = 1;b = 1\)và \(c = - 5\)
\(a = 1;b = - 1\)và \(c = - 5\)
\(a = 1;b = - 1\)và \(c = 5\)
Phương trình bậc nhất hai ẩn \(x - y + 5 = 0\)
Nên \(a = 1;b = - 1\) và \(c = - 5\)
\(x - y = 1\)
\(2x - y = - 7\)
\(2x + y = 2\)
\(x - 3y = - 10\)
Ta có: \(x = - 2\) và \(y = 3\)
* Thay vào phương trình \(x - y = 1\) ta được \( - 2 - 3 = - 5 \ne 1\) (không thỏa mãn)
Nên \(\left( { - 2;3} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình.
* Thay vào phương trình \(2x - y = - 7\) ta được \(2\left( { - 2} \right) - 3 = - 7\) (thỏa mãn).
Nên \(\left( { - 2;3} \right)\) là nghiệm của phương trình.
* Thay vào phương trình \(2x + y = 2\) ta được \(2\left( { - 2} \right) + 3 = - 1 \ne 2\) (không thỏa mãn)
Nên \(\left( { - 2;3} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình.
* Thay vào phương trình \(x - 3y = - 10\) ta được \( - 2 - 3 \cdot 3 = - 11 \ne - 10\) (không thỏa mãn)
Nên \(\left( { - 2;3} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình.
\(\left( {1; - 2} \right)\)
\(\left( { - 2; - 0,5} \right)\)
\(\left( {3;3} \right)\)
\(\left( { - 5;1} \right)\)
* Thay \(x = 1\) và \(y = - 2\) vào phương trình \(x + 2y = - 3\) ta được \(1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = - 3\) (thỏa mãn)
Nên \(\left( {1; - 2} \right)\)là nghiệm phương trình.
* Thay \(x = - 2\) và \(y = - 0,5\) vào phương trình \(x + 2y = - 3\) ta được \( - 2 + 2\left( { - 0,5} \right) = - 3\) (thỏa mãn)
Nên \(\left( { - 2; - 0,5} \right)\) là nghiệm phương trình.
* Tương tự thì cặp số \(\left( {3; - 3} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình.
* Tương tự thì cặp số \(\left( { - 5;1} \right)\) là nghiệm của phương trình.
\(\left( {0;1} \right)\)
\(\left( { - 1;1} \right)\)
\(\left( { - 1; - 1} \right)\)
\(\left( {5;3} \right)\)
* Thay \(x = 0\) và \(y = 1\) vào phương trình \(3x - 2y + 1 = 0\) ta được \(3 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + 1 = - 1 \ne 0\) (không thỏa mãn)
Nên \(\left( {0;1} \right)\) không phải là nghiệm phương trình.
* Thay \(x = - 1\) và \(y = 1\) vào phương trình \(3x - 2y + 1 = 0\) ta được \(3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1 + 1 = - 4 \ne 0\) (không thỏa mãn)
Nên \(\left( { - 1;1} \right)\) không phải là nghiệm phương trình.
* Thay \(x = - 1\) và \(y = - 1\) vào phương trình \(3x - 2y + 1 = 0\) ta được \(3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2\left( { - 1} \right) + 1 = 0\) (thỏa mãn)
Nên \(\left( { - 1; - 1} \right)\) là nghiệm phương trình.
* Tương tự \(\left( {5;3} \right)\) không phải là nghiệm phương trình.
\(y = - 4x - 1\)
\(y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\)
\(y = 4x + 1\)
\(y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}\)
Ta có: \[4x--3y = - 1\] suy ra \(3y = 4x + 1\) suy ra \(y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\)
Nên tập nghiệm của phương trình \[4x--3y = - 1\] được biểu diễn bằng đường thẳng \(y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\)
đường thẳng \(y = 5x + 2\)
đường thẳng \(y = \frac{2}{5}\)
đường thẳng \(x = \frac{2}{5}\)
đường thẳng \(y = 2 - 5x\)
Ta có: \(5x + 0y = 2\) suy ra \(5x = 2\) suy ra \(x = \frac{2}{5}\)
Nên tập nghiệm của phương trình \(5x + 0y = 2\) được biểu diễn bằng đường thẳng \(x = \frac{2}{5}\)
đồ thị hàm số \(x = 3 + 4y\)
đồ thị hàm số \(y = 3\)
đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{4}\)
đồ thị hàm số \(y = - \frac{3}{4}\)
Ta có: \(0x - 4y = 3\) suy ra \( - 4y = 3\) suy ra \(y = - \frac{3}{4}\)
Nên tập nghiệm của phương trình \(0x - 4y = 3\) được biểu diễn bằng đồ thị đường thẳng \(y = - \frac{3}{4}\)
\({y_o} = - 1\)
\({y_o} = - 2\)
\({y_o} = 2\)
\({y_o} = 3\)
Do \(\left( {0,5;{y_o}} \right)\) là nghiệm của phương trình \( - 2x + 2y = 3\)
Nên \( - 2 \cdot 0,5 + 2{y_o} = 3\) suy ra \(2{y_o} = 4\) suy ra \({y_o} = 2\)
\({x_o} = - 1\)
\({x_o} = 1\)
\({x_o} = 2\)
\({x_o} = 3\)
Do \(\left( {{x_o}; - 1} \right)\) là nghiệm của phương trình \(3x + y = 2\).
Nên \(3{x_o} + \left( { - 1} \right) = 2\) suy ra \(3{x_o} = 3\) suy ra \({x_o} = 1\)
\(\left( {x;y} \right)\) với \(x,y \in \mathbb{R}\)
\(\left\{ {\left( {x;x - 2} \right)\left| {x \in \mathbb{R}} \right.} \right\}\)
\(\left\{ {\left( {y;x + 2} \right)\left| {y \in \mathbb{R}} \right.} \right\}\)
\(\left\{ {\left( {x;x + 2} \right)\left| {x \in \mathbb{R}} \right.} \right\}\)
Ta có: \(x - y + 2 = 0\) suy ra \(y = x + 2\)
Nên có nghiệm tổng quát là \(\left\{ {\left( {x;x + 2} \right)\left| {x \in \mathbb{R}} \right.} \right\}\)
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = \frac{c}{b}\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = - \frac{c}{b}\end{array} \right.\].
Ta có với \[a \ne 0,b \ne 0\] thì \[ \Leftrightarrow by = - ax + c \Leftrightarrow y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\]
Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi \[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\end{array} \right.\]
\[2{x^2} + 2 = 0\].
\[3y - 1 = 5(y - 2)\].
\[2x + \frac{y}{2} - 1 = 0\].
\[3\sqrt x + {y^2} = 0\].
Phương trình \[2x + \frac{y}{2} - 1 = 0\] là phương trình bậc nhất hai ẩn.
\[x - 2y = 0\].
\[2x + y = 0\].
\[x - y = 2\].
\[x + 2y + 1 = 0\].
Thay \[x = - 2;y = 4\] vào từng phương trình ta được
+) \[x - 2y = - 2 - 2.4 = - 10 \ne 0\] nên loại A.
+) \[x - y = - 2 - 4 = - 6 \ne 0\] nên loại C.
+) \[x + 2y + 1 = - 2 + 2.4 + 1 = 7 \ne 0\] nên loại D.
+) \[2x + y = - 2.2 + 4 = 0\] nên chọn B.
\[(0;1)\].
\[( - 1;2)\].
\[(3;2)\].
\[(2;4)\].
+) Thay \[x = 0;y = 1\] vào phương trình \[x - 5y + 7 = 0\] ta được \[0 - 5.1 + 7 = 0 \Leftrightarrow 2 = 0\] (vô lý) nên loại A.
+) Thay \[x = - 1;y = 2\] vào phương trình \[x - 5y + 7 = 0\] ta được \[ - 1 - 5.2 + 7 = 0 \Leftrightarrow - 4 = 0\] (vô lý) nên loại B.
+) Thay \[x = 2;y = 4\] vào phương trình \[x - 5y + 7 = 0\]ta được \[2 - 5.4 + 7 = 0 \Leftrightarrow - 11 = 0\] (vô lý) nên loại D.
+) Thay \[x = 3;y = 2\] vào phương trình \[x - 5y + 7 = 0\] ta được \[3 - 5.2 + 7 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\] (luôn đúng) nên chọn C.
\[( - 2;1)\].
\[( - 1;0)\].
\[(1,5;3)\].
\[(4; - 3)\].
Xét phương trình \[5x + 4y = 8\]
Cặp số \[( - 2;1)\] không phải nghiệm của phương trình vì \[5( - 2) + 4.1 = - 6\]. Do đó loại A.
Cặp số \[( - 1;0)\] không phải nghiệm của phương trình vì \[5.( - 1) + 4.0 = - 5\]. Do đó loại B.
Cặp số \[(1,5;3)\] không phải nghiệm của phương trình vì \[5.1,5 + 4.3 = 19,5\]. Do đó loại C
Cặp số \[(4; - 3)\] là nghiệm của phương trình vì \[5.4 + 4.( - 3) = 8\]. Do đó chọn D.
\[m = 5\].
\[m = 7\].
\[m = - 3\].
\[m = 7;m = - 3\].
Thay \[x = - 10;y = - 1\] vào phương trình \[2x - {(m - 2)^2}y = 5\] ta được
\[2.( - 10) - {(m - 2)^2}.( - 1) = 5\] hay \[{(m - 2)^2} = 25\] nên \[m - 2 = 5\] hoặc \[m - 2 = - 5\]
TH1: \[m - 2 = 5\]suy ra \[m = 7\](nhận)
TH2: \[m - = 5\]hay \[m = - 3\](loại). Vậy \[m = 7\]
\[m = 5\].
\[m = 2\].
\[m = - 5\].
\[m = - 2\].
Thay \[x = 1;y = 1\]vào phương trình ta được
\[\sqrt {m - 1} .1 - 3.1 = - 1\] (ĐK \[m \ge - 1\])
\[\sqrt {m - 1} = 2\] nên \[m - 1 = 4\] suy ra \[m = 5\] (thỏa mãn). Vậy \[m = 5\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = - 4\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = 4\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\x = - 4\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\x = 4\end{array} \right.\].
Ta có \[0x + 4y = - 16 \Leftrightarrow y = - 4\]
Nghiệm tổng quát của phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - 4\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - 4\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 4\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\x = - 4\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\x = 4\end{array} \right.\].
Ta có \[3x + 0y = 12 \Leftrightarrow x = 4\]
Nghiệm tổng quát của phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\x = 4\end{array} \right.\].
\(1\).
\(3\).
\(2\).
\(4\).
Xét phương trình \[3x + 5y = - 3\]
Cặp số \[( - 2;1)\] không phải nghiệm của phương trình vì \[3( - 2) + 5.1 = - 1\].
Cặp số \[(0;2)\] không phải nghiệm của phương trình vì \[3.0 + 5.2 = 10\].
Cặp số \[( - 1;0)\] là nghiệm của phương trình vì \[3.( - 1) + 5.0 = - 3\].
Cặp số \[(1,5;3)\] không phải nghiệm của phương trình vì \[3.1,5 + 5.3 = 19,5\].
Cặp số \[(4; - 3)\] là nghiệm của phương trình vì \[3.4 + 5.( - 3) = - 3\].
Vậy có 3 cặp số không phải nghiệm của phương trình đã cho.
\(m = 3\)
\(m = 1\)
\(m = 5\)
\(m = 0\)
Do phương trình \(3x + my = 5\) có nghiệm \(\left( {1;2} \right)\)
Nên \(3 \cdot 1 + m \cdot 2 = 5\) suy ra \(2m = 2\) suy ra \(m = 1\)
Một lạng(0,1 kg) thịt bò chứa \(26{\rm{g}}\)protein, một lạng(0,1 kg) cá chứa \(22{\rm{g}}\) protein. Bác An định chỉ bổ sung \(70{\rm{g}}\) protein từ thịt bò và thịt cá trong một ngày. Gọi \(x,y\) lần lượt là số lạng thịt bò, số lạng thịt cá mà bác An ăn trong một ngày. Phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) biểu diễn nhu cầu bổ sung protein của bác An là :
\(x + 22y = 70\)
\(70x - 22y = 26\)
\(22x + 26y = 70\)
\(26x + 22y = 70\)
Gọi \(x,y\) lần lượt là số lạng thịt bò, số lạng thịt cá mà bác An ăn trong một ngày.
Do một lạng(0,1 kg) thịt bò chứa \(26{\rm{g}}\)protein, một lạng(0,1 kg) cá chứa \(22{\rm{g}}\) protein.
Và bác An định chỉ bổ sung \(70{\rm{g}}\) protein từ thịt bò và thịt cá trong một ngày.
Nên ta có phương trình \(26x + 22y = 70\)
\(x + y = 5\)
\(2x - y = 5\)
\(x - 2y = 5\)
\(2x + y = 5\)
Theo đề ta có: Phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) (\(x \ne 0\)) : \(2x - y = 5\)
\[m = 1\].
\[m = 2\].
\[m = 3\].
\[m = 4\].
Để \(d\) song song với trục hoành thì \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\3m - 1 \ne 0\\6m - 2 \ne 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne \frac{1}{3}\end{array} \right.\] suy ra \[m = 2\]
\[m = 1\].
\[m = 2\].
\[m = 3\].
\[m = 4\].
Để \(d\) song song với trục hoành thì \[\left\{ \begin{array}{l}5m - 15 = 0\\2m \ne 0\\m - 2 \ne 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right.\] suy ra \[m = 3\].
\[m = \frac{1}{3}\].
\[m = \frac{2}{3}\].
\[m \ne 2\].
\[m \ne \frac{1}{3}\].
Để \(d\) song song với trục tung thì \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\3m - 1 = 0\\6m - 2 \ne 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = \frac{1}{3}\\m \ne - \frac{1}{3}\end{array} \right.\] suy ra \[m = \frac{1}{3}\]. Vậy \[m = \frac{1}{3}\].
\[m = 1\].
\[m \ne \frac{1}{2}\].
\[m = 2\].
\[m = \frac{1}{2}\].
Để \[d\] song song với trục tung thì \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m - 1}}{2} \ne 0\\1 - 2m = 0\\2 \ne 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\] suy ra \[m = \frac{1}{2}\]. Vậy \[m = \frac{1}{2}\].
\[m = 2\].
\[m = 1\].
\[m = 5\].
\[m \ne 5\].
Gốc tọa độ \[O(0;0)\] Để \[d\] đi qua gốc tọa độ thì tọa độ điểm \[O\] thỏa mãn phương trình \[(2m - 4)x + (m - 1)y = m - 5\] hay \[(2m - 4).0 + (m - 1).0 = m - 5\]
\[m - 5 = 0\] nên \[m = 5\]. Vậy \[m = 5\].
\[m = \frac{1}{3}\].
\[m = \frac{2}{3}\].
\[m \ne 2\].
\[m \ne \frac{1}{3}\].
Để \[d\] đi qua gốc tọa độ thì \[(m - 2).0 + (3m - 1).0 = 6m - 2\] suy ra \[m = \frac{1}{3}\].
Vậy \[m = \frac{1}{3}\].
Đường thẳng song song với trục hoành.
Đường thẳng song song với trục tung.
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
Đường thẳng đi qua điểm A(1;0).
Ta có \[3x - y = 3 \Leftrightarrow y = 3x - 3\]
Nghiệm tổng quát của phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 3x - 3\end{array} \right.\]
Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng \[y = 3x - 3\] đi qua điểm \[A(1;0)\] và \[B(0; - 3)\]
\[5y = 7\].
\[3x = 9\].
\[x + y = 9\].
\[6y + x = 7\].
Ta thấy phương trình \[5y = 7\] có \[a = 0;b = 5\] và \[c = 7 \ne 0\] nên biểu diễn nghiệm của phương trình là đường thẳng \[y = \frac{7}{5}\] song song với trục hoành.
\(\left( {x;y} \right) = \left( {5;3} \right),\left( {3;5} \right),\left( {3;50} \right)\)
\(\left( {x;y} \right) = \left( {7;5} \right),\left( {5;3} \right),\left( {3;5} \right)\)
\(\left( {x;y} \right) = \left( {13; - 5} \right),\left( {4;10} \right),\left( { - 1;15} \right)\)
\(\left( {x;y} \right) = \left( {7;5} \right),\left( {4;10} \right),\left( {1;15} \right)\)\(x,y > 0\)
Phương trình \(5x + 3y = 50\)
Có \[50 \vdots 5\] nên \[5x + 3y \vdots 5\] mà \(5x \vdots 5\) suy ra \(3y \vdots 5\)
Do \(\left( {3;5} \right) = 1\) nên \(y \vdots 5\) \((1)\)
Vì nên \(3y < 50\) suy ra \(y < 17\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) ta có: \(y = \left\{ {5;10;15} \right\}\)
Suy ra \(x = \left\{ {7;4;1} \right\}\)
Do đó nghiệm nguyên dương cần tìm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {7;5} \right),\left( {4;10} \right),\left( {1;15} \right)\)
\(2x - 4y = 7\)
\(3x + 6y = 19\)
\(5x - 10y = 14\)
\(3x + 12y = 6\)
* Phương trình \(2x - 4y = 7\) không có nghiệm nguyên, vì nếu có nghiệm \({x_o},{y_o}\) với \({x_o},{y_o} \in \mathbb{Z}\) thì: \(2{x_o} - 4{y_o} = 7\) suy ra \(2\left( {{x_o} - 2{y_o}} \right) = 7\) suy ra \(2\) là ước của \(7\). Điều đó vô lí.
* Tương tự phương trình \(3x + 6y = 19\)và \(5x - 10y = 14\) không có nghiệm nguyên.
* Phương trình \(3x + 12y = 6\) có nghiệm nguyên, vì nếu có nghiệm \({x_o},{y_o}\) với \({x_o},{y_o} \in \mathbb{Z}\) thì: \(3{x_o} + 12{y_o} = 6\) suy ra \(3\left( {{x_o} + 4{y_o}} \right) = 6\) suy ra \(3\) là ước của \(6\). Điều đó đúng
\(3x - 9y = 6\)
\(4x - 12y = 4\)
\(5x - 10y = 14\)
\( - 5x + 15y = 10\)
* Phương trình \(3x - 9y = 6\) có nghiệm nguyên, vì nếu có nghiệm \({x_o},{y_o}\) với \({x_o},{y_o} \in \mathbb{Z}\) thì:
\(3{x_o} - 9{y_o} = 6\) suy ra \(3\left( {{x_o} - 9{y_o}} \right) = 6\) suy ra \(3\) là ước của \(6\). Điều đó đúng
* Tương tự phương trình \(4x - 12y = 4\) và \( - 5x + 15y = 10\) đều có nghiệm nguyên.
* Phương trình \(5x - 10y = 14\) không có nghiệm nguyên, vì nếu có nghiệm \({x_o},{y_o}\) với \({x_o},{y_o} \in \mathbb{Z}\) thì: \(5{x_o} - 10{y_o} = 14\) suy ra \(5\left( {{x_o} - 2{y_o}} \right) = 14\) suy ra \(5\) là ước của \(14\). Điều đó vô lí.
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = 5t - 16\end{array} \right.(t \in Z)\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = - 5t - 6\end{array} \right.(t \in Z)\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 8t - 3\\y = 15t - 16\end{array} \right.(t \in Z)\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3t + 8\\y = 5t + 6\end{array} \right.(t \in Z)\].
Ta có \[5x - 3y = 8\] suy ra \[y = \frac{{5x - 8}}{3} = 2x - \frac{{x + 8}}{3}.\]
Đặt \[\frac{{x + 8}}{3} = t(t \in Z)\] suy ra \[x = 3t - 8\] và \[y = 2x - \frac{{x + 8}}{3} = 2(3t - 8) - t = 5t - 16\]
Vậy ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = 5t - 16\end{array} \right.(t \in Z)\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = - 5 - 3t\end{array} \right.(t \in Z)\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 5 - 3t\end{array} \right.(t \in Z)\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.(t \in Z)\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.(t \in Z)\].
Ta có \[3x - 2y = 5\]suy ra \[y = \frac{{3x - 5}}{2} = x + \frac{{x - 5}}{2}\]. Đặt \[\frac{{x - 5}}{2} = t{\mkern 1mu} (t \in Z){\mkern 1mu} \Rightarrow x = 2t + 5\]
Và \[y = 2t + 5 + t\]\[ = 3t + 5\]. Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.(t \in Z)\]
\[( - 7; - 14)\].
\[( - 1; - 2)\].
\[( - 3; - 4)\].
\[( - 5; - 9)\].
Ta có \[ - 5x + 2y = 7\] nên \[2y = 7 + 5x\] hay \[y = \frac{{5x + 7}}{2}\] suy ra
Đặt \[\frac{{x + 7}}{2} = t\] suy ra \[x = 2t - 7\] nên \[y = 2.(2t - 7) + t = 5t - 14{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{Z})\]
Nên nghiệm nguyên của phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2t - 7\\y = 5t - 14\end{array} \right.(t \in Z)\]
Vì \[x,y\] nguyên âm nên \[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}2t - 7 < 0\\5t - 14 < 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}t < \frac{7}{2}\\t < \frac{{14}}{5}\end{array} \right.\] từ đó \[t < \frac{{14}}{5}\;\] mà \[t \in Z \Rightarrow t \le 2\].
Nghiệm nguyên âm lớn nhất nhất của phương trình đạt được khi \[t = 2\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2.2 - 7 = - 3\\y = 5.2 - 14 = - 4\end{array} \right.\]. Vậy nghiệm cần tìm là \[( - 3; - 4)\].
\[2\].
\( - 2\).
\(6\).
\(4\).
Ta có \[3x + 4y = - 10\] suy ra \[3x = - 4y - 10\] hay \[x = \frac{{ - 4y - 10}}{3}\] nên \[x = - y - \frac{{y + 10}}{3}\]
Đặt \[\frac{{y + 10}}{3} = t(t \in \mathbb{Z})\] suy ra \[y = 3t - 10\] nên \[x = - (3t - 10) - t = - 4t + 10\]
Hay nghiệm nguyên của phương trình \[3x + 4y = - 10\] là \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 4t + 10\\y = 3t - 10\end{array} \right.(t \in Z)\]
Vì \[x;y\] nguyên âm hay \[x < 0;y < 0\] nên \[\left\{ \begin{array}{l} - 4t + 10 < 0\\3t - 10 < 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}t > 2,25\\t < \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\] mà \[t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t = 3\]
Suy ra \[x = - 4.3 + 10 = - 2;y = 3.3 - 10 = - 1\] nên nghiệm nguyên âm cần tìm là \[(x;y) = ( - 2; - 1)\]. Tích \[x.y = 2\].
\(5\).
\[6\].
\[7\].
\[4\].
Ta có \[ - 4x + 3y = 8\] suy ra \[y = \frac{{4x + 8}}{3}\] hay \[y = x + \frac{{x + 8}}{3}\]
Đặt \[\frac{{x + 8}}{3} = t\] khi đó \[x = 3t - 8\] và \[y = 3t - 8 + t = 4t - 8{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (t \in \mathbb{Z})\]
Nên nghiệm nguyên của phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = 4t - 8\end{array} \right.(t \in \mathbb{Z})\]
Vì \[x,y\] nguyên dương nên \[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}3t - 8 > 0\\4t - 8 > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}t > \frac{8}{3}\\t > 2\end{array} \right.\] nên \[t > \frac{8}{3}\] mà \[t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \ge 3\].
Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3.3 - 8 = 1\\y = 4.3 - 8 = 4\end{array} \right.\]. Vậy \[x + y = 5\].
\[2\].
\[3\].
\[1\].
\[ - 1\].
Ta có \[6x - 7y = 5\] nên \[x = \frac{{7y + 5}}{6}\] suy ra \[x = y + \frac{{y + 5}}{6}\]
Đặt \[\frac{{y + 5}}{6} = t(t \in \mathbb{Z})\] khi đó \[y = 6t - 5\] và \[x = y + \frac{{y + 5}}{6} = 6t - 5 + t = 7t - 5\]
Nên nghiệm nguyên của phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 7t - 5\\y = 6t - 5\end{array} \right.(t \in \mathbb{Z})\]
Vì \[x,y\] nguyên dương nên \[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}7t - 5 > 0\\6t - 5 > 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}t > \frac{5}{7}\\t > \frac{5}{6}\end{array} \right.\] suy ra \[t > \frac{5}{7}\] mà \[t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \ge 1\]
Do đó, nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình có được khi \[t = 1\] \[\left\{ \begin{array}{l}x = 7.1 - 5 = 2\\y = 6.1 - 5 = 1\end{array} \right.\] suy ra \[x - y = 1\].
