33 bài tập Bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất có lời giải

Chọn A
Vì \[m > n\]“cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số \[ - 3\]” ta được:
\[m - 3 > n - 3\].

Chọn B
+ Vì \[a > b\], cộng hai vế của bất đẳng thức với \[ - 1\] ta được: \[a - 1 > b - 1\]⇒ \[\left( I \right)\] đúng.
+ Vì \[a - 1 > b - 1\] (cmt) mà \[b - 1 < b\] nên ta chưa đủ dữ kiện để nói rằng \[a - 1 > b\]⇒ \[\left( {II} \right)\] sai.
+ Vì \[a > b\], cộng hai vế của bất đẳng thức với \[2\] ta được: \[a + 2 > b + 2\] mà
\[b + 2 > b + 1\]nên \[a + 2 > b + 1\] ⇒ \[\left( {III} \right)\] đúng.
Do đó có \[2\] khẳng định đúng.

Chọn D
Cộng hai vế của bất đẳng thức \[x - 5 \le y - 5\] với \[5\] ta được:\[x - 5 + 5 \le y - 5 + 5\] \[ \Rightarrow x \le y\]

Chọn B
Từ \[a > b\], cộng \[ - b\] vào hai vế ta được \[a - b > b - b\], tức là \[a - b > 0\].
Do đó D đúng, B sai.
Ngoài ra A, C đúng vì:
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với (-1) ta được:
\[a + \left( { - 1} \right) > 1 + \left( { - 1} \right)\] hay \[a - 1 > 0\].
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \[1 > b\] với \[ - b\] ta được:
\[1 + \left( { - b} \right) > b + \left( { - b} \right)\] hay \[1 - b > 0\].

Chọn A
Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Từ đó với \[a > b\] và \[c > 0\] thì \[ac > bc\] nên A đúng.

Chọn B
+ Với \[a > b\], nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \[ - 3\] ta được:\[ - 3a < - 3b\].
Tiếp tục cộng hai vế của bất đẳng thức với \[1\] ta được: \[ - 3a + 1 < - 3b + 1\] nên A sai.
+ Vì \[a > b\] và \[ - 3 < 0\] nên \[ - 3a < - 3b\] nên B đúng.
+ Vì \[a > b\] và \[3 > 0\]nên \[3a > 3b\] nên C sai.
+ Vì \[a > b\]\[ \Leftrightarrow a - 1 > b - 1 \Leftrightarrow 3\left( {a - 1} \right) > 3\left( {b - 1} \right)\] nên D sai

Chọn D
Vì \[a + 1 \le b + 2 \Leftrightarrow 2\left( {a + 1} \right) \le 2\left( {b + 2} \right) \Leftrightarrow 2a + 2 \le 2b + 4\]
Nên \(D\) đúng.

Chọn B
Theo đề bài ta có:
\( - 3x - 1 < - 3y - 1\)
\( \Rightarrow - 3x - 1 + 1 < - 3y - 1 + 1\)
\( \Rightarrow - 3x < - 3y\)
\( \Rightarrow - 3x\left( { - \frac{1}{3}} \right) > - 3y\left( { - \frac{1}{3}} \right)\)
\( \Rightarrow x > y\)

Chọn A
Ta có: \[m + \frac{1}{2} = n\] \[ \Rightarrow m - n = - \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow m - n < 0\] \[ \Rightarrow m < n\].

Chọn A
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \[a - 3 < b\] với \[13\] ta được:
\[a - 3 < b\] \[ \Rightarrow a - 3 + 13 < b + 13\] \[ \Rightarrow a + 10 < b + 13\].

Chọn D
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\]hay \[4a + 1 < 4b + 5\] nên A đúng.
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow - 2a > - 2b \Leftrightarrow 7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\]hay \[7 - 2a > 4 - 2b\] nên B đúng.
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a - 2 < 4b - 2\] nên C đúng.
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow - 3a > - 3b \Leftrightarrow 6 - 3a > 6 - 3b\] nên D sai.

Chọn B
* Với \[a > b > 0\] ta có:
+) \[a.a > a.b \Leftrightarrow {a^2} > ab\]
+) Ta có: \[{a^2} > ab \Rightarrow {a^2}.a > a.ab \Leftrightarrow {a^3} > {a^2}b\]
Mà \[a > b > 0 \Rightarrow ab > b.b \Leftrightarrow ab > {b^2} \Rightarrow ab.a > {b^2}.b \Rightarrow {a^2}.b > {b^3}\].
⇒ \[{a^2}b > {b^3} \Rightarrow {a^3} > {a^2}b > {b^3}\]\[ \Rightarrow {a^3} > {b^3}\]
Vậy \[{a^2} > ab\] và \[{a^3} > {b^3}\].

Chọn B
Ta có:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right)\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ca\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a\left( { - b} \right) + 2c\left( { - b} \right) + 2ac\]
\[ = {\left[ {a + \left( { - b} \right) + c} \right]^2}\]\[ = {\left( {a - b + c} \right)^2} \ge 0\], với mọi\[a\], \[b\], \[c\].
Do đó \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right) \ge 0\].
\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2ab + 2bc - 2ca\].
Dấu xảy ra khi \[a - b + c = 0\].

Xét hiệu:
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\)\( = \frac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{2}\)\( = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) (luôn đúng).
Vậy \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\).Chọn C

Chọn D
Xét hiệu
\[P = {\left( {x + y} \right)^2} - 4xy = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy\]\[ = {x^2} - 2xy + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2}\]
Mà (x - y)2 ≥ 0 với \(\forall x,y\)
Nên \[P \ge 0\];\(\forall x,y\). Suy ra \[{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\]

Chọn A
Từ \[x + y > 1\], bình phương hai vế (hai vế đều dương) được \[{x^2} + 2xy + {y^2} > 1\] \[\left( 1 \right)\]
Từ \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] suy ra \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\]. \[\left( 2 \right)\]
Cộng từng vế \[\left( 1 \right)\] với \[\left( 2 \right)\] được \[2{x^2} + 2{y^2} > 1\].
Chia hai vế cho \[2\] được \[{x^2} + {y^2} > \frac{1}{2}\].

Chọn A
Theo đề bài ta có:
\(\left( 1 \right)\): \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4\]\[ \Leftrightarrow 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 \ge 4\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\] (do \(x > 0,y > 0 \Rightarrow xy > 0\)).
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\]\[ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] với mọi\[x\], \[y\]
Nên khẳng định \(\left( 1 \right)\) đúng
\(\left( 2 \right)\): \({x^2} + {y^3} \le 0\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^3} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^3} > 0\)
⇒ Khẳng định \(\left( 2 \right)\) sai.
Khẳng định \(\left( 1 \right)\) đúng ⇒ Khẳng định \(\left( 3 \right)\) sai.

Chọn B
Xét \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} - 4 = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{{ab}}\)
\( = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}}\).
Do \[ab > 0\] và \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\], với mọi \[a\], \[b\] nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 0\) hay \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 4\).

Chọn C
Xét hiệu:
\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2}\]
\[ = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\]
(vì \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\];\[{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\]; \[{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[a\], \[b\], \[c\])
Nên \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
Dấu xảy ra khi \[a = b = c\].

Chọn A
Từ \[x + y \ge 2\], bình phương hai vế (hai vế đều dương) được:
\[{x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4\] \[\left( 1 \right)\]
Từ \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] suy ra \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\] \[\left( 2 \right)\].
Cộng từng vế \[\left( 1 \right)\] với \[\left( 2 \right)\] được:\[2{x^2} + 2{y^2} \ge 4\].
Chia cả hai vế cho \(2\) ta được: \[{x^2} + {y^2} \ge 2\].
Dấu xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {x - y} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).

Chọn A
Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ta có :
Đáp án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Đáp án B không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn vì \[a = 0\].
Đáp án C không phải là bất phương trình bậc nhất vì có \[{x^2}\].
Đáp án D không phải bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.

Chọn D
Thay \[x = 2\] vào từng phương trình:
Đáp án A : \[7 - 2 < 2.2\] hay \[5 < 4\] vô lý. Loại đáp án A.
Đáp án B : \[2.2 + 3 > 9\] hay \[7 > 9\] vô lý. Loại đáp án B.
Đáp án C : \[ - 4.2 \ge 2 + 5\] hay \[ - 8 > 7\] vô lý. Loại đáp án C.
Đáp án D : \[5 - 2 > 6.2 - 12\] hay \[3 > 0\]luôn đúng. Chọn đáp án D.

Chọn D
Vì \[7 > 0\] nên \[7\left( {3x + 5} \right) \ge 3 \Leftrightarrow 3x > - 5 \Leftrightarrow x > - \frac{5}{3}\] nên đáp án cần chọn là D.
Chú ý : Chuyển vế phải đổi dấu, chia cho một số dương thì bất phương trình không đổi chiều.

Chọn C
Ta có : \[m\left( {2x + 1} \right) < 8\] được biến đổi thành \[2mx + m - 8 < 0\].
Vậy để bất phương trình \[m\left( {2x + 1} \right) < 8\] là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn thì\[2mx + m - 8 < 0\]là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn.
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì \[a \ne 0\] hay \[2m \ne 0\] nên\[m \ne 0\].

Chọn A
\[3x + 7 > x + 9\] chuyển vế ta được \[3x - x > 9 - 7\] hay \[2x > 2\] vậy \[x > 1\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x > 1\].

Chọn C
\[{\left( {x - 2} \right)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\]
\[{x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\]
\[ - 12x + 7 \ge 0\]
\[x \le \frac{{ - 7}}{{12}}\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x \le \frac{{ - 7}}{{12}}\]
Nên số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \[x = - 1\]

Chọn D
\[x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\]
\[5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}\]
\[5x \ge - 12\]
\[x \ge \frac{{ - 12}}{5}\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là\[x \ge \frac{{ - 12}}{5}\].
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \[x = - 2\].

Chọn D
Ta có: \[\frac{{3x + 5}}{2} - 1 \le \frac{{x + 2}}{3} + x\]
\[\frac{{3\left( {3x + 5} \right)}}{6} - \frac{6}{6} \le \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{6} + \frac{{6x}}{6}\]
\[3\left( {3x + 5} \right) - 6 \le 2\left( {x + 2} \right) + 6x\]
\[9x + 15 - 6 \le 2x + 4 + 6x\]
\[9x - 2x - 6x \le 4 - 15 + 6\]
\[x \le - 5\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x \le - 5\].

Chọn A
\[2\left( {x - 1} \right) - x > 3\left( {x - 1} \right) - 2x - 5\]
\[2x - 2 - x > 3x - 3 - 2x - 5\]
\[x - 2 > x - 8\]
\[ - 2 > - 8\] (luôn đúng). Vậy bất phương trình trên có vô số nghiệm

Chọn B
Xét : \[\frac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0\]
Trường hợp 1 : \[x - 3 < 0\] và \[x + 4 > 0\] hay \[x < 3\] và \[x > - 4\], kết hợp lại ta được \[ - 4 < x < 3.\]
Trường hợp 2: \[x - 3 > 0\] và \[x + 4 < 0\] hay \[x > 3\] và \[x < - 4\], Bất phương trình vô nghiệm.

Chọn A
Xét \[A = \frac{{5 - 2x}}{{{x^2} + 4}}\]
\[A\] có giá trị dương hay A\[ > 0\]
Ta có : \[{x^2} \ge 0 \]\[\forall x\] suy ra \[{x^2} + 4 > 0\]\[\forall x\]\[ \Rightarrow A > 0\] hay \[5 - 2x > 0\]\[ \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}\]
Vậy với \[x < \frac{5}{2}\] thì \[A\] có giá trị dương.

Chọn A
\[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\]
\[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\] \[\left( * \right)\]
Điều kiện\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\]. Quy đồng ta được
\(\frac{{(x + 4)(x - 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} + \frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} < \frac{{2{x^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)
\[\frac{{{x^2} + 3x - 4 + {x^2} + x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{4}{{\left( {x + 1} \right)}} < 0\] mà \[4 > 0\] nên \[x + 1 < 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x < - 1\]
Kết hợp với điều kiện ta có bất phương trình có nghiệm \[x < - 1\].

Chọn C
\[{x^2} + 2(x - 3) - 1 > x(x + 5) + 5\]
\[{x^2} + 2x - 6 - 1 > {x^2} + 5x + 5\]
\[{x^2} + 2x - {x^2} - 5x > 5 + 6 + 1\]
\[ - 3x > 12\]
\[x < - 4\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[x < - 4\].
\[\frac{2}{3} - \frac{{3x - 6}}{2} > \frac{{1 + 3x}}{6}\]
\[2.2 - 3(3x - 6) > 1 + 3x\]
\[4 - 9x + 18 > 1 + 3x\]
\[12x < 21\] vậy \[x < \frac{7}{4}\]. KL: Nghiệm của bất phương trình là: \[x < \frac{7}{4}\]