Đề thi
33 bài tập Bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất có lời giải
AdminToánÔn vào 1094 lượt thi
33 câu hỏi
1. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biết rằng \[m > n\] với \[m\], \[n\]bất kỳ, chọn câu đúng.
\[m - 3 > n - 3\].
\[m + 3 < n + 3\].
\[m - 2 < n - 2\].
\[n + 2 > m + 2\].
Xem đáp án
Chọn A
Vì \[m > n\]“cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số \[ - 3\]” ta được:
\[m - 3 > n - 3\].
Vì \[m > n\]“cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số \[ - 3\]” ta được:
\[m - 3 > n - 3\].
2. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho biết \[a > b\]. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau? \[\left( I \right)\]:\[a - 1 > b - 1\] \[\left( {II} \right)\]:\[a - 1 > b\] \[\left( {III} \right)\]:\[a + 2 > b + 1\]
\[1\].
\[2\].
\[3\].
\[0\].
Xem đáp án
Chọn B
+ Vì \[a > b\], cộng hai vế của bất đẳng thức với \[ - 1\] ta được: \[a - 1 > b - 1\]⇒ \[\left( I \right)\] đúng.
+ Vì \[a - 1 > b - 1\] (cmt) mà \[b - 1 < b\] nên ta chưa đủ dữ kiện để nói rằng \[a - 1 > b\]⇒ \[\left( {II} \right)\] sai.
+ Vì \[a > b\], cộng hai vế của bất đẳng thức với \[2\] ta được: \[a + 2 > b + 2\] mà
\[b + 2 > b + 1\]nên \[a + 2 > b + 1\] ⇒ \[\left( {III} \right)\] đúng.
Do đó có \[2\] khẳng định đúng.
+ Vì \[a > b\], cộng hai vế của bất đẳng thức với \[ - 1\] ta được: \[a - 1 > b - 1\]⇒ \[\left( I \right)\] đúng.
+ Vì \[a - 1 > b - 1\] (cmt) mà \[b - 1 < b\] nên ta chưa đủ dữ kiện để nói rằng \[a - 1 > b\]⇒ \[\left( {II} \right)\] sai.
+ Vì \[a > b\], cộng hai vế của bất đẳng thức với \[2\] ta được: \[a + 2 > b + 2\] mà
\[b + 2 > b + 1\]nên \[a + 2 > b + 1\] ⇒ \[\left( {III} \right)\] đúng.
Do đó có \[2\] khẳng định đúng.
3. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \[x + 5 \ge y + 5\], so sánh \[x\] và \[y\]. Chọn đáp án sai
\[x = y\].
\[x \ge y\].
\[x > y\].
\[x < y\].
Xem đáp án
Chọn D
Cộng hai vế của bất đẳng thức \[x - 5 \le y - 5\] với \[5\] ta được:\[x - 5 + 5 \le y - 5 + 5\] \[ \Rightarrow x \le y\]
Cộng hai vế của bất đẳng thức \[x - 5 \le y - 5\] với \[5\] ta được:\[x - 5 + 5 \le y - 5 + 5\] \[ \Rightarrow x \le y\]
4. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \[a > 1 > b\], chọn khẳng định không đúng.
\[a - 1 > 0\].
\[a - b < 0\].
\[1 - b > 0\].
\[b - a < 0\].
Xem đáp án
Chọn B
Từ \[a > b\], cộng \[ - b\] vào hai vế ta được \[a - b > b - b\], tức là \[a - b > 0\].
Do đó D đúng, B sai.
Ngoài ra A, C đúng vì:
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với (-1) ta được:
\[a + \left( { - 1} \right) > 1 + \left( { - 1} \right)\] hay \[a - 1 > 0\].
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \[1 > b\] với \[ - b\] ta được:
\[1 + \left( { - b} \right) > b + \left( { - b} \right)\] hay \[1 - b > 0\].
Từ \[a > b\], cộng \[ - b\] vào hai vế ta được \[a - b > b - b\], tức là \[a - b > 0\].
Do đó D đúng, B sai.
Ngoài ra A, C đúng vì:
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với (-1) ta được:
\[a + \left( { - 1} \right) > 1 + \left( { - 1} \right)\] hay \[a - 1 > 0\].
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \[1 > b\] với \[ - b\] ta được:
\[1 + \left( { - b} \right) > b + \left( { - b} \right)\] hay \[1 - b > 0\].
5. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \[a > b\]và \[c > 0\], chọn kết luận đúng
\[ac > bc\].
\[bc \ge ac\].
\[ac \le bc\].
\[bc > ac\].
Xem đáp án
Chọn A
Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Từ đó với \[a > b\] và \[c > 0\] thì \[ac > bc\] nên A đúng.
Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Từ đó với \[a > b\] và \[c > 0\] thì \[ac > bc\] nên A đúng.
6. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hãy chọn câu đúng. Nếu \[a > b\]thì
\[2a \le 2b\].
\[3b < 3a\].
\[4b > 4a\].
\[3\left( {a - 1} \right) \le 3\left( {b - 1} \right)\].
Xem đáp án
Chọn B
+ Với \[a > b\], nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \[ - 3\] ta được:\[ - 3a < - 3b\].
Tiếp tục cộng hai vế của bất đẳng thức với \[1\] ta được: \[ - 3a + 1 < - 3b + 1\] nên A sai.
+ Vì \[a > b\] và \[ - 3 < 0\] nên \[ - 3a < - 3b\] nên B đúng.
+ Vì \[a > b\] và \[3 > 0\]nên \[3a > 3b\] nên C sai.
+ Vì \[a > b\]\[ \Leftrightarrow a - 1 > b - 1 \Leftrightarrow 3\left( {a - 1} \right) > 3\left( {b - 1} \right)\] nên D sai
+ Với \[a > b\], nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \[ - 3\] ta được:\[ - 3a < - 3b\].
Tiếp tục cộng hai vế của bất đẳng thức với \[1\] ta được: \[ - 3a + 1 < - 3b + 1\] nên A sai.
+ Vì \[a > b\] và \[ - 3 < 0\] nên \[ - 3a < - 3b\] nên B đúng.
+ Vì \[a > b\] và \[3 > 0\]nên \[3a > 3b\] nên C sai.
+ Vì \[a > b\]\[ \Leftrightarrow a - 1 > b - 1 \Leftrightarrow 3\left( {a - 1} \right) > 3\left( {b - 1} \right)\] nên D sai
7. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \[a + 1 \le b + 2\]. So sánh \[2\] số \[2a + 2\]và \[2b + 4\]. Khẳng định nào dưới đây là đúng
\[2a + 2 > 2b + 4\].
\[2a + 2 < 2b + 4\].
\[2a + 2 \ge 2b + 4\].
\[2a + 2 \le 2b + 4\].
Xem đáp án
Chọn D
Vì \[a + 1 \le b + 2 \Leftrightarrow 2\left( {a + 1} \right) \le 2\left( {b + 2} \right) \Leftrightarrow 2a + 2 \le 2b + 4\]
Nên \(D\) đúng.
Vì \[a + 1 \le b + 2 \Leftrightarrow 2\left( {a + 1} \right) \le 2\left( {b + 2} \right) \Leftrightarrow 2a + 2 \le 2b + 4\]
Nên \(D\) đúng.
8. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \[ - 3x - 1 < - 3y - 1\]. So sánh \[x\]và \[y\]. Đáp án nào sau đây là đúng
\[x < y\].
\[x > y\].
\[x = y\].
\[x \le y\].
Xem đáp án
Chọn B
Theo đề bài ta có:
\( - 3x - 1 < - 3y - 1\)
\( \Rightarrow - 3x - 1 + 1 < - 3y - 1 + 1\)
\( \Rightarrow - 3x < - 3y\)
\( \Rightarrow - 3x\left( { - \frac{1}{3}} \right) > - 3y\left( { - \frac{1}{3}} \right)\)
\( \Rightarrow x > y\)
Theo đề bài ta có:
\( - 3x - 1 < - 3y - 1\)
\( \Rightarrow - 3x - 1 + 1 < - 3y - 1 + 1\)
\( \Rightarrow - 3x < - 3y\)
\( \Rightarrow - 3x\left( { - \frac{1}{3}} \right) > - 3y\left( { - \frac{1}{3}} \right)\)
\( \Rightarrow x > y\)
9. Trắc nghiệm
• 1 điểm
So sánh \[m\] và \[n\] biết \[m + \frac{1}{2} = n\].
\[m < n\].
\[n \le m\].
\[m > n\].
\[m \ge n\].
Xem đáp án
Chọn A
Ta có: \[m + \frac{1}{2} = n\] \[ \Rightarrow m - n = - \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow m - n < 0\] \[ \Rightarrow m < n\].
Ta có: \[m + \frac{1}{2} = n\] \[ \Rightarrow m - n = - \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow m - n < 0\] \[ \Rightarrow m < n\].
10. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \[a - 3 < b\]. So sánh \[a + 10\] và \[b + 13\].
\[a + 10 < b + 13\].
\[a + 10 > b + 13\].
\[a + 10 = b + 13\].
\[a + 10 \ge b + 13\].
Xem đáp án
Chọn A
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \[a - 3 < b\] với \[13\] ta được:
\[a - 3 < b\] \[ \Rightarrow a - 3 + 13 < b + 13\] \[ \Rightarrow a + 10 < b + 13\].
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \[a - 3 < b\] với \[13\] ta được:
\[a - 3 < b\] \[ \Rightarrow a - 3 + 13 < b + 13\] \[ \Rightarrow a + 10 < b + 13\].
11. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Hãy chọn câu sai. Nếu \[a < b\]thì
\[4a + 1 < 4b + 5\].
\[7 - 2a > 4 - 2b\].
\[4a - 2 < 4b - 2\].
\[6 - 3a < 6 - 3b\].
Xem đáp án
Chọn D
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\]hay \[4a + 1 < 4b + 5\] nên A đúng.
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow - 2a > - 2b \Leftrightarrow 7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\]hay \[7 - 2a > 4 - 2b\] nên B đúng.
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a - 2 < 4b - 2\] nên C đúng.
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow - 3a > - 3b \Leftrightarrow 6 - 3a > 6 - 3b\] nên D sai.
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\]hay \[4a + 1 < 4b + 5\] nên A đúng.
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow - 2a > - 2b \Leftrightarrow 7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\]hay \[7 - 2a > 4 - 2b\] nên B đúng.
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a - 2 < 4b - 2\] nên C đúng.
+ Vì \[a < b \Leftrightarrow - 3a > - 3b \Leftrightarrow 6 - 3a > 6 - 3b\] nên D sai.
12. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \[a > b > 0\]. So sánh \[{a^2}\] và \[ab\];\[{a^3}\] và \[{b^3}\].
\[{a^2} < ab\]và\[{a^3} > {b^3}\].
\[{a^2} > ab\]và \[{a^3} > {b^3}\].
\[{a^2} < ab\]và \[{a^3} < {b^3}\].
\[{a^2} > ab\]và\[{a^3} < {b^3}\].
Xem đáp án
Chọn B
* Với \[a > b > 0\] ta có:
+) \[a.a > a.b \Leftrightarrow {a^2} > ab\]
+) Ta có: \[{a^2} > ab \Rightarrow {a^2}.a > a.ab \Leftrightarrow {a^3} > {a^2}b\]
Mà \[a > b > 0 \Rightarrow ab > b.b \Leftrightarrow ab > {b^2} \Rightarrow ab.a > {b^2}.b \Rightarrow {a^2}.b > {b^3}\].
⇒ \[{a^2}b > {b^3} \Rightarrow {a^3} > {a^2}b > {b^3}\]\[ \Rightarrow {a^3} > {b^3}\]
Vậy \[{a^2} > ab\] và \[{a^3} > {b^3}\].
* Với \[a > b > 0\] ta có:
+) \[a.a > a.b \Leftrightarrow {a^2} > ab\]
+) Ta có: \[{a^2} > ab \Rightarrow {a^2}.a > a.ab \Leftrightarrow {a^3} > {a^2}b\]
Mà \[a > b > 0 \Rightarrow ab > b.b \Leftrightarrow ab > {b^2} \Rightarrow ab.a > {b^2}.b \Rightarrow {a^2}.b > {b^3}\].
⇒ \[{a^2}b > {b^3} \Rightarrow {a^3} > {a^2}b > {b^3}\]\[ \Rightarrow {a^3} > {b^3}\]
Vậy \[{a^2} > ab\] và \[{a^3} > {b^3}\].
13. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Với mọi\[a\], \[b\], \[c\]. Khẳng định nào sau đây là đúng
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2ab + 2bc - 2ca\].
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2ab + 2bc - 2ca\].
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} > 2ab + 2bc - 2ca\].
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} < 2ab + 2bc - 2ca\].
Xem đáp án
Chọn B
Ta có:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right)\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ca\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a\left( { - b} \right) + 2c\left( { - b} \right) + 2ac\]
\[ = {\left[ {a + \left( { - b} \right) + c} \right]^2}\]\[ = {\left( {a - b + c} \right)^2} \ge 0\], với mọi\[a\], \[b\], \[c\].
Do đó \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right) \ge 0\].
\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2ab + 2bc - 2ca\].
Dấu xảy ra khi \[a - b + c = 0\].
Ta có:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right)\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ca\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a\left( { - b} \right) + 2c\left( { - b} \right) + 2ac\]
\[ = {\left[ {a + \left( { - b} \right) + c} \right]^2}\]\[ = {\left( {a - b + c} \right)^2} \ge 0\], với mọi\[a\], \[b\], \[c\].
Do đó \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right) \ge 0\].
\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2ab + 2bc - 2ca\].
Dấu xảy ra khi \[a - b + c = 0\].
14. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Với mọi \[a\], \[b\]khẳng định nào sau đây đúng?
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} < ab\).
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le ab\).
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\).
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} > ab\).
Xem đáp án
Xét hiệu:
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\)\( = \frac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{2}\)\( = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) (luôn đúng).
Vậy \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\).
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\)\( = \frac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{2}\)\( = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) (luôn đúng).
Vậy \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\).
Chọn C
15. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Với \[x\], \[y\] bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.
\[{\left( {x + y} \right)^2} \le 4xy\].
\[{\left( {x + y} \right)^2} > 4xy\].
\[{\left( {x + y} \right)^2} < 4xy\].
\[{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\].
Xem đáp án
Chọn D
Xét hiệu
\[P = {\left( {x + y} \right)^2} - 4xy = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy\]\[ = {x^2} - 2xy + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2}\]
Mà (x - y)2 ≥ 0 với \(\forall x,y\)
Nên \[P \ge 0\];\(\forall x,y\). Suy ra \[{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\]
Xét hiệu
\[P = {\left( {x + y} \right)^2} - 4xy = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy\]\[ = {x^2} - 2xy + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2}\]
Mà (x - y)2 ≥ 0 với \(\forall x,y\)
Nên \[P \ge 0\];\(\forall x,y\). Suy ra \[{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\]
16. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \[x + y > 1\]. Chọn khẳng định đúng
\({x^2} + {y^2} > \frac{1}{2}\).
\({x^2} + {y^2} < \frac{1}{2}\).
\({x^2} + {y^2} = \frac{1}{2}\).
\({x^2} + {y^2} \le \frac{1}{2}\).
Xem đáp án
Chọn A
Từ \[x + y > 1\], bình phương hai vế (hai vế đều dương) được \[{x^2} + 2xy + {y^2} > 1\] \[\left( 1 \right)\]
Từ \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] suy ra \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\]. \[\left( 2 \right)\]
Cộng từng vế \[\left( 1 \right)\] với \[\left( 2 \right)\] được \[2{x^2} + 2{y^2} > 1\].
Chia hai vế cho \[2\] được \[{x^2} + {y^2} > \frac{1}{2}\].
Từ \[x + y > 1\], bình phương hai vế (hai vế đều dương) được \[{x^2} + 2xy + {y^2} > 1\] \[\left( 1 \right)\]
Từ \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] suy ra \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\]. \[\left( 2 \right)\]
Cộng từng vế \[\left( 1 \right)\] với \[\left( 2 \right)\] được \[2{x^2} + 2{y^2} > 1\].
Chia hai vế cho \[2\] được \[{x^2} + {y^2} > \frac{1}{2}\].
17. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Với mọi \[x > 0\]; \[y > 0\]khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau \(\left( 1 \right)\)\(\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4\)\(\left( 2 \right)\): \({x^2} + {y^3} \le 0\)\(\left( 3 \right)\): \(\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) < 4\)
\(\left( 1 \right)\).
\(\left( 2 \right)\).
\(\left( 3 \right)\).
\(\left( 1 \right)\); \(\left( 2 \right)\).
Xem đáp án
Chọn A
Theo đề bài ta có:
\(\left( 1 \right)\): \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4\]\[ \Leftrightarrow 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 \ge 4\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\] (do \(x > 0,y > 0 \Rightarrow xy > 0\)).
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\]\[ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] với mọi\[x\], \[y\]
Nên khẳng định \(\left( 1 \right)\) đúng
\(\left( 2 \right)\): \({x^2} + {y^3} \le 0\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^3} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^3} > 0\)
⇒ Khẳng định \(\left( 2 \right)\) sai.
Khẳng định \(\left( 1 \right)\) đúng ⇒ Khẳng định \(\left( 3 \right)\) sai.
Theo đề bài ta có:
\(\left( 1 \right)\): \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4\]\[ \Leftrightarrow 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 \ge 4\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\] (do \(x > 0,y > 0 \Rightarrow xy > 0\)).
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\]\[ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] với mọi\[x\], \[y\]
Nên khẳng định \(\left( 1 \right)\) đúng
\(\left( 2 \right)\): \({x^2} + {y^3} \le 0\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^3} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^3} > 0\)
⇒ Khẳng định \(\left( 2 \right)\) sai.
Khẳng định \(\left( 1 \right)\) đúng ⇒ Khẳng định \(\left( 3 \right)\) sai.
18. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi \[a\], \[b\]là các số thực dương?
\(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} < 4\).
\(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 4\).
\(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} \le 4\).
\(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} > 4\).
Xem đáp án
Chọn B
Xét \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} - 4 = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{{ab}}\)
\( = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}}\).
Do \[ab > 0\] và \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\], với mọi \[a\], \[b\] nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 0\) hay \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 4\).
Xét \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} - 4 = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{{ab}}\)
\( = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}}\).
Do \[ab > 0\] và \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\], với mọi \[a\], \[b\] nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 0\) hay \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 4\).
19. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi \[a\], \[b\], \[c\]?
\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) < {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
Xem đáp án
Chọn C
Xét hiệu:
\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2}\]
\[ = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\]
(vì \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\];\[{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\]; \[{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[a\], \[b\], \[c\])
Nên \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
Dấu xảy ra khi \[a = b = c\].
Xét hiệu:
\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2}\]
\[ = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\]
(vì \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\];\[{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\]; \[{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[a\], \[b\], \[c\])
Nên \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
Dấu xảy ra khi \[a = b = c\].
20. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \[x + y \ge 2\]. Chọn khẳng định đúng
\({x^2} + {y^2} \ge 2\).
\({x^2} + {y^2} \le 2\).
\({x^2} + {y^2} \ge 2\).
\({x^2} + {y^2} > 2\).
Xem đáp án
Chọn A
Từ \[x + y \ge 2\], bình phương hai vế (hai vế đều dương) được:
\[{x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4\] \[\left( 1 \right)\]
Từ \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] suy ra \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\] \[\left( 2 \right)\].
Cộng từng vế \[\left( 1 \right)\] với \[\left( 2 \right)\] được:\[2{x^2} + 2{y^2} \ge 4\].
Chia cả hai vế cho \(2\) ta được: \[{x^2} + {y^2} \ge 2\].
Dấu xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {x - y} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).
Từ \[x + y \ge 2\], bình phương hai vế (hai vế đều dương) được:
\[{x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4\] \[\left( 1 \right)\]
Từ \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] suy ra \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\] \[\left( 2 \right)\].
Cộng từng vế \[\left( 1 \right)\] với \[\left( 2 \right)\] được:\[2{x^2} + 2{y^2} \ge 4\].
Chia cả hai vế cho \(2\) ta được: \[{x^2} + {y^2} \ge 2\].
Dấu xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {x - y} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).
21. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho các bất phương trình sau, đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
\[5x + 7 < 0\].
\[0x + 6 > 0\].
\[{x^2} - 2x > 0\].
\[x - 10 = 3\].
Xem đáp án
Chọn A
Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ta có :
Đáp án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Đáp án B không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn vì \[a = 0\].
Đáp án C không phải là bất phương trình bậc nhất vì có \[{x^2}\].
Đáp án D không phải bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.
Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ta có :
Đáp án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Đáp án B không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn vì \[a = 0\].
Đáp án C không phải là bất phương trình bậc nhất vì có \[{x^2}\].
Đáp án D không phải bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.
22. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Giá trị \[x = 2\] là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\[7 - x < 2x\].
\[2x + 3 > 9\].
\[ - 4x \ge x + 5\].
\[5 - x > 6x - 12\].
Xem đáp án
Chọn D
Thay \[x = 2\] vào từng phương trình:
Đáp án A : \[7 - 2 < 2.2\] hay \[5 < 4\] vô lý. Loại đáp án A.
Đáp án B : \[2.2 + 3 > 9\] hay \[7 > 9\] vô lý. Loại đáp án B.
Đáp án C : \[ - 4.2 \ge 2 + 5\] hay \[ - 8 > 7\] vô lý. Loại đáp án C.
Đáp án D : \[5 - 2 > 6.2 - 12\] hay \[3 > 0\]luôn đúng. Chọn đáp án D.
Thay \[x = 2\] vào từng phương trình:
Đáp án A : \[7 - 2 < 2.2\] hay \[5 < 4\] vô lý. Loại đáp án A.
Đáp án B : \[2.2 + 3 > 9\] hay \[7 > 9\] vô lý. Loại đáp án B.
Đáp án C : \[ - 4.2 \ge 2 + 5\] hay \[ - 8 > 7\] vô lý. Loại đáp án C.
Đáp án D : \[5 - 2 > 6.2 - 12\] hay \[3 > 0\]luôn đúng. Chọn đáp án D.
23. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Nghiệm của bất phương trình \[7\left( {3x + 5} \right) > 0\]là
\[x > \frac{3}{5}\].
\[x \le - \frac{5}{3}\].
\[x \ge - \frac{5}{3}\].
\[x > - \frac{5}{3}\].
Xem đáp án
Chọn D
Vì \[7 > 0\] nên \[7\left( {3x + 5} \right) \ge 3 \Leftrightarrow 3x > - 5 \Leftrightarrow x > - \frac{5}{3}\] nên đáp án cần chọn là D.
Chú ý : Chuyển vế phải đổi dấu, chia cho một số dương thì bất phương trình không đổi chiều.
Vì \[7 > 0\] nên \[7\left( {3x + 5} \right) \ge 3 \Leftrightarrow 3x > - 5 \Leftrightarrow x > - \frac{5}{3}\] nên đáp án cần chọn là D.
Chú ý : Chuyển vế phải đổi dấu, chia cho một số dương thì bất phương trình không đổi chiều.
24. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Với giá trị nào của m thì bất phương trình \[m\] thì bất phương trình \[m\left( {2x + 1} \right) < 8\] là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
\[m \ne 1\].
\[m \ne - \frac{1}{3}\].
\[m \ne 0\].
\[m \ne 8\].
Xem đáp án
Chọn C
Ta có : \[m\left( {2x + 1} \right) < 8\] được biến đổi thành \[2mx + m - 8 < 0\].
Vậy để bất phương trình \[m\left( {2x + 1} \right) < 8\] là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn thì\[2mx + m - 8 < 0\]là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn.
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì \[a \ne 0\] hay \[2m \ne 0\] nên\[m \ne 0\].
Ta có : \[m\left( {2x + 1} \right) < 8\] được biến đổi thành \[2mx + m - 8 < 0\].
Vậy để bất phương trình \[m\left( {2x + 1} \right) < 8\] là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn thì\[2mx + m - 8 < 0\]là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn.
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì \[a \ne 0\] hay \[2m \ne 0\] nên\[m \ne 0\].
25. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Nghiệm của bất phương trình \[3x + 7 > x + 9\] là
\[x > 1\].
\[x > - 1\].
\[x = 1\].
\[x < 1\].
Xem đáp án
Chọn A
\[3x + 7 > x + 9\] chuyển vế ta được \[3x - x > 9 - 7\] hay \[2x > 2\] vậy \[x > 1\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x > 1\].
\[3x + 7 > x + 9\] chuyển vế ta được \[3x - x > 9 - 7\] hay \[2x > 2\] vậy \[x > 1\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x > 1\].
26. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình \[{\left( {x - 2} \right)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\].
\[x = - 2\].
\[x = 0\].
\[x = - 1\].
\[x \le - \frac{7}{{12}}\].
Xem đáp án
Chọn C
\[{\left( {x - 2} \right)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\]
\[{x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\]
\[ - 12x + 7 \ge 0\]
\[x \le \frac{{ - 7}}{{12}}\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x \le \frac{{ - 7}}{{12}}\]
Nên số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \[x = - 1\]
\[{\left( {x - 2} \right)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\]
\[{x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\]
\[ - 12x + 7 \ge 0\]
\[x \le \frac{{ - 7}}{{12}}\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x \le \frac{{ - 7}}{{12}}\]
Nên số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \[x = - 1\]
27. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình \[x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\] là
\[x = - 3\].
\[x = 0\].
\[x = - 1\].
\[x = - 2\].
Xem đáp án
Chọn D
\[x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\]
\[5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}\]
\[5x \ge - 12\]
\[x \ge \frac{{ - 12}}{5}\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là\[x \ge \frac{{ - 12}}{5}\].
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \[x = - 2\].
\[x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\]
\[5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}\]
\[5x \ge - 12\]
\[x \ge \frac{{ - 12}}{5}\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là\[x \ge \frac{{ - 12}}{5}\].
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \[x = - 2\].
28. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Bất phương trình \[\frac{{3x + 5}}{2} - 1 \le \frac{{x + 2}}{3} + x\] có nghiệm là
Vô nghiệm.
\[x \ge 4,11\].
Vô số nghiệm.
\[x \le - 5\].
Xem đáp án
Chọn D
Ta có: \[\frac{{3x + 5}}{2} - 1 \le \frac{{x + 2}}{3} + x\]
\[\frac{{3\left( {3x + 5} \right)}}{6} - \frac{6}{6} \le \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{6} + \frac{{6x}}{6}\]
\[3\left( {3x + 5} \right) - 6 \le 2\left( {x + 2} \right) + 6x\]
\[9x + 15 - 6 \le 2x + 4 + 6x\]
\[9x - 2x - 6x \le 4 - 15 + 6\]
\[x \le - 5\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x \le - 5\].
Ta có: \[\frac{{3x + 5}}{2} - 1 \le \frac{{x + 2}}{3} + x\]
\[\frac{{3\left( {3x + 5} \right)}}{6} - \frac{6}{6} \le \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{6} + \frac{{6x}}{6}\]
\[3\left( {3x + 5} \right) - 6 \le 2\left( {x + 2} \right) + 6x\]
\[9x + 15 - 6 \le 2x + 4 + 6x\]
\[9x - 2x - 6x \le 4 - 15 + 6\]
\[x \le - 5\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x \le - 5\].
29. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Bất phương trình \[2\left( {x - 1} \right) - x > 3\left( {x - 1} \right) - 2x - 5\] có nghiệm là
Vô số nghiệm.
\[x < 3,24\].
\[x > 2,12\].
Vô nghiệm.
Xem đáp án
Chọn A
\[2\left( {x - 1} \right) - x > 3\left( {x - 1} \right) - 2x - 5\]
\[2x - 2 - x > 3x - 3 - 2x - 5\]
\[x - 2 > x - 8\]
\[ - 2 > - 8\] (luôn đúng). Vậy bất phương trình trên có vô số nghiệm
\[2\left( {x - 1} \right) - x > 3\left( {x - 1} \right) - 2x - 5\]
\[2x - 2 - x > 3x - 3 - 2x - 5\]
\[x - 2 > x - 8\]
\[ - 2 > - 8\] (luôn đúng). Vậy bất phương trình trên có vô số nghiệm
30. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tập nghiệm của bất phương trình \[\frac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0\] là
\[x > 4\].
\[ - 4 < x < 3\].
\[x < 3\].
\[x \ne - 4\].
Xem đáp án
Chọn B
Xét : \[\frac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0\]
Trường hợp 1 : \[x - 3 < 0\] và \[x + 4 > 0\] hay \[x < 3\] và \[x > - 4\], kết hợp lại ta được \[ - 4 < x < 3.\]
Trường hợp 2: \[x - 3 > 0\] và \[x + 4 < 0\] hay \[x > 3\] và \[x < - 4\], Bất phương trình vô nghiệm.
Xét : \[\frac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0\]
Trường hợp 1 : \[x - 3 < 0\] và \[x + 4 > 0\] hay \[x < 3\] và \[x > - 4\], kết hợp lại ta được \[ - 4 < x < 3.\]
Trường hợp 2: \[x - 3 > 0\] và \[x + 4 < 0\] hay \[x > 3\] và \[x < - 4\], Bất phương trình vô nghiệm.
31. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm giá trị của \[x\] để biểu thức \[A = \frac{{5 - 2x}}{{{x^2} + 4}}\].
\[x < \frac{5}{2}\].
\[x > \frac{5}{2}\].
\[x = \frac{5}{2}\].
\[x > 2\].
Xem đáp án
Chọn A
Xét \[A = \frac{{5 - 2x}}{{{x^2} + 4}}\]
\[A\] có giá trị dương hay A\[ > 0\]
Ta có : \[{x^2} \ge 0 \]\[\forall x\] suy ra \[{x^2} + 4 > 0\]\[\forall x\]\[ \Rightarrow A > 0\] hay \[5 - 2x > 0\]\[ \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}\]
Vậy với \[x < \frac{5}{2}\] thì \[A\] có giá trị dương.
Xét \[A = \frac{{5 - 2x}}{{{x^2} + 4}}\]
\[A\] có giá trị dương hay A\[ > 0\]
Ta có : \[{x^2} \ge 0 \]\[\forall x\] suy ra \[{x^2} + 4 > 0\]\[\forall x\]\[ \Rightarrow A > 0\] hay \[5 - 2x > 0\]\[ \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}\]
Vậy với \[x < \frac{5}{2}\] thì \[A\] có giá trị dương.
32. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Nghiệm của bất phương trình \[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\] là:
\[x < - 1\].
\[x < 1\].
\[x > 1\].
\[x > - 1\].
Xem đáp án
Chọn A
\[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\]
\[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\] \[\left( * \right)\]
Điều kiện\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\]. Quy đồng ta được
\(\frac{{(x + 4)(x - 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} + \frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} < \frac{{2{x^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)
\[\frac{{{x^2} + 3x - 4 + {x^2} + x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{4}{{\left( {x + 1} \right)}} < 0\] mà \[4 > 0\] nên \[x + 1 < 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x < - 1\]
Kết hợp với điều kiện ta có bất phương trình có nghiệm \[x < - 1\].
\[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\]
\[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\] \[\left( * \right)\]
Điều kiện\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\]. Quy đồng ta được
\(\frac{{(x + 4)(x - 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} + \frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} < \frac{{2{x^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)
\[\frac{{{x^2} + 3x - 4 + {x^2} + x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{4}{{\left( {x + 1} \right)}} < 0\] mà \[4 > 0\] nên \[x + 1 < 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x < - 1\]
Kết hợp với điều kiện ta có bất phương trình có nghiệm \[x < - 1\].
33. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Nghiệm của các bất phương trình \[{x^2} + 2(x - 3) - 1 > x\left( {x + 5} \right) + 5\] và \[\frac{2}{3} - \frac{{3x - 6}}{2} > \frac{{1 + 3x}}{6}\] lần lượt là
\[x > - 4;x > \frac{7}{4}\].
\[x < - 4;x < \frac{7}{4}\].
\[x > - 4;x < \frac{7}{4}\].
\[x < - 4;x > \frac{7}{4}\].
Xem đáp án
Chọn C
\[{x^2} + 2(x - 3) - 1 > x(x + 5) + 5\]
\[{x^2} + 2x - 6 - 1 > {x^2} + 5x + 5\]
\[{x^2} + 2x - {x^2} - 5x > 5 + 6 + 1\]
\[ - 3x > 12\]
\[x < - 4\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[x < - 4\].
\[\frac{2}{3} - \frac{{3x - 6}}{2} > \frac{{1 + 3x}}{6}\]
\[2.2 - 3(3x - 6) > 1 + 3x\]
\[4 - 9x + 18 > 1 + 3x\]
\[12x < 21\] vậy \[x < \frac{7}{4}\]. KL: Nghiệm của bất phương trình là: \[x < \frac{7}{4}\]
\[{x^2} + 2(x - 3) - 1 > x(x + 5) + 5\]
\[{x^2} + 2x - 6 - 1 > {x^2} + 5x + 5\]
\[{x^2} + 2x - {x^2} - 5x > 5 + 6 + 1\]
\[ - 3x > 12\]
\[x < - 4\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[x < - 4\].
\[\frac{2}{3} - \frac{{3x - 6}}{2} > \frac{{1 + 3x}}{6}\]
\[2.2 - 3(3x - 6) > 1 + 3x\]
\[4 - 9x + 18 > 1 + 3x\]
\[12x < 21\] vậy \[x < \frac{7}{4}\]. KL: Nghiệm của bất phương trình là: \[x < \frac{7}{4}\]
