30 câu Dạng 2: Tìm số hạng và xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số có đáp án

Ta có

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-1\\ u_2=\frac{u_1}{2}\\ \mathrm{...}\\ u_n=\frac{u_{n-1}}{2}\end{array}\right.$

Nhân vế với vế của các  đẳng thức trên, ta được $u_1.u_2.u_3\mathrm{...}{u}_n=\left(-1\right).\frac{u_1.u_2.u_3\mathrm{...}{u}_{n-1}}{\underset{n-1\text{\hspace{0.17em}sè 2}}{\underbrace{\mathrm{2.2.2...2}}}}\iff u_n=\left(-1\right).\frac{1}{2^{n-1}}=\left(-1\right).{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

Vậy $u_n=\left(-1\right).{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-}.$

Ta có $u_{n+1}=u_n+n^3\Rightarrow u_{n+1}-u_n=n^3.$  Từ đó suy ra

$\begin{array}{l}{u}_1=1;\\ u_2-u_1=1^3;\\ u_3-u_2=2^3;\\ \mathrm{...}\\ u_{n-1}-u_{n-2}={\left(n-2\right)}^3;\\ u_n-u_{n-1}={\left(n-1\right)}^3.\end{array}$

Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được

$\begin{array}{l}{u}_1+u_2-u_1+u_1-u_2+\mathrm{...}+u_{n-1}-u_{n-2}+u_n-u_{n-1}\\ =1+1^3+2^3+3^3+\mathrm{...}+{\left(n-2\right)}^3+{\left(n-1\right)}^3\\ \iff u_n=1+1^3+2^3+3^3+\mathrm{...}+{\left(n-2\right)}^3+{\left(n-1\right)}^3\end{array}$

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

$1^3+2^3+3^3+\mathrm{...}+{\left(n-1\right)}^3=\frac{{\left(n-1\right)}^2.n^2}{4}$

Ta có

$\begin{array}{l}{u}_2=\sqrt{1+u_1^2}=\sqrt{10};u_3=\sqrt{1+u_2^2}=\sqrt{11};\\ u_4=\sqrt{1+u_3^2}=\sqrt{12};u_5=\sqrt{1+u_4^2}=\sqrt{13};\end{array}$

Chọn C

Chọn B

Ta có $7922=7921+1={89}^2+1\Rightarrow n=89$

Chọn A

Giả sử $u_n=-19\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

Suy ra $-n^2+n+1=-19\iff -n^2+n+20=0\iff \left[\begin{array}{l}n=5\\ n=-4\end{array}\right.\iff n=5$ (do $\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{N}}*$).

Chọn D

Chọn C

Từ $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=u_n+\mathrm{5,}n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right.$, ta có $u_{n+1}-u_n=5$

=> dãy $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ là một cấp số cộng với công sai d=5 nên $u_{10}=u_1+9d=2+45=47$

Chọn C

Ta có $8=7.1+1;15=7.2+1;22=7.3+1;29=7.4+1;36=7.5+1$

Suy ra số hạng tổng quát $u_n=7n+1$

Chọn B

Ta có $0=\frac{0}{0+1};\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1};\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1};\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}$

Suy ra $u_n=\frac{n}{n+1}.$

Chọn A

Chọn C

Ta có $u_n=\frac{167}{84}\iff \frac{2n+1}{n+2}=\frac{167}{84}\iff 84\left(2+1\right)=167\left(n+2\right)\iff n=250$

Vậy $\frac{167}{84}$là số hạng thứ 250 của dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$

Chọn A

Ta có $u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{\left(n+1\right)+1}=\frac{a{\left(n+1\right)}^2}{n+2}$

Chọn B

Chọn D

Chọn A

Ta có ${\mathrm{u}}_1=1; {\mathrm{u}}_2={\mathrm{u}}_1+3; {\mathrm{u}}_3={\mathrm{u}}_2+5; {\mathrm{u}}_4={\mathrm{u}}_3+7;...;{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{u}}_{\mathrm{n}-1}+(2\mathrm{n}-1)$

Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được $u_n=1+3+5+7+\mathrm{...}+\left(2n-1\right)=n^2.$

Chọn A

$u_k=\frac{k-1}{k^2+1}\Rightarrow \frac{k-1}{k^2+1}=\frac{2}{13}\Rightarrow k=5$ (do $k\in {\mathbb{N}}^{*}$).

Chọn B

Ta có 

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_2=u_1+2\\ u_3=u_2+4\\ \mathrm{...}\\ u_{49}=u_{48}+2.49\\ u_{50}=u_{49}+2.50\end{array}\right.$

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được $u_{50}=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{...}+50\right)=\frac{1}{2}+2\left(25.51-1\right)=\mathrm{2548,5}$.

Chọn A

Ta có

Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;

Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;

Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0;

…

Suy ra ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}$ có n chữ số 0.

Công thức số hạng tổng quát của dãy số là $u_n=\frac{1}{{10}^n}=\underset{n\text{ ch÷ sè 0}}{\underbrace{\mathrm{0,00...01}}}$

Chọn A

Ta có 

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_2=u_1+2.2-1;\\ u_3=u_2+2.3-1;\\ \mathrm{...}\\ u_n=u_{n-1}+2.n-1\end{array}\right.$

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được $u_n=2+2.\left(2+3+\mathrm{...}+n\right)-\left(n-1\right)=2+\left(n-1\right)\left(n+2\right)-n+1=n^2+1$