25 câu Dựa vào tính chất của cấp số cộng: chứng minh đẳng thức, giải phương trình và các bài toán thực tế

Đáp án A

Ta có $\left(x+1\right)+\left(x+4\right)+\left(x+7\right)+\mathrm{...}+\left(x+28\right)=155.$

Do đó $\frac{x+1+x+28}{2}.10=155\Rightarrow 2x+29=31\Rightarrow x=1.$

Đáp án D

Để 3 số $1+3x;x^2+5;1-x$ lập thành cấp số cộng thì $2.\left(x^2+5\right)=\left(1+3x\right)+\left(1-x\right)$

$\iff 2x^2-2x+8=0$ (phương trình vô nghiệm)

=> Không tìm được x thỏa yêu cầu.

Đáp án D

Ta có $158=44+41+38+35$ nên đa giác có 4 cạnh.

Đáp án B

$x^4-10x^2+m=0.\left(1\right)$

Đặt $t=x^2,t\ge \mathrm{0,}$ phương trình (1) trở thành $t^2-10t+m=0.\left(2\right)$

Phương trình (1) có 4 nghiệm là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa mãn $t_2=9t_1\left({}^{*}\right),\left(t_2>t_1\right).$

Điều kiện phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt $\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}=25-m>0\\ P=m>0\\ S=10>0\end{array}\right.\iff 0<m<25.$

Theo định lý Vi-ét $\left\{\begin{array}{l}{t}_2+t_1=10\left({}^{**}\right)\\ t_2.t_1=m\left({}^{***}\right)\end{array}\right..$

Đáp án D

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác cần tìm là $a,a+\mathrm{2,}a+4\left(a>0\right).$

Theo bài ra, ta có $a^2+{\left(a+2\right)}^2={\left(a+4\right)}^2\iff a^2-4a-12=0\iff \left[\begin{array}{l}a=6\\ a=-2\end{array}\right..$

Suy ra độ dài cạnh huyền là 6+4=10

Đáp án D

Theo giả thiết ${\left(6-d\right)}^2+6^2={\left(6+d\right)}^2\iff 36-12d=12d\Rightarrow d=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}.$

Đáp án B

Gọi góc nhỏ nhất là x, ta có bốn góc là $x,x+d,x+2d,x+3d$ (với d là công sai).

Ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}x+\left(x+d\right)+\left(x+2d\right)+\left(x+3d\right)=360°\\ x+3d=5x\end{array}\right.$

Giải hệ ta tìm được $\mathrm{x}=30°$

Đáp án C

Giả sử đa giác có n cạnh; độ dài các cạnh thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai d=3cm là $u_1;u_2;\mathrm{...};u_n.$

Từ giả thiết ta có

Đáp án D

Ta có 

$$\begin{gathered} C_n^1+C_n^3=2C_n^2\left(n\ge 3\right) \\ \iff \frac{\mathit{n}\mathit{!}}{(n\mathrm{-}\mathrm{1})\mathit{!}}+\frac{\mathit{n}\mathit{!}}{\mathit{3}\mathit{!}\mathit{.}(n\mathrm{-}\mathrm{3})\mathit{!}}=\frac{\mathit{n}\mathit{!}}{\mathit{2}\mathit{!}\mathit{.}(n\mathrm{-}\mathrm{2})\mathit{!}}\iff n^{\mathit{2}}-9n+14=0\iff [\begin{array}{l}n\mathrm{=}\mathrm{7}\\ n\mathrm{=}\mathrm{2}\end{array}\iff n=7(don\mathrm{\ge }\mathrm{3}). \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án C

Ta có $B=A+d,C=A+2d,D=A+3d.$

Đáp án B

Ta có $P_2=\frac{1}{2}{P}_1;P_3=\frac{1}{2}{P}_2=\frac{1}{4}{P}_1;P_4=\frac{1}{2}{P}_3=\frac{1}{8}{P}_1\mathrm{...};P_n=\frac{1}{2^{n-1}}{P}_1.$

Đáp án D

Khoảng cách từ các cây đến mốc 6 ki-lô-mét tạo thành cấp số cộng có công sai d=20m

Ta có $u_n=u_1+\left(n-1\right)d=6000+\left(n-1\right)20.$

Cây cuối cùng ở vị trí 8 ki-lô-mét nên ta có $8000=6000+\left(n-1\right)20\iff n=101.$

Đáp án B

Quãng đường An đi được trong mỗi giờ là một cấp số cộng.

Ta có $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]\iff 54=\frac{n}{2}\left[30+\left(n-1\right).\left(-1\right)\right]\iff -n^2+31n-108=0\iff \left[\begin{array}{l}n=4\\ n=27\end{array}\right..$

Với n=27 thì $u_{27}=u_1+\left(27-1\right)d=-11$ nên vô lý.

Vậy An đi từ nhà về quê hết 4 giờ.

Đáp án D

Số cốc nước bán được trong các ngày lập thành một cấp số cộng với công sai d=1.

Đáp án C

Gọi n là số hàng cần tìm, ta có

$1+2+3+\mathrm{...}+n=3003\iff \frac{n\left(n+1\right)}{2}=3003\iff \left[\begin{array}{l}n=77\\ n=-78\end{array}\right.\Rightarrow n=77.$