25 câu Dạng 3: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số

Ta có un=n+5n+2=1+3n+2⇒un+1=1+3n+3

Xét hiệu un+1−un=3n+3−3n+2=−3n+2n+3<0,∀n∈ℕ*

Vậy (un)  là dãy số giảm.

Ta có u1=0; u2=12;u3=29⇒u2>u1u3<u2

 Dãy số không tăng, không giảm.

Ta có

2n+3≥5,∀n∈ℕ*⇒0<12n+3≤15,∀n∈ℕ*⇒−15≤−12n+3<0,∀n∈ℕ*

⇒−15≤un<0. Suy ra dãy số (un)  bị chặn.

Xét 2k−12k<2k−14k2−1=2k−122k−12k+1=2k−12k+1,∀k≥1.

⇒un<13.35.57...2−12n+1=12n+1≤13,∀n∈ℕ*⇒0<un<13,∀n∈ℕ*

Vậy dãy số (un)  bị chặn.

Ta có un+1−un=n+12+3n+1+1n+2−n2+3n+1n+1=n2+5n+5n+2−n2+3n+1n1       =n2+5n+5n+1−n2+3n+1n+2n+1n+2       =n2+3n+3n+1n+2>0,∀n≥1

⇒un+1>un,∀n≥1⇒dãy (Un) là dãy số tăng.

Lại có un>n2+2n+1n+1=n+1≥2  => dãy (Un) bị chặn dưới. Dãy (Un)  không bị chặn trên nên nó không bị chặn.

Chọn A

Ta có 

un=5nn2>0,∀n∈ℕ*⇒un+1=5n+1n+12

Xét tỉ số

un+1un=5n+1n+12.n25n=5n2n2+2n+1=n2+2n+1+4n2−2n−1n2+2n+1=1+2nn−1+2n2−1n2+2n+1>1,∀n∈ℕ*

Vậy (un) là dãy số tăng.

Chọn A

n2−n+1<n2+2n+2  (do   n>0)

Suy ra un=n2−n+1n2+2n+2<1, với mọi n.

Chọn A

Ta có un=3n+6⇒un+1=3n+1+6=3n+9

Xét hiệu un+1−un=3n+9−3n+6=3>0,∀n∈N*

Vậy (un) là dãy số tăng.

Chọn A

Ta có un+1−un=3n+1−12n+1−3n−12n=3n+1−1−2.3n+22n+1=3n+12n+1>0⇒dãy (un) là dãy số tăng.

Chọn D

Dãy số un=−1nn là dãy số không bị chặn vì limun=limn=+∞

Chọn C

Nhận xét: Mỗi số hạng thứ ba trở đi luôn bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó. Đồng thời số hạng đầu tiên và số hạng thứ hai của dãy là các số dương nên dễ thấy dãy số là một dãy tăng.

Chọn C

Xét hiệu un+1−un=aun+1−aun−1+1=aun−un−1

Áp dụng, ta có 

u2=au1+1=a+1⇒u2−1=a⇒u2−u1=a⇒u3−u2=a(u2−u1)=a2;⇒u4−u3=a(u3−u2)=a3;...⇒un+1−un=an>0

Để dãy số (un)tăng thì un>un−1>...>u2>u1⇒a>0

Chọn B

Đáp án A, C dãy không tăng, không giảm.

Xét đáp án B, ta có vn=1−2n+1⇒vn+1−vn=2n+1−2n+2>0,∀n∈ℕ* nên (vn) là dãy số tăng.

Chọn B

Vì cosn≤1 nên un≤n .Phát biểu (3) đúng.

Dãy không tăng, không giảm và không bị chặn dưới.

Vậy có 1 phát biểu đúng trong 3 phát biểu đã cho.

Chọn D

Ta có ∀n∈ℕ*,un+1−un=11+n2>0 nên dãy số tăng. Phát biểu (1) đúng.

Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1. Phát biểu (2) đúng.

Ta lại có u1=1;u2=u1+122;u3=u2+132;un=un−1+1n2

Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được un=u1+122+132+...+1n2            (*)

Mặt khác 

1n2<1nn−1=1n−1−1n⇒(*)⇔un=1+11−12+12−13+...+1n−1−1n⇔un=1+11−1n<2,∀n∈ℕ*

Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.

Chọn C

Xét hiệu un+1−un=ad−bccn+1+dcn+d. Dãy số (un) là dãy số tăng khi ad-bc>0

Mà c>d>0 nên chỉ có điều kiện ở đáp án C để ad-bc>0.

Chọn B

Ta có an+1−an=2n+1+n+1−2n−n=2.2n−2n+1=2n+1>0,∀n∈ℕ*

Vậy (an) là dãy số tăng.

Chọn C

0<1+1n<2,∀n∈ℕ* nên dãy số xác định bởi an=1+1nlà một dãy bị chặn.

an+1−an=n+12−n2=2n+1>0,∀n∈ℕ* nên dãy số xác định bởi an=1+1n là dãy tăng.

an+1−an=n+12−n2=2n+1>0,∀n∈ℕ* nên dãy số xác định bởi an=1+1n là dãy số giảm và không bị chặn dưới.

an+1−an=1−n+12−1−n2=2n−1>0,∀n∈ℕ* nên dãy số xác định bởi an=1−n2 là dãy không tăng không giảm.

Chọn D

Xét hiệu 

un+2−un+1=aun+1+1−aun−un+1=a−1un+1−un⇒u3−u2=a−1u2−u1=a−1;⇒u4−u3=a−1u3−u2=a−12;...un+1−un=a−1n−1>0

Để dãy số (un) tăng suy ra a-1>0 => a>1

Chọn B

Ta có un+1=n+15nun⇔un+1n+1=15.unn

Đặt vn=unn,∀n≥1. Suy ra (vn) là cấp số nhận có công bội q=15 và v=15

Ta có 

S=∑k=1nukk=∑k=1nvk=v11−qn1−q=15.1−15n1−15=14.5n−15n=Tn

Do vn>0,∀n≥1 nên (Tn) là dãy tăng. Suy ra Tn<52018−14.52018=T2018⇔n<2018

Chọn B

Ta có un+1−un=1n+1+n+12−1−1n+n2−1<0

Vậy dãy (un) là dãy số giảm.