21 câu Dạng 1: Quy nạp toán học có đáp án

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta luôn có 2n+1>2n+3        (*)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1.4+2.7+...+n(3n+1)=nn+12        (1)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2 , ta có 1.22+2.33+3.44+...+n−1n2=nn2−13n+212      (1)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 11.2.3+12.3.4+...+1nn+1n+2=nn+34n+1n+2     (1)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2  ta có 1n+1+1n+2+...+1n+n>1324     (1)

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh n≥4 là nn−32.

Chứng minh rằng mọi n – giác lồi (n≥5)đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un=9n−1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u_n luôn chia hết cho 8.

Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*,nn+1n+2n+3n+4  chia hết cho 120.

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥p  (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un=5.23n−2+33n−1

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có u1=5.21+32=19⇒u1⋮19

Bước 2: Giả sử uk=5.23k−2+33k+1 chia hết cho 19 với k≥1

Khi đó ta có uk+1=5.23k+1+33k+2=85.23k−2+33k−1+19.33k−1

Bước 3: Vì 5.23k−2+33k−1 và 19.33k−1 chia hết cho 19 nên uk+1 chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, ∀n∈ℕ*

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un=5.23n−2+33n−1

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có u1=5.21+32=19⇒u1⋮19

Bước 2: Giả sử uk=5.23k−2+33k+1 chia hết cho 19 với k≥1

Khi đó ta có uk+1=5.23k+1+33k+2=85.23k−2+33k−1+19.33k−1

Bước 3: Vì 5.23k−2+33k−1 và 19.33k−1 chia hết cho 19 nên uk+1 chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, ∀n∈ℕ*

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un=5.23n−2+33n−1

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có u1=5.21+32=19⇒u1⋮19

Bước 2: Giả sử uk=5.23k−2+33k+1 chia hết cho 19 với k≥1

Khi đó ta có uk+1=5.23k+1+33k+2=85.23k−2+33k−1+19.33k−1

Bước 3: Vì 5.23k−2+33k−1 và 19.33k−1 chia hết cho 19 nên uk+1 chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, ∀n∈ℕ*

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho:

 I    k∈A;IIn∈A⇒n+1∈A,∀n≥k

Lúc đó ta có

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên n≥p với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

Với mọi n∈ℕ*, khẳng định nào sau đây sai?

Cho Sn=11.2+12.3+13.4+...+1nn+1 với n∈ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho dãy số (u_n ) với u1=1un+1=un+−12n. Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Cho dãy xác định bởi công thức u1=3un+1=12un,∀n∈ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy u_n  là

Cho hai dãy số un, (vn) được xác định như sau u1=3,v1=2 và un+1=un2+2vn2vn=1=2un.vn với n≥2.Công thức tổng quát của hai dãy un và (vn) là

Cho dãy số (un)  xác định bởi u1=cosα0<α<πun+1=1+un2,∀n≥1 . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là