21 câu Dạng 1: Quy nạp toán học có đáp án

Chọn B

Mệnh đề A(n) đúng với n=k với $\mathrm{k}\ge \mathrm{p}$

Chọn D

Lập luận hoàn toàn đúng.

Chọn D

Lập luận hoàn toàn đúng.

Chọn D

Lập luận hoàn toàn đúng.

Chọn C

$\left(I\right)k\in A:$ số nguyên dương k thuộc tập A.

Chọn C

Bước 1 sai, vì theo bài toán $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$ nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi n=p.

Bước 2 sai, không thể “Với số nguyên dương tùy ý k” mà phải là “Với số nguyên dương $\mathrm{k}\ge \mathrm{p}$”.

Chọn D

Thử với n=1, n=2, n=3 ta kết luận được đáp án D sai.

Ta có $2^2+4^2+6^2+\mathrm{...}+{\left(2n\right)}^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}$ mới là kết quả đúng.

Chọn B

Ta có $S_1=\frac{1}{2},S_2=\frac{2}{3},S_3=\frac{3}{4}\Rightarrow$dự đoán $S_n=\frac{n}{n+1}$

Với n=1 ta được $S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1+1}$ (đúng)

Giả sử mệnh đề đúng khi $n=k\left(k\ge 1\right)\mathit{ }tức\mathit{ }là\mathit{ }\frac{\mathit{1}}{\mathit{1.2}}+\frac{\mathit{1}}{\mathit{2.3}}+\mathrm{...}+\frac{\mathit{1}}{\mathit{k}(k\mathrm{+}\mathrm{1})}=\frac{\mathit{k}}{\mathit{k}\mathit{+}\mathit{1}}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1} \\ \begin{array}{l}\iff \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\\ \iff \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\\ \iff \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}\end{array} \end{gathered}$$

Suy ra mệnh đề đúng với n=k+1

Chọn D

Ta có $u_{n+1}=u_n+{\left(-1\right)}^{2n}=u_n+1\Rightarrow u_2=2;u_3=3;u_4=4;\mathrm{...}$

Dễ dàng dự đoán được $u_n=n$ 

Thật vậy, ta chứng minh được $u_n=n(*)$ bằng phương pháp quy nạp như sau

Với $n=1\Rightarrow u_1=1$. Vậy (*) đúng với n=1.

Giả sử (*) đúng với $n=k\left(k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$, ta có $u_k=k$ 

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1, tức là $u_{k+1}=k+1$

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ ta có $u_{k+1}=u_k+{\left(-1\right)}^{2k}=k+1$

Vậy (*) đúng với mọi $\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{N}}*$. Số hạng tổng quát của dãy số là ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n}$

Chọn A

Ta có $u_1=3;u_2=\frac{1}{2}{u}_1=\frac{3}{2};u_3=\frac{1}{2}{u}_2=\frac{3}{2^2};\mathrm{...}$

Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là $u_n=\frac{3}{2^{n-1}}$

Thật vậy, n=1 thì ${\mathrm{u}}_1=3$ (đúng).

Giả sử với $n=k\left(k\ge 1\right)$ thì $u_k=\frac{3}{2^{k\mathit{-}\mathit{1}}}$. Ta đi chứng minh $u_{k+1}=\frac{3}{2^k}$

Ta có $u_{k+1}=\frac{1}{2}{u}_k=\frac{1}{2}.\frac{3}{2^{k-1}}=\frac{3}{2^k}$ (điều phải chứng minh).

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là $u_n=\frac{3}{2^{n-1}}$

Chọn B

Chứng minh $u_n-\sqrt{2}{v}_n={\left(\sqrt{2}-1\right)}^{2n}\left(1\right)$

Ta có $u_n=\sqrt{2}{v}_n=u_{n-1}^2+2v_{n-1}^2-2\sqrt{2}{u}_{n-1}{v}_{n-1}={\left(u_{n-1}-\sqrt{2}{v}_{n-1}\right)}^2$

Mặt khác $u_1-\sqrt{2}{v}_1=3-2\sqrt{2}={\left(\sqrt{2}-1\right)}^2$ nên  (1) đúng với n=1

Giả sử $u_k-\sqrt{2}{v}_k={\left(\sqrt{2}-1\right)}^{2k}$, ta có $u_{k-1}-\sqrt{2}{v}_{k+1}={\left(u-\sqrt{2}{v}_k\right)}^2={\left(\sqrt{2}-1\right)}^{2k+1}$

Vậy (1) đúng với $\forall n\ge 1$

Ta có $u_n+\sqrt{2}{v}_n={\left(\sqrt{2}+1\right)}^{2^n}$

Chọn B

Do $0<\alpha <\pi$ nên $u_2=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=\sqrt{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}=\cos \frac{\alpha }{2};u_3=\sqrt{\frac{1+\cos \frac{\alpha }{2}}{2}}=\sqrt{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}=\cos \frac{\alpha }{4}$

Vậy $u=\cos \left(\frac{\alpha }{2^{n-1}}\right)$ với mọi $\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{N}}*$. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

Với n=1 thì $u_1=\cos \alpha$ (đúng).

Giả sử với $n=k\in {\mathbb{N}}^{*}$ ta có $u_k=\cos \left(\frac{\alpha }{2^{k-1}}\right)$. Ta chứng minh $u_{k+1}=\cos \left(\frac{\alpha }{2^{k-1}}\right)$

Thật vậy $u_{k+1}=\sqrt{\frac{1+u_k}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos \left(\frac{\alpha }{2^{k-1}}\right)}{2}}=\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2^k}\right)}=\cos \left(\frac{\alpha }{2^k}\right)$