21 câu Dạng 1: Quy nạp toán học có đáp án
21 câu hỏi
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta luôn có 2n+1>2n+3 (*)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1.4+2.7+...+n(3n+1)=nn+12 (1)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2 , ta có 1.22+2.33+3.44+...+n−1n2=nn2−13n+212 (1)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 11.2.3+12.3.4+...+1nn+1n+2=nn+34n+1n+2 (1)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2 ta có 1n+1+1n+2+...+1n+n>1324 (1)
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh n≥4 là nn−32.
Chứng minh rằng mọi n – giác lồi (n≥5)đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un=9n−1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8.
Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*,nn+1n+2n+3n+4 chia hết cho 120.
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥p (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
k > p
k≥p
k = p
k < p
Chọn B
Mệnh đề A(n) đúng với n=k với k≥p
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un=5.23n−2+33n−1
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi n=1 ta có u1=5.21+32=19⇒u1⋮19
Bước 2: Giả sử uk=5.23k−2+33k+1 chia hết cho 19 với k≥1
Khi đó ta có uk+1=5.23k+1+33k+2=85.23k−2+33k−1+19.33k−1
Bước 3: Vì 5.23k−2+33k−1 và 19.33k−1 chia hết cho 19 nên uk+1 chia hết cho 19,
Vậy un chia hết cho 19, ∀n∈ℕ*
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
Sai từ bước 1
Sai từ bước 3
Sai từ bước 2
Lập luận hoàn toàn đúng
Chọn D
Lập luận hoàn toàn đúng.
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un=5.23n−2+33n−1
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi n=1 ta có u1=5.21+32=19⇒u1⋮19
Bước 2: Giả sử uk=5.23k−2+33k+1 chia hết cho 19 với k≥1
Khi đó ta có uk+1=5.23k+1+33k+2=85.23k−2+33k−1+19.33k−1
Bước 3: Vì 5.23k−2+33k−1 và 19.33k−1 chia hết cho 19 nên uk+1 chia hết cho 19,
Vậy un chia hết cho 19, ∀n∈ℕ*
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
Sai từ bước 1
Sai từ bước 3
Sai từ bước 2
Lập luận hoàn toàn đúng
Chọn D
Lập luận hoàn toàn đúng.
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un=5.23n−2+33n−1
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi n=1 ta có u1=5.21+32=19⇒u1⋮19
Bước 2: Giả sử uk=5.23k−2+33k+1 chia hết cho 19 với k≥1
Khi đó ta có uk+1=5.23k+1+33k+2=85.23k−2+33k−1+19.33k−1
Bước 3: Vì 5.23k−2+33k−1 và 19.33k−1 chia hết cho 19 nên uk+1 chia hết cho 19,
Vậy un chia hết cho 19, ∀n∈ℕ*
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
Sai từ bước 1
Sai từ bước 3
Sai từ bước 2
Lập luận hoàn toàn đúng
Chọn D
Lập luận hoàn toàn đúng.
Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho:
I k∈A;IIn∈A⇒n+1∈A,∀n≥k
Lúc đó ta có
Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A.
Mọi số nguyên dương đều thuộc A.
Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
Mọi số nguyên đều thuộc A.
Chọn C
(I)k∈A: số nguyên dương k thuộc tập A.
(II)n∈A⇒n+1∈A,∀n≥k: nếu số nguyên dương n n≥k thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên n≥p với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1
Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1
Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.
Chỉ có bước 2 đúng.
Cả hai bước đều đúng.
Cả hai bước đều sai.
Chỉ có bước 1 đúng.
Chọn C
Bước 1 sai, vì theo bài toán n≥p nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi n=p.
Bước 2 sai, không thể “Với số nguyên dương tùy ý k” mà phải là “Với số nguyên dương k≥p”.
Với mọi n∈ℕ*, khẳng định nào sau đây sai?
1+2+...+n=nn+12.
1+3+5+...+2n−1=n2.
12+22+...+n2=nn+1n+26.
22+42+62+...+2n2=2nn+12n+16.
Chọn D
Thử với n=1, n=2, n=3 ta kết luận được đáp án D sai.
Ta có 22+42+62+...+2n2=2nn+12n+13 mới là kết quả đúng.
Cho Sn=11.2+12.3+13.4+...+1nn+1 với n∈ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Sn=n−1n.
Sn=nn+1.
Sn=n+1n+2.
Sn=n+2n+3.
Chọn B
Ta có S1=12,S2=23,S3=34⇒dự đoán Sn=nn+1
Với n=1 ta được S1=11.2=11+1 (đúng)
Giả sử mệnh đề đúng khi n=kk≥1 tức là 11.2+12.3+...+1k(k+1)=kk+1
Ta có:
11.2+12.3+...+1kk+1=kk+1⇔11.2+12.3+...+1kk+1+1k+1k+2=kk+1+1k+1k+2⇔11.2+12.3+...+1kk+1+1k+1k+2=k2+2k+1k+1k+2⇔11.2+12.3+...+1kk+1+1k+1k+2=k+1k+2
Suy ra mệnh đề đúng với n=k+1
Cho dãy số (un ) với u1=1un+1=un+−12n. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un=1+n.
un=1-n.
un=1+−12n.
un=n.
Chọn D
Ta có un+1=un+−12n=un+1⇒u2=2;u3=3;u4=4;...
Dễ dàng dự đoán được un=n
Thật vậy, ta chứng minh được un=n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau
Với n=1⇒u1=1. Vậy (*) đúng với n=1.
Giả sử (*) đúng với n=k k∈ℕ*, ta có uk=k
Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1, tức là uk+1=k+1
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk+1=uk+−12k=k+1
Vậy (*) đúng với mọi n∈ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy số là un=n
Cho dãy xác định bởi công thức u1=3un+1=12un,∀n∈ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy un là
un=32n−1.
un=32n.
un=32n+1.
un=32n-1.
Chọn A
Ta có u1=3;u2=12u1=32;u3=12u2=322;...
Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là un=32n−1
Thật vậy, n=1 thì u1=3 (đúng).
Giả sử với n=k k≥1 thì uk=32k-1. Ta đi chứng minh uk+1=32k
Ta có uk+1=12uk=12.32k−1=32k (điều phải chứng minh).
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un=32n−1
Cho hai dãy số un, (vn) được xác định như sau u1=3,v1=2 và un+1=un2+2vn2vn=1=2un.vn với n≥2.Công thức tổng quát của hai dãy un và (vn) là
un=2+12n+2−12nvn=1222+12n−2−12n.
un=122+12n+2−12nvn=1222+12n−2−12n.
un=122+12n+2−12nvn=1322+12n−2−12n.
un=142+12n+2−12nvn=122+12n−2−12n.
Chọn B
Chứng minh un−2vn=2−12n (1)
Ta có un=2vn=un−12+2vn−12−22un−1vn−1=un−1−2vn−12
Mặt khác u1−2v1=3−22=2−12 nên (1) đúng với n=1
Giả sử uk−2vk=2−12k, ta có uk−1−2vk+1=u−2vk2=2−12k+1
Vậy (1) đúng với ∀n≥1
Ta có un+2vn=2+12n
Do đó ta suy ra 2un=2+12n+2−12n22vn=2+12n−2−12n⇒un=122+12n+2−12nvn=1222+12n−2−12n
Cho dãy số (un) xác định bởi u1=cosα0<α<πun+1=1+un2,∀n≥1 . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là
u2020=cosα22020.
u2020=cosα22019.
u2020=sinα22021.
u2020=sinα22020.
Chọn B
Do 0<α<π nên u2=1+cosα2=cos2α2=cosα2; u3=1+cosα22=cos2α2=cosα4
Vậy u=cosα2n−1 với mọi n∈ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với n=1 thì u1=cosα (đúng).
Giả sử với n=k∈ℕ* ta có uk=cosα2k−1. Ta chứng minh uk+1=cosα2k−1
Thật vậy uk+1=1+uk2=1+cosα2k−12=cos2α2k=cosα2k
Từ đó ta có u2020=cosα22019
