25 bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải

Chọn A
Gọi số cần tìm là \[\overline {ab} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \in {\mathbb{N}^ * },{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in {\mathbb{N}^ * },a,b \le 9\]
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \[\overline {ba} \]
Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\overline {ba} - \overline {ab} = 63\\\overline {ba} + \overline {ab} = 99\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2\overline {ab} = 36\\\overline {ba} + \overline {ab} = 99\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\overline {ab} = 18\\\overline {ba} = 81\end{array} \right.\] (thỏa mãn). Vậy số cần tìm là \[18\] nên tổng các chữ số là \[1 + 8 = 9\].

Chọn D
Gọi số cần tìm là \[\overline {ab} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \in {\mathbb{N}^ * },{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{N},{\mkern 1mu} a,b \le 9\].
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \[\overline {ba} \]
Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\overline {ba} - \overline {ab} = 18\\\overline {ba} + \overline {ab} = 66\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2\overline {ab} = 48\\\overline {ba} + \overline {ab} = 66\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\overline {ab} = 24\\\overline {ba} = 42\end{array} \right.\] (thỏa mãn). Vậy số cần tìm là \[24\] nên tổng các chữ số là \[2 + 4 = 6\].

Chọn C
Gọi số cần tìm là \[\overline {ab} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \in {\mathbb{N}^ * },{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in {\mathbb{N}^ * },a,b \le 9\]
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \[\overline {ba} \]
Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\\overline {ba} = \frac{3}{8}\overline {ab} \end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\b.10 + a = \frac{3}{8}(a.10 + b)\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\80b + 8(b + 5) = 30(b + 5) + 3b\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\55b = 110\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 7\end{array} \right.\] (thỏa mãn). Vậy số cần tìm là \[72\] nên tích các chữ số là \[2.7 = 14\].

Chọn B
Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường \[AB\] và \[BC\] lần lượt là \[x,y\]
(\[x > 0;y > 0,5\]; đơn vị : giờ).
Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}50.x + 45.y = 165\\y - x = 0,5\end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l}x = 1,5\\y = 2\end{array} \right.\] (Thỏa mãn)
Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường \[AB\] là \[1,5\]giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường \[BC\] là \(2\)giờ.

Chọn A
Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên \[1\]ha lần lượt là \[x;y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (x,y > 0)\] đơn vị: tấn/ha
Vì cấy \[60\]ha lúa giống mới và \(40\) ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả \[460\] tấn thóc nên ta có \[60x + 40y = 460\]
Vì \[3\] ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn \(4\)ha trồng lúa cũ là \(1\) tấn nên ta có phương trình \[4y - 3x = 1\]
Suy ra hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}4y - 3x = 1\\60x + 40y = 460\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - 30x + 40y = 10\\60x + 40y = 460\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\end{array} \right.\;\] (thỏa mãn). Vậy năng suất lúa mới trên \(1\) ha là \(5\) tấn.

Chọn A
Gọi vận tốc lúc đầu của xe là \[x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}};x > 10)\], thời gian theo dự định là \[y(y > 3)\] (giờ)
Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn \[10{\mkern 1mu} km\] thì đến nơi sớm hơn dự định \[3\] giờ nên ta có hương trình \[(x + 10)(y - 3) = xy\]
Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ \[10{\mkern 1mu} km\] thì đến nơi chậm mất \[5\] giờ nên ta có phương trình
\[(x - 10)(y + 5) = xy\]
Suy ra hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}(x - 10)(y + 5) = xy\\(x + 10)(y - 3) = xy\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 15\end{array} \right.\] (thỏa mãn). Vậy vận tốc ban đầu là \[40{\mkern 1mu} {\rm{km}}/{\rm{h}}\].

Chọn C
Gọi vận tốc lúc đầu của xe \[x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}};x > 10)\], thời gian theo dự định là \[y{\mkern 1mu} (y > 3)\](giờ)
Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn \[10{\mkern 1mu} km\] thì đến nơi sớm hơn dự định \[10{\mkern 1mu} km\] giờ nên ta có
phương trình \[(x + 10)(y - 1) = xy\]
Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ \[5{\mkern 1mu} km\] thì đến nơi chậm mất \(2\) giờ nên ta có phương trình
\[(x - 5)(y + 2) = xy\]
Suy ra hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 10)(y - 1) = xy\\(x - 5)(y + 2) = xy\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - x + 10y = 10\\2x - 5y = 10\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 2\end{array} \right.\] (Thỏa mãn). Vậy vận tốc ban đầu là \[10{\mkern 1mu} {\rm{km}}/{\rm{h}}\].

Chọn B
Gọi vận tốc thực của canô là \[x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}},x > 0)\], vận tốc dòng nước là \[y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}},0 < y < x)\].
Vận tốc cano khi xuôi dòng là \[x + y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}})\] vận tốc cano khi ngược dòng là \[x - y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}})\]
Canô chạy trên sông trong \(7\)giờ, xuôi dòng \(108km\)và ngược dòng \(63km\) nên ta có phương trình \[\frac{{108}}{{x + y}} + \frac{{63}}{{x - y}} = 7\].
Canô chạy trên sông trong \(7\)giờ canô xuôi dòng \[81{\mkern 1mu} km\] và ngược dòng \[84{\mkern 1mu} km\] nên ta có phương trình \[\frac{{81}}{{x + y}} + \frac{{84}}{{x - y}} = 7\].
Ta có hệ phương trìn \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{108}}{{x + y}} + \frac{{63}}{{x - y}} = 7\\\frac{{81}}{{x + y}} + \frac{{84}}{{x - y}} = 7\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{432}}{{x + y}} + \frac{{252}}{{x - y}} = 28\\\frac{{243}}{{x + y}} + \frac{{252}}{{x - y}} = 21\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{27}}\\\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 27\\x - y = 21\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 3\end{array} \right.\;\] ( thỏa mãn). Vậy vận tốc dòng nước là \[3km/h\].

Chọn A
Gọi vận tốc thực của canô là \[x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}},x > 0)\], vận tốc dòng nước là \[y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}},0 < y < x)\]
Vận tốc cano khi xuôi dòng là \[x + y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}})\], vận tốc cano khi ngược dòng là \[x - y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}})\]
Canô đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được \[380{\mkern 1mu} km\] nên ta có phương trình : \[3(x + y) + 4(x - y) = 380\]
Canô xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong vòng 30 phút được \[85{\mkern 1mu} km\] nên ta có phương trình \[x + y + \frac{1}{2}(x - y) = 85\]
Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) + 4(x - y) = 380\\x + y + \frac{1}{2}(x - y) = 85\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}7x - y = 380\\3x + y = 170\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}10x = 550\\3x + y = 170\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 55\\y = 5\end{array} \right.\] (thỏa mãn). Vậy vận tốc dòng nước là \[5km/h\].

Chọn A
Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là \[x,y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x > 5,y > 0)\] Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là \[3x(km)\]
Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là \[3y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (km)\]
Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 225\\x - y = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 225\\3x - 3y = 15\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}6x = 240\\x - y = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 35\end{array} \right.\] (thỏa mãn). Vậy vận tốc của người thứ nhất là \[40{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (km/h)\].

Chọn C
Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là \[x,y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\rm{km}}/{\rm{h}},x > y > 0;x > 5)\]
Vì khách du lịch đi trên ôtô \[4\] giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong \[7\] giờ được quãng đường dài \[640{\mkern 1mu} km\] nên ta có phương trình \[7x + 4y = 640\]
Và mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô \[5{\mkern 1mu} km\] nên ta có phương trình \[x - y = 5\]
Suy ra hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\7x + 4y = 640\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\7(y + 5) + 4y = 640\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 55\\x = 60\end{array} \right.\] (thỏa mãn). Vậy vận tốc tàu hỏa là \[60{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{km}}/{\rm{h}}\].

Chọn B
Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là \[x,y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x,y > \frac{{24}}{5}} \right)\] (đơn vị: giờ)
Mỗi giờ vòi I chảy được \[\frac{1}{x}\] (bể), vòi II chảy được \[\frac{1}{y}\] bể nên cả hai vòi chảy được \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\]bể
Vì hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau \[4\] giờ \[48\] phút \[\left( { = \frac{{24}}{5}h} \right)\] bể đầy nên ta có phương trình \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\]
Nếu vòi I chảy riêng trong\[4\] giờ, vòi II chảy riêng trong \[3\] giờ thì cả hai vòi chảy được \[\frac{3}{4}\] bể nên ta có phương trình \[\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{4}\]
Suy ra hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{4}\\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{4}\\\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{5}{8}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{8}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 12\end{array} \right.\] (Thỏa mãn). Vậy thời gian vòi I một mình đầy bể là \[8{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h\].

Chọn A
Gọi thời gian \[A,B\] làm một mình xong công việc lần lượt là \(x,y\)(\[y > x > 6\] đơn vị : ngày).
Mỗi ngày các bạn \[A,B\] lần lượt làm được \[\frac{1}{x}\] và \[\frac{1}{y}\] (công việc ).
Vì hai bạn \(A\) và \(B\) cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau \[6\] ngày nên ta có :
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\] (1).
Do làm một mình xong công việc thì \[B\] làm lâu hơn \[A\] là \[9\] ngày nên ta có phương trình :
\[y - x = 9\] (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\y - x = 9\end{array} \right.\]. Giải hệ ta được
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 18\end{array} \right.\] (thỏa mãn). Vậy \[B\] hoàn thành cả công việc trong \[18\] ngày.
Suy ra sau khi \[A\] làm một mình xong nửa công việc rồi nghỉ, \(B\) hoàn thành công việc còn lại trong \[9\]ngày.

Chọn A
Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp \(1\) và xí nghiệp \[2\]lần lượt là : \[x,y\] (\[x,y \in {N^ * }x,y < 360\], dụng cụ).
Số dụng cụ xí nghiệp \(1\)và xí nghiệp \[2\]làm được khi vượt mức lần lượt là \[112\% x\;\] và \[110{\rm{\% }}y\] ( dụng cụ).
Ta có hệ phương trình : \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\112\% x + 110\% y = 400\end{array} \right.\]. Giải hệ ta được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 160\end{array} \right.\]
Vậy xí nghiệp \(1\) phải làm \[200\] dụng cụ, xí nghiệp \(2\) phải làm \[160\] dụng cụ.

Chọn B
Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ nhất là \[x\] (tấn) \[(x > 0)\]
Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ hai là \[y\] (tấn) \[(y > 0)\]
Năm ngoài, cả 2 cánh đồng thu hoạch được \[500\] tấn thóc nên ta có phương trình: \[x + y = 500\] \[(1)\]
Năm nay, lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên \[30\% \] so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng \[20\% \] nên ta có phương trình: \[x + \frac{{30}}{{100}}x + y + \frac{{20}}{{100}}y = 630\] hay \[\frac{{130}}{{100}}x + \frac{{120}}{{100}}y = 630{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (2)\]
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\\frac{{130}}{{100}}x + \frac{{120}}{{100}}y = 630\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{120}}{{100}}x + \frac{{120}}{{100}}y = 600\\\frac{{130}}{{100}}x + \frac{{120}}{{100}}y = 630\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{{100}}x = 30\\x + y = 500\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 300\\x + y = 500\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 200\end{array} \right.\) (thoả mãn).
Vậy lượng lúa thu được năm nay của cánh đồng thứ nhất là \[300.1,3 = 390\] (tấn); lượng lúa thu được năm nay của cánh đồng thứ hai là \[200.1,2 = 240\] (tấn).

Chọn B
Gọi số sản phẩm tổ \[1\] và tổ \(2\) làm được trong tháng đầu lần lượt là \(x,y\) (\[x,y \in {\mathbb{N}^ * }x,y < 800\], sản phẩm).
Số sản phẩm tổ \[1\] và tổ \(2\) làm được trong tháng hai là \[112{\rm{\% }}.x\] và \[90{\rm{\% }}.y\] sản phẩm
Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 800\\112\% x + 90\% y = 786\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 800 - y\\112\% (800 - y) + 90\% .y = 786\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 500\\x = 300\end{array} \right.\](thỏa mãn). Vậy số sản phẩm tổ \[1\] làm được trong tháng đầu là \(300\) sản phẩm.

Chọn D
Gọi chiều cao của tam giác là \[h\], cạnh đáy tam giác là \[a\]. (\[h,a \in {N^ * },a > 3,dm\]).
Diện tích tam giác ban đầu là \[\frac{1}{2}ah\,\,(d{m^2})\]
Vì chiều cao bằng \[\frac{3}{4}\] cạnh đáy nên ta có phương trình \[h = \frac{3}{4}a\]
Nếu chiều cao tăng thêm \[3\,dm\] và cạnh đáy giảm đi \[3\,dm\] thì diện tích của nó tăng thêm \[12\,d{m^2}\]
Nên ta có hương trình \[\frac{1}{2}(h + 3)(a - 3) - \frac{1}{2}ah = 12\]
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}h = \frac{3}{4}a\\\frac{1}{2}(h + 3)(a - 3) - \frac{1}{2}ah = 12\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}h = \frac{3}{4}a\\\frac{{ - 3h}}{2} + \frac{{3a}}{2} = \frac{{33}}{2}\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 44\\h = 33\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy chiều cao của tam giác bằng \[44\,dm\], cạnh đáy tam giác bằng \[33\,dm\].
Suy ra diện tích tam giác ban đầu là \[\frac{1}{2}.44.33 = 726{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (d{m^2})\].

Chọn A
Gọi chiều cao của tấm bìa là \[h\], cạnh đáy tương ứng của tấm bìa là \[a\] \[(h,a \in {N^ * },dm);(a > 2)\]
Diện tích tam giác ban đầu là \[\frac{1}{2}ah\,\,\left( {d{m^2}} \right)\]
Vì chiều cao bằng \[\frac{1}{4}\] cạnh đáy nên ta có phương trình \[h = \frac{1}{4}a\]
Nếu chiều cao tăng thêm \(2\,dm\) và cạnh đáy giảm đi \(2\,dm\) thì diện tích của nó tăng thêm \(2,5\,\,d{m^2}\)
Nên ta có phương trình \[\frac{1}{2}(h + 2)(a - 2) - \frac{1}{2}ah = 2,5\]
Ta có hệ phương trình : \[\left[ \begin{array}{l}h = \frac{1}{4}a\\\frac{1}{2}(h + 2)(a - 2) - \frac{1}{2}ah = 2,5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}h = \frac{1}{4}a\\ - 2h + 2a - 4 = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}h = \frac{1}{4}a\\ - 2.\frac{1}{4}a + 2a = 9\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\h = 1,5\end{array} \right.(tm)\].
Vậy chiều cao và cạnh đáy của tấm bìa lần lượt là \(1,5\,dm\)và \(6\,dm\).

Chọn C
Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là \[x,y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (24 > x > y > 0;{\mkern 1mu} m)\]
Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng \[48\,m\] nên ta có \[(x + y).2 = 48\]
Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là \[162\,m\] Nên ta có phương trình \[(4y + 3x).2 = 162\]
Suy ra hệ hương trình \[\left\{ \begin{array}{l}(x + y).2 = 48\\(4y + 3x).2 = 162\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 24\\3x + 4y = 81\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 9\end{array} \right.\] (thỏa mãn). Vậy diện tích khu vườn ban đầu là \[15.9 = 135{\mkern 1mu} \,{m^2}\].

Chọn B
Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là \[x,y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (150 > x > y > 0;{\mkern 1mu} cm)\]
Diện tích ban đầu của khu vườn là \[x.y(c{m^2})\]
Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng \(300\,cm\) nên ta có \[(x + y).2 = 300\]
Nếu tăng chiều rộng thêm \(5\,cm\) và giảm chiều dài \(5\,cm\)thì diện tích tăng \(275\,c{m^2}\)
Nên ta có phương trình \[(x - 5)(y + 5) = xy + 275\]
Suy ra hệ hương trình \[\left\{ \begin{array}{l}(x + y).2 = 300\\(x - 5)(y + 5) = xy + 275\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\xy + 5x - 5y - 25 = xy + 275\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\5x - 5y = 300\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\x - y = 60\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 105\\y = 45\end{array} \right.(tm)\]. Vậy chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là \[45\,cm\]
Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là \[105\,cm\]

Chọn A
Gọi số sách trên hai giá lần lượt là \[x,y\] (\[0 < x,y < 450\], cuốn ).
Vì hai giá sách có \[450\] cuốn nên ta có phương trình \[x + y = 450\] (cuốn)
Nếu chuyển \(50\)cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng \[\frac{4}{5}\] số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình \[y + 50 = \frac{4}{5}(x - 50)\]
Suy ra hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\y + 50 = \frac{4}{5}(x - 50)\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\\frac{4}{5}x - y = 90\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 150\end{array} \right.\] (thỏa mãn)
Vậy số sách trên giá thứ nhất là \[300\] cuốn, số sách trên giá thứ hai là \(150\)cuốn

Chọn D
Gọi số viên bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là \[x,y\] ( \[0 < x,y < 360\], viên).
Vì Nam có \[360\] viên bi nên ta có phương trình \[x + y = 360\] (viên bi)
Nếu Nam chuyển \[30\] viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng \[\frac{5}{7}\] số viên bị ở hộp thứ hai nên ta có phương trình \[x + 30 = \frac{5}{7}(y - 30)\]
Suy ra hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\x + 30 = \frac{5}{7}(y - 30)\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\x - \frac{5}{7}y = - \frac{{360}}{7}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{7}y = \frac{{2880}}{7}\\x + y = 360\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 240\\x = 120\end{array} \right.(tm)\]
Vậy số viên bi ở hộp thứ nhất là \[120\] bi, số viên bi ở hộp thứ hai là \(240\)viên bi.

Chọn B
Gọi số học sinh dự thi của hai trường \(A,B\) lần lượt là \[x,y(350 > x,y > 0)\] (học sinh)
Vì hai trường \(A,B\) có tổng cộng \[350\] học sinh dự thi nên ta có phương trình \[x + y = 350\] (học sinh)
Vì trường \(A\) có \[97{\rm{\% }}\] và trường \(B\) có \[96{\rm{\% }}\] số học sinh trúng tuyển và cả hai trường có \[338\] học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình \[97{\rm{\% }}.x + 96{\rm{\% }}.y = 338\]
Suy ra hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 350\\97\% .x + 96\% .y = 338\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 350 - y\\97(350 - y) + 96y = 33800\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 150\\x = 200\end{array} \right.\] (thỏa mãn). Vậy trường \(B\) có \(150\)học sinh dự thi.

Chọn C
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là \[x,y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (21 > x > y > 0;{\mkern 1mu} m)\]
Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng \[42\,m\] nên ta có \[(x + y).2 = 42\]
Đường chéo hình chữ nhật dài \[15\,m\] nên ta có phương trình \[{x^2} + {y^2} = {15^2}\]
Suy ra hệ hương trình \[\left\{ \begin{array}{l}(x + y).2 = 42\\{x^2} + {y^2} = 225\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\{x^2} + {y^2} = 225\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 21 - x\\{x^2} + {(21 - x)^2} = 225\,\,(1)\end{array} \right.\]
Giải phương trình \((1)\) ta được \[2{x^2} - 42x + 216 = 0\]
\[{x^2} - 21x + 108 = 0\]
\[(x - 12)(x - 9) = 0\] ta được \[x = 12\]và \[x = 9\]
Khi đó \[x = 12 \Rightarrow y = 9\,\,(N)\]; \[x = 9 \Rightarrow y = 12\,\,(L)\].
Vậy chiều rộng mảnh đất ban đầu là \[9{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m\]

Chọn A
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là \[x,y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (34 > x > y > 0;{\mkern 1mu} m)\]
Vì khu vườn hình chữ nhật có nửa chu vi bằng \[34\,m\] nên ta có \[x + y = 34\]
Đường chéo hình chữ nhật dài \(26\,m\) nên ta có phương trình \[{x^2} + {y^2} = {26^2}\]
Suy ra hệ hương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 34\\{x^2} + {y^2} = 676\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 34 - x\\{x^2} + {(34 - x)^2} = 676\,\,(1)\end{array} \right.\]
Giải phương trình \((1)\) ta được \[2{x^2} - 68x + 480 = 0\]
\[{x^2} - 34x + 240 = 0\]
\[{x^2} - 10x - 24x + 240 = 0\]
\[x(x - 10) - 24(x - 10) = 0\]
\[(x - 10)(x - 24) = 0\]. Ta được \[x = 10\]và \[x = 24\]
Khi đó \[x = 10 \Rightarrow y = 24\,(L)\] và \[x = 24 \Rightarrow y = 10\,(N)\].
Vậy chiều dài mảnh đất ban đầu là \[24{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m\].