240 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P6)

Đáp án D.

Ta có:

$PT\iff m{\left(\frac{9}{4}\right)}^x-\left(2m+1\right){\left(\frac{6}{4}\right)}^x+m\le 0$

$\iff m{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}-\left(2m+1\right){\left(\frac{3}{2}\right)}^x+m\le 0$

$Đặt t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x; do x\in \left[0;1\right]\Rightarrow t\in \left[1;\frac{3}{2}\right]$.

Khi đó PT trở thành:

 $$\begin{gathered} m{t}^2-\left(2m+1\right)t+m\le 0 \\ \iff m\left(t^2-2t+1\right)\le t \end{gathered}$$

Rõ ràng t =1 là nghiệm của BPT đã cho.

$Do đó BPT nghiệm đúng với \forall t\in \left[1;\frac{3}{2}\right]$

$\iff m\le \underset{1;\frac{3}{2}}{Min}f\left(t\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)=6$.

Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

Đáp án D.

Ta có

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\left[3e^{3x}-\left(m-1\right)e^x\right]. \\ {\left(\frac{2017}{2018}\right)}^{e^{3x}-\left(m-1\right)e^x+1}.\ln \left(\frac{2017}{2018}\right) \end{gathered}$$

Để hàm số đồng biến trên (1;2)

$$\begin{gathered} \iff y^{\text{'}}\ge 0;\forall x\in \left(1;2\right) \\ \iff 3e^{3x}-\left(m-1\right)e^x\le 0 \\ ;\forall x\in \left(1;2\right). \end{gathered}$$

$\iff 3e^{2x}-m+1\le 0;\forall x\in \left(1;2\right)$

$\iff m-1\ge 3e^{2x};\forall x\in \left(1;2\right)$

$\iff m\ge 3e^4+1$.

Đáp án D.

Ta có 9^x + 9^–x = 23

$$\begin{gathered} \iff {\left(3^x\right)}^2+\frac{1}{{\left(3^x\right)}^2}=23 \\ \iff {\left(3^x\right)}^2+2.3^x.\frac{1}{3^x}+\frac{1}{{\left(3^x\right)}^2}=25 \end{gathered}$$

=> 3^x + 3^–x = 5.

$Vậy A=\frac{5+5}{1-5}=\frac{-5}{2}=\frac{a}{b}$

$\to a.b=-5.2=-10$.

Đáp án A

$Ta có f^{\text{'}}\left(x\right)=2x.2^{x^2+a} ln2$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(1\right)=2\ln 2.2^{a+1}=2\ln 2\Rightarrow 2^{a+1}=1\Rightarrow a=-1$.

Đáp án D

$Ta có: D=\left(0;+\infty \right)$

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\left(\pi -1\right){\left(\frac{1}{x}\right)}^{\pi -1}.\frac{-1}{x^2}<0 \\ \left(\forall x>0\right);\underset{x\to +\infty }{\mathrm{li}m}y=0 \end{gathered}$$

Do đó hàm số không có cực trị và đồ thị hàm số có tiệm cận.

Đáp án C

Điều kiện:  $x<\frac{1}{2}$.

Bất phương trình tương đương

$1-2x\le 8\iff x\ge -\frac{7}{2}\Rightarrow Chọn C$.

Đáp án B

Ta có: log₄₂ 2 = 1 + mlog₄₂ 3 +nlog₄₂ 7 <=> log₄₂ 2 = log₄₂ (42.3^m.7ⁿ)

<=> 42.3^m.7ⁿ = 2 <=> 3^m+1.7ⁿ⁺¹ = 1 <=> m = –1, n = –1 => m.n = 1.

Đáp án D

$Ta có: 2^{{\sin }^{x}x}+2^{1+{\cos }^{2}x}=m$

$$\begin{gathered} \iff 2^{{\sin }^{2}x}+2^{2-{\sin }^{2}x}=m \\ \iff 2^{{\sin }^{2}x}+\frac{4}{2^{{\sin }^{2}x}}=m \left(*\right) \end{gathered}$$   

$Đặt t=2^{{\sin }^{2}x} mà {\sin }^{2}x\in \left[0;1\right]\Rightarrow t\in \left[1;2\right]$

Khi đó (*) tương đương

$m=f\left(t\right)=t+\frac{4}{t}$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+\frac{4}{t}$ trên đoạn [1;2] có

$f^{\text{'}}\left(t\right)=1-\frac{4}{t^2}\le 0; \forall t\in \left[1;2\right]$.

=> f(t) là hàm số nghịch biến trên [1;2] nên (*) có nghiệm

$\iff \underset{\left[1;2\right]}{min }f\left(t\right)\le m\le \underset{\left[1;2\right]}{max }f\left(t\right)$

Vậy $4\le m\le 5$ là giá trị cần tìm.

Đáp án C

Phương trình 

$3{\log }_2^2 x-{\log }_2 x-1=0$

$$\begin{gathered} \to {\log }_2 a+{\log }_2 b=\frac{1}{3} \\ \iff {\log }_2 \left(ab\right)=\frac{1}{3} \\ \iff ab=\sqrt[3]{2} \end{gathered}$$

Đáp án B

Xét hàm số $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{\pi }\right)}^{x^3-3m{x}^2+m}$, ta có

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\left(3x^2-6mx\right).{\left(\frac{1}{\pi }\right)}^{x^3-3m{x}^2+m}.\ln \frac{1}{\pi }$.

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$

$\iff f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0;\forall x\in \mathrm{ℝ}\iff 3x^2-6mx\ge 0;\forall x\in \mathrm{ℝ}$

$\iff x\left(x-2m\right)\ge 0;\forall x\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow m=0$.

Đáp án D

Ta có ln(2x² + 3) > ln(x² + ax + 1)

Giải (1), ta có  x² + ax + 1 > 0

$\forall x\in \mathrm{ℝ}\iff ∆=a^2-4<0\iff -2<a<2.$

Giải (2), ta có  x² + ax + 2 > 0

$\forall x\in \mathrm{ℝ}\iff ∆={\left(-a\right)}^2-8<0\iff -2\sqrt{2}<a<a\sqrt{2}.$

Vậy a thuộc (–2;2) là giá trị cần tìm.

Đáp án D

BPT <=> 2^3x + (m – 1)3^x + m – 1 > 0

<=> 2^3x – 3^x  – 1 + m(3^x + 1) > 0

$\iff m>\frac{3^x-8^x+1}{3^x+1};\forall x\in \mathrm{ℝ}$ (*).

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{3^x-8^x+1}{3^x+1};\forall x\in \mathrm{ℝ}$, ta có

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{8^x\left[\left(\ln 3-\ln 8\right)\right].3^x-\ln 8}{{\left(3^x+1\right)}^2}<0;\forall x\in \mathrm{ℝ}$.

Suy ra f(x) là hàm số nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$.

Mà $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$, do đó

$\underset{x\in \mathrm{ℝ}}{min}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$.

Vậy (*) $\iff m\ge$$\underset{x\in \mathrm{ℝ}}{min}f\left(x\right)=1\Rightarrow m\ge 1$ là giá trị cần tìm.

Đáp án B

Ta có log(x + 2y) = log x + log y

<=> log 2 (x+2y) = log 2xy

<=> 2 (x+2y) = 2xy (*).

$Đặt \left\{\begin{array}{l}a=x>0\\ b=2y>0\end{array}\right.$, khi đó

$\left(*\right)\iff 2\left(a+b\right)=ab$

và $P=\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+a}\ge \frac{{\left(a+b\right)}^2}{a+b+2}$

Lại có $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\Rightarrow 2\left(a+b\right)\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\iff a+b\ge 8$.

Đặt t = a + b, do đó

$P\ge f\left(t\right)=\frac{t^2}{t+2}.$

$Xét hàm số f\left(t\right)=\frac{t^2}{t+2}trên [8;+\infty )$

$có f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{t^2+2t}{{\left(t+2\right)}^2}>0;\forall \ge 8$

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên $[8;+\infty )$

Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{32}{5}$.

Đáp án C.

Điều kiện $x>2;x\ne 4$.

Phương trình tương đương log₃ (x – 2)² + log₃ (x – 4)² = 0

<=> log₃ [(x – 2)²(x – 4)²] = 0 <=> (x – 2)²(x – 4)² = 1 <=> x = 3.

Đáp án A.

Điều kiện x > 0. Bất phương trình tương đương

$$\begin{gathered} {\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)-{\log }_{2}x\ge 1 \\ \iff x^2+\frac{x}{2}\le \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff 2x^2+x-1\le 0 \\ \iff -1\le x\le \frac{1}{2} \\ \Rightarrow x\in (0;\frac{1}{2}]. \end{gathered}$$

Đáp án D.

Ta có

$$\begin{gathered} \log 6125\sqrt{7} \\ =\log 6125+\log \sqrt{7} \\ =\log \left(7^2.125\right)+\frac{1}{2}\log 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{5}{2}\log 7+\log 5^3 \\ =\frac{5}{2}n+3\log 5 \\ =\frac{5}{2}n+3\left(1-\log 2\right) \end{gathered}$$

$=\frac{5}{2}n+3-3m.$

Đáp án A.

Đáp án A.

Đáp án B

Ta có:

Đáp án C

Ta có

Đáp án D

Ta có

Đáp án A

Ta có

Đáp án D

Ta có