20 bài tập So sánh phân số có lời giải

Hướng Dẫn Giải

a) \(\frac{3}{8} < \frac{5}{8}\)            b) \(\frac{5}{9} > \frac{4}{9}\)                    c) \(\frac{{16}}{{19}} < \frac{{21}}{{19}}\)                               d) \(\frac{5}{{13}} < \frac{7}{{13}}\)

Hướng Dẫn Giải

Dùng phương pháp quy đồng tử số.

a) \(\frac{4}{{15}} = \frac{{4 \times 5}}{{15 \times 5}} = \frac{{20}}{{75}}\) và \(\frac{5}{{16}} = \frac{{5 \times 4}}{{16 \times 4}} = \frac{{20}}{{64}}\). Thấy: \(\frac{{20}}{{75}} < \frac{{20}}{{64}}\) nên \(\frac{4}{{15}} < \frac{5}{{16}}\).

Các phần b, c, d các em làm tương tự được kết quả như sau:

b) \(\frac{2}{{113}} < \frac{4}{{115}}\);                 c) \(\frac{2}{7} > \frac{4}{{15}}\);                              d) \(\frac{2}{7} > \frac{4}{5}\)

Hướng Dẫn Giải

Dùng phương pháp so sánh phần bù với 1.

a) \(1 - \frac{{2014}}{{2015}} = \frac{1}{{2015}}\) và \(1 - \frac{{2015}}{{2016}} = \frac{1}{{2016}}\). Vì \(\frac{1}{{2015}} > \frac{1}{{2016}}\) nên \(\frac{{2014}}{{2015}} < \frac{{2015}}{{2016}}\).

b) Tương tự được: \(\frac{{201}}{{203}} < \frac{{203}}{{205}}\)

Hướng Dẫn Giải

Dùng phương pháp so sánh phần hơn với 1.

a) \(\frac{{2017}}{{2015}} - 1 = \frac{2}{{2015}}\) và \(\frac{{2015}}{{2013}} - 1 = \frac{2}{{2013}}\). Vì \(\frac{2}{{2015}} < \frac{2}{{2013}}\) nên \(\frac{{2017}}{{2015}} < \frac{{2015}}{{2013}}\).

b) Tương tự được: \(\frac{{100}}{{99}} > \frac{{200}}{{199}}\)

Hướng Dẫn Giải

So sánh bằng trung gian (với 1).

a) Do \(\frac{{13}}{{15}} < 1\) và \(\frac{{15}}{{13}} > 1\) nên \(\frac{{13}}{{15}} < \frac{{15}}{{13}}\).

b) Tương tự có được: \(\frac{{19}}{{18}} > \frac{{2015}}{{2016}}\).

Hướng Dẫn Giải

So sánh bằng trung gian: Chọn phân số trung gian bằng cách lấy tử số của phân số này là tử số còn mẫu số của phân số còn lại làm mẫu số.

a) Chọn phân số trung gian là: \(\frac{{14}}{{43}}\) (Các em có thể chọn \(\frac{{15}}{{47}}\) làm trung gian)

Ta có: \(\frac{{14}}{{47}} < \frac{{14}}{{43}}\) và \(\frac{{15}}{{43}} > \frac{{14}}{{43}}\). Do đó: \(\frac{{14}}{{47}} < \frac{{15}}{{43}}\)

b) Tương tự ta có được: \(\frac{{21}}{{52}} > \frac{{20}}{{53}}\)

Hướng Dẫn Giải

So sánh bằng trung gian. Chọn trung gian là \(\frac{1}{2}\).

a) \(\frac{9}{{19}} < \frac{9}{{18}} = \frac{1}{2}\) và \(\frac{{1001}}{{2000}} > \frac{{1000}}{{2000}} = \frac{1}{2}\). Do đó: \(\frac{9}{{19}} < \frac{{1001}}{{2000}}\).

b) Tương tự có được: \(\frac{{2015}}{{4029}} > \frac{{200}}{{401}}\).

Hướng Dẫn Giải

So sánh bằng cách so sánh hỗn số.

a) \(3\frac{5}{7} = 3 + \frac{5}{7}\) và \(3\frac{4}{7} = 3 + \frac{4}{7}\). Do \(\frac{5}{7} > \frac{4}{7}\) nên \(3\frac{5}{7} > 3\frac{4}{7}\).

Các phần b, c, d ta có được:

b) \(2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)                              c) \(1\frac{7}{9} < 2\frac{1}{9}\);                               d) \(4\frac{1}{5} < 4\frac{2}{3}\)

Hướng Dẫn Giải

\(\frac{5}{7} > \frac{5}{9} > \frac{5}{{11}} > \frac{5}{{13}}\) nên chọn B. \(\frac{5}{7}\)

Hướng Dẫn Giải

Chọn A. \(\frac{{19}}{{19}}\)

Hướng Dẫn Giải

Chọn C. \(\frac{{21}}{{20}}\)

Hướng Dẫn Giải

Rút gọn các phân số:

\(\frac{{15}}{{42}} = \frac{{15:3}}{{42:3}} = \frac{5}{{14}}\);                                         \(\frac{6}{{21}} = \frac{{6:3}}{{21:3}} = \frac{2}{7}\);

\(\frac{{39}}{{91}} = \frac{{39:13}}{{91:13}} = \frac{3}{7}\);

Vậy chọn phương án C. \(\frac{{39}}{{91}}\)

Hướng Dẫn Giải

Thấy \(\frac{5}{9} < \frac{5}{8}\) mà \(\frac{5}{8} > \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). Do vậy chọn C. \(\frac{5}{9}\)

Hướng Dẫn Giải

Chọn B. \(\frac{2}{3}\). Do \(\frac{2}{3} = \frac{{2 \times 3}}{{3 \times 3}} = \frac{6}{9} > \frac{4}{9}\)

Hướng Dẫn Giải

Ta có: \(\frac{{55}}{8} = 6\frac{7}{8}\). Lại có: \(6\frac{7}{8} < 7 < 7\frac{1}{9}\). Nên x = 7.

Hướng Dẫn Giải

a) \(\frac{x}{5} = \frac{{x \times 7}}{{5 \times 7}} = \frac{{x \times 7}}{{35}}\) và \(\frac{3}{7} = \frac{{3 \times 5}}{{7 \times 5}} = \frac{{15}}{{35}}\).

Suy ra: \(\frac{{x \times 7}}{{35}} < \frac{{15}}{{35}} \to x \times 7 < 15 \to x < 3\). Do chọn x lớn nhất nên x = 2.

b) \(1 < \frac{{11}}{x} < 2 \to \frac{x}{x} < \frac{{11}}{x} < \frac{{2 \times x}}{x} \to x < 11 < 2 \times x\). Do chọn x lớn nhất nên x = 10.

Hướng Dẫn Giải

a) Tử số = \(1991 \times 1999 = 1991 \times (1995 + 4) = 1991 \times 1995 + 4 \times 1991\).

Mẫu số = \(1995 \times 1995 = (1991 + 4) \times 1995 = 1991 \times 1995 + 4 \times 1995\).

Vì \(4 \times 1991 < 4 \times 1995\) nên tử số < mẫu số => \(\frac{{1991 \times 1999}}{{1995 \times 1995}} < 1\).

b) Ta có: \(201520152015 \times 201620162016 = 201620162016 \times 201520152015\)

Do đó: \(\frac{{201520152015 \times 201620162016}}{{201620162016 \times 201520152015}} = 1\).

Ta có:

\(\frac{1}{{31}} > \frac{1}{{60}}\);     \(\frac{1}{{32}} > \frac{1}{{60}}\);    ...;      \(\frac{1}{{59}} > \frac{1}{{60}}\);           \(\frac{1}{{60}} = \frac{1}{{60}}\).

Nên: \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ... + \frac{1}{{60}} > \underbrace {\frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}}}_{} + ... + \frac{1}{{60}} = 30 \times \frac{1}{{60}} = \frac{1}{2}\)

30 phân số \(\frac{1}{{60}}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{{61}} > \frac{1}{{90}}\);     \(\frac{1}{{62}} > \frac{1}{{90}}\);    ...;      \(\frac{1}{{89}} > \frac{1}{{90}}\); \(\frac{1}{{90}} = \frac{1}{{90}}\).

Nên: \(\frac{1}{{61}} + \frac{1}{{62}} + ... + \frac{1}{{89}} + \frac{1}{{90}} > \underbrace {\frac{1}{{90}} + \frac{1}{{90}} + ... + \frac{1}{{90}} + \frac{1}{{90}}}_{} = 30 \times \frac{1}{{90}} = \frac{1}{3}\)

30 phân số \(\frac{1}{{90}}\)

Do đó: \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ... + \frac{1}{{89}} + \frac{1}{{90}} > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\)

Hướng Dẫn Giải

Ta có: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{25}} + ... + \frac{1}{{9801}} + \frac{1}{{10000}}\)

\( = \frac{1}{4} + \frac{1}{{3 \times 3}} + \frac{1}{{4 \times 4}} + \frac{1}{{5 \times 5}} + ... + \frac{1}{{99 \times 99}} + \frac{1}{{100 \times 100}}\)

Thấy: \(\frac{1}{4} + \left( {\frac{1}{{3 \times 3}} + \frac{1}{{4 \times 4}} + \frac{1}{{5 \times 5}} + ... + \frac{1}{{99 \times 99}} + \frac{1}{{100 \times 100}}} \right)\)

\( < \frac{1}{4} + (\frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + ... + \frac{1}{{98 \times 99}} + \frac{1}{{99 \times 100}})\)

Ta có: \(\frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + ... + \frac{1}{{98 \times 99}} + \frac{1}{{99 \times 100}}\)

\( = \frac{{3 - 2}}{{2 \times 3}} + \frac{{4 - 3}}{{3 \times 4}} + ... + \frac{{99 - 98}}{{98 \times 99}} + \frac{{100 - 99}}{{99 \times 100}}\)

\( = \frac{3}{{2 \times 3}} - \,\frac{2}{{2 \times 3}} + \frac{4}{{3 \times 4}} - \frac{4}{{3 \times 4}} + ... + \frac{{99}}{{98 \times 99}} - \frac{{98}}{{98 \times 99}} + \frac{{100}}{{99 \times 100}} - \frac{{99}}{{99 \times 100}}\)

\( = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\)\( = \frac{1}{2} - \frac{1}{{100}}\)

Suy ra \(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{25}} + ... + \frac{1}{{9801}} + \frac{1}{{10000}} < \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{100}} = \frac{3}{4} - \frac{1}{{100}} < \frac{3}{4}\)

Vậy \(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{25}} + ... + \frac{1}{{9801}} + \frac{1}{{10000}} < \frac{3}{4}\)

Hướng Dẫn Giải

\(100 - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}})\)

\( = \underbrace {(1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1)}_{} - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}})\)

100 số 1

\( = (1 - 1) + (1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{1}{3}) + ... + (1 - \frac{1}{{99}}) + (1 - \frac{1}{{100}})\)

\( = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + ... + \frac{{98}}{{99}} + \frac{{99}}{{100}}\)

\( = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + ... + \frac{{98}}{{99}} + \frac{{99}}{{100}}\)

Vậy: \(100 - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + ... + \frac{{99}}{{100}})\)