191 câu Bài tập số phức mức độ cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết(P2)

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{yi} (\mathrm{x};\mathrm{y}\in \mathrm{ℝ}) \\ \mathrm{Theo} \mathrm{ĐB}: \left|\mathrm{z}-1+3\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{x}-1+(\mathrm{y}-3)\mathrm{i}\right|=\sqrt{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+{(\mathrm{y}-3)}^2}=2 \\ \Rightarrow {\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+{(\mathrm{y}-3)}^2=4 \\ \mathrm{Tập} \mathrm{hợp} \mathrm{các} \mathrm{điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{z} \mathrm{nằm} \mathrm{trên} \mathrm{đường} \mathrm{tròn} \mathrm{tâm} \mathrm{I}(1;3) \mathrm{và} \mathrm{R}=2 \end{gathered}$$

Từ hình vẽ suy ra: ${\left|z\right|}_{max}=OI+R=\sqrt{10}+2$

Đáp án A

M(2;-1) là điểm biểu diễn số phức $\overline{z}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overline{\mathrm{z}}=2-\mathrm{i} \\ \Rightarrow \mathrm{z}=2+\mathrm{i} \end{gathered}$$

Đáp án C

Thay từng các đáp án, nếu thấy 2 vế của phương trình bằng nhau thì đáp án đó là nghiệm của phương trình

Đáp án D

$$\begin{gathered} z_1=z_2\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=a_2\\ b_1=b_2\end{array}\right. \\ nhưng \left|z_1\right|=\left|z_2\right|\iff a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2 \\ {z}_1=\overline{z_2}\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=a_2\\ b_1=-b_2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=a_2\\ -b_1=b_2\end{array}\right.\iff z_2=\overline{z_1} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} Đặt z=a+bi (a;b\in \mathrm{ℝ}). \mathrm{Ta} \mathrm{có}: \\ \left|\mathrm{z}+2\mathrm{i}-1\right|=\left|\mathrm{i}\right| \\ \iff \sqrt{{\left(\mathrm{a}-1\right)}^2+{(\mathrm{b}+2)}^2}=1 \\ \iff {\left(\mathrm{a}-1\right)}^2+{(\mathrm{b}+2)}^2=1\iff {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{a}+4\mathrm{b}+1+4=1 \\ \iff {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=2\mathrm{a}-4\mathrm{b}-4 \left(1\right) \\ \mathrm{Và} \left|\mathrm{z}+3-\mathrm{i}\right|=4 \\ \iff {(\mathrm{a}+3)}^2+{(\mathrm{b}-1)}^2=16\iff {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+6\mathrm{a}-2\mathrm{b}+9+1=16 \\ \iff {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=-6\mathrm{a}+2\mathrm{b}+6 \left(2\right) \\ \mathrm{Từ} \left(1\right) \mathrm{và} \left(2\right) \Rightarrow 2\mathrm{a}-4\mathrm{b}-4=-6\mathrm{a}+2\mathrm{b}+6 \\ \iff 8\mathrm{a}-6\mathrm{b}=10 \\ \iff \mathrm{a}=\frac{10+6\mathrm{b}}{8}=\frac{5+3\mathrm{b}}{4}. \mathrm{Thay} \mathrm{vào} \left(1\right) \\ {\left(\frac{5+3\mathrm{b}}{4}\right)}^2+{\mathrm{b}}^2=2.\frac{5+3\mathrm{b}}{4}-4\mathrm{b}-4 \\ \iff {(5+3\mathrm{b})}^2+16{\mathrm{b}}^2=8(5\mathrm{b}+3)-64\mathrm{b}-64 \\ \iff \mathrm{b}=\frac{-7}{5} \Rightarrow \mathrm{a}=\frac{1}{5} \\ \mathrm{KL}: \mathrm{Có} 1 \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \mathrm{bài} \mathrm{toán} \end{gathered}$$

Đáp án C

Gọi A (-1;1); O(0;0); và M(a;b) thuộc tập hợp các điểm thuộc (d) biểu diễn số phức z

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}=(\mathrm{a}+1;\mathrm{b}-1) \mathrm{biêu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{w}=\mathrm{z}+1-\mathrm{i} \\ \Rightarrow \left|\mathrm{w}\right|=\mathrm{AM} \\ \mathrm{Nhận} \mathrm{xét}: \mathrm{Để} {\mathrm{AM}}_{\min } \mathrm{thì} {\mathrm{OM}}_{\min } \mathrm{do} \mathrm{OA} \mathrm{cố} \mathrm{định} \\ \mathrm{Từ} \mathrm{hình} \mathrm{vẽ} \mathrm{ta} \mathrm{thấy} {\mathrm{OM}}_{\min }\iff \mathrm{OM}\perp \mathrm{d} \mathrm{hay} \mathrm{OM}\equiv \mathrm{OH} \\ \mathrm{Mặt} \mathrm{khác} \mathrm{OH}=\mathrm{d}(\mathrm{O};\mathrm{d})=\frac{\left|-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2} \\ \mathrm{Từ} \mathrm{hình} \mathrm{vẽ} \mathrm{ta} \mathrm{thấy} 3 \mathrm{điểm} \mathrm{A}; \mathrm{O}; \mathrm{H} \mathrm{thẳng} \mathrm{hàng} \\ \Rightarrow {\mathrm{AM}}_{\min }=\mathrm{AH}=\mathrm{OH}+\mathrm{OA}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{w}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} (\mathrm{a};\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ}). \mathrm{Ta} \mathrm{có} \mathrm{z}=1+2\mathrm{i} \\ \mathrm{Mặt} \mathrm{khác} \mathrm{z}, \mathrm{w} \mathrm{là} 2 \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{được} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{bởi} \mathrm{hai} \mathrm{điểm} \mathrm{đối} \mathrm{xứng} \mathrm{nhau} \mathrm{qua} \mathrm{trục} \mathrm{Oy} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-1\\ \mathrm{b}=2\end{array}\Rightarrow \mathrm{w}=-1+2\mathrm{i}\right. \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} {(\mathrm{z}-1)}^4=5 \iff \left\{\begin{array}{l}{(\mathrm{z}-1)}^2=\sqrt{5}\\ {(\mathrm{z}-1)}^2=-\sqrt{5}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{z}}^2-2\mathrm{z}+1-\sqrt{5}=0 \left(1\right)\\ {\mathrm{z}}^2-2\mathrm{z}+1+\sqrt{5}=0 \left(2\right)\end{array}\right. \\ \mathrm{Gọi} {\mathrm{z}}_1;{\mathrm{z}}_2 \mathrm{là} \mathrm{nghiệm} \mathrm{phức} \mathrm{của} \left(1\right) \Rightarrow {\mathrm{z}}_1+{\mathrm{z}}_2=2 \\ \mathrm{Và} {\mathrm{z}}_3;{\mathrm{z}}_4 \mathrm{là} \mathrm{nghiệm} \mathrm{phức} \mathrm{của} \left(2\right) \Rightarrow {\mathrm{z}}_3+{\mathrm{z}}_4=2 \\ \Rightarrow \mathrm{S}={\mathrm{z}}_1+{\mathrm{z}}_2+{\mathrm{z}}_3+{\mathrm{z}}_4=2+2=4 \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{yi} (\mathrm{x};\mathrm{y}\in \mathrm{ℝ}) \\ \Rightarrow \mathrm{w}=\frac{\mathrm{z}}{1-\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{z}(1+\mathrm{i})}{1-{\mathrm{i}}^2}=\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{yi})(1+\mathrm{i})}{2}=\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}+(\mathrm{x}+\mathrm{y})\mathrm{i}}{2} \\ \mathrm{Gọi} \mathrm{M}(\mathrm{x};\mathrm{y}) \mathrm{là} \mathrm{điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{z} \\ \mathrm{và} \mathrm{N}\left(\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2};\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}\right) \mathrm{là} \mathrm{điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{w} \\ \mathrm{Ta} \mathrm{có}: \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right) \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\left(\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2};\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}\right) \\ {\mathrm{S}}_{∆\mathrm{OMN}}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}\mathrm{x}& \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}\\ \mathrm{y}& \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left(\mathrm{x}.\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}-\mathrm{y}.\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}\right)=1 \\ \iff \frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{xy}}{2}-\frac{\mathrm{xy}-{\mathrm{y}}^2}{2}=2 \\ \iff {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=4 \\ \iff \sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}=2 \iff \left|\mathrm{z}\right|=2 \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} \mathrm{z}=\frac{1-2\mathrm{i}}{4+3\mathrm{i}}=\frac{-2}{25}-\frac{11}{25}\mathrm{i} \Rightarrow \overline{\mathrm{z}}=\frac{-2}{25}+\frac{11}{25}\mathrm{i} \\ \mathrm{Trong} 4 \mathrm{đáp} \mathrm{án} \mathrm{ta} \mathrm{thấy} \mathrm{đáp} \mathrm{án} \mathrm{C}: \frac{1+2\mathrm{i}}{4-3\mathrm{i}}=\frac{-2}{25}+\frac{11}{25}\mathrm{i} \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} \mathrm{Giải} \mathrm{PT}: 2{\mathrm{z}}^2-5\mathrm{z}+4=0\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{z}}_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}\\ {\mathrm{z}}_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}\right. \\ \mathrm{Ta} \mathrm{thấy} {\mathrm{z}}_1 \mathrm{và} {\mathrm{z}}_2 \mathrm{là} 2 \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{liên} \mathrm{hợp} \mathrm{của} \mathrm{nhau} \\ \Rightarrow \mathrm{S}={\mathrm{z}}_1^2.\overline{{\mathrm{z}}_2}+{\mathrm{z}}_2^2.\overline{{\mathrm{z}}_1}={\mathrm{z}}_1^3+{\mathrm{z}}_2^3=\left({\mathrm{z}}_1+{\mathrm{z}}_2\right)\left[{\left({\mathrm{z}}_1+{\mathrm{z}}_2\right)}^2-3{\mathrm{z}}_1{\mathrm{z}}_2\right] \\ \mathrm{Áp} \mathrm{dụng} \mathrm{định} \mathrm{lý} \mathrm{Vi}-\mathrm{ét}: \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{z}}_1+{\mathrm{z}}_2=\frac{5}{2}\\ {\mathrm{z}}_1{\mathrm{z}}_2=2\end{array}\right. \\ \Rightarrow \mathrm{S}=\frac{5}{2}\left[{\left(\frac{5}{2}\right)}^2-3.2\right]=\frac{5}{8} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} (\mathrm{a};\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ}) \\ \mathrm{z}\in \mathrm{ℝ}\iff \mathrm{b}=0 \\ \mathrm{Ta} \mathrm{có}: \left|\mathrm{z}-1-2\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{a}-1+(\mathrm{b}-2)\mathrm{i}\right|=\sqrt{{(\mathrm{a}-1)}^2+{(\mathrm{b}-2)}^2}=2 (*) \\ \mathrm{Mặt} \mathrm{khác}: \mathrm{iz}=\mathrm{i}(\mathrm{a}+\mathrm{bi})=-\mathrm{b}+\mathrm{ai} \in \mathrm{ℝ} \iff \mathrm{a}=0 \\ \mathrm{TH}1: \mathrm{a}=0 \mathrm{thì} (*)\iff \sqrt{1+{(\mathrm{b}-2)}^2}=2 \\ \iff 1+{(\mathrm{b}-2)}^2=4 \\ \iff \mathrm{b}=2+\sqrt{3} \mathrm{hoặc} \mathrm{b}=2-\sqrt{3} \\ \mathrm{TH}2: \mathrm{b}=0 \mathrm{thì} (*)\iff \sqrt{{(\mathrm{a}-1)}^2+4}=2 \\ \iff {(\mathrm{a}-1)}^2+4=4 \\ \iff \mathrm{a}=1 \end{gathered}$$

KL: Có 3 số phức z thỏa mãn bài toán

Đáp án C

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{yi} (\mathrm{x};\mathrm{y}\in \mathrm{ℝ}) \\ \mathrm{Từ} \mathrm{ĐB}\Rightarrow \left|\mathrm{x}+(\mathrm{y}-2)\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{x}-4+(\mathrm{y}+1)\mathrm{i}\right| \\ \iff {\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}-2)}^2={\left(\mathrm{x}-4\right)}^2+{(\mathrm{y}+1)}^2 \iff -4\mathrm{y}+4=-8\mathrm{x}+16+2\mathrm{y}+1 \\ \iff 8\mathrm{x}-6\mathrm{y}-13=0 \left(\mathrm{d}\right) \\ \mathrm{Gọi} \mathrm{M}(\mathrm{x};\mathrm{y})\in \left(\mathrm{d}\right) \mathrm{thì}\left|\mathrm{z}\right|=\mathrm{OM} \\ {\left|\mathrm{z}\right|}_{\min }\iff {\mathrm{OM}}_{\min } \end{gathered}$$

Từ hình vẽ ta thấy OM_min khi 

$$\begin{gathered} \mathrm{OM}\perp \mathrm{d} \mathrm{hay} \mathrm{OM}\equiv \mathrm{OH} \\ \mathrm{Mặt} \mathrm{khác} \mathrm{OH}=\mathrm{d}(\mathrm{O};\mathrm{d})=\frac{\left|-13\right|}{\sqrt{8^2+6^2}}=\frac{13}{10} \\ \Rightarrow {\left|\mathrm{z}\right|}_{\min }=\mathrm{OH}=\frac{13}{10} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} {\mathrm{z}}_1=\mathrm{a}+\mathrm{bi} \mathrm{và} {\mathrm{z}}_2=\mathrm{c}+\mathrm{di} (\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c};\mathrm{d}\in \mathrm{ℝ}) \\ \Rightarrow {\mathrm{M}}_1(\mathrm{a};\mathrm{b}) \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} {\mathrm{z}}_1 \mathrm{và} {\mathrm{M}}_2(\mathrm{c};\mathrm{d}) \mathrm{bểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} {\mathrm{z}}_2 \\ \Rightarrow \overline{{\mathrm{z}}_2}=\mathrm{c}-\mathrm{di} \\ \mathrm{Mà} {\mathrm{z}}_1=\overline{{\mathrm{z}}_2}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\mathrm{c}\\ \mathrm{b}=-\mathrm{d}\end{array}\right. \\ \Rightarrow {\mathrm{M}}_1 \mathrm{và} {\mathrm{M}}_2 \mathrm{đối} \mathrm{xứng} \mathrm{nhau} \mathrm{qua} \mathrm{trục} \mathrm{Ox} \end{gathered}$$

Đáp án D

Thay từng đáp án vào PT:

$$\begin{gathered} \mathrm{Với} \mathrm{z}=0 \mathrm{thì} \mathrm{PT} \mathrm{trở} \mathrm{thành} {\left(0-2\right)}^4=2^4=16 ( \mathrm{đúng}) \\ \Rightarrow \mathrm{z}=0 \mathrm{là} \mathrm{nghiệm} \mathrm{của} \mathrm{PT} \\ \mathrm{Với} \mathrm{z}=2-2\mathrm{i} \mathrm{thì} \mathrm{PT}\hspace{0.17em}\mathrm{trở} \mathrm{thành}: \\ {(2-2\mathrm{i}-2)}^4=(-2\mathrm{i}{)}^4=16.{\mathrm{i}}^4=16 ( \mathrm{đúng}) \\ \Rightarrow \mathrm{z}=2-2\mathrm{i} \mathrm{là} \mathrm{nghiệm} \mathrm{của} \mathrm{PT} \\ \mathrm{Với} \mathrm{z}=2+2\mathrm{i} \mathrm{thì} \mathrm{PT}\hspace{0.17em}\mathrm{trở} \mathrm{thành}: \\ {(2+2\mathrm{i}-2)}^4=(2\mathrm{i}{)}^4=16.{\mathrm{i}}^4=16 ( \mathrm{đúng}) \\ \Rightarrow \mathrm{z}=2+2\mathrm{i} \mathrm{là} \mathrm{nghiệm} \mathrm{của} \mathrm{PT} \\ \mathrm{Với} \mathrm{z}=-2-2\mathrm{i} \mathrm{thì} \mathrm{PT}\hspace{0.17em}\mathrm{trở} \mathrm{thành}: \\ {(-2-2\mathrm{i}-2)}^4=(-4-2\mathrm{i}{)}^4 \ne 16 ( \mathrm{sai}) \\ \Rightarrow \mathrm{z}=-2-2\mathrm{i} \mathrm{không} \mathrm{là} \mathrm{nghiệm} \mathrm{của} \mathrm{PT} \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} \mathrm{z}={\left(\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)}^{2\mathrm{n}}={\left[{\left(\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)}^2\right]}^{\mathrm{n}}={\left(\frac{2\mathrm{i}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{i}}^{\mathrm{n}} \\ \mathrm{Với}: \\ \mathrm{n}=1 \mathrm{thì} \mathrm{z}=\mathrm{i} \\ \mathrm{n}=2 \mathrm{thì} \mathrm{z}={\mathrm{i}}^2=-1 \\ \mathrm{n}=3 \mathrm{thì} \mathrm{z}={\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i} \\ \mathrm{n}=4 \mathrm{thì} \mathrm{z}={\mathrm{i}}^4=1 \\ \mathrm{NX}: {\mathrm{i}}^{2\mathrm{n}+2}={\mathrm{i}}^2.{\left({\mathrm{i}}^2\right)}^{\mathrm{n}}=(-1).{(-1)}^{\mathrm{n}}={(-1)}^{\mathrm{n}+1} \\ và {\mathrm{i}}^{2\mathrm{n}+1}=\mathrm{i}.{\mathrm{i}}^{2\mathrm{n}}=\mathrm{i}.{(-1)}^{\mathrm{n}} \\ \mathrm{KL}: \mathrm{Với} \mathrm{n}\in \left\{1;2;...;20\right\} \mathrm{thì} \mathrm{z}\in \left\{\pm 1;\pm \mathrm{i}\right\} \end{gathered}$$

Đáp án D

Thay từng các đáp án, nếu thấy 2 vế của phương trình bằng nhau thì đáp án đó là nghiệm của phương trình

Đáp án C

Đáp án A

Ta thấy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là Elip có độ dài trục lớn là 2a = 4, tiêu cự là 2c = 2

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{b}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{c}}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3} \\ \Rightarrow \min \left|\mathrm{z}\right|=\sqrt{3} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} Do z là số thuần ảo và khác 0 \\ \Rightarrow Đặt z=ai (a\ne 0) \Rightarrow M(0;a) biểu diễn số phức z \\ \Rightarrow Điểm M nằm trên trục tung \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} z=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})i \\ \Rightarrow \overline{z}=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})i=(2+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-2)i \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} z=3(1+i)-4(1-i)=3+3i-4+4i=-1+7i \\ \Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{{(-1)}^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \end{gathered}$$

Đáp án D

Thay từng các đáp án, nếu thấy 2 vế của phương trình bằng nhau thì đáp án đó là nghiệm của phương trình