191 câu Bài tập số phức mức độ cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết(P1)

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{z}={(1-2\mathrm{i})}^2=1-4\mathrm{i}+4{\mathrm{i}}^2=1-4\mathrm{i}-4=-3-4\mathrm{i} \\ \Rightarrow \overline{\mathrm{z}}=-3+4\mathrm{i} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} {\mathrm{z}}_1=-1+2\mathrm{i} \Rightarrow \left|{\mathrm{z}}_1\right|=\sqrt{{(-1)}^2+2^2}=\sqrt{5} \\ {\mathrm{z}}_2=-1-2\mathrm{i} \Rightarrow \left|{\mathrm{z}}_2\right|=\sqrt{{(-1)}^2+{(-2)}^2}=\sqrt{5} \\ \Rightarrow {\left|{\mathrm{z}}_1\right|}^2+{\left|{\mathrm{z}}_2\right|}^2=5+5=10 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} \mathrm{Ta} \mathrm{dễ} \mathrm{dàng} \mathrm{suy} \mathrm{ra} \mathrm{nghiệm} \mathrm{còn} \mathrm{lại} \mathrm{của} \mathrm{phương} \mathrm{trình} \mathrm{là} {\mathrm{z}}_2=-2-\mathrm{i} \\ \mathrm{Áp} \mathrm{dụng} \mathrm{hệ} \mathrm{thức} \mathrm{Vi}-\mathrm{ét}: \\ \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{z}}_1 +{\mathrm{z}}_2=-2+\mathrm{i}-2-\mathrm{i}=-\mathrm{a}\Rightarrow \mathrm{a}=4\\ {\mathrm{z}}_1{\mathrm{z}}_2=\left(-2+\mathrm{i}\right)\left(-2-\mathrm{i}\right)={(-2)}^2-{\mathrm{i}}^2=4+1=5=\mathrm{b}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}=4+5=9 \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} (\mathrm{a};\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ}) \\ \mathrm{Ta} \mathrm{có}: \left|\mathrm{z}+\mathrm{i}\right|=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\left(\mathrm{b}+1\right)}^2}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+2\mathrm{b}+1}=\sqrt{{\left|\mathrm{z}\right|}^2+2\mathrm{b}+1} \\ \mathrm{Tương} \mathrm{tự}: \left|\mathrm{z}-\mathrm{i}\right|=\sqrt{{\left|\mathrm{z}\right|}^2-2\mathrm{b}+1} \\ \mathrm{Áp} \mathrm{dụng} \mathrm{BĐT} \mathrm{bunhiacopski} \mathrm{dạng} \left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)\left({\mathrm{c}}^2+{\mathrm{d}}^2\right)\le {\left(\mathrm{ac}+\mathrm{bd}\right)}^2 \\ \Rightarrow 4\left|\mathrm{z}+\mathrm{i}\right|+3\left|\mathrm{z}-\mathrm{i}\right|\le \sqrt{4^2+3^2}.\sqrt{{\left|\mathrm{z}+\mathrm{i}\right|}^2+{\left|\mathrm{z}-\mathrm{i}\right|}^2} \\ \iff 10\le 5\sqrt{{\left|\mathrm{z}\right|}^2+2\mathrm{b}+1+{\left|\mathrm{z}\right|}^2-2\mathrm{b}+1}=5\sqrt{2{\left|\mathrm{z}\right|}^2+2} \\ \iff 4\le 2{\left|\mathrm{z}\right|}^2+2 \\ \iff {\left|\mathrm{z}\right|}^2\ge 1\iff \left|\mathrm{z}\right|\ge 1 \\ \mathrm{KL}: {\left|\mathrm{z}\right|}_{\min }=1 \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} \mathrm{z}=(1+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})=2-\mathrm{i}+2\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2=2+\mathrm{i}+1=3+\mathrm{i} \\ \Rightarrow \mathrm{Điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{z} \mathrm{là} \mathrm{Q}(3;1) \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} \mathrm{Gọi} \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} (\mathrm{a};\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ})\Rightarrow \overline{\mathrm{z}}=\mathrm{a}-\mathrm{bi} \\ \Rightarrow \left|\overline{\mathrm{z}}+2-\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{a}+2-(\mathrm{b}+1)\mathrm{i}\right|=\sqrt{{(\mathrm{a}+2)}^2+{(\mathrm{b}+1)}^2}=4 \\ \Rightarrow {(\mathrm{a}+2)}^2+{(\mathrm{b}+1)}^2=16 \\ \mathrm{KL}: \mathrm{Tập} \mathrm{hợp} \mathrm{tất} \mathrm{cả} \mathrm{các} \mathrm{điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{z} \mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \mathrm{đề} \mathrm{bài} \mathrm{nằm} \mathrm{trên} \\ \mathrm{đường} \mathrm{tròn} \mathrm{tâm} \mathrm{I}(-2;-1), \mathrm{bán} \mathrm{kính} \mathrm{R}=4 \end{gathered}$$

Đáp án D

Đáp án A

Điểm M(2;-1) biểu diễn số phức z = 2-i

Đáp án C

Gọi z = x+yi (x;y$\in \mathrm{ℝ}$)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left|\mathrm{z}-1+\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{x}-1+(\mathrm{y}+1)\mathrm{i}\right|=\sqrt{{(\mathrm{x}-1)}^2+{(\mathrm{y}+1)}^2}=2 \\ \Rightarrow {(\mathrm{x}-1)}^2+{(\mathrm{y}+1)}^2=4 \\ \mathrm{KL}: \mathrm{Tập} \mathrm{hợp} \mathrm{các} \mathrm{điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{z} \mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \mathrm{yêu} \mathrm{cầu} \mathrm{bài} \mathrm{toán} \\ \mathrm{năm} \mathrm{trên} \mathrm{đường} \mathrm{tròn} \mathrm{tâm} \mathrm{I}(1;-1) \mathrm{có} \mathrm{bán} \mathrm{kính} \mathrm{R}=2 \\ \mathbf{Tổng}\mathbf{ }\mathbf{quát}\mathbf{:}\mathbf{ } \\ \mathrm{Nếu} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{z} \mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \left|\mathrm{z}-\mathrm{a}+\mathrm{bi}\right|=\mathrm{c} \mathrm{thì} \mathrm{tập} \mathrm{hợp} \mathrm{các} \mathrm{điểm} \mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \\ \mathrm{nằm} \mathrm{trên} \mathrm{đường} \mathrm{tròn} \mathrm{tâm} \mathrm{I}(\mathrm{a};-\mathrm{b}) \mathrm{có} \mathrm{bán} \mathrm{kính} \mathrm{R}=\mathrm{c} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{Giải} \mathrm{PT}: {\mathrm{z}}^2+2\mathrm{z}+10=0\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{z}}_1=-1+3\mathrm{i}\\ {\mathrm{z}}_2=-1-3\mathrm{i}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left|{\mathrm{z}}_1^2\right|=\left|{\left(-1+3\mathrm{i}\right)}^2\right|=\left|1-6\mathrm{i}+9{\mathrm{i}}^2\right|=\left|-8-6\mathrm{i}\right|=10 \\ \mathrm{tương} \mathrm{tự}: \left|{\mathrm{z}}_2^2\right|=\left|{\left(-1-3\mathrm{i}\right)}^2\right|=\left|1+6\mathrm{i}+9{\mathrm{i}}^2\right|=\left|-8+6\mathrm{i}\right|=10 \\ \Rightarrow \left|{\mathrm{z}}_1^2\right|+\left|{\mathrm{z}}_2^2\right|=10+10=20 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} \mathrm{Ta} \mathrm{có}: \mathrm{x}(3+2\mathrm{i})+\mathrm{y}(1-4\mathrm{i})=3\mathrm{x}+\mathrm{y}+(2\mathrm{x}-4\mathrm{y})\mathrm{i}=11+12\mathrm{i} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+\mathrm{y}=11\\ 2\mathrm{x}-4\mathrm{y}=12\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4\\ \mathrm{y}=-1\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}=4-1=3 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} \left(2\mathrm{x}-3\mathrm{yi}\right)+1-3\mathrm{i}=2\mathrm{x}+1-(3\mathrm{y}+3)\mathrm{i}=\mathrm{x}+6\mathrm{i} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+1=\mathrm{x}\\ 3\mathrm{y}+3=-6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1\\ \mathrm{y}=-3\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} \mathrm{Gọi} \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} (\mathrm{a};\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ})\Rightarrow \overline{\mathrm{z}}=\mathrm{a}-\mathrm{bi} \\ \Rightarrow (\overline{\mathrm{z}}+\mathrm{i})(\mathrm{z}+2)=\left(\mathrm{a}-\mathrm{bi}+\mathrm{i}\right)(\mathrm{a}+\mathrm{bi}+2)=[\mathrm{a}+(1-\mathrm{b}\left)\mathrm{i}\right][\mathrm{a}+2+\mathrm{bi}] \\ =\mathrm{a}(\mathrm{a}+2)+\mathrm{abi}+(\mathrm{a}+2)(1-\mathrm{b})\mathrm{i}+\mathrm{b}(1-\mathrm{b}){\mathrm{i}}^2 \\ ={\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}-\mathrm{b}(1-\mathrm{b})+[\mathrm{ab}+(\mathrm{a}+2\left)\right(1-\mathrm{b}\left)\right]\mathrm{i} \\ ={\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}+{\mathrm{b}}^2-\mathrm{b}+(\mathrm{a}+2-2\mathrm{b})\mathrm{i} (*) \\ \mathrm{Để} (*) \mathrm{là} \mathrm{số} \mathrm{thuần} \mathrm{ảo} \mathrm{thì} {\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}+{\mathrm{b}}^2-\mathrm{b}=0 \\ \iff {(\mathrm{a}+1)}^2+{\left(\mathrm{b}-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}-1=0 \\ \iff {(\mathrm{a}+1)}^2+{\left(\mathrm{b}-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4} \\ \Rightarrow \mathrm{Tập} \mathrm{hợp} \mathrm{các} \mathrm{điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{các} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{z} \mathrm{là} \mathrm{đường} \mathrm{tròn} \\ \mathrm{tâm} \mathrm{I}\left(-1;\frac{1}{2}\right), \mathrm{bán} \mathrm{kính} \mathrm{R}=\frac{\sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

Đáp án B

Đáp án D

Số phức z = a+bi có phần thực là a, phần ảo là b nên

Số phức z = -3+7i có phần ảo là 7

Đáp án C

Số phức z = a+bi có phần thực là a, phần ảo là b nên

Số phức z = 5+2i có phần ảo là 2

Đáp án A

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} (\mathrm{a};\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ}) \\ \left|\mathrm{z}+2\right|=\left|\mathrm{z}-\mathrm{i}\right| \\ \iff \left|\mathrm{a}+2+\mathrm{bi}\right|=\left|\mathrm{a}+(\mathrm{b}-1)\mathrm{i}\right| \\ \iff {\left(\mathrm{a}+2\right)}^2+{\mathrm{b}}^2={\mathrm{a}}^2+{(\mathrm{b}-1)}^2\iff 4\mathrm{a}+4=-2\mathrm{b}+1 \\ \iff 4\mathrm{a}+2\mathrm{b}+3=0 \\ \mathrm{KL}: \mathrm{Tập} \mathrm{hợp} \mathrm{các} \mathrm{điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{z} \mathrm{thoả} \mathrm{mãn} \mathrm{yêu} \mathrm{cầu} \mathrm{đề} \mathrm{bài} \\ \mathrm{nằm} \mathrm{trên} \mathrm{đường} \mathrm{thẳng} 4\mathrm{x}+2\mathrm{y}+3=0 \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án D

Số phức z = 6+7i có số phức liên hợp là $\overline{\mathrm{z}}=6-7\mathrm{i}$

Đáp án A

$$\begin{gathered} (1-2i)z+2-i=-12i \\ \iff (1-2i)z=-2-11i \\ \iff z=\frac{-2-11i}{1-2i}=\frac{(-2-11i)(1+2i)}{1^2-4i^2}=\frac{20-15i}{5}=4-3i \\ \Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{4^2+{(-3)}^2}=5 \end{gathered}$$

Đáp án B

Đáp án A

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{yi} (\mathrm{x};\mathrm{y}\in \mathrm{ℝ}) \Rightarrow \overline{\mathrm{z}}=\mathrm{x}-\mathrm{yi} \\ \mathrm{Theo} \mathrm{đề} \mathrm{bài}: {\mathrm{z}}^2={\left(\overline{\mathrm{z}}\right)}^2 \iff {(\mathrm{x}+\mathrm{yi})}^2={(\mathrm{x}-\mathrm{yi})}^2\iff {\mathrm{x}}^2+2\mathrm{xyi}-{\mathrm{y}}^2={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{xyi}-{\mathrm{y}}^2 \\ \iff 4\mathrm{xyi}=0 \\ \iff \mathrm{x}=0 \mathrm{hoặc} \mathrm{y}=0 \\ \mathrm{KL}: \mathrm{Tập} \mathrm{hợp} \mathrm{các} \mathrm{điểm} \mathrm{M} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{z} \mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \mathrm{yêu} \mathrm{cầu} \mathrm{bài} \mathrm{toán} \\ \mathrm{nằm} \mathrm{trên} \mathrm{trục} \mathrm{hoành} \mathrm{hoặc} \mathrm{nằm} \mathrm{trên} \mathrm{trục} \mathrm{tung} \end{gathered}$$

Đáp án D

Giải PT:

$$\begin{gathered} z^2-4z+5=0\iff \left\{\begin{array}{l}{z}_1=2+i\\ z_2=2-i\end{array}\right. \\ \Rightarrow z_1^2+z_2^2={(2+i)}^2+{(2-i)}^2=6 \end{gathered}$$

Đáp án C

Đặt A(3;2), B(−1;−2), C(2;1). Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diến của z, w.

Vì |z−3−2i| ≤ 1  nên tập hợp điểm biểu diễn của z trên hệ trục Oxy là hình tròn tâm A bán kính 1.

Vì |w+1+2i| ≤ |w−2−i|  nên tập hợp điểm biểu diễn của w trên hệ trục Oxy là nửa mặt phẳng bờ d chứa B và đường thẳng d. Trong đó d là trung trực của đoạn thẳng BC.

P = |z−w| = MN$|$, ${\mathrm{P}}_{\min }={\mathrm{MN}}_{\min }$

Dễ dàng kiểm tra được A, B, C thẳng hàng và MN ngắn nhất khi MN trùng với M₀N₀

Trong đó, N₀: trung điểm của BC, M₀: giao của AB và đường tròn (A;1).

Độ dài đoạn M₀N₀ = d(A;d) − R = d(A;d) − 1

Phương trình đường thẳng d có:

N₀ là trung điểm BC ⇒ N₀$\left(\frac{1}{2};\frac{-1}{2}\right)$

$\overrightarrow{BC}=(3;3)$ $\Rightarrow$ $\mathrm{d} \mathrm{có} 1 \mathrm{VTPT}\hspace{0.17em}\mathrm{là} (1;1)$

Phương trình đường thẳng d: 1$\left(x-\frac{1}{2}\right)$+1$\left(y-\frac{1}{2}\right)$ = 0 ⇔ x+y = 0

d(A;d) = $\frac{\left|3+2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$⇒ $M_0{N}_0=\frac{5}{\sqrt{2}}-1=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$

Vậy, $P_{min}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$

Đáp án B

Đáp án A

Đáp án C

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{z}= \mathrm{a}+\mathrm{bi} (\mathrm{a};\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ}) \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{z}+1}{\mathrm{z}-1}=1+\frac{2}{\mathrm{z}-1}=1+\frac{2}{\mathrm{a}-1+\mathrm{bi}} \\ =1+\frac{2(\mathrm{a}-1-\mathrm{bi})}{{(\mathrm{a}-1)}^2+{\mathrm{b}}^2}=1+\frac{2(\mathrm{a}-1)}{{(\mathrm{a}-1)}^2+{\mathrm{b}}^2}-\frac{2\mathrm{b}}{{(\mathrm{a}-1)}^2+{\mathrm{b}}^2}\mathrm{i} \\ \mathrm{Để} \frac{\mathrm{z}+1}{\mathrm{z}-1} \mathrm{là} \mathrm{số} \mathrm{thuần} \mathrm{ảo} \mathrm{thì} \left\{\begin{array}{l}1+\frac{2(\mathrm{a}-1)}{{(\mathrm{a}-1)}^2+{\mathrm{b}}^2}=0\\ \frac{-2\mathrm{b}}{{(\mathrm{a}-1)}^2+{\mathrm{b}}^2}\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}\ne 0\\ {(\mathrm{a}-1)}^2+{\mathrm{b}}^2+2(\mathrm{a}-1)=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}\ne 0\\ {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=1\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left|\mathrm{z}\right|=1 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{Ta} \mathrm{có} {\mathrm{i}}^{2\mathrm{k}}+{\mathrm{i}}^{2\mathrm{k}+2}={\mathrm{i}}^{2\mathrm{k}}(1+{\mathrm{i}}^2)=0 \\ \mathrm{và} {\mathrm{i}}^{2\mathrm{k}+1}+{\mathrm{i}}^{2\mathrm{k}+3}={\mathrm{i}}^{2\mathrm{k}+1}(1+{\mathrm{i}}^2)=0 \\ \Rightarrow 1+\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2+...+{\mathrm{i}}^{100}=1+(\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^3)+({\mathrm{i}}^2+{\mathrm{i}}^4)+...+({\mathrm{i}}^{97}+{\mathrm{i}}^{99})+({\mathrm{i}}^{98}+{\mathrm{i}}^{100}) \\ =1+0+0+...+0+0=1=\mathrm{a}+\mathrm{bi} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=1\\ \mathrm{b}=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} \mathrm{z}=\frac{1-\mathrm{i}.\tan {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}}{1+\mathrm{i}.\tan {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}}=\frac{\left(1-\mathrm{i}.\tan \frac{\mathrm{\pi }}{7}\right)\left(1-\mathrm{i}.\tan \frac{\mathrm{\pi }}{7}\right)}{1-{\mathrm{i}}^2.{\tan }^2{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}} \\ =\frac{1-{\tan }^2{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}-2\mathrm{i}.\tan {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}}{1+{\tan }^2{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}} \\ \Rightarrow \mathrm{Phần} \mathrm{thực} \mathrm{của} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{z} \mathrm{là}: \\ \mathrm{a}=\frac{1-{\tan }^2{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}}{1+{\tan }^2\frac{\mathrm{\pi }}{7}} =\frac{{\cos }^2{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}-{\sin }^2{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}}{{\cos }^2{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}+{\sin }^2{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{7}}} \\ =\cos \frac{2\mathrm{\pi }}{7} \end{gathered}$$

Đáp án C