175 câu Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải (P5)

Đáp án A

Cho số phức ,S(x;y) là điểm biểu diễn của z trên hệ trục tọa độ Oxy

Lấy các điểm A(2;-3),B(-2;-1)

Phương trình  

 Tập hợp các điểm S là đường elip (E) có tiêu điểm A(2;-3),B(-2;-1) và có độ dài trục lớn là  

Lấy M(4;-4).

Dễ dàng kiểm tra được  

Suy ra, M là một đỉnh và nằm trên trục lớn của elip (E).

Gọi I là trung điểm AB

I(0;-2) ,N là điểm đối xứng của M qua I.

Khi đó, với mọi điểm  

 khi và chỉ khi S trùng N

 khi và chỉ khi S$\equiv$N(-4;0)

z=-4

Đáp án A.

Ta có  

Đáp án B.

Ta có

Đáp án B.

Đặt  ta có:  

Đáp án B

Phương pháp:

Cách giải:

Đáp án A

Phương pháp :

Tìm nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình  bằng MTCT.

Cách giải:

Sử dụng MTCT ta tính được nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình trên là

Đáp án B

Phương pháp: Tìm các điểm biểu diễn và đưa về bài toán hình học.

Cách giải :

M, N là các điểm biểu diễn cho $z_1,z_3$

Gọi P là điểm biểu diễn cho $2z_3$và Q là điểm biểu diễn cho $-2z_3$

Ta có N là trung điểm của OP và P, Q đối xứng nhau qua O

Khi đó S=MP.MQ 

Áp dụng định lí Cosin trong $∆OMP$ có:

Áp dụng định lí Cosin trong $∆OMP$ có:

Đáp án B

Phương pháp : Đặt  

tìm GTLN của 

Cách giải : Đặt 

Ta có :

Đáp án A.

Phương pháp : Số phức z=a+bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M(a;b) trong đó a là phần thực và b là phần ảo.

Cách giải: M(3;-4)  

$\Rightarrow$Số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là -4.

Đáp án C.

Phương pháp: Sử dụng định lí Vi-et.

Cách giải: $z_1,z_2$  là hai nghiệm phức của phương trình $z^2+z+1=0$ nên theo định lí Vi-et ta có:  

Đáp án D.

Phương pháp: Chuyển vế, lấy mođun hai vế.

Cách giải:

Đáp án A.

Phương pháp:

Từ  tìm ra quỹ tích điểm M(x;y) biểu diễn cho số phức z=x+yi 

Gọi điểm M(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức z và A(-1;1) ;B(2;-3) ta có: 

 nhỏ nhất

Cách giải: Gọi z=x+ui ta có:

Gọi điểm M(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức z và A(-1;1) ;B(2;-3) ta có: 

 nhỏ nhất.

Ta có: 

Dấu bằng xảy ra 

 M thuộc trung trực của AB.

Gọi I là trung điểm của AB ta có  

Phương trình đường trung trực của AB là

Để  

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 

Đáp án B

Phương pháp giải: Áp dụng định lí Vi-et của phương trình bậc hai.

Lời giải: Ta có

Đáp án B

Phương pháp giải: Bấm máy hoặc khai triển bằng  tay tìm số phức w

Lời giải:

Đáp án A

Ta có

Đáp án A

Suy ra được nghiệm còn lại là

Đáp án B

Bổ đề. Cho hai số phức $z_1$và $z_2$, ta luôn có 

(*)

Chứng minh. Sử dụng công thức và .

Khi đó

Áp dụng (*), ta được 

Theo bất đằng thức Bunhiacopxki, ta được

Đáp án B

Phương pháp: Số phức liên hợp $\overline{z}$ của số phức z=a+bi,a,b$\in$R là $\overline{z}$=a-bi

Cách giải: Số phức liên hợp $\overline{z}$ của số phức z=2-3i là $\overline{z}$=2+3i

Đáp án C

Phương pháp: Giải phương trình phức bậc hai, suy ra các nghiệm và tính tổng bình phương môđun của các nghiệm đó.

Sử dụng công thức:  

Cách giải: 

Đáp án A

Phương pháp:

Cách giải:

Khi đó ta có:

Đáp án B

Phương pháp:

Điểm biểu diễn của số phức  là M(a;b)

Cách giải:

Số phức z=-4+3i được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ M(-4;3)

Đáp án A

Phương pháp:

Áp dụng định lí Vi –et, xác định tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn  

Cách giải:

Xét phương trình $3z^2-z+4=0$. Áp dụng định lý Vi-ét:  

Đáp án D

Phương pháp:

- Biểu diễn số phức và giải bài toán tìm GTLN trên mặt phẳng tọa độ.

Cách giải: Gọi I(1;1), J(-1;-3), A(2;3).

Xét số phức , có điểm biểu diễn là M(x;y)

M di chuyển trên đường elip có tiêu điểm I và J, độ dài trục lớn là $3\sqrt{5}$

Tìm giá trị lớn nhất của  tức là tìm độ dài lớn nhất của đoạn AM khi M di chuyển trên elip.

Ta có:

 điểm A nằm trên trục lớn của elip.

AM đạt độ  dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I.

Gọi S là trung điểm của IJ

S(0;-1) 

Độ dài đoạn AB=SA+SB 

Vậy

Đáp án D

Phương pháp:

+) Đặt  

, thay vào phương trình.

+) So sánh hai số phức  

Cách giải: Đặt 

, khi đó ta có:

Đáp án A

Phương pháp : Sử dụng công thức  

Cách giải :

Ta có

Dấu = xảy ra