15 câu Trắc nghiệm Hàm số y = ax + b có đáp án (Vận dụng)

Đặt $y=\left|x+1\right|+\left|x-1\right|=\left\{\begin{array}{l}-2x (x<-1)\\ 2 (-1\le x\le 1)\\ 2x (x\ge 1)\end{array}\right.$và có đồ thị

chính là phần đường thẳng màu xanh

Đường thẳng d: y = m² − 2 song song với trục hoành.

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của

đồ thị hàm số 

 $y = \left\{\begin{array}{l}-2x(x<-1)\\ 2(-1\le x\le 1)\\ 2x(x\ge 1)\end{array}\right.$ và đường thẳng d: y = m² − 2.

Nhìn vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = m² − 2 chỉ cắt

đồ thị hàm số (đường màu xanh) tại 2 điểm phân biệt

khi m² – 2 > 2

Hay phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

 m² – 2 > 2  m² > 4 ⇔ m < -2 hoặc m > 2

Đáp án cần chọn là: C

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox, Oy

Khi đó, $A\left(\frac{m-1}{m};0\right), B\left(0,-m+1\right)$

Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng (d) thì OH chính là khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng (d)

Xét tam giác vuông OAB có $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\iff OH=\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}$

Suy ra $O{H}_{\min }\iff {\left(\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}\right)}_{\min }$

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}=\frac{\left|\frac{m-1}{m}\right|\left|-m+1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{m-1}{m}\right)}^2+{\left(m-1\right)}^2}} \\ =\frac{{(m-1)}^2}{\sqrt{{(m-1)}^2(1+m^2)}}=\frac{\left|m-1\right|}{\sqrt{1+m^2}} \end{gathered}$$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì $\frac{\left|m-1\right|}{\sqrt{1+m^2}}\le \frac{\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{1+m^2}}=\sqrt{2}$  

Vậy OH_min = $\sqrt{2}$ và đạt được khi m = -1

Đáp án cần chọn là: D

Đường thẳng d: y = ax + b đi qua điểm $I(1;3)\Rightarrow 3=a+b$ (1)

Ta có $d\cap \mathrm{Ox}=\mathrm{A}\left(-\frac{b}{a};0\right);d\cap Oy=B(0;b)$

Suy ra $OA=\left|-\frac{b}{a}\right|=-\frac{b}{a}$ và $OB=\left|b\right|=b$ (do A, B thuộc

hai tia Ox, Oy)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d

Xét tam giác AOB vuông tại O, có đường cao OH nên ta có

$$\begin{gathered} \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\iff \frac{1}{5}=\frac{a^2}{b^2}+\frac{1}{b^2} \\ \iff b^2=5a^2+5 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) suy ra b = 3 – a. Thay vào (2), ta được (3-a)² = 5a² + 5

$\iff 4a^2+6a-4=0 \iff a=-2 hoặc a=\frac{1}{2}$

Với $a=\frac{1}{2},$ suy ra $b=\frac{5}{2}.$ Suy ra $OA=\left|-\frac{b}{a}\right|=-\frac{b}{a}=-5<0:$ Loại

Với a = -2, suy ra b = 5. Vậy đường thẳng cần tìm là d: y = -2x + 5

Đáp án cần chọn là: D

Thấy rằng m ≠ 1 vì nếu m = 1 thì đường thẳng (d) suy biến thành y = –4 có đồ thị song song với trục hoành và không cắt trục hoành.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và trục hoành là:

 2 (m−1) x – m² – 3 = 0 ⇒ $x=\frac{m^2+3}{2(m-1)}$

Do x < 2 nên 

$\frac{m^2+3}{2(m-1)}<2\iff \frac{m^2+3}{2(m-1)}-2<0\iff \frac{m^2-4m+7}{m-1}<0$

 ⇔ m – 1 < 0 ⇔ m < 1 

(Vì m² − 4m + 7 = (m − 2)² + 3 > 0 ∀m)

Đáp án cần chọn là: D