Hàm số y = ax + b

Gọi phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-3;4) và B(4;-3)  là y = ax + b

Thay tọa độ hai điểm A và B vào phương trình đường thẳng ta được :

$\left\{\begin{array}{l}-3a+b=4\\ 4a+b=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:  y = -x + 1.

Vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng $y=3x+5$ nên đường thẳng cần tìm có dạng:

$y=3x+b \left(b\ne 5\right)$

Mà đường thẳng này đi qua A(1; 11) nên:

$11=3.1+b\iff b=8$

Vậy phương  trình đường thẳng cần tìm là  y = 3x +  8.

Do hệ số góc a = -2 < 0 nên loại phương án A và C. Điểm (1;2) thuộc đồ thị, nên ta chọn đáp án B.

Đáp án B.

Ta có  $y=\left|3x-1\right|=\left\{\begin{array}{l}3x-1 ;x\ge \frac{1}{3}\\ -3x+1 ;x<\frac{1}{3}\end{array}\right.$.

a) Trên khoảng $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$  thì y = 3x – 1 có hệ số a=  3> 0 nên hàm số đồng biến.

 Trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ thì y = -3x +1 có hệ số a = -3 nên hàm số  nghịch biến .

Do đó, bảng C là bảng biến thiên của hàm số này.

Đồ thị của hàm số y = 3 là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm ( 0; 3).

Chọn B.

Đường thẳng $d_2$ được viết lại thành:$d_2:y=\frac{3}{\sqrt{3}}x-1=\sqrt{3}x-1$

Cặp đường thẳng song song khi chúng có cùng hệ số góc và có tung độ gốc khác nhau.

Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có cùng hệ số góc là $\sqrt{3}$ và có tung độ góc khác nhau ( $1\ne -1$ ) nên hai đường thẳng này song song với nhau.

Cặp đường thẳng cắt nhau tại điểm trên trục tung khi chúng có cùng tung độ gốc và có hệ số góc khác nhau.

Hai đường thẳng $d_1 và d_3$ có hệ số góc khác nhau $\left(-\sqrt{3}\ne \sqrt{3}\right)$ và có cùng tung độ gốc là 1 nên hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm trên trục tung đó là điểm (0;1).

Đường thẳng $y=2x+6$ cắt trục tung tại điểm A(0; 6) .

Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại 1 điểm thuộc trục tung  thì điểm A(0; 6) thuộc đường thẳng y = -x + m + 2 .

Suy ra $6=m+2\iff m=4$ .

Giao điểm A(x; y) của hai đường thẳng $\left(d_2\right)$ và $\left(d_3\right)$ là nghiệm hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}y=-x+3\\ y=-2x+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=5\end{array}\right.\Rightarrow A(-2;5)$

Do đường thẳng $d_4$// $d_1$ nên $d_4$ có dạng: y = 2x + b  (b$\ne - 3$)

Ba đường thẳng $\left(d_2\right)$;  $\left(d_3\right)$;  $d_4$ đồng quy nên điểm A(-2; 5) thuộc đường thẳng $d_4$.

Suy ra:  5 = 2.(-2) + b $\iff$ b = 9

Vậy phương trình đường thẳng ($d_4$) là y = 2x + 9.

Ta có $y=\left|3x-1\right|=\left\{\begin{array}{l}3x-1 ;x\ge \frac{1}{3}\\ -3x+1 ;x<\frac{1}{3}\end{array}\right.$

Đồ thị hàm số là hai tia chung gốc $\left(\frac{1}{3};0\right)$  nằm phía trên trục hoành.

Đáp án C

Đáp án D

Đáp án A

Đáp án D

Đáp án C

Đáp án D

Đáp án A

Đáp án D

Đáp án B

Đường  thẳng d có hệ số góc k =  3m + 2

Đường thẳng $∆$ có hệ số góc k = 2

Đáp án A

Đồ thị hàm số đi qua điểm N(  4; -1) nên : - 1=  a. 4 + b   (1) 

Mặt khác , đồ thị hàm số vuông  góc với  đường thẳng 4x - y + 1=0 hay y = 4x  + 1 nên: 

a.4 = - 1    (2)

Từ (1)  và (2) ta có hệ phương trình: 
$\left\{\begin{array}{l}4a +\hspace{0.17em}b = -1\\ 4a =-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a = \frac{-1}{4}\\ b = 0\end{array}\right. \Rightarrow P = ab = 0$

Đáp án C

Đáp án D

Gọi A  và B lần lượt là  giao điểm của đường thẳng d  với Ox và  Oy, 

Khi đó;

 $$\begin{gathered} A(\frac{m- 1}{m};0); B(0; - m +\hspace{0.17em}1) \\ OA\hspace{0.17em}= \left|\frac{m- 1}{m}\right|; OB\hspace{0.17em}= | - m +\hspace{0.17em}1| \end{gathered}$$

Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng (d) thì OH là khoảng cách từ  O đến đường thẳng d.

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào tam giác OAB; đường cao OH ta có: 

 $$\begin{gathered} \frac{1}{O{H}^2} = \frac{1}{O{A}^2} +\hspace{0.17em} \frac{1}{O{B}^2} = \frac{O{A}^2+\hspace{0.17em}O{B}^2}{O{A}^2. O{B}^2} \\ \Rightarrow OH\hspace{0.17em}= \frac{ OA. OB}{\sqrt{O{A}^2+\hspace{0.17em}O{B}^2}} \\ \Rightarrow O{H}_{min}\iff \left(\frac{ OA. OB}{\sqrt{O{A}^2+\hspace{0.17em}O{B}^2}}\right)min \end{gathered}$$

Ta có:

$\frac{OA. OB}{\sqrt{O{A}^2+\hspace{0.17em}O{B}^2}} = \frac{\left|{\displaystyle \frac{m- 1}{m}}\right|. \left|-m +\hspace{0.17em}1\right|}{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{m-1}{m}}\right)}^2 +\hspace{0.17em}{(-m+\hspace{0.17em}1)}^2}}= \frac{{(m-1)}^2}{\sqrt{{(m-1)}^2. (1+\hspace{0.17em}{m}^2)}}= \frac{\left|m -1\right|}{\sqrt{1+m^2}}$

Áp dụng  bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: 

$$\begin{gathered} {(1.m - 1.1)}^2\le (1^2+\hspace{0.17em}{(-1)}^2) . (m^2\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}{1}^2) \\ \iff {(m-1)}^2\le 2. (m^2+1) \\ \iff \left|m - 1\right| \le \sqrt{2}. \sqrt{m^2+\hspace{0.17em}1 } \end{gathered}$$

$\Rightarrow \frac{\left|m - 1\right|}{\sqrt{m^2+\hspace{0.17em}1}} \le \frac{\sqrt{2}. \sqrt{m^2 +\hspace{0.17em}1}}{\sqrt{m^2 +\hspace{0.17em}1}} = \sqrt{2}$

Vậy $O{H}_{min}=\sqrt{2}$ khi m = -1

Đáp án D

 ( chú ý:  $A(\frac{- b}{a}; 0)$ thuộc tia Ox nên $\frac{- b}{a}>\hspace{0.17em}0$. Do đó, a và  b là 2 số trái dấu) .