14 bài tập Chủ đề 1. Dao động có lời giải

Từ phương trình: \[x = 2\cos \left( {4\pi t - \frac{\pi }{6}} \right)\] (cm) ta xác định được các đại lượng:

- Biên độ: A = 2 cm

- Tần số góc: \[\omega = 4\pi \,\left( {rad/s} \right)\]

- Chu kì: \[T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5\,s\]

- Tần số: \[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{{0,5}} = 2\,Hz\]

- Pha ban đầu: \[\varphi = - \frac{\pi }{6}\,rad\]

- Pha của dao động tại thời điểm t = 1 s: \[4\pi .1 - \frac{\pi }{6} = \frac{{23\pi }}{6}rad\]

Tần số góc: \(\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0,25}} = 8\pi \left( {rad/s} \right).\)

Tại thời điểm ban đầu:

\(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\v = 16\pi \,\left( {cm/s} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\cos \varphi < 0\\ - \omega A\sin \varphi = 16\pi \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi < 0\\\sin \varphi = \frac{{16\pi }}{{ - 8\pi .4}} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \varphi = - \frac{{5\pi }}{6}\left( {rad} \right).\)

Phương trình dao động: \(x = 4\cos \left( {8\pi t - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\,cm.\) Chọn C.

Chu kì dao động của chất điểm:\(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 0,4\,\,s.\) Ta có: \({t_2} - {t_1} = 14T + \frac{{3T}}{4}\)

Suy ra quãng đường đi được: \(s = 14.4A + \Delta s\)

Tìm\(\Delta s{\rm{:}}\)

Thay t₁ = 0,1 s và t₂ = 6 s vào phương trình ta tìm được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{A}{{\sqrt 2 }}\\{v_1} > 0\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - \frac{A}{{\sqrt 2 }}\\{v_2} > 0\end{array} \right.\).

Từ hình vẽ ta có: \(\Delta s = 2\left( {A - \frac{A}{{\sqrt 2 }}} \right) + 2A\)

Vậy tổng quãng đường: \(s = 58A + 2A\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 234,3\,\,cm.\)Chọn D.

Từ đồ thị, ta thấy điểm cao nhất của đồ thị ứng với \(x = 6\,cm = A.\)

Tại thời điểm ban đầu (t = 0) vật đi qua vị trí \[x = - 3\]cm theo chiều dương, sau khoảng thời gian 0,2 s thì trạng thái này lặp lại. Chu kì của dao động: \[T = 0,2s \Rightarrow \omega = \frac{{2\pi }}{T} = 10\pi \]rad/s.

Trạng thái của vật tại thời điểm ban đầu: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 = 6\cos \varphi \\v > 0\end{array} \right. \Rightarrow \varphi = - \frac{{2\pi }}{3}\)

Phương trình dao động của vật: \[x = 6\cos \left( {10\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) \Rightarrow v = 60\pi \cos \left( {10\pi t - \frac{\pi }{6}} \right)\]cm. Chọn C.

Tần số góc: \[\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0,4}} = 5\pi \,\,rad/s\]

a) Biên độ \(A = \frac{{{\ell _{\max }} - {\ell _{\min }}}}{2} = \frac{{0,24 - 0,2}}{2} = 0,02\;{\rm{m}}\)

b) Tốc độ cực đại: \({v_{\max }} = \omega A = 5\pi .0,02 = 0,3\;{\rm{m/s}}\)

Gia tốc cực đại: \({a_{\max }} = {\omega ^2}A = {\left( {5\pi } \right)^2}.0,02 = 5{\rm{\;m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)

c) Độ cứng của lò xo: \(k = \frac{{4{\pi ^2}m}}{{{T^2}}} = \frac{{4{\pi ^2}.0,2}}{{0,{4^2}}} = 49{\rm{\;N/m}}\)

Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng là: \(\Delta {\ell _0} = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,2.9,8}}{{49}} = 0,04\;{\rm{m}}\)

Chiều dài của lò xo khi chưa biến dạng:\(\Delta {\ell _{\max }} = A + \Delta {\ell _0} = 0,02\; + 0,04\; = 0,06\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: \({\rm{\Delta }}{\ell _0} = \frac{{\rm{g}}}{{{\omega ^2}}} = \frac{{10}}{{500}} = 2{\rm{\;cm}}\)

Biên độ dao động \(A = 4{\rm{\;cm}}\)

Do \(A > {\rm{\Delta }}{\ell _0}\) nên \({F_{{\rm{min}}}} = 0\) (lúc lò xo không biến dạng).

Độ cứng của lò xo: \(k = \frac{{mg}}{{{\rm{\Delta }}{\ell _0}}} = \frac{{0,1 \cdot 10}}{{0,02}} = 50{\rm{\;N/m}}\)

Lực đàn hồi cực đại \({F_{{\rm{max}}}} = k\left( {{\rm{\Delta }}{\ell _0} + A} \right) = 50.0,06 = 3{\rm{\;N}}{\rm{.}}\)

Chu kì \[T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} = \frac{t}{N} \Rightarrow 2\pi \sqrt {\frac{{0,8}}{g}} = \frac{{36}}{{20}} \Rightarrow g = 9,748\,m/{s^2}\].

Cơ năng: \(W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}m{\left( {\sqrt {\frac{k}{m}} } \right)^2}{A^2} = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2}.50.0,{04^2} = 0,040\;{\rm{J}}\)

Ta có: \({W_d} = W - {W_{\rm{t}}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}\left( {{A^2} - {x^2}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot {5^2} \cdot \left( {0,{{06}^2} - 0,{{02}^2}} \right) = 8 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{\;J}} = 8{\rm{\;mJ}}.\)

Tần số góc: \(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{20}}{{0,5}}} = 6,32\,\,{\rm{rad/s}}\)

a) Tốc độ cực đại: \({v_{\max }} = A\omega = 0,253\;{\rm{m/s}}\)

b) Cơ năng: \(W = {W_{{\mathop{\rm tmax}\nolimits} }} = \frac{1}{2}k{A^2} = 0,0160\;{\rm{J}}\)

c) Khi \(x = 0,02\;{\rm{m}}\) thì: \({W_{\rm{d}}} = W - {W_{\rm{t}}} = 0,016 - \frac{1}{2}.20.0,{02^2} = 0,012\;{\rm{J}}\)

\(v = \sqrt {\frac{{2{W_{\rm{d}}}}}{m}} = 0,219\;{\rm{m/s}}\)

Khi động năng bằng thế năng:\({{\rm{W}}_{\rm{t}}} = {{\rm{W}}_{\rm{d}}}\), ta có:

\(2{{\rm{W}}_{\rm{t}}} = {\rm{W}} \Leftrightarrow 2\frac{{{\rm{mg}}\ell {\alpha ^2}}}{2} = \frac{{{\rm{mg}}\ell \alpha _{{\rm{max}}}^2}}{2} \Rightarrow \alpha = \pm \frac{{{\alpha _{{\rm{max}}}}\sqrt 2 }}{2}\)

Độ giảm cơ năng của vật đến khi vật hoàn toàn dừng lại là:

\({\rm{\Delta }}W = W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}.0,1.{(100\pi )^2}.{\left( {\sqrt 2 {{.10}^{ - 2}}} \right)^2} \approx 1{\rm{\;J}}\).

Nước trong xô sóng sánh mạnh nhất khi xảy ra cộng hưởng, chu kì dao động riêng của nước bằng chu kì nhịp bước chân của người.

\(T = \frac{{\Delta S}}{v} = {T_o} \Rightarrow v = \frac{{0,4\;{\rm{m}}}}{{0,5\;{\rm{s}}}} = 0,8{\rm{\;m/s}}{\rm{.}}\)

Biên độ dao động của vật m lớn nhất khi xảy ra cộng hưởng:

\(f = {f_o} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{100}}{{0,2}}} = 3,6\;{\rm{Hz}}{\rm{.}}\)