120 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nâng cao (P5)

Đáp án A

Chọn hệ trục Oxy  sao cho Ox trùng với AB , chiều dương hướng từ A đến B ,trục Oy là đường trung trực của đoạn AB =>

Phương trình đường tròn tâm D  qua A; B là:

Giả sử M(a;b) là điểm bất kì trên đường tròn  .Ta có :

MA²= (a+ 1) ²+ b²

MB²= (a-1) ²+ b²

+ M nằm trên đường tròn (1)  nên : 

=> MA²+ MB²= MC²

 => MA; MB; MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Đáp án B

Do đường tròn (C)  tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C

Nên tam giác ABC  cân tại A

tâm I của (C)  thuộc Oy nên I(0; y₀)

Do:

Mặc khác:

Vậy phương trình của là:

Đáp án D

Gọi d  là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương:

- Đường tròn (C) tâm I₁ (1;1) và R₁= 1

  Đường tròn (C') : tâm I₂( -2;0) và R₂= 3

- Nếu d cắt  (C) tại A :

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}\left(\frac{2ab}{a^2+b^2};\frac{2b^2}{a^2+b^2}\right)$

- Nếu d cắt (C₂)  tại B:

$\Rightarrow \overrightarrow{MB}\left(-\frac{6a^2}{a^2+b^2};-\frac{6ab}{a^2+b^2}\right)$

- Theo giả thiết: MA= 2 MB nên MA²= 4 MB² (*)

- Ta có :

$$\begin{gathered} \iff a^2{b}^2+b^4=36a^4+36a^2{b}^2 \\ \iff 36a^4+35a^2{b}^2-b^4=0 \end{gathered}$$

$\iff \left[\begin{array}{c}a=-b\\ a=\frac{b}{36}\end{array}\right.$

Với a = -b, chọn b = -1 $\Rightarrow a=1\Rightarrow d: \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-t\end{array}\right.\iff x+y-1=0$

Với $a=\frac{b}{36}$, chọn b = 36 $\Rightarrow a=1\Rightarrow d: \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=36t\end{array}\iff 36x-y-36\right.=0$

Đáp án D

- Ta có :

(C₁) tâm I₁(0;2) và R₁= 3; (C₂) tâm I₂( 3;-4) và R₂= 3

- Nhận xét :  không cắt C₂

- Gọi d: ax+ by+ c= 0  là tiếp tuyến chung , thế thì : d(I₁; d) = R₁ và d (I₂; d) = R₂

- Trường hợp: a= 2b thay vào (1):

$\left[\begin{array}{c}b=\frac{\left(2+3\sqrt{5}\right)c}{41}\\ b=\frac{\left(2-3\sqrt{5}\right)c}{41}\end{array}\right.$

- Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :

Với $b=\frac{\left(2+3\sqrt{5}\right)c}{41},$chọn c = 41 thì $b=2+3\sqrt{5}, a=2\left(2+3\sqrt{5}\right)$, khi đó phương trình đường thẳng d là: 

$2\left(2+3\sqrt{5}\right)x+\left(2+3\sqrt{5}\right)y+41=0$.

Với $b=\frac{\left(2-3\sqrt{5}\right)c}{41}$, chọn c = 41 thì $b=2-3\sqrt{5}, a=2\left(2-3\sqrt{5}\right)$, khi đó phương trình đường thẳng d là:

$2\left(2-3\sqrt{5}\right)x+\left(2-3\sqrt{5}\right)y+41=0$.

- Trường hợp :  thay vào  :  $\frac{\left|2b+{\displaystyle \frac{2b-3a}{2}}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3\iff \left|2b-a\right|=2\sqrt{a^2+b^2}$

$$\begin{gathered} \iff {\left(2b-a\right)}^2=4\left(a^2+b^2\right) \\ \iff 3a^2+4ab=0 \end{gathered}$$

$\left[\begin{array}{c}a=0\Rightarrow c=b\\ a=-\frac{4b}{3}\Rightarrow c=2b\end{array}\right.$

Với a= 0, c = b, chọn b = 1 $\Rightarrow c=1$ thì phương trình đường thẳng d là: y+1=0

Với $a=-\frac{4b}{3}\Rightarrow c=2b$, chọn b = -3 $\Rightarrow$a = 4, c = -6 thì phương trình đường thẳng d là: 4x - 3y - 6 = 0

Có tất cả 4 tiếp tuyến chung.

Đáp án B

- Ta có (C₁) với tâm  I(5; -12) và R= 15.

 (C₂) có tâm J( 1;2)  và R’ =5 .

 Gọi d  là tiếp tuyến chung có phương trình: ax+ by+ c= 0 ().

- Khi đó ta có :

- Từ (1) và (2) suy ra :

Thay vào (1):

Ta có hai trường hợp :

- Trường hợp : c = a-9b thay vào (1):

(2a- 7b)²= 25 (a²+ b²)  

hay 21a²+ 28ab -24b²= 0

$\left[\begin{array}{c}a=\frac{-14+10\sqrt{7}}{21}b\\ a=\frac{-14-10\sqrt{7}}{21}b\end{array}\right.$

Với $a=\frac{-14+10\sqrt{7}}{21}b,$ chọn b =-1 thì $a=\frac{14-10\sqrt{7}}{21}\Rightarrow c=\frac{203-10\sqrt{7}}{21}$

Suy ra phương trình đường thẳng d là: $\frac{14-10\sqrt{7}}{21}x-y+\frac{203-10\sqrt{7}}{21}=0$

Với $a=\frac{-14-10\sqrt{7}}{21}b,$ chọn b =-1 thì $a=\frac{14+10\sqrt{7}}{21}\Rightarrow c=\frac{203+10\sqrt{7}}{21}$

Suy ra phương trình đường thẳng d là: $\frac{14+10\sqrt{7}}{21}x-y+\frac{203+10\sqrt{7}}{21}=0$

- Trường hợp $c = -2a + \frac{3}{2}b$

(1) => ( 7b- 2a)²=100(a²+b²) hay 96a²+ 28ab + 51b²= 0

 Vô nghiệm.

Vậy 2 đường tròn đã cho có 2 tiếp tuyến chung.

Đáp án D

- Đường thẳng d’ song song với d nên có dạng: 3x+ y+ m= 0

- IH là khoảng cách từ I đến d’:

IH = $\frac{\left|-3+4+m\right|}{\sqrt{3^2+1}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{10}}$

- Xét tam giác vuông IHB:

$$\begin{gathered} I{H}^2=I{B}^2-\frac{A{B}^2}{4}=25-9=16 \\ \iff \frac{{\left(m+1\right)}^2}{10}=16 \\ \iff \left|m+1\right|=4\sqrt{10} \end{gathered}$$

$\iff \left[\begin{array}{c}m+1=4\sqrt{10}\\ m+1=-4\sqrt{10}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=4\sqrt{10}-1\Rightarrow d:3x+y+4\sqrt{10}-1=0\\ m=-4\sqrt{10}-1\Rightarrow d:3x+y-4\sqrt{10}-1=0\end{array}\right.$

Đáp án A

- Do M thuộc d  suy ra M( t; -1-t).

 Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì MAIB là hình vuông

(A; B là 2 tiếp điểm).

Do đó:

- Ta có :

- Do đó :  2t²+ 8= 12

Đáp án B

- Đường tròn (C) có tâm  

và R= 4. Gọi J(a; b)  là tâm đường tròn cần tìm:

=> (C’):  (x-a)²+ (y- b)²= 4 

-Do (C) và (C’) tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách IJ= R+ R’

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt{{\left(a+2\sqrt{3}\right)}^2+b^2}=4+2=6 \\ \iff a^2+4\sqrt{3}a+b^2=24 \end{gathered}$$

- Vì A(0;2) là tiếp điểm cho nên :  (0-a)²+ (2-b)² = 4               (2)

- Do đó ta có hệ :

- Giải hệ tìm được: b= 3 và

Đáp án A

- Từ giả thiết : đường tròn (C₁) tâm  I(0;0); $R=\sqrt{13}$ đường tròn (C₂) tâm J( 6;0) và R’= 5

- Gọi đường thẳng d qua A có véc tơ chỉ phương:

-  d cắt (C₁)  tại A,B:

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x=2+at\\ y=3+bt\\ x^2+y^2=13\end{array}\right.\iff \left[\left(a^2+b^2\right)t^2+2\left(2a+3b\right)t\right]=0\iff t=\frac{-2\left(2a+3b\right)}{a^2+b^2} \\ \Rightarrow B\left(\frac{-2a^2-6ab+2b^2}{a^2+b^2};\frac{3a^2-4ab-3b^2}{a^2+b^2}\right) \end{gathered}$$

 Tương tự d cắt (C₂) tại A; C thì tọa độ của A; C là nghiệm của hệ :

- Nếu 2 dây cung bằng nhau thì A là trung điểm của B; C .Từ đó ta có phương trình :

$$\begin{gathered} \frac{-2a^2-6ab+2b^2}{a^2+b^2}+\frac{10a^2-6ab+2b^2}{a^2+b^2}=4 \\ \iff \frac{8a^2-12ab+4b^2}{a^2+b^2}=4 \\ \iff 2a^2-3ab+b^2=a^2+b^2 \\ \iff a^2-3ab=0 \\ \iff a\left(a-3b\right)=0 \end{gathered}$$

$\left[\begin{array}{c}a=0\\ a=3b\end{array}\right.$

Với a = 0, chọn b = 1, khi đó d: $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3+t\end{array}\right.$

Với a = 3b, chọn b = 1 thì a = 3, khi đó: $\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=3+t\end{array}\right.$

Vậy có 2 đường thẳng: d: x-2 = 0 và  d’: 2x -3y + 5= 0.

Đáp án B

+Phương trình chính tắc của elip có dạng:

Nên a= 4; b= 2

+Vì MF₁= MF₂ nên M thuộc đường trung trực của F₁F₂ chính là trục Oy

+ M là điểm thuộc (E)  nên M  là giao điểm của elip và trục Oy

Vậy . M₁(0 ; 2) và M₂(0; -2).

Đáp án B

Ta có:

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A; B là: x- 2y + 3= 0.

 để diện tích lớn nhất khi và chỉ khi  lớn nhất.

Ta có: 

Vậy: diện tích lớn nhất của tam giác MAB là

Đáp án A

Phương trình chính tắc của elip có dạng:

Do Elip đi qua nên:

Lại có :

Như vậy ta có  hệ điều kiện:

Giải hệ ta được:

Đáp án B

Phương trình chính tắc của elip có dạng:

Do một cạnh của hình chữ nhật cơ sở thuộc đường thẳng x-2 = 0  nên có a= 2.

Mặt khác độ dài đường chéo là 6 nên  a² + b²= 6² nên b²= 36- 4= 32

=> 

Vậy (E) cần tìm là:

Đáp án A

Giả sử A( x₀ ; y₀) , Do A ; B đối xứng nhau qua Ox  nên B( x₀ ; -y₀).

Ta có:

Vì A thuộc (E)  nên:

Vì AB = AC nên:

Thay (1) vào (2)  ta được:

Vì điểm A  khác C và Acó tung độ dương nên:

Đáp án D

Phương trình chính tắc của elip có dạng:

Theo giải thiết ta có c = 4

Chu vi của tam giác MF₁F₂  bằng  18    nên

MF₁+ MF₂+ F₁F₂ = 2a+ 2c nên 2a+ 2c= 18

Mà c= 4 => a= 5

Đáp án A

 có độ dài nửa trục lớn a = 5và độ dài nửa trục bé b= 3

Gọi  là tiếp tuyến của (E)  mà  song song với d

=> x- 2y + C = 0.

Vì $∆$  tiếp xúc với (E)  nên ta có:

Nên ta có hai tiếp tuyến của (E)  song song với d là:

Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d là lớn nhất là:

  , khoảng cách từ M đến đường thẳng d là bé nhất là:

Đáp án A

Xét hệ:

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O và bán kính

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

Đáp án A

=> a²= 4 và b²= 1 nên c²= 3

- Gọi:

Xét tam giác MF₁F₂ theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:

Vậy có tất cả 4 điểm thỏa

Đáp án A

- A: B có hoành độ là hoành độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của (E) , chúng nằm trên đường thẳng  y+ 2= 0. Điểm C có hoành độ và tung độ dương thì C  nằm trên cung phần tư thứ nhất

- Tam giác ABC  có AB= 6 cố định. Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ C đến AB lớn nhất.

- Dễ nhận thấy C  trùng với đỉnh của bán trục lớn (0; 3).

Đáp án B

- Giả sử:

Theo giả thiết thì : c = 4 nên a²- b²= 16  (2)

(E) qua A  suy ra :

thay vào (2)  ta có:

M thuộc (E)

Theo tính chất của (E) ta có bán kính qua tiêu

Thay vào  ta có: