Gọi M (2m + 5; m) ∈ Δ.

G (−1; 2) là trọng tâm ΔABC.

$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG$

$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất ⇔ G là hình chiếu vuông góc của G trên Δ.

$\overrightarrow{GM}$ = (2m + 6; m − 2); VTCP của Δ là $\overrightarrow{u}$ = (2; 1).

G là hình chiếu vuông góc của G trên  ⇔ $\overrightarrow{GM}.\overrightarrow{u}$ = 0

⇔ 2 (2m + 6) + m – 2 = 0

⇔ 5m + 10 = 0 ⇔ m = −2

⇒ M (1; −2).

Đường thẳng d qua gốc tọa độ d: y = ax.

M (1; −2) ∈ d ⇒ a = −2.

Vậy phương trình đường thẳng d: 2x + y = 0

Đáp án cần chọn là: D

Cách 1: Gọi A (a; b). Vì A ∈ AC: x + 2y + 2 = 0 nên a + 2b + 2 = 0

⇒ a = −2b − 2

Do a > 0 nên −2b – 2 > 0 ⇒ b < −1 (∗)

Khi đó A (−2b − 2; b). 

Ta có $\overrightarrow{AD}$ = (2b + 3; 1 − b) là véctơ chỉ phương của đường thẳng AD.

$\overrightarrow{u}$= (2; −1) là véctơ chỉ phương của đường thẳng AC

⇔ b² + 2b – 3 = 0 ⇒ b = −3 (do (∗)) ⇒ a = 4.

Khi đó A (4; −3), suy ra a + b = 1

Cách 2: Gọi A (a; b). Vì A ∈ AC: x + 2y + 2 = 0  nên a + 2b + 2 = 0

⇒ a = −2b − 2

Do a > 0 nên −2b – 2 > 0 ⇒ b < −1 (∗), khi đó A (−2b − 2; b). 

Vì C ∈ AC: x + 2y + 2 = 0 nên C (−2c − 2; c)

Ta có: $\overrightarrow{AD}$ = (3 + 2b; −1 − b); $\overrightarrow{CD}$  = (3 + 2c; 1 − c).

Vậy A (4; −3), suy ra a + b = 1.
Đáp án cần chọn là: D

+ BH có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{BH}}$ (2; −1). CK có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{CK}}$ (3; 2).

+ Đường thẳng AB vuông góc CK nên nhận $\overrightarrow{n_{CK}}$ (3; 2). làm véctơ chỉ phương, vì thế AB có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AB}}$ (2; −3). Mặt khác AB đi qua A (−4; −1) nên có phương trình:

2(x + 4) − 3(y + 1) = 0 ⇔ 2x − 3y + 5 = 0.

+ Đường thẳng AC vuông góc BH nên nhận $\overrightarrow{n_{BH}}$ (2; −1) làm véctơ chỉ phương, vì thế AC có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AC}}$ (1; 2). Mặt khác AC đi qua  A (−4; −1) nên có phương trình:

1(x + 4) + 2(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y + 6 = 0.

+ B là giao điểm của AB và BH. Xét hệ:

⇒ B (−1; 1).

+ C là giao điểm của AC và CK. Xét hệ

+ Đường thẳng BC có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{BC}$ = (7; −7) nên có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (7; 7). Vậy BC có phương trình: 7(x + 1) + 7(y − 1) = 0 ⇔ x + y = 0

+ Chiều cao kẻ từ A của tam giác ABC là

M trên trục Oy ⇒ M (0; y).

$\overrightarrow{MA}$ = (1; −1 − y); $\overrightarrow{MB}$ = (3; 2 − y)

MA² + MB² = 10 − 2y + 2y²

Giá trị nhỏ nhất của (MA² + MB²) bằng $\frac{19}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi y = $\frac{1}{2}$. Khi đó $M\left(0;\frac{1}{2}\right)$

Đáp án cần chọn là: C

Dễ thấy điểm $Â\left(\frac{4}{5};\frac{7}{5}\right)$ không thuộc hai đường phân giác x − 2y – 1 = 0 và x + 3y – 1 = 0.

Gọi CF: x − 2y – 1 = 0, BE: x + 3y – 1 = 0 lần lượt là phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh C, B (như hình vẽ trên).

Gọi d là đường thẳng qua $A\left(\frac{4}{5};\frac{7}{5}\right)$ và vuông góc với BE thì d có VTPT là $\overrightarrow{n_d}$ = (3; −1) nên có phương trình

Tọa độ điểm M = d ∩ BE thỏa mãn hệ

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với $A\left(\frac{4}{5};\frac{7}{5}\right)$ qua $M\left(\frac{2}{5};\frac{1}{5}\right)$ là A′ (0; −1) thì 

A′ ∈ BC (1).

Gọi d′ là đường thẳng qua $A\left(\frac{4}{5};\frac{7}{5}\right)$ và vuông góc với CF thì d′ có VTPT là $\overrightarrow{n_{d\text{'}}}$= (2; 1)  nên có phương trình

⇔ 2x + y – 3 = 0

Tọa độ điểm N = d′ ∩ CF thỏa mãn hệ

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với  $A\left(\frac{4}{5};\frac{7}{5}\right)$ qua $N\left(\frac{7}{5};\frac{1}{5}\right)$ là A″ (2; −1) thì A″ ∈ BC  (2)

Từ (1) và (2) ta có $\overrightarrow{A\text{'}A\text{'}\text{'}}$ = (2; 0) là một VTCP của BC suy ra VTPT của BC là 

$\overrightarrow{n}$ = (0; 1). Do đó phương trình cạnh BC: 0(x − 0) + 1(y + 1) = 0 ⇔  y + 1 = 0

Đáp án cần chọn là: A

Tâm O (1; −1), bán kính $R=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2-\left(-7\right)}=3$

Gọi đường thẳng cần tìm là (d′): x + y + c = 0.

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d′) và (C).

Xét ΔOHB vuông tại H (H là chân đường cao kẻ từ O trong tam giác OAB).

Ta có:   

Vậy đường thẳng cần tìm có dạng x + y + 4 = 0 hoặc x + y – 4 = 0.

Đáp án cần chọn là: A

Thế  x_M = 3 vào phương trình đường tròn, ta được:

Đường tròn (C) có tâm I (2; 0)

Với I(2;0), $M_1\left(3;\sqrt{3}\right)$ ta có: $\overrightarrow{I{M}_1}=\left(1;\sqrt{3}\right)$

Đường thẳn qua $M_1\left(3;\sqrt{3}\right)$ và nhận $\overrightarrow{I{M}_1}=\left(1;\sqrt{3}\right)$ làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:

Với I(2;0), $M_2\left(3;-\sqrt{3}\right)$ ta có: $\overrightarrow{I{M}_2}=\left(1;-\sqrt{3}\right)$

Đường thẳng qua $M_2\left(3;-\sqrt{3}\right)$ và nhận $\overrightarrow{I{M}_2}=\left(1;-\sqrt{3}\right)$ làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:

Vậy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn  tại M có hoành độ x_M = 3 là:

Đáp án cần chọn là: A

Đường tròn (C) có tâm I (a; b), bán kính R có phương trình là (x − a)² + (y − b)² = R²

Ta có đường tròn (C) đi qua A (2; 4) nên ta có: (2 − a)² + (4 − b)² = R² (1)

Đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ, ta phải có |a| = |b| = R (2)

Trường hợp 1: Nếu a = b, thay vào (1) ta có

Với a = 2 ta có phương trình đường tròn (x − 2)² + (y − 2)² = 4

Với a = 10 ta có phương trình đường tròn (x − 10)² + (y − 10)² = 100

Trường hợp 2: Nếu a = −b, thay vào (1) ta có phương trình

(2 − a)² + (4 + a)² = a² ⇔ a² + 4a + 20 = 0: phương trình này vô nghiệm.

Vậy các đường tròn có phương trình ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$, ${\left(x-10\right)}^2+{\left(y-10\right)}^2=100$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A