112 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án tiếp theo (Mới nhất)

Vì $\Delta ABC$ và $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  có cùng trọng tâm G suy ra  $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Vì $G_1,G_2,G_3$  là trọng tâm các tam giác $BCA\text{'},CAB\text{'},ABC\text{'}$   nên

$\begin{array}{l}3\overrightarrow{A{G}_1}+3\overrightarrow{B{G}_2}+3\overrightarrow{C{G}_3}\\ =\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BB\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC\text{'}}\right)\end{array}$

$=\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{A{G}_1}+\overrightarrow{B{G}_2}+\overrightarrow{C{G}_3}=\overrightarrow{0}$   do đó G là trọng tâm $\Delta G_1{G}_2{G}_3$

G là trọng tâm tứ giác $G_1{G}_2{G}_3{G}_4\iff \overrightarrow{G{G}_1}+\overrightarrow{G{G}_2}+\overrightarrow{G{G}_3}+\overrightarrow{G{G}_4}=\overrightarrow{0}$  (*)

Vì  là trong tâm $\Delta ABC\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{G{G}_1}$ , tương tự ta có

$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{G{G}_2}$, $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{G{G}_3}$ ,$\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=3\overrightarrow{G{G}_4}$

Do đó (*) $\iff 3\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=\overrightarrow{0}$ (đúng) đpcm

Gọi D, E, F tương ứng là giao điểm của $M{A}_1,M{B}_1,M{C}_1$  với các cạnh BC, CA, AB. O là trọng tâm đều $\Delta ABC$

Ta có $\overrightarrow{M{A}_1}+\overrightarrow{M{B}_1}+\overrightarrow{M{C}_1}=2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right)$

Mặt khác theo bài tập 6 (dạng 2) thì $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$

Suy ra  do đó O là trọng tâm tam giác $A_1,B_1,C_1$   

Ta có $\overrightarrow{O{A}_2}+\overrightarrow{O{B}_2}+\overrightarrow{O{C}_2}=\frac{O{A}_2}{O{A}_1}\overrightarrow{O{A}_1}+\frac{O{B}_2}{O{B}_1}\overrightarrow{O{B}_1}+\frac{O{C}_2}{O{C}_1}\overrightarrow{O{C}_1}$

$=a\frac{\overrightarrow{O{A}_1}}{O{A}_1}+b\frac{\overrightarrow{O{B}_1}}{O{B}_1}+c\frac{\overrightarrow{O{C}_1}}{O{C}_1}=\overrightarrow{0}$ (Theo định lý con nhím)

Do đó O là trọng tâm tam giác $A_2{B}_2{C}_2$

Ta có $\overrightarrow{O{A}_2}+\overrightarrow{O{B}_2}+\overrightarrow{O{C}_2}=\frac{O{A}_2}{O{A}_1}\overrightarrow{O{A}_1}+\frac{O{B}_2}{O{B}_1}\overrightarrow{O{B}_1}+\frac{O{C}_2}{O{C}_1}\overrightarrow{O{C}_1}$

$=a\frac{\overrightarrow{O{A}_1}}{O{A}_1}+b\frac{\overrightarrow{O{B}_1}}{O{B}_1}+c\frac{\overrightarrow{O{C}_1}}{O{C}_1}=\overrightarrow{0}$ (Theo định lý con nhím)

Do đó O là trọng tâm tam giác $A_2{B}_2{C}_2$

a) Ta có: $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff 2\overrightarrow{IA}+3(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})+4(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}$

$\iff 9\overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}\iff \overrightarrow{IA}=-\frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{9}\Rightarrow$I tồn tại và duy nhất.

b) Với I là điểm được xác định ở câu a, ta có: $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}=9\overrightarrow{MI}+(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC})=9\overrightarrow{MI}$

 và $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}$  nên $|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}|\iff \left|9\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|\iff MI=\frac{AB}{9}$

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{9}$ .

Chọn C

a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra

  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{ME}$   và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MF}$

 Khi đó  $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$

$\iff \left|2\overrightarrow{ME}\right|=\left|2\overrightarrow{MF}\right|\iff ME=MF$

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF

Chọn A

b) Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)-3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{HB}$

Với H là điểm thỏa mãn

$\overrightarrow{AH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$

Suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right)$

$\iff 2\overrightarrow{ME}=2k\overrightarrow{HB}\iff \overrightarrow{ME}=k\overrightarrow{HB}$

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song song với HB

Chọn D

(hình 1.29)
Gọi O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC, ta có
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OO\text{'}}+\overrightarrow{O\text{'}B}$ và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OO\text{'}}+\overrightarrow{O\text{'}C}$
Suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{OO\text{'}}$
Tương tự vì O, I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{OI}$
Do đó $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\left(k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{DC}\right)=k\overrightarrow{OO\text{'}}$
Vậy khi k thay đổi, tập hợp điểm I là đường thẳng OO'

Chọn B

a) Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{2}$  với I là trung điểm của AB

Chọn A

b) Gọi K là điểm thoả mãn: $2\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

L là điểm thoả mãn: $\overrightarrow{LB}+2\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|\iff \left|\overrightarrow{MK}\right|=\left|\overrightarrow{ML}\right|$

Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.

a) Ta có:

 $\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}\iff \overrightarrow{MA}=k(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})\iff \overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và song song với cạnh BC của DABC.

b) Gọi J là trung là điểm AB, I là trung điểm JC ta có   $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}$

Do đó $\overrightarrow{v}$  cùng phương với $\overrightarrow{BC}$   M thuộc đường thẳng đi qua I và song song với BC.

a) Gọi K là điểm thoả mãn: $2\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

L là điểm thoả mãn: $3\overrightarrow{LB}-2\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|\iff \left|\overrightarrow{MK}\right|=\left|\overrightarrow{ML}\right|$

Þ Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.

b) Với I là trung điểm của BC. Gọi J là điểm thoả mãn: $4\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

$\iff \left|6\overrightarrow{MJ}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MI}\right|\iff \left|6\overrightarrow{MJ}\right|=\left|2\overrightarrow{IA}\right|\iff MJ=\frac{1}{3}IA$

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J bán kính $R=\frac{1}{3}IA$ .  

a) $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}\iff \overrightarrow{OB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{CI}$  với I là trung điểm BD

b) $\left|\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|\iff \left|\overrightarrow{MO}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|$

Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn OA.       

Gọi P là trọng tâm của $\Delta ABC$ , Q là trọng tâm của  $\Delta DEF$                                                           

 $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$+ $\left|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right|$  =$3\left|\overrightarrow{MP}\right|+3\left|\overrightarrow{MQ}\right|=3\left(MP+MQ\right)\ge 3QP$

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn PQ

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là mọi điểm thuộc đoạn PQ

Gọi hai điểm $M_0,N_0$  lần lượt thuộc tia Ox và Oy sao cho $O{M}_0=O{N}_0=\frac{a}{2}$ . Giả sử $OM=k,0\le k\le a$  khi đó ta có $\overrightarrow{MI}=\frac{a-k}{a}\overrightarrow{M_0{N}_0}$ . Do đó tập hợp điểm I là đoạn $M_0{N}_0$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}+5\overrightarrow{MP}$

$\begin{array}{l}=5\overrightarrow{AP}-4\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AD}\\ =2(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN})-2\overrightarrow{AD}\end{array}$

 $=2\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.

Chọn A

G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}.$                                     

Suy ra $a^2\overrightarrow{GA}+b^2\overrightarrow{GB}+c^2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$   

$\begin{array}{l}\iff a^2\left(-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\right)+b^2\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.\\ \iff \left(b^2-a^2\right)\overrightarrow{GB}+\left(c^2-a^2\right)\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.\left(*\right)\end{array}$                                                                              

Vì  $\overrightarrow{GB}$ và $\overrightarrow{GC}$  là hai vecơ không cùng phương, do đó (*) tương đương với:

 $\left\{\begin{array}{l}{b}^2-a^2=0\\ c^2-a^2=0\end{array}\right.\iff a=b=c$ hay tam giác ABC đều.

Chọn A

Giả sử  $\overrightarrow{AB\text{'}}=m\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC\text{'}}=n\overrightarrow{AB}$

Suy ra $\overrightarrow{BB\text{'}}=\overrightarrow{AB\text{'}}-\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

và $\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{AC\text{'}}-\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

Mặt khác A' là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AA\text{'}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

Do đó $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

$\iff \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+m\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

hay $\left(n-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AB}+\left(m-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

Vì $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$  không cùng phương suy ra $m=n=\frac{1}{2}$  do đó B', C' lần lượt là trung điểm của CA, AB

Vậy BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC.