112 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án tiếp theo (Mới nhất)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID},\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{JB}$

Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{ID}$

$\iff \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{JI}\iff \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{0}$ hay I trùng với J

Giả sử $\frac{AM}{AB}=k$ suy ra  $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\text{ ; }\overrightarrow{BN}=k\overrightarrow{BC}\text{ ; }\overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{CA}$

Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm $\Delta ABC$ và $\Delta MNP$

Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{G\text{'}M}+\overrightarrow{G\text{'}N}+\overrightarrow{G\text{'}P}=\overrightarrow{0}$ (*)

Ta có $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}M}=k\overrightarrow{AB}$

Tương tự $\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}N}=k\overrightarrow{BC}$

Và $\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}P}=k\overrightarrow{CA}$

Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được $\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)+3\overrightarrow{GG\text{'}}+\left(\overrightarrow{G\text{'}M}+\overrightarrow{G\text{'}N}+\overrightarrow{G\text{'}P}\right)=k\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

Kết hợp với (*) ta được $\overrightarrow{GG\text{'}}=\overrightarrow{0}$  

Suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CP}$

 $=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CA}=k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{0}$

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

(hình 1.27)

Gọi G là trọng tâm tam giác BC'D suy ra $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC\text{'}}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

 $\iff \overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD\text{'}}+\overrightarrow{B\text{'}B}+\overrightarrow{CC\text{'}}+\overrightarrow{DD\text{'}}=\overrightarrow{0}$(1)

Mặt khác theo quy tắc phép trừ và hình bình hành ta có

 $\begin{array}{l}\overrightarrow{B\text{'}B}+\overrightarrow{CC\text{'}}+\overrightarrow{D\text{'}D}=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{AC\text{'}}-\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD\text{'}}\right)\\ =\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)-\overrightarrow{AC}-\left(\overrightarrow{AB\text{'}}+\overrightarrow{AD}\text{'}\right)+\overrightarrow{AC}\end{array}$

$=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC\text{'}}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$(2)

Từ (1) và (2) ta có $\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD\text{'}}=\overrightarrow{0}$ hay G là trọng tâm tam giác $B\text{'}CD\text{'}$

Ta có $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}$

$=\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}A\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}B\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}C\text{'}}\right)$

$=3\overrightarrow{GG\text{'}}+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)+\left(\overrightarrow{G\text{'}A}+\overrightarrow{G\text{'}B}+\overrightarrow{G\text{'}C}\right)=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm là

$\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

G là trọng tâm  $\Delta RIP$$\Rightarrow \overrightarrow{GR}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}$ 

Ta có $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\left(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{JA}\right)+\left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}\right)+\left(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}\right)$

$=\left(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{CS}\right)+\left(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PC}\right)=\overrightarrow{0}$

Suy ra  $\overrightarrow{GR}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GJ}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}\Rightarrow \overrightarrow{GJ}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}=\overrightarrow{0}$

Do đó G là trọng tâm $\Delta JQS$

Tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm

$\iff \overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

 $\iff 2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\iff 2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$(đúng)

G là trọng tâm $\Delta ANP$ $\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}$  

Ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GQ}\Rightarrow \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}$

Do đó G là trọng tâm $\Delta CMQ$

G là trọng tâm  $\Delta ABC$ $\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Ta có  $2011\overrightarrow{A\text{'}B}+2012\overrightarrow{A\text{'}C}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2011\left(\overrightarrow{A\text{'}A}+\overrightarrow{AB}\right)+2012\left(\overrightarrow{A\text{'}A}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{0}$

 $\iff 4023\overrightarrow{A\text{'}A}+2011\overrightarrow{AB}+2012\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$(1)

Tương tự ta có $4023\overrightarrow{B\text{'}B}+2011\overrightarrow{BC}+2012\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0};4023\overrightarrow{C\text{'}C}+2011\overrightarrow{CA}+2012\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$

Cộng vế với vế lại ta được $4023\left(\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}\right)+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}\Rightarrow \overrightarrow{GA\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Do đó G là trọng tâm $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$

Vì $\Delta ABC$ và $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có cùng trọng tâm G suy ra  $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Vì $G_1,G_2,G_3$ là trọng tâm các tam giác $BCA\text{'},CAB\text{'},ABC\text{'}$  nên

$\begin{array}{l}3\overrightarrow{A{G}_1}+3\overrightarrow{B{G}_2}+3\overrightarrow{C{G}_3}\\ =\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BB\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC\text{'}}\right)\end{array}$

$=\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{A{G}_1}+\overrightarrow{B{G}_2}+\overrightarrow{C{G}_3}=\overrightarrow{0}$  do đó G là trọng tâm $\Delta G_1{G}_2{G}_3$

G là trọng tâm tứ giác $G_1{G}_2{G}_3{G}_4\iff \overrightarrow{G{G}_1}+\overrightarrow{G{G}_2}+\overrightarrow{G{G}_3}+\overrightarrow{G{G}_4}=\overrightarrow{0}$ (*)

Vì  là trong tâm $\Delta ABC\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{G{G}_1}$, tương tự ta có

$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{G{G}_2}$, $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{G{G}_3}$,$\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=3\overrightarrow{G{G}_4}$

Do đó (*) $\iff 3\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=\overrightarrow{0}$ (đúng) đpcm

Gọi D, E, F tương ứng là giao điểm của $M{A}_1,M{B}_1,M{C}_1$ với các cạnh BC, CA, AB. O là trọng tâm đều $\Delta ABC$

Ta có $\overrightarrow{M{A}_1}+\overrightarrow{M{B}_1}+\overrightarrow{M{C}_1}=2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right)$

Mặt khác theo bài tập 6 (dạng 2) thì $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$

Suy ra  do đó O là trọng tâm tam giác $A_1,B_1,C_1$  

Ta có $\overrightarrow{O{A}_2}+\overrightarrow{O{B}_2}+\overrightarrow{O{C}_2}=\frac{O{A}_2}{O{A}_1}\overrightarrow{O{A}_1}+\frac{O{B}_2}{O{B}_1}\overrightarrow{O{B}_1}+\frac{O{C}_2}{O{C}_1}\overrightarrow{O{C}_1}$

$=a\frac{\overrightarrow{O{A}_1}}{O{A}_1}+b\frac{\overrightarrow{O{B}_1}}{O{B}_1}+c\frac{\overrightarrow{O{C}_1}}{O{C}_1}=\overrightarrow{0}$ (Theo định lý con nhím)

Do đó O là trọng tâm tam giác $A_2{B}_2{C}_2$

Ta có $\overrightarrow{O{A}_2}+\overrightarrow{O{B}_2}+\overrightarrow{O{C}_2}=\frac{O{A}_2}{O{A}_1}\overrightarrow{O{A}_1}+\frac{O{B}_2}{O{B}_1}\overrightarrow{O{B}_1}+\frac{O{C}_2}{O{C}_1}\overrightarrow{O{C}_1}$

$=a\frac{\overrightarrow{O{A}_1}}{O{A}_1}+b\frac{\overrightarrow{O{B}_1}}{O{B}_1}+c\frac{\overrightarrow{O{C}_1}}{O{C}_1}=\overrightarrow{0}$ (Theo định lý con nhím)

Do đó O là trọng tâm tam giác $A_2{B}_2{C}_2$

a) Ta có: $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff 2\overrightarrow{IA}+3(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})+4(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}$

$\iff 9\overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}\iff \overrightarrow{IA}=-\frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{9}\Rightarrow$I tồn tại và duy nhất.

b) Với I là điểm được xác định ở câu a, ta có: $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}=9\overrightarrow{MI}+(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC})=9\overrightarrow{MI}$

 và $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}$ nên $|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}|\iff \left|9\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|\iff MI=\frac{AB}{9}$

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{9}$.

Chọn C

a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra

  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{ME}$  và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MF}$

 Khi đó  $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$

$\iff \left|2\overrightarrow{ME}\right|=\left|2\overrightarrow{MF}\right|\iff ME=MF$

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF

Chọn A

b) Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)-3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{HB}$

Với H là điểm thỏa mãn

Suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right)$

$\iff 2\overrightarrow{ME}=2k\overrightarrow{HB}\iff \overrightarrow{ME}=k\overrightarrow{HB}$

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song song với HB

Chọn D

a) Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{2}$ với I là trung điểm của AB

Chọn A

b) Gọi K là điểm thoả mãn: $2\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

L là điểm thoả mãn: $\overrightarrow{LB}+2\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|\iff \left|\overrightarrow{MK}\right|=\left|\overrightarrow{ML}\right|$

Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.

a) Ta có:

 $\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}\iff \overrightarrow{MA}=k(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})\iff \overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và song song với cạnh BC của DABC.

b) Gọi J là trung là điểm AB, I là trung điểm JC ta có   $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}$

Do đó $\overrightarrow{v}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$  M thuộc đường thẳng đi qua I và song song với BC.

a) Gọi K là điểm thoả mãn: $2\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

L là điểm thoả mãn: $3\overrightarrow{LB}-2\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|\iff \left|\overrightarrow{MK}\right|=\left|\overrightarrow{ML}\right|$

Þ Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.

b) Với I là trung điểm của BC. Gọi J là điểm thoả mãn: $4\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

$\iff \left|6\overrightarrow{MJ}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MI}\right|\iff \left|6\overrightarrow{MJ}\right|=\left|2\overrightarrow{IA}\right|\iff MJ=\frac{1}{3}IA$

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J bán kính $R=\frac{1}{3}IA$.  

a) $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}\iff \overrightarrow{OB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{CI}$ với I là trung điểm BD

b) $\left|\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|\iff \left|\overrightarrow{MO}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|$

Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn OA.       

Gọi P là trọng tâm của $\Delta ABC$ , Q là trọng tâm của  $\Delta DEF$                                                           

 $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$+ $\left|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right|$ =$3\left|\overrightarrow{MP}\right|+3\left|\overrightarrow{MQ}\right|=3\left(MP+MQ\right)\ge 3QP$

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn PQ

Gọi hai điểm $M_0,N_0$ lần lượt thuộc tia Ox và Oy sao cho $O{M}_0=O{N}_0=\frac{a}{2}$. Giả sử $OM=k,0\le k\le a$ khi đó ta có $\overrightarrow{MI}=\frac{a-k}{a}\overrightarrow{M_0{N}_0}$. Do đó tập hợp điểm I là đoạn $M_0{N}_0$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}+5\overrightarrow{MP}$

$\begin{array}{l}=5\overrightarrow{AP}-4\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AD}\\ =2(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN})-2\overrightarrow{AD}\end{array}$

 $=2\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.

Chọn A

G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}.$                                     

Suy ra $a^2\overrightarrow{GA}+b^2\overrightarrow{GB}+c^2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$   

$\begin{array}{l}\iff a^2\left(-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\right)+b^2\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.\\ \iff \left(b^2-a^2\right)\overrightarrow{GB}+\left(c^2-a^2\right)\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.\left(*\right)\end{array}$                                                                              

Vì  $\overrightarrow{GB}$ và $\overrightarrow{GC}$  là hai vecơ không cùng phương, do đó (*) tương đương với:

 $\left\{\begin{array}{l}{b}^2-a^2=0\\ c^2-a^2=0\end{array}\right.\iff a=b=c$ hay tam giác ABC đều.

Chọn A

Giả sử  $\overrightarrow{AB\text{'}}=m\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC\text{'}}=n\overrightarrow{AB}$

Suy ra $\overrightarrow{BB\text{'}}=\overrightarrow{AB\text{'}}-\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

và $\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{AC\text{'}}-\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

Mặt khác A' là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AA\text{'}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

Do đó $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

$\iff \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+m\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

hay $\left(n-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AB}+\left(m-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

Vì $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $m=n=\frac{1}{2}$ do đó B', C' lần lượt là trung điểm của CA, AB

Vậy BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC.

Đặt $\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{AC},\overrightarrow{OC}=y\overrightarrow{AC},\overrightarrow{OB}=z\overrightarrow{BD},\overrightarrow{OD}=t\overrightarrow{BD}$

Suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\iff \left(x+y\right)\overrightarrow{AC}+\left(z+t\right)\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$

Do đó $x=-y;z=-t\Rightarrow OA=OC,OB=OD$ nên tứ giác ABCD là hình bình hành.       

Chọn A

Ta có $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AA\text{'}}+\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}+\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}=\overrightarrow{0}$

 AA' cũng là trung tuyến của tam giác ABC

Giả sử  $\overrightarrow{A\text{'}B}=k\overrightarrow{A\text{'}C},\overrightarrow{B\text{'}C}=m\overrightarrow{B\text{'}A},\overrightarrow{C\text{'}A}=n\overrightarrow{C\text{'}B}$

$\overrightarrow{A\text{'}B}=k\overrightarrow{A\text{'}C}\iff \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA\text{'}}=k\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AA\text{'}}\right)\iff \overrightarrow{AA\text{'}}=\frac{\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{AC}}{1-k}$