10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 9

Lời giải:

150 : 5 = 30

1600cm² = 0,16m²

Lời giải:

Ta có: \(\frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}\).

Lời giải:

\( - \left( {\frac{{43}}{8} + x - \frac{{173}}{{24}}} \right):\frac{{50}}{3} = 0\)

\( - \left( {\frac{{43}}{8} + x - \frac{{173}}{{24}}} \right) = 0 \times \frac{{50}}{3}\)

\( - \left( {\frac{{43}}{8} + x - \frac{{173}}{{24}}} \right) = 0\)

\(\frac{{43}}{8} + x - \frac{{173}}{{24}} = 0\)

        \(x = 0 - \frac{{43}}{8} + \frac{{173}}{{24}}\)

        \(x = 0 - \frac{{129}}{{24}} + \frac{{173}}{{24}}\)

        \(x = \frac{{11}}{6}\)

Lời giải.

100 : {250 : [450 – (4.5³ – 2².25)]}

= 100 : {250 : [450 –( 4.5³ – 4.5²)]}

= 100 : {250 : [450 – 4.5².4]}

= 100 : {250 : (450 – 400)}

= 100 : {250 : 50}

= 100 : 5

= 20

Lời giải:

18 giờ trong hệ 24 giờ là 6 giờ trong hệ 12 giờ.

Lời giải

Ta có: 1 giờ = 60 phút

Vậy 18 phút = \(\frac{{18}}{{60}}\) giờ = \(\frac{{18:6}}{{60:6}}\) giờ = \(\frac{3}{{10}}\) giờ.

Lời giải

Ta có: 1978 = 8 (mod 10) Þ 1978⁴ = 6 (mod 10)

Mặt khác \({1978^{4k}} = 6\) (mod 10)

Vậy chữ số tận cùng của \({1978^{{{1986}^8}}}\)là 6.

Lời giải

1 980 : {(-22).27 + [(15 + 2³) - 3².5].3}

= 1 980 : {(-22).27 + [(15 + 8) - 9.5].3}

= 1 980 : {(-22).27 + [23 – 45].3}

= 1 980 : {(-22).27 + (-22).3}

= 1 980 : {-594 -66}

= 1 980 : (-660)

= 3

Lời giải

Ta có: 1 dm³ = \(\frac{1}{{1000}}\) m³

Ta có: 1 km² = 10 000 dam² 

Lời giải

Ta có: 1m³ = 1 000 dm³ 

Lời giải

Giả sử tồn tại n để 2ⁿ – 1  = a²

Suy ra a lẻ. Khi đó:

a² – 1 = 2ⁿ – 2

 (a – 1) (a + 1) = 2 (2^n-1 – 1)

Vì a lẻ nên a = 2k + 1 suy ra 2k(2k + 2) = 2 (2^n-1 – 1)

Do đó 4k(k + 1) = 2 (2^n-1 – 1) (vô lí)

Vậy với mọi n thì 2ⁿ – 1 không là số chính phương.

Lời giải:

Ta có: 1 phút = 60 giây nên 1 giây = \(\frac{1}{{60}}\) phút

2 phút 30 giây = 2 phút + 30 giây = 2 phút + \(\left( {30.\frac{1}{{60}}} \right)\) phút

                       = 2 phút + 0,5 phút = 2,5 phút

Lời giải:

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng 1.

Lời giải:

Ta có 1 ha = 1 000 000 dm²

Vậy 2,4 ha = 2,4 ´ 1 000 000 = 2 400 000 dm²

Lời giải:

Ta có: 1 kg = 1 000 g

Vậy 2,5 kg = 2,5 ´ 1 000 = 2 500 g

Lời giải:

\(\frac{2}{{{1^2}}}.\frac{6}{{{2^2}}}.\frac{{12}}{{{3^2}}}.\frac{{20}}{{{4^2}}}.....\frac{{110}}{{{{10}^2}}}.x =  - 20\)

\(\begin{array}{l}\frac{{1.2}}{{{1^2}}}.\frac{{2.3}}{{{2^2}}}.\frac{{3.4}}{{{3^2}}}.\frac{{4.5}}{{{4^2}}}.....\frac{{10.11}}{{{{10}^2}}}.x =  - 20\\\frac{2}{1}.\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}....\frac{{11}}{{10}}.x =  - 20\\11.x =  - 20\\x = \frac{{ - 20}}{{11}}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 20}}{{11}}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}9\frac{2}{9} + \frac{2}{3} + 7\frac{7}{9}\\ = \left( {9\frac{2}{9} + 7\frac{7}{9}} \right) + \frac{2}{3}\\ = 17 + \frac{2}{3}\\ = 17\frac{2}{3}\end{array}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}A = \frac{2}{{1.5}} + \frac{2}{{5.9}} + \frac{2}{{9.13}} + ... + \frac{2}{{81.85}}\\2A = \frac{4}{{1.5}} + \frac{4}{{5.9}} + \frac{4}{{9.13}} + ... + \frac{4}{{81.85}}\\2A = 1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{81}} - \frac{1}{{85}}\\2A = 1 - \frac{1}{{85}}\\A = \frac{{84}}{{85}}:2 = \frac{{42}}{{85}}\end{array}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}P = {2^{100}} - {2^{99}} - .... - {2^2} - 2 - 1\\2P = {2^{101}} - {2^{100}} - .... - {2^3} - {2^2} - 2\\2P - P = ({2^{101}} - {2^{100}} - .... - {2^3} - {2^2} - 2) - ({2^{100}} - {2^{99}} - .... - {2^2} - 2 - 1)\\P = {2^{101}} - {2^{100}} - .... - {2^3} - {2^2} - 2 - {2^{100}} + {2^{99}}.... + {2^2} + 2 + 1\\P = {2^{101}} - {2.2^{100}} + 1\\P = 1\end{array}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{2^2}}}{{1.3}} \times \frac{{{3^2}}}{{2.4}} \times \frac{{{4^2}}}{{3.5}} \times ... \times \frac{{{{99}^2}}}{{98.100}}\\A = \frac{{2.2}}{{1.3}} \times \frac{{3.3}}{{2.4}} \times \frac{{4.4}}{{3.5}} \times ... \times \frac{{99.99}}{{98.100}}\\A = \frac{2}{1} \times \frac{{99}}{{100}}\\A = \frac{{99}}{{50}}\end{array}\)

Lời giải:

|2x – 1| - \(\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)

\[\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\\\left| {2x - 1} \right| = \frac{5}{6}\end{array}\]

\[2x - 1 = \frac{5}{6}\] hoặc \[2x - 1 =  - \frac{5}{6}\]

\[2x = \frac{{11}}{6}\] hoặc \[2x = \frac{1}{6}\]

\[x = \frac{{11}}{{12}}\] hoặc \[x = \frac{1}{{12}}\].

Lời giải:

Ta có 1 thế kỉ = 100 năm. Từ đó 1 năm = \(\frac{1}{{100}}\) thế kỉ

Vậy ta có 20 năm = \(20 \times \frac{1}{{100}} = 0,2\) thế kỉ

Lời giải:

Ta có: 2013 = 4.503 + 1

Vì 2012 º 2 (mod 10) nên 2012⁴ º 6 (mod 10)

 \({({2012^4})^{503}} \equiv 6\,(\bmod 10)\) hay \({2012^{2012}} \equiv 6(\bmod \,\,\,10)\)

\({2012^{2013}} = {2012^{2012}}.2012 \equiv 6.2\,\,(\bmod \,\,10)\) hay \({2012^{2013}} \equiv 2\,\,(\bmod \,\,10)\)

Vậy A có chữ số tận cùng là 2.

Lời giải:

\(\begin{array}{l}\frac{{{{2016}^{10}} + {{2016}^{11}}}}{{{{2016}^{10}} - {{2016}^{11}}}}\\ = \frac{{{{2016}^{10}}.\left( {{{2016}^0} + {{2016}^1}} \right)}}{{{{2016}^{10}}.\left( {{{2016}^0} - {{2016}^1}} \right)}}\\ = \frac{{{{2016}^0} + 2016}}{{{{2016}^0} - 2016}}\\ = \frac{{1 + 2016}}{{1 - 2016}} = \frac{{2017}}{{ - 2015}} = \frac{{ - 2017}}{{2015}}\end{array}\)

Lời giải:

24m 16 cm = 24,16 m

Lời giải:

Ta có 1 dm³ = 1 000 cm³

Vậy 27 dm³ = 27 ´ 1 000 = 27 000 cm³

Lời giải:

Ta có 2n + 7 = (n + 3) + (n + 4) = (n + 3) + (n + 3) + 1

Do đó \(\frac{{(n + 3) + (n + 3) + 1}}{{n + 3}} = \frac{{2n + 6 + 1}}{{n + 3}} = \frac{{2(n + 3) + 1}}{{n + 3}} = 2 + \frac{1}{{n + 3}}\)

Để (2n + 7) chia hết cho (n + 3) thì 1 chia hết cho (n + 3)

Suy ra n + 3 ΠƯ(1)

Ta có Ư(1) Π{1; - 1}

Ta có bảng sau:

Vì n Πℕ nên 2n + 7 không chia hết cho n + 3

Lời giải:

\(\begin{array}{l}2x + 3 = 10x - 4x - 9\\2x - 10x + 4x =  - 9 - 3\\ - 4x =  - 12\\x = 3\end{array}\)

Vậy x = 3.

Lời giải:

Ta có 2x = 3y Þ \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x - y}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 15}}{1} =  - 15\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 15 \times 3 =  - 45\\y =  - 15 \times 2 =  - 30\end{array} \right.\)

Vậy x = -45; y = -30

Lời giải:

Ta có: \(2x = 3y = 5z\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2x}}{{30}} = \frac{{3y}}{{30}} = \frac{{5z}}{{30}}\\\frac{{2x}}{{30}} = \frac{{3y}}{{30}} = \frac{z}{6}\end{array}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{2x}}{{30}} = \frac{{3y}}{{30}} = \frac{z}{6} = \frac{{2x + 3y - z}}{{30 + 30 - 6}} = \frac{{15}}{{54}} = \frac{5}{{18}}\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x}}{{30}} = \frac{5}{{18}}\\\frac{{3y}}{{30}} = \frac{5}{{18}}\\\frac{z}{6} = \frac{5}{{18}}\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{25}}{6}\\y = \frac{{25}}{9}\\z = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Lời giải:

2xy(x² + xy – 3y²) = 2x³y + 2x²y² – 6xy³

Lời giải:

Ta có:

abc = a + b + c

\(\frac{{abc}}{{abc}} = \frac{{a + b + c}}{{abc}}\)

\(1 = \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} = Q\)

Ta có: \({\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right)\)

Suy ra \(P = {3^2} - 2Q = 9 - 2 = 7\)

Lời giải:

Ta có 1 tạ = 100 kg

Vậy 3,6 tạ = 3,6 ´ 100 = 360 kg

Lời giải:

Ta có: 1 phút = 60 giây = 1 giây = \(\frac{1}{{60}}\) phút

Vậy 3 phút 24 giây = 3 phút + 24 giây = 3 phút + 24 \( \times \frac{1}{{60}}\)phút

                               = \(\left( {3 + \frac{{24}}{{60}}} \right)\) phút = \(\frac{{17}}{5}\) phút

Lời giải:

\(\begin{array}{l}\frac{3}{{35}} + \frac{3}{{63}} + \frac{3}{{99}} + ... + \frac{3}{{x(x + 2)}} = \frac{{24}}{{35}}\\\frac{3}{{5.7}} + \frac{3}{{7.9}} + \frac{3}{{9.11}} + ... + \frac{3}{{x(x + 2)}} = \frac{{24}}{{35}}\\\frac{3}{2}.\left( {\frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}} + ... + \frac{2}{{x(x + 2)}}} \right) = \frac{{24}}{{35}}\\\frac{3}{2}.\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) = \frac{{24}}{{35}}\\\frac{3}{2}.\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) = \frac{{24}}{{35}}\\\frac{1}{5} - \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{35}}\\\frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{5} - \frac{{16}}{{35}}\\\frac{1}{{x + 2}} = \frac{{ - 9}}{{35}}\\x = \frac{{ - 53}}{9}\end{array}\)

Lời giải:

3 000 : 12 = 250

Lời giải:

Ta có: 1 kg = 1 000 g Þ 1g = 0,001 kg.

Vậy 3 000 g = 3 000 ´ 0,001 = 30 kg.

Lời giải:

Ta có 1 kg = 10 hg

Vậy 32,41 kg = 32,4 ´ 10 = 324 hg

Đáp án cần điền vào chỗ chấm là 324

Lời giải:

32 : (3x – 2) = 2³

32 : (3x – 2) = 8

(3x – 2) = 32 : 8

3x – 2 = 4

3x = 4 + 2

3x = 6

x = 2

Lời giải:

345 : 4 = 86,25

Lời giải:

Ta có 1mm = \(\frac{1}{{1000}}\)m

Vậy 36m2mm = 36m + 2mm = 36m + \(\left( {2 \times \frac{1}{{1000}}} \right)\)m = 36,002 m

Lời giải:

Ta có 3 780 phút = 63 giờ

Vậy 3 800 phút = 63 giờ 20 phút

Lời giải:

Ta có: \(VT = \frac{{3x + 6}}{{x + 2}} = \frac{{3(x + 2)}}{{x + 2}} = 3 = VP\,\,\)(đpcm)

Lời giải:

3x² – 6x + 9x² = 3(x² – 2 + 3x²) = 3(4x² – 2x) = 12x² – 6x = 6x (2x – 1)

Lời giải:

  4^x-2 = 64

  4^x-2 = 4³

x – 2 = 3

      x = 3 + 2

      x = 5

Vậy x = 5.

Lời giải:

Vì \[{\rm{1}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\]

nên \[430{\rm{d}}{{\rm{m}}^2} = 4{{\rm{m}}^2}{\rm{30d}}{{\rm{m}}^2}\]

Lời giải:

45,28 + 52,17 - 15,28 - 12,17 = (45,28 – 15,28) + (52,17 - 12,17)

       = 30 + 40 = 70

Lời giải:

5x = 2y Þ \(\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{2 + 5}} = \frac{{21}}{7} = 3\) 

Nên: \(\frac{x}{2} = 3 \Rightarrow x = 6\) 

         \(\frac{y}{5} = 3 \Rightarrow y = 15\) 

Vậy x.y = 6 × 15 = 90

Lời giải:

5^{x + 3} + 5^{x + 2} + 5^{x + 1} = 3875

5^x.5³ + 5^x.5² + 5^x.5¹ = 3875

5^x.(125 + 25 + 5) = 3875

5^x.155 = 3875

5^x = 25

5^x = 5²

x = 2

Vậy x = 2

Lời giải:

\(\begin{array}{l}50 + \frac{{50}}{3} + \frac{{25}}{3} + \frac{{20}}{4} + .... + \frac{{100}}{{98.99}} + \frac{1}{{99}}\\ = \frac{{100}}{{1.2}} + \frac{{100}}{{2.3}} + \frac{{100}}{{3.4}} + \frac{{100}}{{4.5}} + ... + \frac{{100}}{{98.99}} + \frac{{100}}{{99.100}}\\ = 100.\left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}} \right)\\ = 100.\left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)\\ = 100 - 1 = 99\end{array}\)

Lời giải:

Vì 50 : x dư 2 suy ra 50 – 2 ⋮ x nên 48 ⋮ x

40 : x dư 4 suy ra 40 – 4 ⋮ x nên 36 ⋮ x

27 : x dư 3 suy ra 27 – 3  ⋮ x nên 24 ⋮ x

Suy ra x \( \in \) Ư(48, 36, 24)

Ta có: 48 = 2⁴.3

          36 = 2².3²

          24 = 2³.3

Suy ra ƯCLN(48, 36, 24) = 2².3 = 12

 ƯC(48, 36, 24) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

 x \( \in \) {1;2;3;4;6;12} 

Mà để chia x dư 4 thì x ³ 4

Vậy x \( \in \) {6;12}

Lời giải:

50 năm = \(\frac{1}{2}\) thế kỷ

Lời giải:

Ta có: 1 giờ = 60 phút Þ 1 phút = \(\frac{1}{{60}}\)giờ

Vậy 50 phút = \(50 \times \frac{1}{{60}} = \frac{5}{6}\) giờ

Lời giải:

565 – 13.x = 370

13.x = 565 – 370

13.x = 195

x = 195 : 13

x = 15

Vậy x = 15

Lời giải:

Đặt tính ra nháp

 Vậy 570 : 3 = 190

Lời giải:

5dm 34 cm = 84 cm

Vì 5x = 2y

suy ra x = \(\frac{2}{5}\)y

Thay x = \(\frac{2}{5}\)y vào x³.y² = 200, ta có:

(\(\frac{2}{5}\)y)³.y² = 200

\(\frac{8}{{125}}\)y⁵ = 200

y⁵ = 3125

y⁵ = 5⁵

y = 5

suy ra: x = \(\frac{2}{5}\).5 = 2

Vậy x = 2, y = 5.

Lời giải:

Gợi ý: Áp dụng các tính chất của thứ tự thực hiện phép tính:

- Thực hiện phép tính trong dấu ngoặc trước.

- Thực hiện phép tính nâng lên lũy thừa trước, rồi đến phép tính nhân và chia, cuối cùng đến phép cộng và trừ.

\(\frac{{69}}{{157}}\) - (2 + (3 + (4 + 5^-1)^-1)^-1)^-1 = \(\frac{{69}}{{157}}\) - (2 + (3 + (4 + \(\frac{1}{5}\))^-1)^-1)^-1

= \(\frac{{69}}{{157}}\) - (2 + (3 + (\(\frac{{21}}{5}\))^-1)^-1)^-1 = \(\frac{{69}}{{157}}\) - (2 + (3 + \(\frac{5}{{21}}\))^-1)^-1

= \(\frac{{69}}{{157}}\) - (2 + (\(\frac{{68}}{{21}}\))^-1)^-1 = \(\frac{{69}}{{157}}\) - (2 + \(\frac{{21}}{{68}}\))^-1

= \(\frac{{69}}{{157}}\) - (\(\frac{{157}}{{68}}\))^-1 = \(\frac{{69}}{{157}}\) - \(\frac{{68}}{{157}}\) = \(\frac{1}{{157}}\)

Lời giải:

Gợi ý: Áp dụng các tính chất của thứ tự thực hiện phép tính:

- Thực hiện phép tính trong dấu ngoặc trước.

- Nhân chia trước, cộng trừ sau.

7\(\frac{3}{5}\) - (2\(\frac{5}{7}\)+5\(\frac{3}{5}\)) = \(\frac{{38}}{5}\) - (\(\frac{{19}}{7}\) + \(\frac{{28}}{5}\))

= \(\frac{{38}}{5}\) - \(\frac{{19}}{7}\) - \(\frac{{28}}{5}\) = (\(\frac{{38}}{5}\) - \(\frac{{28}}{5}\)) - \(\frac{{19}}{7}\) = 2 - \(\frac{{19}}{7}\) = \(\frac{{14}}{7}\) - \(\frac{{19}}{7}\)

= -\(\frac{5}{7}\)

Lời giải:

Vì \(\frac{7}{5}\) = \(\frac{{\rm{y}}}{{\rm{x}}}\)

nên y = \(\frac{7}{5}\)x

Thay y = \(\frac{7}{5}\)x vào x + y = -36, ta có:

x + \(\frac{7}{5}\)x = -36

    \(\frac{{12}}{5}\)x = -36

         x = -15

Suy ra y = -15. \(\frac{7}{5}\) = -21

Vậy x= -15, y = -21

Lời giải:

Gợi ý: 1g = 0,001kg

70kg 3g = 70,003kg

Lời giải:

720 : 12 = 60

Lời giải:

75 : (x – 18) = 5²

75 : (x – 18) = 25

 x – 18 = 75 : 25 = 3

x = 3 + 18 = 21

Vậy x = 21

=?

Lời giải:

76 - 6(x - 1) = 10

6(x - 1) = 76 – 10 = 66

x - 1 = 66 : 6 = 11

x = 11 + 1 =12

Vậy x = 12

Lời giải:

Gợi ý: Sử dụng hằng đẳng thức số 3

81x⁴ – 4 = (9x²)² – 2² = (9x² – 2)(9x² + 2)

Lời giải:

890 \( \times \) 3 = 2670

Lời giải:

Gợi ý: 1m =0,001km

8km 62m = 8,062km

Lời giải:

9 tấn 5 tạ = 9,5 tấn

Lời giải:

Ta có: 3.(a² + b² + c²) = (a + b + c)(a² + b² + c²)

     = a³ + ab² + ac² + a²b + b³ + bc² + ca² + cb² + c³

     = (a³ + b³ + c³) + (ab² + bc² + ca²) + (a²b + b²c +c²a)

Áp dụng BĐT AM – GM, ta có:

· a³ + ab² \( \ge \) \(2\sqrt {{{\rm{a}}^4}{{\rm{b}}^2}} \)= 2a²b

· b³ + bc² \( \ge \) \(2\sqrt {{{\rm{b}}^4}{{\rm{c}}^2}} \)= 2b²c

· c³ + ca² \( \ge \) \(2\sqrt {{{\rm{c}}^4}{{\rm{a}}^2}} \)= 2c²a

Suy ra (a³ + b³ + c³) + (ab² + bc² + ca²) \( \ge \) 2.(a²b + b²c +c²a)

 (a³ + b³ + c³) + (ab² + bc² + ca²) + (a²b + b²c +c²a) \( \ge \) 3.(a²b + b²c +c²a)

 3.(a² + b² + c²) \( \ge \) 3.(a²b + b²c +c²a)

 a² + b² + c² \( \ge \) a²b + b²c +c²a

\(\frac{1}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{b  +  }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{c  +  }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{a}}}} \ge \frac{1}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}\)

 a² + b² + c² +\(\frac{{{\rm{ab  +  bc  + }}{\rm{ ca}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{b  +  }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{c  +  }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{a}}}} \ge \frac{{{\rm{ab  +  bc  +  ca}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}\)+ a² + b² + c² 

                =\(\frac{{{{({\rm{a  +  b  +  c)}}}^2} - ({{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}})}}{{\rm{2}}}.\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ +  }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}\)+a²+b²+c²

Gọi a² + b² + c² = t

Suy ra P \( \ge \) \(\frac{{{3^2} - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\)+ t = \(\frac{{9 - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\) + t

Bài toán trở thành tìm GTNN của \(\frac{{9 - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\) + t

Theo BĐT Bunhiacopxki, ta có:

(a² + b² + c²)(1² + 1² + 1²) \( \ge \) (a.1 + b.1 + c.1)²

 a² + b² + c² \( \ge \) \[\frac{{{{({\rm{a  +  b  +  c)}}}^2}}}{3}\] = \[\frac{{{3^2}}}{3}\] = \[\frac{9}{3}\]

t \( \ge \) 3

Đặt A = \(\frac{{9 - {\rm{t}}}}{{{\rm{2t}}}}\) + t

Thử các giá trị của t, ta có:

t = 3 thì A = 4

t = 3,5 thì  A = 4,29

t = 4 thì  A = 4,625

t = 5 thì  A = 5,4

t = 6 thì  A = 6,25

Nhận thấy biểu thức A tăng dần khi t tăng

Do đó \[{{\rm{A}}_{\min }}\] = 4 tại t = 3

Vậy \[{{\rm{P}}_{\min }}\] = 4 tại a = b = c = 1.

Lời giải:

a) Giả sử \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2n  +  7}} \vdots {\rm{a}}\\{\rm{5n  +  2}} \vdots {\rm{a}}\end{array} \right.\) (1)

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{10n  +  35}} \vdots {\rm{a}}\\{\rm{10n  +  4}} \vdots {\rm{a}}\end{array} \right.\]

Do đó \[({\rm{10n  +  35)}} - ({\rm{10n  +  4}}) \vdots {\rm{a}}\] hay \[31 \vdots {\rm{a}}\]

Suy ra \[{\rm{a}} = {\rm{\{ }} \pm 1; \pm 31\} \]

Từ (1) ta có \[(5{\rm{n  +  2)}} - (2{\rm{n  +  7}}) \vdots {\rm{a}}\] hay \[3{\rm{n}} - 5 \vdots {\rm{a}}\]

Tiếp tục lấy hiệu, ta được:

\[(3{\rm{n}} - 5{\rm{)}} - (2{\rm{n  +  7}}) \vdots {\rm{a}}\] hay \[{\rm{n}} - 12 \vdots {\rm{a}}\] suy ra \[{\rm{n}} - 12 \vdots 31\]

Do đó n – 12 = 31.k (k\[ \in \]N)

Nên n = 31k + 12

Vậy để \(\frac{{2{\rm{n  +  7}}}}{{5{\rm{n  +  2}}}}\)tối giản thì n\[ \ne \]31k + 12 với mọi n \[ \in \]ℕ, k \[ \in \]ℕ.

b) \(\frac{{{\rm{18n  +  3}}}}{{{\rm{21n  +  7}}}} = \frac{{{\rm{3(6n  +  1) }}}}{{{\rm{7(3n  +  1)}}}}\)

Ta thấy 3; 7; 6n + 1; 3n + 1 đều là các số nguyên tố cùng nhau.

Để \(\frac{{{\rm{18n  +  3}}}}{{{\rm{21n  +  7}}}}\) tối giản

\({\rm{6n  +  1}}\) không chia hết cho 7

Mà \({\rm{6n  +  1}}\)= 7n – (n – 1)

Nên n – 1 không chia hết cho 7

Suy ra \({\rm{n}} - {\rm{1}} \ne {\rm{7k}}\)

Do đó \({\rm{n}} \ne {\rm{7k}} + {\rm{1}}\)

Vậy để \(\frac{{{\rm{18n  +  3}}}}{{{\rm{21n  +  7}}}}\)tối giản thì \({\rm{n}} \ne {\rm{7k}} + {\rm{1}}\)với mọi n \[ \in \]ℕ, k \[ \in \]ℕ.

Lời giải:

a² – b² = (a – b)(a + b)

Lời giải:

\(\frac{{{{\rm{a}}^2}}}{{\rm{x}}} + \frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{\rm{y}}} \ge \frac{{{{({\rm{a  + }}{\rm{ b)}}}^2}}}{{{\rm{x  +  y}}}}\)\[ \Rightarrow \]\[{\rm{(}}{{\rm{a}}^2}{\rm{y  +  }}{{\rm{b}}^2}{\rm{x}})({\rm{x  + }}{\rm{ y)}} \ge {({\rm{a  + }}{\rm{ b)}}^2}{\rm{xy}}\]

\[{{\rm{a}}^2}{\rm{xy  + }}{{\rm{a}}^2}{{\rm{y}}^2} + {{\rm{b}}^2}{\rm{xy  + }}{\rm{ }}{{\rm{b}}^2}{\rm{x}} \ge {{\rm{a}}^2}{\rm{xy}} + 2{\rm{abx}}y{\rm{  + }}{\rm{ }}{{\rm{b}}^2}{\rm{xy}}\]

\[{({\rm{ay}} - {\rm{bx)}}^2} \ge 0\]với mọi a, b, x, y.

Lời giải:

Ta có: \(\frac{{{\rm{9}}{{\rm{a}}^2}}}{{5{{\rm{a}}^2} + {{({\rm{b}} + {\rm{c)}}}^2}}} = \frac{{{\rm{9}}{{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{(}}{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}) + 2({{\rm{a}}^2} + {\rm{bc)}}}}\)

\( = \frac{{{{({\rm{a}} + 2{\rm{a)}}}^2}}}{{{\rm{(}}{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}) + 2(2{{\rm{a}}^2} + {\rm{bc)}}}}\) \[ \le \frac{{{{\rm{a}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}}} + \frac{{{\rm{4}}{{\rm{a}}^2}}}{{2(2{{\rm{a}}^2} + {\rm{bc)}}}} = \frac{{{{\rm{a}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}}} + \frac{{{\rm{2}}{{\rm{a}}^2}}}{{2{{\rm{a}}^2} + {\rm{bc}}}}\]

Suy ra: \[\sum {\frac{{{{\rm{a}}^2}}}{{5{{\rm{a}}^2} + {{({\rm{b}} + {\rm{c)}}}^2}}}}  \le \frac{1}{9}\sum {\left[ {\frac{{{{\rm{a}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}}} + \frac{{{\rm{2}}{{\rm{a}}^2}}}{{2{{\rm{a}}^2} + {\rm{bc}}}}} \right] \le \frac{1}{3}} \]

Lời giải:

Ta có: \[\frac{{{{\rm{a}}^2}}}{{{{\rm{b}}^2}}} + \frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{c}}^2}}} + \frac{{{{\rm{c}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}} = \frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}} + \frac{{\rm{b}}}{{\rm{c}}} + \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}\]

a⁴c² + b⁴a² + c⁴b² = abc(a²c + c²a + b²c)

Đặt x = a²c, y = b²a, z = c²b. Ta được:

x² + y² + z² = xy + yz + zx

 2(x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 0

( x² + y² – 2xy) + (y² + z² – 2yz) + (x² + z² – 2zx) = 0

(x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 0

 x = y = z

 a²c = b²a = c²b

ac = b²; bc = a²; ab = c²

 a = b = c (đpcm).

Lời giải:

Ta có : a³ – 3ab² = 2 ; b³ – 3a²b = -11

 (a³ – 3ab²)² + (b³ – 3a²b)² = 125

a⁶ + 3a⁴b² + 3a²b⁴ + b⁶ = 125

 (a² + b²)³ = 5³

 a² + b² = 5.

Lời giải:

Ta có : a³ – 3ab² = 2 ; b³ – 3a²b = -11

 (a³ – 3ab²)² + (b³ – 3a²b)² = 125

a⁶ + 3a⁴b² + 3a²b⁴ + b⁶ = 125

 (a² + b²)³ = 5³

 a² + b² = 5.

Lời giải:

A = 3²⁰²² – 2²⁰²² + 3²⁰²⁰ – 2²⁰²⁰ = 3²⁰²⁰.3² – 2²⁰²⁰.2² + 3²⁰²⁰ – 2²⁰²⁰ 

= 3²⁰²⁰.(9 + 1) – 2²⁰²⁰(4 + 1) = 10. 3²⁰²⁰ – 5.2.2²⁰¹⁹ = 10. 3²⁰²⁰ – 10. 2²⁰¹⁹

= 10.(3²⁰²⁰ – 2²⁰¹⁹)

Suy ra 10.(3²⁰²⁰ – 2²⁰¹⁹) \( \vdots \) 10

Do đó A \( \vdots \) 10 (đpcm).

Lời giải:

Ta có: \[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AK}}} {\rm{)}}{\rm{.(}}\overrightarrow {{\rm{MA}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{MB}}} {\rm{ + 2}}\overrightarrow {{\rm{MC}}} {\rm{) = 0}}\]

\[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AK}}} {\rm{)}}{\rm{.(}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{KA}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{KB}}} {\rm{ + 2}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + 2}}\overrightarrow {{\rm{KC}}} {\rm{) = 0}}\]

\[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AK}}} {\rm{)}}{\rm{.(4}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{KA}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{KB}}} {\rm{ + 2}}\overrightarrow {{\rm{KC}}} {\rm{) = 0}}\]

\[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AK}}} {\rm{)}}{\rm{.4}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ = 0}}\]

\[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + 3}}\overrightarrow {{\rm{KJ}}} {\rm{)}}{\rm{.4}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ = 0}}\]

\[{\rm{3}}\overrightarrow {{\rm{MJ}}} {\rm{.4}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ = 0}}\]

\[\overrightarrow {{\rm{MJ}}} {\rm{.}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ = 0}}\]

Suy ra MK \[ \bot \] MJ hay \(\widehat {JMK} = 90^\circ \)

Vậy tập hợp điểm M là: M thuộc đường tròn đường kính KJ.

Lời giải:

\[\frac{{{{( - 2)}^{24}}{{.3}^5} - {4^{12}}{{.9}^2}}}{{{8^8}{{.3}^5}}} + \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + ... + \frac{2}{{301.303}}\]

= \[\frac{{{2^{24}}{{.3}^5} - {2^{24}}{{.3}^4}}}{{{2^{24}}{{.3}^5}}} + 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{301}} - \frac{1}{{303}}\]

= \[\frac{{{2^{24}}{{.3}^4}.(3 - 1)}}{{{2^{24}}{{.3}^5}}} + \frac{{302}}{{303}}\]= \[\frac{2}{3} + \frac{{302}}{{303}}\]

= \[\frac{{168}}{{101}}\]

Lời giải:

Là số có các chữ số khác nhau.

Lời giải:

Ta có: ƯCLN(a, b) = 6 suy ra a = 6x; b = 6y

Mà a.b = 846 nên x.y = 24

Ta có bảng sau:

Lời giải:

Độ dài đường kính là: 2×3 = 6cm.

Lời giải:

(2^a + 2^-a)² = 4^a + 2.2^a.2^-a+ 4^-a = 5 + 2 = 7

Nên 2^a + 2^-a  = \(\sqrt 7 \).

(4^a + 4^-a)² = 4^2a  + 4^-2a + 2.4^a.4^-a 

Suy ra 4^2a  + 4^-2a = 5² – 2 = 23.

Lời giải:

35 = 5×7

180 = 2²×5×3²

28 = 2²×7

⇒ BCNN (35, 180, 28)) = 2²×3²×5×7 = 1260

Lời giải:

60 = 2²×3×5

220 = 2²×5×11

Suy ra BCNN (60, 220) = 2²×3×5×11 = 660

Lời giải:

Các số là ước của 78 và là bội của 26 là: 26, 78.

Lời giải:

\[\begin{array}{l}P = \left( {1 - \frac{1}{{1 + 2}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{1 + 2 + 3}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{1 + 2 + 3 + ... + 2014}}} \right)\\ = \frac{{(1 + 2)2:2 - 1}}{{(1 + 2)2:2}}.\frac{{(1 + 3)3:2 - 1}}{{(1 + 3)3:2}}...\frac{{(1 + 2014)2014:2 - 1}}{{(1 + 2014)2014:2}}\\ = \frac{2}{{2.3:2}}.\frac{5}{{3.4:2}}....\frac{{2029104}}{{2014.2015:2}}\\ = \frac{{1.4}}{{2.3}}.\frac{{2.5}}{{3.4}}...\frac{{2013.2016}}{{2014.2015}}\\ = \frac{{1.2...2013}}{{2.3...2014}}.\frac{{4.5...2016}}{{3.4...2015}}\\ = \frac{1}{{2014}}.\frac{{2016}}{3} = \frac{{336}}{{1007}}\end{array}\]

\(\)\(\frac{{2014}}{{2016}}P = \frac{{2014}}{{2016}}.\frac{{337}}{{1007}} = \frac{1}{3}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}C = \frac{{2.2022}}{{1 + \frac{1}{{2.3:2}} + \frac{1}{{3.4:2}} + ... + \frac{1}{{2022.2023:2}}}}\\ = \frac{{2.2022}}{{\frac{2}{{1.2}} + \frac{2}{{2.3}} + \frac{2}{{3.4}} + ... + \frac{2}{{2022.2023}}}}\\ = \frac{{2022}}{{\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{2022.2023}}}}\\ = \frac{{2022}}{{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2023}}}}\\ = \frac{{2022}}{{1 - \frac{1}{{2023}}}} = 2022:\frac{{2022}}{{2023}} = 2023\end{array}\)

Lời giải:

abc = 100a + 10b + c

Suy ra abc chia 7 dư 100.1 + 10.2 + 5 = 125

Mà 125 chia 7 dư 6

Suy ra abc chia 7 dư 6.

Lời giải:

Số nhỏ nhất có 3 chữ số chia 5 dư 2 là: 102

Số lớn nhất có 3 chữ số chia 5 dư 2 là : 997

Số các số có 3 chữ số chia 5 dư 2 là: (997 – 102) : 5 + 1 = 180 (số)

Lời giải:

0 và 1.

Lời giải:

5  = 1 + 4 + 0 = 2 + 3 + 0

Các số có 3 chữ số khác nhau có tổng các chữ số bằng 5 là: 104, 140, 410, 401, 320, 302, 203, 230.

Vậy có  số thỏa mãn.

Lời giải:

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{2} = \frac{{y - x}}{{7 - 5}} = \frac{{48}}{2}\)

Mà y – x = 48 suy ra x = 120, y = 168

Suy ra z = 48

Lời giải:

Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là: 120 : 2  = 60m

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là : 60 : (5 + 7).7  = 35m

Chiều rộng của mảnh vườn là: 60 – 35 = 25m

Diện tích của lối đi là: 35.25 : 25 = 35 (m²)

Lời giải:

100! = 1.2.3…100

Tích các thừa số có tận cùng bằng 0 là: 10, 20, 30, 40, 60, 70, 80, 90, 100 có 10 chữ số 0

Tích các thừa số có tận cùng bằng 5: 5, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95 cho 1 chữ số 0 tận cùng khi nhân với thừa số chẵn

Số 50 khi nhân với thừa số chẵn cho 2 chữ 0 tận cùng

Số 24 × 4, 75 × 16 cho 2 chữ số 0 tận cùng

Vậy số chữ số 0 tận cùng của 100! là 10 + 8 + 2 + 4 = 24 chữ số.

Lời giải:

\(2\frac{5}{8} = \frac{{21}}{8} = 2,625\)

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{6} = \frac{{x + y + z}}{{5 + 6 + 3}} = \frac{{168}}{{14}} = 12\)

Suy ra \(x = 60,y = 36,z = 72\)