Giả sử $\sqrt{3}$ không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho $\sqrt{3}=\frac{a}{b}$ với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và –1.

Ta có ${\left(\sqrt{3}\right)}^2={\left(\frac{a}{b}\right)}^2$ hay a² = 3b²   (1)

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, nghĩa là ta có a = 3c, với c là số nguyên.

Thay a = 3c vào (1) ta được: (3c)² = 3b² hay b² = 3c².

Kết quả trên chứng tỏ b chia hết cho 3.

Hai số a và b đều chia hết cho 3, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và –1.

Khi đó  $\sqrt{3}$ là số vô tỉ.

Vậy $\sqrt{3}$ không phải là số hữu tỉ.

Ta có x⁴ + 4 = 5x²

⇔ x⁴ – 5x² + 4 = 0

⇔ x⁴ – 4x² – x² + 4 = 0

⇔ x²(x² – 4) – (x² – 4) = 0

⇔ (x² – 1)(x² – 4) = 0

⇔ (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\\ x=2\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; –1; 2; –2}.

Đáp án cần chọn là: C

Gọi số có 4 chữ số cần tìm là $\overline{abcd}$ (a, b, c, d ∈ ℕ, 0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0, a ≠ b ≠ c ≠ d).

Số cách chọn a là 9 cách (a ≠ 0).

Số cách chọn b là 9 cách.

Số cách chọn c là 8 cách.

Số cách chọn d là 7 cách.

⇒ Không gian mẫu là n(Ω) = 9.9.8.7 = 4536.

Gọi biến cố A: “Số được chọn có tổng là các chữ số chẵn”.

Gọi biến cố B: “Số được chọn có tổng là các chữ số lẻ”.

⇒ a + b + c + d là số lẻ và P(B) = 1 – P(A).

Ta có các trường hợp sau:

TH1: a lẻ và b, c, d chẵn.

Chọn a có 5 cách chọn.

Chọn b, c, d có $A_5^3=60$ cách chọn.

⇒ Có 5.60 = 300 số thỏa TH1.

TH2: b lẻ và a, c, d chẵn.

Chọn b có 5 cách chọn.

Chọn a có 4 cách chọn.

Chọn c có 4 cách chọn.

Chọn d có 3 cách chọn.

⇒ Có 5.4.4.3 = 240 số thỏa TH2.

TH3: c lẻ và a, b, d chẵn.

Chọn c có 5 cách chọn.

Chọn a có 4 cách chọn.

Chọn b có 4 cách chọn.

Chọn d có 3 cách chọn.

⇒ Có 5.4.4.3 = 240 số thỏa TH3.

TH4: d lẻ và a, b, c chẵn.

Chọn d có 5 cách chọn.

Chọn a có 4 cách chọn.

Chọn b có 4 cách chọn.

Chọn c có 3 cách chọn.

⇒ Có 5.4.4.3 = 240 số thỏa TH4.

TH5: a, b, c lẻ và d chẵn.

Chọn d có 5 cách chọn.

Chọn a, b, c có $A_5^3=60$ cách chọn.

⇒ Có 5.60 = 300 số thỏa TH5.

TH6: a, b, d lẻ và c chẵn.

Chọn c có 5 cách chọn.

Chọn a, b, d có $A_5^3=60$ cách chọn.

⇒ Có 5.60 = 300 số thỏa TH6.

TH7: a, c, d lẻ và b chẵn.

Chọn b có 5 cách chọn.

Chọn a, c, d có $A_5^3=60$ cách chọn.

⇒ Có 5.60 = 300 số thỏa TH7.

TH8: b, c, d lẻ và a chẵn.

Chọn a có 4 cách chọn.

Chọn b, c, d có $A_5^3=60$ cách chọn.

⇒ Có 4.60 = 240 số thỏa TH8.

Xác suất của biến cố B là: $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{300.4+240.4}{4536}=\frac{10}{21}$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=1-P\left(B\right)=\frac{11}{21}$.

Đáp án đúng là: D

Số liền trước của 20 là 19.

Ta có: 20 + 19 = 39.

Vậy tổng của 20 và số liền trước của nó là 39.

Đáp án cần chọn là: C

Trong khai triển nhị thức (a + b)ⁿ thì số các số hạng là n + 1 nên trong khai triển (3 – 2x)⁵ có 5 + 1 = 6 số hạng.

Đáp án cần chọn là: A

$S=\frac{1}{\sin 10°}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10°}=\frac{\frac{1}{2}\cos 10°-\frac{\sqrt{3}}{2}.\sin 10°}{\frac{1}{2}\sin 10°.\cos 10°}$

$=\frac{\sin 30°.\cos 10°-\cos 30°.\sin 10°}{\frac{1}{4}\sin 20°}$

$=\frac{4.\sin 20°}{\sin 20°}=4$.

Đáp án cần chọn là: B

Vì khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều và các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau nên hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi O là trọng tâm của tam giác đều ABC.

⇒ SO ⊥ (ABC) và $AO=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

$\Rightarrow \left(SA,\left(ABC\right)\right)=\left(SA,AO\right)=\widehat{SAO}=45°$.

Tam giác SAO vuông tại O: $SO=AO.\tan \widehat{SAO}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\tan 45°=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: $V=\frac{1}{3}.SO.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2}{12}$.

Ta có $x^2-x+\frac{1}{4}=x^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$.

Đáp án cần chọn là: B

ĐKXĐ: x ≠ m².

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-m^2-1}{{\left(x-m^2\right)}^2}=\frac{-\left(m^2+1\right)}{{\left(x-m^2\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall m$.

Khi đó hàm số $y=\frac{x+1}{x-m^2}$ nghịch biến trên tập xác định của nó.

Vì vậy $\underset{\left[-3;-2\right]}{\min }y=y\left(-2\right)=\frac{-2+1}{-2-m^2}=\frac{1}{2}$.

⇔ –2 = –2 – m².

⇔ m² = 0.

⇔ m = 0 ∈ (–2; 3].

Ta có:

$\frac{1}{1^2}=\frac{1}{1\cdot 1}<\frac{1}{1\cdot 2};$

$\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2\cdot 2}<\frac{1}{2\cdot 3};$

$\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3\cdot 3}<\frac{1}{3\cdot 4};$

…

$\frac{1}{{50}^2}=\frac{1}{50\cdot 50}<\frac{1}{50\cdot 51}.$

Suy ra $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{50}^2}<\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\mathrm{...}\frac{1}{50\cdot 51}$

Do đó $A<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{50}-\frac{1}{51}.$

Hay $A<\frac{1}{1}-\frac{1}{51}=\frac{50}{51}<1.$

Vậy A < 1.

Ta có: A = 2x² – 8x + 10 = 2(x² – 4x + 4) + 2 = 2(x – 2)² + 2.

Ta thấy (x – 2)² ≥ 0 với mọi x nên 2(x – 2)² + 2 ≥ 2 với mọi x.

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)² = 0, hay x = 2.

Vậy minA = 2 tại x = 2.

5 lần thùng thứ nhất bằng 3 lần thùng thứ hai

Hay: thùng thứ nhất bằng $\frac{3}{5}$  thùng thứ hai

Ta có sơ đồ:

Tổng số phần bằng nhau :

3 + 5 = 8 (phần)

Giá trị một phần :

96 : 8 = 12 (lít)

Số lít dầu thùng thứ nhất đựng:

12 x 3 = 36 (lít)

Số lít dầu thùng thứ hai đựng :

12 x 5 = 60 (lít)

Đáp số : 36 (lít); 60 (lít).

Đáp án đúng là: A

Vì Oy ⊥ (Oyz) nên góc giữa mặt phẳng (Oyz) và trục Oy là 0°.

Đáp án đúng là: B

Theo định lí Ơ-le, ta có: D – C + M = 2.

Giả sử M, C, D đều là số lẻ.

Khi đó D + M là số chẵn.

Suy ra D – C + M là số lẻ (mâu thuẫn với định lí Ơ-le).

Vì vậy ta loại phương án A, C.

Ta có năm loại khối đa diện đều có M, C, D đều là số chẵn là tứ diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.

Do đó phương án B đúng nhất.

Gọi x, y lần lượt là thời gian đội một, đội hai làm một mình xong công việc (x, y > 0).

Trong một ngày, đội 1 làm được $\frac{1}{x}$  công việc.

Trong một ngày, đội 2 làm được $\frac{1}{y}$  công việc.

Ta có hai đội cùng làm thì trong 18 ngày xong công việc.

Suy ra hai đội cùng làm trong 1 ngày thì được $\frac{1}{18}$  công việc.

Tức là,  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{18}$    (1)

Lại có đội một làm 6 ngày, sau đó đội hai làm tiếp 8 ngày nữa thì được 40% công việc.

Suy ra $6.\frac{1}{x}+8.\frac{1}{y}=40\%$       (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{18}\\ 6.\frac{1}{x}+8.\frac{1}{y}=40\%=\frac{2}{5}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{45}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{30}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=45\left(n\right)\\ y=30\left(n\right)\end{array}\right.$

Vậy đội 1 làm một mình thì hết 45 ngày xong công việc; đội 2 làm một mình thì hết 30 ngày xong công việc.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định D = ℝ.

Ta có y’ = 4x³ – 12x².

Cho y’ = 0 ⇔ 4x³ – 12x² = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{3}\end{array}\right.$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\sqrt{3};+\infty \right)$  nên cũng đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên mỗi khoảng xác định của nó.

Đáp án đúng là: A

Với mọi n, ta có: –1 ≤ cosn² ≤ 1.

⇔ –2 ≤ 2cosn² ≤ 2.

$\iff \frac{-2}{n^2+1}\le \frac{2\cos n^2}{n^2+1}\le \frac{2}{n^2+1}$.

Lại có:

⦁ $\lim \frac{-2}{n^2+1}=\lim \frac{-\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{-0}{1+0}=0$ ;

⦁ $\lim \frac{2}{n^2+1}=\lim \frac{\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{0}{1+0}=0$ .

Vậy $\lim \frac{2\cos n^2}{n^2+1}=0$ .

Chu vi hình chữ nhật đó là:

(15 + 8) × 2 = 46 (cm)

Diện tích hình chữ nhật đó là:

15 × 8 = 120 (cm²)

Đáp số: 46 cm; 120 cm².

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

350 : 2 = 175 (m)

Tổng số phần bằng nhau là:

3 + 4 = 7 (phần)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

175 : 7 × 3 = 75 (m)

Chiều dài hình chữ nhật là:

175 : 7 × 4 = 100 (m)

Diện tích hình chữ nhật đó là:

75 × 100 = 7500 (m²)

Đáp số: 7500 m².

Đáp án đúng là: D

Ta có V = 54π

⇔ π.R².h = 54π

⇔ π.3².h = 54π

⇔ h = 6

Vậy độ dài đường cao hình trụ là h = 6.

Đáp án đúng là: B

Chọn 3 học sinh nữ trong 20 học sinh nữ có $C_{20}^3$  cách.

Chọn 2 học sinh nam trong 15 học sinh nam có $C_{15}^2$  cách.

Vậy có tất cả $C_{20}^3.C_{15}^2=119700$  cách cần tìm.

Chiều dài của mảnh đất đó là:

3 × 6,2 = 18,6 (m)

Diện tích mảnh đất đó là:

18,6 × 6,2 = 115,32 (m²)

Đáp số: 115,32 m².

Chiều dài của mảnh đất đó là:

3 × 6,2 = 18,6 (m)

Diện tích mảnh đất đó là:

18,6 × 6,2 = 115,32 (m²)

Đáp số: 115,32 m².

Chiều dài mảnh đất đó là:

3 × 12 = 36 (m)

Diện tích mảnh đất đó là:

36 × 12 = 432 (m²)

Đáp số: 432 m².

Đáp án đúng là: A

sin²x = 1

$\iff \frac{1-\cos 2x}{2}=1$

⇔ 1 – cos2x = 2

⇔ cos2x = –1

⇔ 2x = π + k2π     (k ∈ ℤ)

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$  .

Ta có $\int f\left(x\right)dx=\int \frac{1}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx$

$=\frac{1}{2}\left(\ln \left|x-1\right|-\ln \left|x+1\right|\right)+C=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$.

Vậy  $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$.

Ta có $\int 2^{-x}dx=-\frac{2^{-x}}{\ln 2}+C$.

Đáp án đúng là: A

Số liền trước số 59 là số 58.

Ta có: 59 + 58 = 117.

Vậy tổng của 59 và số liền trước nó là 117.

Ta có sin2x = –1

$\iff 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có:

⦁ Giữ nguyên $\frac{5}{12}$;

⦁ $\frac{3}{4}=\frac{3\times 3}{4\times 3}=\frac{9}{12}$.

Vì 5 < 9 nên $\frac{5}{12}<\frac{9}{12}$.

Vậy $\frac{5}{12}<\frac{3}{4}$.

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right.\iff \sin 2x\ne 0\iff x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Ta có tanx + cotx = 2

$\iff \tan x+\frac{1}{\tan x}-2=0$

⇔ tan²x – 2tanx + 1 = 0

⇔ tanx = 1

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.