10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 52

Ta có đường kính là d = 2R = 12 (m)

Do đó R = 6 m.

Thể tích hình trụ là: \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {6^3} = 288\pi \](m³)

Ta thấy rằng:

Đường thẳng d₁ song song d₅ do \[\left\{ \begin{array}{l}1 = 1\\ - 3 \ne 5\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\].

Đường thẳng d₂ song song d₆ do \[\left\{ \begin{array}{l}1,5 = 1,5\\ - 1 \ne 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\].

Đường thẳng (d₃): 2y = 2x – 6 hay y = x – 3.

Do đó, đường thẳng d₁ song song d₃ do \[\left\{ \begin{array}{l}1 = 1\\ - 3 \ne - 3\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\].

Gọi đồ thị của hàm số y = 2x + 3k là d

đồ thị của hàm số y = (2m + 1) + 2k – 3 là d’

a) Để hai đường thẳng song song thì \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\] hay

\[\left\{ \begin{array}{l}2 = 2m + 1\\3k \ne 2k - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = 1\\k \ne - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\k \ne - 3\end{array} \right.\]

Vậy \[m = \frac{1}{2},k \ne - 3\] để hai đường thẳng song song.

b) Để đường thẳng trùng nhau thì hay \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\] hay

\[\left\{ \begin{array}{l}2 = 2m + 1\\3k = 2k - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = 1\\k = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\k = - 3\end{array} \right.\]

Vậy \[m = \frac{1}{2},k = - 3\] để hai đường thẳng trùng nhau.

Hai đường thẳng d₁: y = mx – 2(m + 2) ứng với a = m và b = – 2(m + 2)

và d₂: y = (2m – 3)x + (m² + 1) ứng với a’ = 2m – 3 và b’ = m² + 1.

a) Vì d₁ song song d₂ nên \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\] hay

\[\left\{ \begin{array}{l}m = 2m - 3\\ - 2\left( {2m + 2} \right) \ne {m^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\ - 4m - 4 \ne {m^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\{m^2} + 4m + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\\forall m \ne 0\end{array} \right.\]

Vậy m = 3 thì d₁ song song d₂.

b) Vì d₁ trùng với d₂ nên \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\] hay

\[\left\{ \begin{array}{l}m = 2m - 3\\ - 2\left( {2m + 2} \right) = {m^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\ - 4m - 4 = {m^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\{m^2} + 4m + 5 = 0\end{array} \right.\]

Ta thấy m² + 4m + 5 = 0 (vô nghiệm)

Vậy không có giá trị m thỏa mãn để d₁ trùng với d₂.

Vì đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 2 nên: b = – 2.

Đường thẳng OA có dạng: y = a’x + b’

Vì đường thẳng đi qua điểm O(0; 0) nên: 0 = a’.0 + b’ Suy ra b’ = 0.

Vì đường thẳng đi qua điểm \[A\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\] nên: \[1 = a'.\sqrt 2 + 0 \Rightarrow a' = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Vậy đường thẳng OA có phương trình là: \[y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x\]

Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng A nên: \[a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Vậy \[a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\] và b = – 2

Hai đường thẳng (d1): y = (2 – m²)x + n – 5 ứng với a = 2 – m² và b = n – 5

và (d2): y = mx + 3n – 7 ứng với a’ = m và b’ = 3n – 7.

a) Để d₁ song song d₂ thì \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\] hay

\[\left\{ \begin{array}{l}2 - {m^2} = m\\m - 5 \ne 3n - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 = 0\\ - 2n \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\n \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right.\\n \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 1\end{array} \right.\\n \ne 1\end{array} \right.\]

Vậy m = 1 hoặc m – 2 và n ≠ 1 thì d₁ song song d₂.

Hàm số y = 2x – 1 có b = – 1 ≠ 0.

- Cho x = 0 suy ra y = 1 – 1. Vậy đồ thị hàm số đi qua A(0; – 1)

- Cho y = 0 suy ra \[x = \frac{1}{2}\]. Vậy đồ thị hàm số đi qua \[B = \left( {\frac{1}{2};0} \right)\].

Xác định hai điểm A, B trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua A, B.

Đồ thị hàm số là đường thẳng AB có dạng như hình vẽ cắt hai trục Oy, Ox lần lượt tại hai điểm A và B.

Vì đồ thị hàm số y = ax + 1 đi qua điểm A(1; 0).

Thay x = 1; y = 0 vào hàm số: 0 = a + 1 suy ra a = – 1.

Vậy đồ thị thu được là: y = – x + 1.

- Cho x = 0 suy ra y = – 1. Vậy đồ thị hàm số đi qua A(0; – 1)

- Cho y = 0 suy ra x = 1. Vậy đồ thị hàm số đi qua B(1; 0)

Xác định hai điểm A, B trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua A, B.

- Đồ thị hàm số là đường thẳng AB có dạng như hình vẽ cắt hai trục Oy, Ox lần lượt tại hai điểm A và B.

Vì đồ thị hàm số y = 2x + b đi qua điểm A(2; 6).

Thay x = 2; y = 6 vào hàm số: 6 = 2.2 + b suy ra b = 2.

Vậy đồ thị thu được là: y = 2x + 2.

- Cho x = 0 suy ra y = 2. Vậy đồ thị hàm số đi qua C(0; 2)

- Cho y = 0 suy ra x = – 1. Vậy đồ thị hàm số đi qua D(– 1; 0)

Xác định hai điểm C, D trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua C, D.

- Đồ thị hàm số là đường thẳng CD có dạng như hình vẽ cắt hai trục Oy, Ox lần lượt tại hai điểm C và D.

a) Khi m = – 2 ta đươc (d₁): y = – 2x + 2(– 2) – 1 = – 2x – 5.

- Cho x = 0 suy ra y = – 3. Vậy đồ thị hàm số đi qua A(0; – 5)

- Cho y = 0 suy ra \[x = \frac{5}{{ - 2}}\]. Vậy đồ thị hàm số đi qua \[B = \left( {\frac{5}{{ - 2}};0} \right)\]

Xác định hai điểm A, B trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua A, B.

- Cho x = 0 suy ra y = 1. Vậy đồ thị hàm số đi qua C(0; 1)

- Cho y = 0 suy ra x = – 1. Vậy đồ thị hàm số đi qua D(– 1; 0)

Xác định hai điểm C, D trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua C, D.

- Đồ thị hàm số là đường thẳng AB có dạng như hình vẽ cắt hai trục Oy, Ox lần lượt tại hai điểm A và B.

- Đồ thị hàm số là đường thẳng CD có dạng như hình vẽ cắt hai trục Oy, Ox lần lượt tại hai điểm C và D.

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

– 2x – 5 = x + 1 ⇔ – 3x = – 6 ⇔ x = 2. Suy ra y = 3.

Vây đường thẳng cắt nhau tại E(2; 3).

b) Để d₁ nghịch biến trên R nếu m < 0;

Để d₁ đồng biến trên R nếu m > 0.

c) Để d₁ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 3 tức là cắt tại điểm P( – 3; 0)

Khi đó, ta có: 0 = – 3m + 2m – 1 suy ra m = – 1.

a) Khi m = 3 ta đươc (d): y = (3 – 2)x + 3 = x + 3.

- Cho x = 0 suy ra y = 3. Vậy đồ thị hàm số đi qua A(0; 3)

- Cho y = 0 suy ra x = – 3. Vậy đồ thị hàm số đi qua B(– 3; 0).

Xác định hai điểm A, B trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua A, B.

Đồ thị hàm số là đường thẳng AB có dạng như hình vẽ cắt hai trục Oy, Ox lần lượt tại hai điểm A và B.

Dựa vào hình vẽ, ta xét tam giác ABC có:

Tính ra \[OA = \left| {{y_A}} \right| = \left| { - 3} \right| = 3\]; \[OB = \left| {{x_B}} \right| = \left| 3 \right| = 3\].

Kẻ OH ⊥ (d) tại H và khẳng định OH là khoảng cách từ (O) đến (d).

Khi đó: \[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{2}{9}\]

Suy ra \[O{H^2} = \frac{9}{2} \Rightarrow OH = \sqrt {O{H^2}} = \sqrt {\frac{9}{2}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]

Vậy khoảng cách từ (O) đến (d) là \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].

b) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy.

Thì \[M\left( {\frac{{ - 3}}{{m - 2}};0} \right)\] và N(0; 3).

Tính ra \[OM = \left| {{x_M}} \right| = \left| {\frac{{ - 3}}{{m - 2}}} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}\]; \[ON = \left| {{y_N}} \right| = \left| 3 \right| = 3\].

Để đường thẳng (d) tạo với hai trục Ox và Oy một tam giác OMN vuông cân nên OM = ON.

Suy ra \[\frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{3}{{m - 2}} = \frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{{m - 2}}\\\frac{3}{{2 - m}} = \frac{{3\left( {2 - m} \right)}}{{2 - m}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 = 3m - 6\\3 = 6 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m = 9\\3m = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\]

Vậy m = 3; m = 1 để đường thẳng (d) tạo với hai trục Ox và Oy một tam giác vuông cân.

Ta thấy rằng: hàm số y = mx + 1 ứng với a = m, b = 1.

Hàm số y = 3x – 2 ứng với a’ = 3, b’ = – 2.

a) Để hai đường thẳng trên song song thì

Vậy m = 3 thì hai đường thẳng song song.

b) Để hai đường thẳng cắt nhau thì a ≠ a’ ⇔ m ≠ 3.

So với điều kiện thì hai đường thẳng cắt nhau khi m ≠ 0 và m ≠ 3.

Gọi đồ thị của hàm số y = 2x + 3 là d

đồ thị của hàm số y = (2m + 1) – 3 là d’ và đồng thời hàm số y = (2m + 1) – 3 muốn là hàm bậc nhất thì \[2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - \frac{1}{2}\].

Để hai đường thẳng cắt nhau thì \[2 \ne 2m + 1 \Leftrightarrow 2m \ne 1 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}\].

So với điều kiện thì hai đường thẳng cắt nhau khi \[m \ne \pm \frac{1}{2}\].

Hai đường thẳng d₁: y = mx – 2(m + 2) ứng với a = m và b = – 2(m + 2)

và d₂: y = (2m – 3)x + (m² + 1) ứng với a’ = 2m – 3 và b’ = m² + 1.

a) Để d₁ song song d₂ thì \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\] hay

\[\left\{ \begin{array}{l}m = 2m - 3\\ - 2\left( {2m + 2} \right) \ne {m^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\ - 4m - 4 \ne {m^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\{m^2} + 4m + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\\forall m \ne 0\end{array} \right.\]

Vậy m = 3 thì d₁ song song d₂.

b) Để d₁ trùng với d₂ thì \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\] hay

\[\left\{ \begin{array}{l}m = 2m - 3\\ - 2\left( {2m + 2} \right) = {m^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\ - 4m - 4 = {m^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\{m^2} + 4m + 5 = 0\end{array} \right.\]

Ta thấy m² + 4m + 5 = 0 (vô nghiệm)

Vậy không có giá trị m thỏa mãn để d₁ trùng với d₂.

c) Đường thẳng d₁: y = mx – 2(m + 2) và đồng thời là là hàm số y = mx – 2(m + 2) là hàm bậc nhất thì \[m \ne 0\].

Đường thẳng d₂: y = (2m – 3)x + (m² + 1) và đồng thời là hàm số y = (2m – 3)x + (m² + 1) là hàm bậc nhất thì \[2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}\].

Để hai đường thẳng cắt nhau thì \[m \ne 2m - 3 \Leftrightarrow m \ne 3\].

So với điều kiện thì hai đường thẳng cắt nhau khi \[m \ne \left\{ {0;\frac{3}{2};3} \right\}\].

a) Đồ thị hàm số y = 3x + 1 – m cắt trục hoành tại điểm \[B\left( {\frac{{m - 1}}{3};0} \right)\] nên đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì điểm đó là \[B\left( {\frac{{m - 1}}{3};0} \right)\].

Do đó đồ thị hàm số y = – 2x + m + 3 đi qua điểm \[B\left( {\frac{{m - 1}}{3};0} \right)\].

Thay \[x = \frac{{m - 1}}{3};y = 0\] vào hàm số, ta được: \[0 = - 2.\frac{{m - 1}}{3} + m + 3 \Leftrightarrow m = - 11\]

b) Đồ thị hàm số y = 3x + 1 – m cắt trục tung tại điểm A(0; 1 – m) nên đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì điểm đó là A(0; 1 – m).

Do đó đồ thị hàm số y = – 2x + m + 3 đi qua điểm A(0; 1 – m).

Thay x = 0; y = 1 – m vào hàm số, ta được: \[1 - m = - 2.0 + m + 3 \Leftrightarrow m = - 1\].

Hai đường thẳng (d1): y = (2 – m²)x + n – 5 ứng với a = 2 – m² và b = n – 5

và (d2): y = mx + 3n – 7 ứng với a’ = m và b’ = 3n – 7.

a) Để d₁ song song d₂ thì \[\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\] hay

\[\left\{ \begin{array}{l}2 - {m^2} = m\\m - 5 \ne 3n - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 = 0\\ - 2n \ne - 2\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\n \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right.\\n \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 1\end{array} \right.\\n \ne 1\end{array} \right.\]

Vậy m = 1 hoặc m – 2 và n ≠ 1 thì d₁ song song d₂.

b) Để hai đường thẳng cắt nhau thì a ≠ a’ ⇔ 2 – m² ≠ m ⇔ m ≠ 1 hoặc m ≠ – 2.

So với điều kiện thì hai đường thẳng cắt nhau khi \[m \ne \left\{ { \pm \sqrt 2 ,0,1, - 2} \right\}\]

a) Số – 16,9 không có căn bậc hai và căn bậc hai số học;

b) 0,16 có căn bậc hai là \[\sqrt {{8^2}} = \pm 8\] và căn bậc hai số học là 8;

c) \[ - \frac{{36}}{{49}}\] không có căn bậc hai và căn bậc hai số học;

d) Số \[ - \left( { - 1\frac{{69}}{{100}}} \right) = 1\frac{{69}}{{100}} = \frac{{169}}{{100}}\]

\[\frac{{169}}{{100}}\] có căn bậc hai là \[\sqrt {{{\frac{{169}}{{100}}}^2}} = \pm \frac{{13}}{{10}}\] và căn bậc hai số học là \[\frac{{13}}{{10}}\].

a) Số 17 là căn bậc hai số học của số 49;

b) \[ - \left( { - \frac{3}{4}} \right) = \frac{3}{4}\] là căn bậc hai số học của số \[\frac{9}{{16}}\];

c) \[\frac{3}{2}\sqrt {\frac{2}{3}} \] là căn bậc hai số học của số \[{\left( {\frac{3}{2}\sqrt {\frac{2}{3}} } \right)^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}.{\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right)^2} = \frac{9}{4}.\frac{2}{3} = \frac{3}{2}\];

d) \[\frac{{0,25}}{{\sqrt {0,5} }}\] là căn bậc hai số học của số \[{\left( {\frac{{0,25}}{{\sqrt {0,5} }}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {0,25} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {0,5} } \right)}^2}}} = \frac{1}{{16}}:\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\].

a) \[\sqrt {121} = \sqrt {{{11}^2}} = 11\]

b) \[ - \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2}} = - \sqrt {{8^2}} = - 8\]

c) \[{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 1.2 = 2\]

d) \[ - {\left( {\sqrt {\frac{1}{4}} } \right)^2} = - \frac{1}{4}\]

a) \[\frac{2}{3}\sqrt {81} - \frac{1}{2}\sqrt {16} = \frac{2}{3}.9 - \frac{1}{2}.4 = 6 - 2 = 4\]

b) \[0,5\sqrt {0,04} + 5\sqrt {0,36} = 0,5.0,2 + 5.0,6 = 0,1 + 3 = 3,1\]

c) \[\frac{2}{5}\sqrt {\frac{{25}}{{16}}} - \frac{1}{2}\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{2}{5}\sqrt {{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2}} - \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{2}{5}.\frac{5}{4} - \frac{1}{2}\frac{2}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]

d) \[ - 2\sqrt {\frac{{ - 36}}{{ - 16}}} + 5\sqrt { - \frac{{ - 81}}{{25}}} = - 2\sqrt {\frac{{36}}{{16}}} + 5\sqrt {\frac{{81}}{{25}}} = - 2.\frac{3}{2} + 5.\frac{9}{5} = - 3 + 9 = 6\]

a) x² – 16 = 0 ⇔ x² = 16 ⇔ x = 4 hoặc x = – 4;

b) \[{x^2} = 13 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {13} \\x = - \sqrt {13} \end{array} \right.\]

c) x² + 9 = 0 ⇔ x² = – 9 (Vô lí)

Không có giá trị x thỏa mãn

d) \[\sqrt x = 5 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow x = 25\]

e) \[ - \frac{{\sqrt x }}{3} + 2 = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{3}\sqrt x = - 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 6 \Leftrightarrow x = 36\]

g) \[\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = 4\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 1} } \right)^2} = {4^2}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 16\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 15 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 3x - 15 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 5\end{array} \right.\]

Gọi chữ số hàng chục là x (x ∈ ℕ*, x ≤ 9)

Vì tổng hai chữ số của chúng bằng 10 nên ta có chữ số hàng đơn vị là 10 – x.

Giá trị của số cần tìm là: 10x + 10 – x = 9x + 10.

Vì tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12 nên ta có phương trình:

x(10 – x) = 9x + 10 – 12

⇔10x – x2 = 9x – 2

⇔ x² – x – 2 = 0

Ta thấy rằng phương trình x² – x – 2 = 0 với hệ số a = 1, b = – 1 và c = – 2 nên có dạng a – b + c = 0. Suy ra x₁ = – 1 (loại) và \[{x_2} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{1} = 2\].

Chữ số hàng chục là 2, chữ số hàng đơn vị là 10 – 2 = 8.

Vậy chữ số cần tìm là 28.

Gọi thời gian làm việc riêng của người thứ nhất là x (giờ, x > 0)

Trong một giờ người thứ nhất là được \[\frac{1}{x}\] (công việc)

Hai người cùng làm chung một công việc trong 24 giờ thì xong vậy hai làm chung thì trong một giờ làm được \[\frac{1}{{24}}\].

Suy ra trong một giờ người thứ hai làm được \[\frac{1}{{24}} - \frac{1}{x}\] (công việc)

Do năng suất người thứ nhất bằng \[\frac{3}{2}\] năng suất người thứ hai nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{{24}} - \frac{1}{x}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{{16}} - \frac{3}{{2x}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{16}}{{16x}} = \frac{x}{{16x}} - \frac{{24}}{{16x}}\]

\[ \Leftrightarrow 16 = x - 24\]

\[ \Leftrightarrow x = 40\] (thỏa mãn)

Vậy người thứ nhất làm cả công việc thì hoàn thành sau 40 giờ.

Trong một giờ người thứ hai làm được \[\frac{1}{{24}} - \frac{1}{{40}} = \frac{1}{{60}}\].

Người thứ hai làm cả công việc thì hoàn thành sau 60 giờ.

Đổi 1 giờ 40 phút = \[\frac{5}{3}\] giờ

Gọi vận tốc của xe lửa đi từ Huế đến Hà Nội là x (km/h, x > 0)

Vì vận tốc của xe thứ hai đi từ Hà Nội vào Huế lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h nên vận tốc của xe lửa thứ hai là x + 5 (km/h)

Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300km có nghĩa quãng đường xe lửa thứ nhất đi được là 645 – 300 = 345 (m)

Thời gian xe lứa thứ nhất đi đến lúc gặp nhau là \[\frac{{345}}{x}\] (giờ)

Thời gian xe lứa thứ hai đi đến lúc gặp nhau là \[\frac{{300}}{{x + 5}}\] (giờ)

Sau đó 1 giờ 40 phút hai xe lửa gặp nhau nên ta có phương trình:

\[\frac{{300}}{{x + 5}} + \frac{5}{3} = \frac{{345}}{x}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{300.3x}}{{3x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{5x\left( { + 5} \right)}}{{3x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{345.3\left( {x + 5} \right)}}{{3x\left( {x + 5} \right)}}\]

\[ \Leftrightarrow 900x + 5x\left( {x + 5} \right) = 1035\left( {x + 5} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 900x + 5{x^2} + 25x = 1035x + 5175\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 22x - 1035 = 0\]

Giải phương trình ta được x₁ = – 23 (loại) và x₂ = 45 (thỏa mãn)

Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là 45 + 5 = 50 km/h.

Ta có: \[2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{{{2^3}.3}} = \sqrt[3]{{24}}\]

Mà 24 > 23 cho nên \[\sqrt[3]{{24}} > \sqrt[3]{{23}}\]

Suy ra \[2\sqrt[3]{3} > \sqrt[3]{{23}}\].

Ta thực hiện lập phương \[\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{7}\]

\[{\left( {\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{7}} \right)^3} = 5 + 3\sqrt[3]{{{5^2}.7}} + 3\sqrt[3]{{{{5.7}^3}}} + 7 = 12 + 3\sqrt[3]{{175}} + 3\sqrt[3]{{245}} > 12 = {\left( {\sqrt[3]{{12}}} \right)^3}\]

Suy ra \[{\left( {\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{7}} \right)^3} > {\left( {\sqrt[3]{{12}}} \right)^3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{7} > \sqrt[3]{{12}}\]

Ta có:

\[A = \sqrt[3]{{ - 5}}.\sqrt[3]{{25}} = \sqrt[3]{{ - 5.25}} = \sqrt[3]{{ - 125}} = - 5\]

Khi đó A = – 5 mà – 5 > – 6. Suy ra \[A = \sqrt[3]{{ - 5}}.\sqrt[3]{{25}} > 6\].

Ta có:

\[A = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\]

\[A = \sqrt[3]{{1 + 3\sqrt 2 + 3.1.2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{1 - 3\sqrt 2 + 3.1.2 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}}\]

\[A = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^3}}}\]

\[A = 1 + \sqrt 2 + 1 - \sqrt 2 = 2\]

Khi đó A = 2 mà B = 2. Suy ra A = B.

\[\sqrt[3]{{2x + 1}} > - 5 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{2x + 1}}} \right)^3} > {\left( { - 5} \right)^3} \Leftrightarrow 2x + 1 > - 125 \Leftrightarrow 2x > - 126 \Leftrightarrow x > - 63\]

Vậy \[x \in \left( { - 63; + \infty } \right)\].

Ta thu được bảng sau:

Ta có ình trụ có bán kính đường tròn đáy là 3cm và chiều cao h = 4cm

Diện tích xung quanh của hình trụ là

S_xq = 2πrh = 2π.3.4 = 24π (cm²) ⇔ R = 3.

Mặt khác hình cầu có diện tích bằng diện tích xung quang của hình trụ là 24π (cm²) nên S = 4πR² = 24π ⇔ R² = 6. Suy ra \[R = \sqrt 6 \left( {cm} \right)\]

Vậy bán kính của hình cầu là \[\sqrt 6 \] cm

Ta có: V = 36π (cm³).

Mà \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 36\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\].

Suy ra, \[{R^3} = V:\frac{{4\pi }}{3} = 36\pi :\frac{{4\pi }}{3} = 27\]

Khi đó \[R = \sqrt[3]{{27}} = 3\left( {cm} \right)\]

Do đó, đường kính là: d = 2R = 6(cm)

Diện tích mặt cầu là S = 4πR² = 4π.3² = 36π (cm²)

Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón

Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau cùng bằng 3cm nên ta có 4πR² = πRl + πR² hay 4R² = Rl + R²

Suy ra l = 3R = 3.3 = 9 (cm)

Do đó, sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có:

h² = 1² – R² = 9² – 3² = 72

Khi đó chiều cao của hình nón là \[h = \sqrt {72} = 6\sqrt 2 \left( {cm} \right)\]

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Vì diện tích mặt cầu của hình cầu đó là S = 4πR² còn diện tích xung quanh của hình trụ là S_xq = 2πRh = 2πR.2R = 4πR².

Vậy tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh hình trụ là \[\frac{S}{{{S_{xq}}}} = \frac{{4\pi {R^2}}}{{4\pi {R^2}}} = 1\]