10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 51

Ta kẻ IA ⊥ Oy tại A và IB ⊥ Ox tại B.

Vì (I) tiếp xúc với cả Ox và Oy nên IA = IB

Theo tính chất tia phân giác của một góc

Suy ra I thuộc tia phân giác của góc \[\widehat {xOy}\](I ≠ O).

Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O

Suy ra d ⊥ OA (1)

Mà AB = AC nên A thuộc trung trực của đoạn thẳng BC.

Lại có OB = OC nên O thuộc trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó OA là trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra BC ⊥ OA (2)

Từ (1) và (2) suy ra d song song BC.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d₁ và d₂, ta có:

mx – 5 = – 3x + 1 ⇔ mx + 3x – 6 = 0 (1)

a) Thay m = 3 vào (1) khi đó 3x + 3x – 6 = 0 ⇔ 6x = 6 ⇔ x = 1

Với x = 1 khi đó y = 3. 1 – 5 = – 2.

Vậy tọa độ giao điểm A của d₁ và d₂ khi m = 3 là A(1; – 2)

b) Vì M(3; – 8) là giao điểm của d₁ và d₂.

Nên thay x = 3 và y = – 8 vào d₁

3m – 5 = – 8 ⇔ 3m = – 3 ⇔ m = – 1

Với khi đó d₁: y = – 1. x – 5 hay y = – x – 5.

Vậy giá trị của m = – 1 để M(3; – 8) là giao điểm của d₁ và d₂.

Vì đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 2 nên: b = – 2.

Đường thẳng OA có dạng: y = a’x + b’

Vì đường thẳng đi qua điểm O(0; 0) nên: 0 = a’.0 + b’ Suy ra b’ = 0.

Vì đường thẳng đi qua điểm \[A\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\] nên: \[1 = a'.\sqrt 2 + 0 \Rightarrow a' = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Vậy đường thẳng OA có phương trình là: \[y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x\]

Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng A nên: \[a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Vậy \[a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\] và b = – 2

Ta có: cot40° = tan50° ; cos55° = sin35°

Vì khi \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \]thì \[\alpha \]càng lớn thì \[\sin \alpha \] càng lớn.

Suy ra sin35° < sin50° hay cos55° < sin50° (1)

Vì khi \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \]thì \[\alpha \]càng lớn thì \[\tan \alpha \] càng lớn.

Suy ra tan50° < tan70° hay cot40° < tan70° (2)

Vì khi \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \]thì

Suy ra sin50° < tan50° hay sin50° < cot40° (3)

Từ (1); (2) và (3): cos55° < sin50° < cot40° < tan70°

Nên sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: cos55°; sin50°; cot40°; tan70°.

Vì \[\tan 50^\circ = \frac{{\sin 50^\circ }}{{\cos 50^\circ }} = \frac{{\cos 40^\circ }}{{\cos 50^\circ }}\]

Mà \[40^\circ < 50^\circ \Rightarrow \cos 40^\circ > \cos 50^\circ \] (Nếu α < β thì: cosα > cosβ)

Suy ra \[\frac{{\cos 40^\circ }}{{\cos 50^\circ }} > 1\] hay tan50° < 1.

Mặt khác cos24° < 1.

Vậy cos24° < tan50⁰.

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia

a) \[\cot 61^\circ = \tan 29^\circ \], \[\cot 79^\circ 15' = \tan 10^\circ 45'\], \[\cot 37^\circ 40' = \tan 52^\circ 20'\]

\[ \Rightarrow \tan 58^\circ ,\tan 52^\circ 20',\tan 29^\circ ,\tan 28^\circ ,\tan 12^\circ ,\tan 10^\circ 45'\]

Hay \[\tan 58^\circ ,\cot 37^\circ 40',\cot 61^\circ ,\tan 28^\circ ,\tan 12^\circ ,\cot 79^\circ 15'\]

b) \[\cos 51^\circ = \sin 39^\circ \], \[\cos 79^\circ 15' = \sin 10^\circ 45'\]

\[ \Rightarrow \sin 39^\circ ,\sin 39^\circ ,\sin 38^\circ ,\sin 32^\circ ,\sin 10^\circ 45'\]

Hay \[\cos 51^\circ ,\sin 39^\circ ,\sin 38^\circ ,\sin 32^\circ ,\cos 79^\circ 15'\]

Tính biểu thức A:

A = sin²5° + sin²25° + sin²45° + sin²65° + sin²85°

A = (sin²5° + sin²85°) + (sin²25° + sin²65°) + sin²45°

A = sin²90° + sin²90° + sin²45°

\[A = {\left( 1 \right)^2} + {\left( 1 \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\]

Ta thấy A có giá trị bằng \[\frac{5}{2} > 1\] do đó A > 1.

a) sin20° < sin70°

b) cos60° > cos70°

c) tan73°20’ > tan45°

d) cot23° > cot37°40’

a) \[A = \frac{{59}}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 7 }}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2} - 7}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{2\sqrt {15} + 1}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)\left( {2\sqrt {15} - 1} \right)}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)}}{{60 - 1}}\]

\[A = \left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)\]

b) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn:

\[\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 7 .\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\]

Cách 2: Trục căn thức ở mẫu:

\[\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{\left( {\sqrt {14} - \sqrt 7 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{2\sqrt {14} - 2\sqrt 7 + \sqrt {28} - \sqrt {14} }}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\ = \frac{{2\sqrt {14} - 2\sqrt 7 + 2\sqrt 7 - \sqrt {14} }}{{4 - 2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\end{array}\]

a) \[2\sqrt {\frac{{27}}{4}} - \sqrt {\frac{{48}}{9}} - \frac{2}{5}\sqrt {\frac{{75}}{{16}}} \]

\[ = \frac{{2.\left( {3\sqrt 3 } \right)}}{2} - \frac{{4\sqrt 3 }}{3} - \frac{2}{5}.\frac{{5\sqrt 3 }}{4} = 3\sqrt 3 - \frac{{4\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \left( {3 - \frac{4}{3} - \frac{1}{2}} \right)\sqrt 3 = \frac{{7\sqrt 3 }}{6}\];

b) \[\left( {\sqrt {99} - \sqrt {18} - \sqrt {11} } \right).\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \]

\[\sqrt {99} .\sqrt {11} - \sqrt {18} .\sqrt {11} - \sqrt {11} .\sqrt {11} + 3\sqrt {22} = 33 - 3\sqrt {22} - 11 + 3\sqrt {22} = 22\];

c) \[\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {8 - 2\sqrt {15} } = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) = 5 - 3 = 2\];

d) \[\left( {\sqrt {48} - 2\sqrt 3 + 2\sqrt 4 } \right).\sqrt 5 - 2\sqrt {45} :\sqrt 3 \]

\[ = \left( {\sqrt {48} .\sqrt 5 - 2\sqrt 3 .\sqrt 5 + 2\sqrt 4 .\sqrt 5 } \right) - \left( {2\sqrt {45} :\sqrt 3 } \right)\]

\[4\sqrt {15} - 2\sqrt {15} + 4\sqrt 5 - 2\sqrt {15} = 4\sqrt 5 \].

Ta có: \[\frac{{\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }} = \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)}}{{\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right)\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)}} = \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)}^2}}}{{1 + x - \left( {1 - x} \right)}} = \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{1 + x + 2\sqrt {1 - {x^2}} + 1 - x}}{{2x}} = \sqrt 2 \](1)

ĐKXĐ: x ≠ 0

Khi đó, (1) \[ \Leftrightarrow \frac{{2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} }}{{2x}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt 2 x \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt 2 x - 1\]

Bình phương hai vế, ta được: \[1 - {x^2} = 2{x^2} - 2\sqrt 2 x + 1 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\sqrt 2 x = 0\]

Vì x ≠ 0 nên \[x\left( {3x - 2\sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2\sqrt 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\]

Xét \[\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3} - 1}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3} + 1}} = \frac{{2\sqrt 2 - 3}}{{2\sqrt 2 + 3}} = \frac{{\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)}}{{\left( {2\sqrt 2 + 3} \right)\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)}^2}}}{{8 - 9}} = \frac{{8 - 12\sqrt 2 + 9}}{{ - 1}} = 12\sqrt 2 - 17\]

Điều phải chứng minh

Ta có: \[x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}} = \frac{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)}}{{8 - 1}} = \frac{{7\sqrt 2 + 7}}{7} = \sqrt 2 + 1\]

\[ \Rightarrow x = \sqrt 2 + 1 \Rightarrow {x^2} = 3 + 2\sqrt 2 \]

Ta có: \[{x^3} = x.{x^2} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) = 5\sqrt 2 + 7\]

\[ \Rightarrow {x^5} = {x^2}.{x^3} = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 7} \right) = 29\sqrt 2 + 41\]

Thay x⁵, x³ và x vào biểu thức M, ta được:

\[M = 29\sqrt 2 + 41 - 6\left( {5\sqrt 2 + 7} \right) + \sqrt 2 + 1 = 29\sqrt 2 + 41 - 30\sqrt 2 - 42 + \sqrt 2 + 1 = 0\]

Vậy tại \[x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}}\] thì giá trị của M là 0

a) Rút gọn biểu thức N:

\[N = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\,\left( {x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9} \right)\]

\[ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\]

b) Ta có: \[x = 11 - 6\sqrt 2 = {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 2 \]

Thay \[\sqrt x = 3 - \sqrt 2 \] vào biểu thức N, ta được:

\[N = \frac{{3 - \sqrt 2 + 1}}{{3 - \sqrt 2 - 3}} = \frac{{4 - \sqrt 2 }}{{ - \sqrt 2 }} = \frac{{ - \sqrt 2 \left( { - 2\sqrt 2 + 1} \right)}}{{ - \sqrt 2 }} = - 2\sqrt 2 + 1\]

Giá trị của N khi \[x = 11 - 6\sqrt 2 \] là \[ - 2\sqrt 2 + 1\].

c) \[N = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 4}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}\]

Để N nguyên khi \[1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\]

Suy ra

Vậy \[x \in \,\left\{ {1;4;16;25;49} \right\}\,\]để N nguyên