10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 47

Ta có \(\sin A = \sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{CA}}{{\sin B}}\)

Do đó \(BC = \frac{{CA.\sin A}}{{\sin B}} = \frac{{20.\sin 120^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 10\sqrt 6 \)

\(\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ \)

Áp dụng định lý sin:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin A = \frac{5}{{\sin 80^\circ }}.\sin 40^\circ \approx 3,3\)

\(\widehat A = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ \)

Áp dụng định lý sin:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)

\( \Rightarrow AB = \frac{{BC}}{{\sin A}}.\sin C = \frac{{100}}{{\sin 80^\circ }}.\sin 40^\circ \approx 65,3\)

\(AC = \frac{{BC}}{{\sin A}}.\sin B = \frac{{100}}{{\sin 80^\circ }}.\sin 60^\circ \approx 87,9\)

\(\widehat B = 180^\circ - \widehat A - \widehat C = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ \) nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó c = b = 4,5

\(a = \frac{{b\sin A}}{{\sin B}} = \frac{{4,5\sin 30^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 2,3\)

Ta có \(\widehat B = 180^\circ - \widehat A - \widehat C = 180^\circ - 40^\circ - 120^\circ = 20^\circ \) .

Áp dụng định lý sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\). Khi đó:

• \(a = \frac{{c\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{35\sin 40^\circ }}{{\sin 120^\circ }} \approx 26\);

• \(a = \frac{{c\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{35\sin 20^\circ }}{{\sin 120^\circ }} \approx 13,8\).

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chi khi

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - 1} \right) + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).

Vậy \(m = \frac{1}{2}\).

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).2 + 3.\left( {1 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)

Vậy m = –1.

Tam giác ABC vuông tại B thì AB phải vuông góc với BC tại B hay

\(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\)

Ta có

\(\overrightarrow {AB} = \left( {m;1} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( {3 - m; - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow m\left( {3 - m} \right) - 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) hoặc m = 2.

Vậy m = 1 hoặc m = 2.

H là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi AH vuông góc với BC và BH vuông góc với AC hay

\(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\) và \(\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\)

Ta có

\[\overrightarrow {AH} = \left( {m - 1;2n - 5} \right)\]; \(\overrightarrow {BH} = \left( {m - 2;2n - 5} \right)\); \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 5} \right)\); \(\overrightarrow {AH} = \left( {0; - 5} \right)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {m - 1} \right).\left( { - 1} \right) - 5\left( {2n - 5} \right) = 0}\\{\left( {m - 2} \right).0 - 5\left( {2n - 5} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{n = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy với m = 1 và \(n = \frac{5}{2}\) thì H là trực tâm của tam giác ABC.

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left( {10m - 7} \right).5 + 1.\left( { - 10 - 8m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{15}}{{14}}\)

Vậy \(m = \frac{{15}}{{14}}\).

Điều kiện cần và đủ được phát biểu như sau: Điều kiện cần và đủ để tam giác cân là hai đường trung tuyến của nó bằng nhau.

Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 2 là chữ số tận cùng là chữ số chẵn.

- Điều kiện cần để tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° là tứ giác đó nội tiếp trong một đường tròn

- Điều kiện đủ để tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°

Như vậy, điều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng hai góc đối diện của nó bằng 180°

Điều kiện cần để số tự nhiên có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 là số đó chia hết cho 3.

Điều kiện cần của hai góc đối đỉnh là hai góc đó bằng nhau.

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\).

Ta thấy \(\forall x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\).

\(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} + 5.{\left( { - x} \right)^2} + 4 = - {x^3} + 5{x^2} + 4 \ne \pm f\left( x \right)\).

Vậy hàm số trên không chẵn cũng không lẻ.

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\).

Ta thấy \(\forall x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\).

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \frac{{{{\left( { - x} \right)}^2} + 5}}{{{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 5}}{{{x^2} + 1}} = f\left( x \right)\).

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn.

Tập xác định của hàm số: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\).

Ta thấy \[\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\] ta có \( - x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

\(f\left( { - x} \right) = \sqrt { - x + 1} - \sqrt {1 - \left( { - x} \right)} = \sqrt {x + 1} - \sqrt {1 - x} = f\left( x \right)\).

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn.

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash 1\).

Ta thấy \[\forall x \in \mathbb{R}\backslash 1\] ta có \( - x \in \mathbb{R}\backslash 1\).

\(f\left( { - x} \right) = \frac{{ - x - 5}}{{ - x - 1}} \ne \pm f\left( x \right)\).

Vậy hàm số trên không chẵn cũng không lẻ.

Điều kiện xác định của hàm số: x ≠ 2m –1.

Ta thấy \[\forall x \in D\] ta có \( - x \in D\).

\[f\left( { - x} \right) = \frac{{\left( { - x} \right)\left( {{x^2} - 2} \right) + 2m - 1}}{{ - x - 2m + 1}}\]

Hàm số trên là hàm số chẵn nên f(x) = f(–x) hay

\(\frac{{x\left( {{x^2} - 2} \right) + 2m - 1}}{{x - 2m + 1}} = \frac{{\left( { - x} \right)\left( {{x^2} - 2} \right) + 2m - 1}}{{ - x - 2m + 1}}\)

\( \Leftrightarrow 2m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn tại \(m = \frac{1}{2}\).

Ta có tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến suy ra AM là đường cao, đường phân giác của tam giác ABC nên \(BM = MC = \frac{1}{2}BC = 6\) cm

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AMC có:

\(A{C^2} = A{M^2} + M{C^2} \Rightarrow AM = \sqrt {A{C^2} - M{C^2}} = 8\)cm

Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos 120^\circ \)

\( \Rightarrow BC = 2\sqrt 9 \)

\( \Rightarrow A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow AM = \sqrt 7 \)

Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến nên AM = BM = MC = 6

Suy ra BC = 12

Mặt khác:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}}\\{B{N^2} = \frac{{B{C^2} + A{B^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} = 72}\\{\frac{{A{B^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4} = 45}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB = 3\sqrt 6 }\\{AC = 3\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pythagore ta có: AC² = AM² + MC² hay 17² = AM² + 8².

Suy ra AM² = 17² – 8² = 225.

Do đó AM = 15 cm.

a) Do MI là đường trung tuyến MNP nên IP = IN.

Mặt khác tam giác MNP cân tại M.

Do đó MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao hay MI ⊥ NP.

b) Ta có:

• NP = 16 cm nên NI = PI = 8 cm.

• MN = MP = 17 cm.

Xét tam giác MIP vuông tại I

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

• MP² = MI² + IP² hay 19²= MI² + 8²

• MI² = 17² – 8² = 225 suy ra MI = 15 cm.

a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua A(0; 2), B(–2; 0).

a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua A(0; 5), \(B\left( {\frac{{ - 5}}{3};0} \right)\).

Ta có a = –2 > 0 nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua A(0; 7), \(B\left( {\frac{7}{2};0} \right)\).

Ta có a = \(\frac{2}{3}\) > 0 nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua A(0; 3), \(B\left( {\frac{{ - 9}}{2};0} \right)\)

Ta có a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua A(0; 5), \(B\left( {10;0} \right)\)

\(A = 2\sin \left( {x + y} \right)\cos \left( {x - y} \right)\)

\( = \sin 2x + \sin 2y\)

\(A = 2\cos \left( {x + y} \right)\cos \left( {x - y} \right)\)

\( = \cos 2x + \cos 2y\)

A = 4sin 3a. sin 2a. sin a

= –2 sin 2a. (cos 4a – cos 2a)

= –2cos 4a. sin 2a + 2sin 2a. cos 2a

= –(sin 6a – sin 2a) + sin 4a

= –sin 6a + sin 4a + sin 2a.

\(A = 2\sin 4a.\sin 2a + 2{\sin ^2}2a\)

\( = - \left( {\cos 6a - \cos 2a} \right) + 1 - \cos 4a\)

\( = - \cos 6a - \cos 4a + \cos 2a + 1\)

\(\sin a + \sin 2a + \sin 3a + ... + \sin na\)

\( = 2\sin \frac{a}{2}\left( {\sin a + \sin 2a + \sin 3a + ... + \sin na} \right)\)

\( = \left( {\cos \frac{a}{2} - \cos \frac{{3a}}{2}} \right) + \left( {\cos \frac{{3a}}{2} - \cos \frac{{5a}}{2}} \right) + ... + \left[ {\cos \left( {n - \frac{1}{2}} \right)a - \cos \left( {n + \frac{1}{2}} \right)a} \right]\)

\( = \cos \frac{a}{2} - \cos \left( {n + \frac{1}{2}} \right)a\)

\( = \sin \frac{{na}}{2}.\sin \frac{{\left( {n + 1} \right)a}}{2}\)

\( = \frac{{\sin \frac{{na}}{2}.\sin \frac{{\left( {n + 1} \right)a}}{2}}}{{\sin \frac{a}{2}}}\)

Áp dụng định lí cosin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

BC² = 1² + 2² – 2.1.2.cos120°

BC² = 1+ 4 – 4.\(\left( { - \frac{1}{2}} \right)\) = 7

BC =\(\sqrt 7 \) (cm)

Áp dụng định lí sin ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\).

Do đó \(\sin C = \frac{{AB\sin B}}{{AC}} = \frac{{23.\sin 60^\circ }}{{24}} = \frac{{23\sqrt 3 }}{{48}}\).

Ta có O là tâm hình bình hành ABCD, O là trung điểm của AC

BO là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC nên

\(B{O^2} = \frac{{B{C^2} + B{A^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}\).

Hay 4BO² = 2(BC² + BA²) – AC². (1)

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2BO hay BD² = 4BO²

(1)\( \Rightarrow \) BD² = 2(CB² + AB²) – AC² 

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(CB² + AB²) 

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(AB² + AD²) ( do AD = CB ) (điều cần phải chứng minh)

Áp dụng định lí cosin ta có: \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\).

Mà AB.AC luôn lớn hơn 0 nên cos A cùng dấu với biểu thức (AB² + AC² – BC²)

Góc A nhọn \( \Rightarrow \) 0º < A < 90º \( \Rightarrow \) cos A > 0

\( \Rightarrow \) AB² + AC² – BC² > 0

\( \Rightarrow \) BC² < AB² + AC²

Áp dụng định lí cosin ta có:

AC² = AB² + BC² = 2AB.BC.cos B

AC² = 15² + 10² - 2.15.10.cos 105º ≈ 402,65

AC = \(\sqrt {402,65} \) ≈ 20,07 (km).

Vậy độ dài đoạn đường cần tính khoảng 20,07 km.

Ta đặt HC = x (x > 0).

Áp dụng hệ thức

AC² = BC.HC, ta được:

20² = (9 + x)x

x² + 9x – 400 = 0

(x + 25)(x – 16) = 0

x = –25 (loại) hoặc x = 16

Vậy độ dài của cạnh huyền BC là:

BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Ta có: AH² = HB.HC = 9.25 = 32.52 = 152.

Khi đó, chiều dài đường cao AH là: AH = 15 (cm)

Ta có cos2α.cos2β + cos2α.sin2β + sin2α

= cos2α(cos2β + sin2β) + sin2α

= cos2α.1 + sin2α = 1.

Vẽ AH ⊥ BC, thì ta có:   AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC

\( \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{7^2}}}{{{{24}^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\)

\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{49}}{{576}}\)

Nên ta có

\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{49}} = \frac{{CH}}{{576}} = \frac{{BH + CH}}{{49 + 576}} = \frac{{BC}}{{625}} = \frac{{625}}{{625}} = 1\)

\( \Rightarrow BH = 49.1 = 49\,;\,\,CH = 576.1 = 576\)

Ta thấy ngay có thể tính cạnh huyền của tam giác ABC:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 suy ra BC = 5 cm.

Ta có: AB² = BH.BC suy ra BH = \(\frac{{A{B^2}}}{{BC}}\)= \(\frac{{{3^2}}}{5}\)= \(\frac{9}{5}\) (cm)

Tương tự, AC² = HC.BC suy ra HC = \(\frac{{A{C^2}}}{{BC}}\)= \(\frac{{16}}{5}\) (cm)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABH, ta c

AH² = BH.CH = \(\frac{{144}}{{25}}\) suy ra AH = \(\frac{{12}}{5}\) cm

Ta có AB : AC = 3 : 4. Đặt AB = 3k, AC = 4k.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

AB² + AC² = BC² suy ra 9k² + 16k² = 15²

Suy ra k² = \(\frac{{{{15}^2}}}{{25}}\)= 9, vậy k = 3.

Từ đó suy ra AB = 9 cm, AC = 12 cm.

Ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC để tính BH, CH.

Ta có AB² = BH.BC suy ra BH = \[\frac{{A{B^2}}}{{BC}}\]= \(\frac{{27}}{5}\) (cm)

AC² = HC.BC suy ra HC = \[\frac{{A{C^2}}}{{BC}}\] = \(\frac{{48}}{5}\) (cm)

Tọa độ trung điểm I của AB là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{3 + 2}}{2} = \frac{5}{2}}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{7 - 6}}{2} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ trung điểm của AB là \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

Vì M là điểm đối xứng của B qua A, do đó A là trung điểm của BM.

Gọi tọa độ của M là \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\).

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = \frac{{{x_M} + {x_B}}}{2}}\\{{y_A} = \frac{{{y_M} + {y_B}}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 2{x_A} - {x_B}}\\{{y_M} = 2{y_A} - {y_B}}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 2.1 - 7 = - 5}\\{{y_M} = 2.5 - 2 = 8}\end{array}} \right.\]

Vậy tọa độ điểm M là \(M\left( { - 5;8} \right)\).

Do M là trung điểm của AB nên ta có: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_E} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{{x_A} + 3}}{2}}\\{{y_E} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{{y_A} + 9}}{2}}\end{array}} \right.\)

Do N là trung điểm của AC nên ta có: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_F} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{{x_A}}}{2}}\\{{y_F} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{{y_A} - 5}}{2}}\end{array}} \right.\)

Tọa độ vecto \(\overrightarrow {EF} = \left( {{x_E} - x{ & _F};{y_E} - {y_F}} \right)\)

$\overrightarrow{EF} = (x_E - x_F; y_E - y_F)$

\( = \left( {\frac{{{x_A} + 3}}{2} - \frac{{{x_A}}}{2};\frac{{{y_A} + 9}}{2} - \frac{{{y_A} - 5}}{2}} \right)\)

\( = \left( {\frac{{{x_A} + 3 - {x_A}}}{2};\frac{{{y_A} + 9 - {y_A} + 5}}{2}} \right)\)

\( = \left( {\frac{3}{2};7} \right)\)

Vậy \(\overrightarrow {EF} = \left( {\frac{3}{2};7} \right)\).

+ A’ đối xứng với A(3; –5) qua trục Ox, suy ra A’(3; 5) (do đối xứng qua trục Ox thì hoành độ giữ nguyên và tung độ đối nhau).

+ A” đối xứng với B qua trục Oy, suy ra A’’(–3; –5) (do đối xứng qua trục Oy thì tung độ giữ nguyên và hoành độ đối nhau).

+ A”’ đối xứng với A qua gốc tọa độ O, suy ra O là trung điểm của AA”’

Nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_O} = \frac{{{x_A} + {x_{A'''}}}}{2}}\\{{y_O} = \frac{{{y_A} + {y_{A'''}}}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{A'''}} = 2{x_O} - {x_A} = 2.0 - 3 = - 3}\\{{y_{A'''}} = 2{y_O} - {y_A} = 2.0 - \left( { - 5} \right) = 5}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ các điểm A', A'' và A''' lần lượt là A' (3; 5); A'' (–3; –5) và A''' (–3; 5).

Vì điểm \(A \in Ox\)và \(B \in Oy\) nên gọi tọa độ A(a; 0) và B(0; b).

Do A là trung điểm của BM nên ta có

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = \frac{{{x_B} + {x_M}}}{2}}\\{{y_A} = \frac{{{y_B} + {y_M}}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} = 2{x_A} - {x_M}}\\{{y_B} = 2{y_A} - {y_M}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = 2a - 2}\\{b = 2.0 - \left( { - 7} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 7}\end{array}} \right.\]

Vậy tọa độ A và B là A(1; 0) và B(0; 7).

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chi khi

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - 1} \right) + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).

Vậy \(m = \frac{1}{2}\).

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).2 + 3.\left( {1 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)

Vậy m = –1.

Tam giác ABC vuông tại B thì AB phải vuông góc với BC tại B hay

\(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {m;1} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( {3 - m; - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow m\left( {3 - m} \right) - 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) hoặc m = 2.

Vậy m = 1 hoặc m = 2.

H là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi AH vuông góc với BC và BH vuông góc với AC hay \(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\) và \(\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\)

Ta có\[\overrightarrow {AH} = \left( {m - 1;2n - 5} \right)\]; \(\overrightarrow {BH} = \left( {m - 2;2n - 5} \right)\);

\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 5} \right)\); \(\overrightarrow {AH} = \left( {0; - 5} \right)\)

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {m - 1} \right).\left( { - 1} \right) - 5\left( {2n - 5} \right) = 0}\\{\left( {m - 2} \right).0 - 5\left( {2n - 5} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{n = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\).

Vậy với m = 1 và \(n = \frac{5}{2}\) thì H là trực tâm của tam giác ABC.

Hai vectơ trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left( {10m - 7} \right).5 + 1.\left( { - 10 - 8m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{15}}{{14}}\)

Vậy \(m = \frac{{15}}{{14}}\).