10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 46

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{7}{4}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 4\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{4}} \right)\), đi qua điểm C(0; 4).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2};\,\,\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{37}}{4}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x + 3\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{{37}}{4}} \right)\), đi qua điểm C(0; 3), \(D\left( {\frac{{5 + \sqrt {37} }}{2};\,\,0} \right),\,\,E\left( {\frac{{5 - \sqrt {37} }}{2};\,\,0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{5}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{4};\,\,\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{17}}{8}.\)

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2} + 3x + 1\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{4};\frac{{17}}{8}} \right)\), đi qua điểm D(0; 1), \(D\left( {\frac{{3 + \sqrt {17} }}{4};0} \right),\,\,E\left( {\frac{{3 - \sqrt {17} }}{4};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{4}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{5}{4}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} + \sqrt 3 x + 2\) có đỉnh là \(I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{5}{4}} \right)\), đi qua điểm D(0; 2).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{4}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{{10}};\,\,\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{309}}{{100}}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + \frac{3}{5}x + 3\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{{10}};\,\,\frac{{309}}{{100}}} \right)\), đi qua điểm D(0; 3), \[A\left( {\frac{{3 + \sqrt {309} }}{{10}};\,\,0} \right),\,\,C\left( {\frac{{3 - \sqrt {309} }}{{10}};\,\,0} \right)\].

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{4}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = \(\frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \Leftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\]

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Xét đường thẳng d: {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 19 = 0\)

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = \[\frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].

Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos 120^\circ \]

\[ = {5^2} + {8^2} - 2.5.8.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 129\]

Vậy \(BC = \sqrt {129} \)

Áp dụng định lí côsin, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{14}^2} + {{15}^2} - {{13}^2}}}{{420}} = 0,6\).

Do đó \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = 0,8\).

Từ định lí cosin ta suy ra \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{5^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.5.8}} = \frac{{53}}{{80}}\).

Tam giác ABC có nửa chu vi là \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{6 + 5 + 8}}{2} = 9,5\)

Theo công thức He-ron, ta có:

\[S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {9,5\left( {9,5 - 6} \right)\left( {9,5 - 5} \right)\left( {9,5 - 8} \right)} \] ≈14,98.

Vậy \(\cos A = \frac{{53}}{{80}}\) và diện tích tam giác ABC khoảng 14,98.

Từ định lí cosin, ta có:

\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\)

\( = {12^2} + {8^2} - 2.12.8.\cos 115^\circ \)≈ 289,14.

Vậy \(AB \approx \sqrt {289,14} \approx 17\)

Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{{17}^2} + {8^2} - {{12}^2}}}{{2.17.8}} \approx 0,7684\).

Suy ra \(\widehat A \approx 39^\circ 47'\,,\,\,\widehat B \approx 25^\circ 13'.\).

a) Ta có \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 3 \cdot 2 \cdot \sin 30^\circ = \sqrt 3 \approx 1,7\).

b) Áp dụng định lí côsin, ta có:

\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C = 12 + 4 - 2 \cdot 2\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 4\).

Suy ra c = 2

Áp dụng định lí sin, ta có: \(R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{2}{{2\sin 30^\circ }} = 2\).

\[\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 1 + \cos x + \cos 2x\]

\[\left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = \left( {1 + \cos 2x} \right) + \cos x\]

\[2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 2{\cos ^2}x + \cos x\]

\[\sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = \cos x\left( {2\cos x + 1} \right)\]

\[\cos x\left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\]

\[x \in \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \,;\,\, \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \,;\,\,\frac{\pi }{6} + 2k\pi \,;\,\,\frac{\pi }{6} + 2k\pi } \right\}\].

\(1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\)

\(\left( {1 + \cos 3x} \right) + \left( {\cos x + \cos 2x} \right) = 0\)

\(2\cos \frac{{3x}}{2}\cos \frac{x}{2} + 2{\cos ^2}\frac{{3x}}{2} = 0\)

\(2\cos \frac{{3x}}{2}\left( {\cos \frac{x}{2} + 2\cos \frac{{3x}}{2}} \right) = 0\)

\(4\cos \frac{{3x}}{2}\cos x\cos \frac{x}{2} = 0\)

\[x \in \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \,;\,\,\frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3}} \right\}\].

\(\cos 10x - \cos 8x - \cos 6x + 1 = 0\)

\(\left( {\cos 10x - \cos 6x} \right) + \left( {1 - \cos 8x} \right) = 0\)

\( - 2\sin 8x\sin 2x + 2{\sin ^2}4x = 0\)

\( - 2\sin 4x\cos 4x\sin 2x + 4\sin 4x\sin 2x\cos 2x = 0\)

\( - \,4\sin 4x\sin 2x\left( {\cos 4x - \cos 2x} \right) = 0\)

\(8\sin 4x\sin 2x\sin 3x\sin x = 0\)

\[x \in \left\{ {\frac{{k\pi }}{3};\,\,\frac{{k\pi }}{4}} \right\}\].

\(9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8\)

\(9\sin x + 6\cos x - 6\sin x\cos x + 1 - 2{\sin ^2}x = 8\)

\(9\sin x + 6\cos x\left( {1 - \sin x} \right) - 2{\sin ^2}x - 7 = 0\)

\(6\cos x\left( {1 - \sin x} \right) + \left( {1 - \sin x} \right)\left( {2 - \sin 7x} \right) = 0\)

\(\left( {1 - \sin x} \right)\left( {6\cos x + 2 - \sin 7x} \right) = 0\)

\[x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \]

\(1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x\)

\(\left( {1 - \cos 2x} \right) + \left( {\cos 3x - \cos x} \right) + \sin x - \sin 2x = 0\)

\(2{\sin ^2}x - 2\sin 2x\sin x + \sin x - 2\sin x\cos x = 0\)

\(\sin x\left( {2\sin x - 2\sin 2x + 1 - 2\cos x} \right) = 0\)

\(\sin x\left[ {2\sin x\left( {1 - \cos 2x} \right) + \left( {1 - 2\cos x} \right)} \right] = 0\)

\(\sin x\left( {1 - 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\)

\[x \in \left\{ {k\pi \,;\,\, \pm \frac{\pi }{3} + 2k\pi \,;\,\, - \frac{\pi }{6} + 2k\pi \,;\,\,\frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi } \right\}\].

Đáp án B nằm trong bất đẳng thức tam giác: “Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại”.

Đáp án A sai vì π  là một số vô tỉ.

Đáp án C sai vì đây là câu hỏi.

Đáp án D sai vì đây là câu cảm thán.

Chọn D. Ta có: tồn tại 0,5 ∈ ℝ để 0,5 > 0,5².

Đáp án A sai vì với x = 0 thì x² = 0   .

Đáp án B sai vì với x = 5 thì  5 không chia hết cho 3.

Đáp án C sai vì với x = 0 thì –x² = 0 .

Chọn B.

Vì thay lần lượt các giá trị x bằng 0; 5; 3; 4 vào P(x) ta thấy x = 5 cho mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề P sai vì không có số thực nào có bình phương là số âm.

Mệnh đề Q đúng vì phương trình  x² + x + 1 = 0 vô nghiệm nên với mọi số thực thì x² + x + 1 ≠ 0 .

Mệnh đề S sai vì có giá trị x = 0 để 0² = 0.

Đáp án đúng là: D

Chọn B. Đáp án B sai vì số nguyên tố phải là số tự nhiên lớn hơn 1.

Đáp án A đúng vì \(2 + \sqrt 3 = \frac{1}{{1 - 2\sqrt 3 }}\)   .

Đáp án C đúng vì \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)^2} = 2\sqrt {24} \) 

Vậy chọn đáp án D đúng.

Chọn B

Chọn D

Chọn C

Chọn A

Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) .

• Lập phương trình đường thẳng AH:

AH đi qua điểm A(–3; –3) và nhận VTCP (2; 1) nên có VTPT là (1; –2).

Do đó, phương trình AH: (x + 3) – 2(y + 3) = 0 hay x – 2y – 3 = 0

• Hai đường thẳng AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y + 4 = 0}\\{x - 2y - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{y = - 2}\end{array}} \right.\).

Vậy tọa độ hình chiếu của A lên d là H(–1; –2).

• Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ // BC ( 1) .

• Do H là hình chiếu của A trên BC nên AH vuông góc BC (2).

Từ(1) và ( 2) suy ra AH ⊥ IJ.

Vì AH đi qua điểm A(–7; 10) và nhận VTPT \(\overrightarrow {IJ} \left( { - 6; - 1} \right)\) nên

(AH): –6(x + 7) – (y – 10) = 0 hay –6x – y – 32 = 0.

+ Đường thẳng ∆ có VTPT là \(\overrightarrow n \)(7; 9)

Gọi H(–9t –7; t) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì \(\overrightarrow {MH} = \left( { - 9t - 9;t + 10} \right)\)

⇒ Hai vectơ \(\overrightarrow {MH} \left( { - 9t - 9;t + 10} \right)\) và \(\overrightarrow n \)(7; 9) cùng phương nên:

 ⇒ \(\frac{{ - 9t - 9}}{7} = \frac{{t + 10}}{9} \Leftrightarrow t = \frac{{ - 151}}{{88}}\)

⇒ \(H\left( {\frac{{743}}{{88}};\,\,\frac{{729}}{{88}}} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(–6 + t; 10 – 10t), \(\overrightarrow {MH} \left( { - 12 + t;5 - 10t} \right)\).

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 10} \right)\).

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau

⇒ \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u \)= 0 ⇔ (–12 + t ) – 10(5 – 10t) = 0

⇔ \(t = \frac{{62}}{{101}}\)

⇒ \(H\left( {\frac{{ - 544}}{{101}};\frac{{390}}{{101}}} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(–3 + 6t; 7 – 9t), \(\overrightarrow {AH} \left( { - 6 + 6t;11 - 9t} \right)\).

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {6; - 9} \right)\).

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng AH và ∆ vuông góc với nhau

⇒ \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u \)= 0 ⇔ 6(–6 + 6t) – 9(11 – 9t) = 0

⇔ \(t = \frac{{15}}{{13}}\)

⇒ \(H\left( {\frac{{51}}{{13}};\frac{{ - 44}}{{13}}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\)

Phương trình chính tắc: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} \Leftrightarrow x - 1 = y - 2\).

Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng là y = ax + b.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = a + b}\\{3 = 2a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.\]

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = x + 1.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = - 3a + b}\\{ - 4 = 5a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 3}}{4}}\\{b = - \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\]

Phương trình tổng quát của đường thẳng là\(y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\).

Do đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = –2x + m – 1 nên a = –2.

Phương trình đường thẳng trở thành y = –2x + b

đường thẳng này đi qua A (3; 1) nên 1 = (–2).3 + b hay b = 7.

\({x^3} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = –2x + 7.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6; - 4} \right)\)

Phương trình tham số:

\(\frac{{x - \left( { - 2} \right)}}{6} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{6} = \frac{{3 - y}}{4}\)

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = \(\frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \Leftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\]

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Xét đường thẳng d: {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 19 = 0\)

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = \[\frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].

Ta có:

• \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow a - \overrightarrow b \)

• \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \)

• \(\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b \)

• \(\overrightarrow {DA} = - \overrightarrow {BC} = - \overrightarrow b - \overrightarrow a \)

Ta có: \(\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AG} \).

Suy ra: \(\overrightarrow {AH} = - \overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

Vậy: \(\overrightarrow {AH} = - \frac{1}{3}\overrightarrow b + \frac{2}{3}\overrightarrow c \).

Tương tự:

• \[\overrightarrow {CH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\]

\[ = - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\]

• \[\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right) - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = - \frac{5}{6}\overrightarrow b + \frac{1}{6}\overrightarrow c \]

Ta có:

• \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \);

• \(\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \).

Từ đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a }\\{\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b }\end{array}} \right.\).

Giải hệ phương trình này ta được: \(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow a - \frac{4}{5}\overrightarrow b \); \(\overrightarrow {AD} = \frac{4}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b \).

Như vậy

• \(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow a - \frac{4}{5}\overrightarrow b \);

• \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} = \frac{4}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b \);

• \(\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{4}{5}\overrightarrow b \);

• \(\overrightarrow {AD} = \frac{4}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b \);

• \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \frac{6}{5}\overrightarrow a - \frac{2}{5}\overrightarrow b \);

• \(\overrightarrow {BD} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{6}{5}\overrightarrow b \).

Vì I nằm trên cạnh BC và 2CI = 3BI nên \(2\overrightarrow {CI} + 3\overrightarrow {BI} = 0\)

\(2\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AI} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} } \right) = 0\)

\(5\overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {AB} \)

\[\overrightarrow {AI} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \]

Vì J nằm trên phần kéo dài của cạnh BC và 5JB = 2JC nên \(5\overrightarrow {JB} = 2\overrightarrow {JC} \)

\(5\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = 2\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\(3\overrightarrow {AJ} = 5\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \)

\[\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \]

Theo kết quả bài 4, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AI} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} }\\{\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} }\end{array}} \right.\).

Từ đó suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} }\\{\overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} }\end{array}} \right.\).

Ta lại có \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \) \( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\) (với M là trung điểm BC).

\( = \frac{1}{3}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} + \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} } \right) = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AJ} \).

Ta có y = \(a{x^2} + c \ge c\) khi a = 0.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của (P) là \(c = - 2\).

Vì (P) đi qua điểm A(2; 3) nên ta có: a . 2² – 2 = 3 hay a = \(\frac{5}{4}\).

Vậy ta xác định được parabol (P): y = \(\frac{5}{4}{x^2} - 2\).

(P) đi qua hai điểm A(1; 2) và B(–1; 3) nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{{.1}^2} + b.1 - 1 = 2}\\{a.{{\left( { - 1} \right)}^2} + b.\left( { - 1} \right) - 1 = 3}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 3}\\{a - b = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{7}{2}}\\{b = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Vậy ta xác định được parabol (P): y = \(\frac{7}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x - 1\).

Ta có a = 5 > 0, b = 4, c = –1, \(\Delta = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.5.\left( { - 1} \right) = 36\)

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.5}} = \frac{{ - 2}}{5}\), \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - 36}}{{4.5}} = \frac{{ - 9}}{5}\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 2}}{5}} \right)\)và đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{{ - 2}}{5}; + \infty } \right)\).

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{7}{4}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 4\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{4}} \right)\), đi qua điểm C(0; 4).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{37}}{4}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x + 3\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{{37}}{4}} \right)\), đi qua điểm C(0; 3); \(D\left( {\frac{{5 + \sqrt {37} }}{2};0} \right);E\left( {\frac{{5 - \sqrt {37} }}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{5}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A(3; 0) và B(0; 2) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:

\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\) hay 2x + 3y = 6.

Vậy phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(3; 0) và B(0; 2) là 2x + 3y = 6.

Gọi giao điểm của d với Ox là A, giao diểm của d với Oy là B.

• Xét điểm A có tung độ y = 0 ta có

3x + 2.0 – 5 = 0 hay x = \[\frac{5}{3}\]. Tọa độ của điểm A là \(\left( {\frac{5}{3};0} \right)\)

• Xét điểm B có hoành độ x = 0 ta có

3.0 + 2y – 5 = 0 hay y = \[\frac{5}{2}\]. Tọa độ của điểm B là \(\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\)

Vậy đường thẳng d đi qua hai điểm A \(\left( {\frac{5}{3};0} \right)\) và B \(\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\) nên phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn là \(\frac{{3x}}{5} + \frac{{2y}}{5} = 1\).

Vì A ∈ Ox; B ∈ Oy nên ta gọi A(x_A; 0); B(0; y_B).

Ta có M là trung điểm AB nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} + {x_B} = 2{x_M}}\\{{y_A} + {y_B} = 2{y_M}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} + 0 = 2.3}\\{0 + {y_B} = 2.2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 6}\\{{y_B} = 4}\end{array}} \right.\]

Suy ra (AB): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1\) = 1 hay 4x + 6y – 24 = 0.

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A(7; 0) và B(0; 4) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:

\(\frac{x}{7} + \frac{y}{4} = 1\) \[ \Leftrightarrow 4x + 7y = 28\]

Vậy phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(7; 0) và B(0; 4) là 4x + 7y – 28 = 0.

Vì A ∈ Ox; B ∈ Oy nên ta gọi A(x_A; 0); B(0; y_B).

Ta có M là trung điểm AB ⇒ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} + {x_B} = 2{x_M}}\\{{y_A} + {y_B} = 2{y_M}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} + 0 = 2.\left( { - 2} \right)}\\{0 + {y_B} = 2.5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = - 4}\\{{y_B} = 10}\end{array}} \right.\]

Suy ra (AB): \(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{{10}} = 1\) = 1 ⇔ 10x – 4y + 40 = 0.

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{7}{4}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 4\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{4}} \right)\), đi qua điểm C(0; 4).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{37}}{4}\).

Bảng biến thiêm

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x + 3\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{{37}}{4}} \right)\), đi qua điểm C(0; 3); \(D\left( {\frac{{5 + \sqrt {37} }}{2};0} \right);E\left( {\frac{{5 - \sqrt {37} }}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{5}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{4};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{17}}{8}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2} + 3x + 1\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{4};\frac{{17}}{8}} \right)\), đi qua điểm D(0; 1), \(D\left( {\frac{{3 + \sqrt {17} }}{4};0} \right),\,\,E\left( {\frac{{3 - \sqrt {17} }}{4};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{4}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{5}{4}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} + \sqrt 3 x + 2\) có đỉnh là \(I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{5}{4}} \right)\), đi qua điểm D(0; 2).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{4}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{{10}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{309}}{{100}}\)

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + \frac{3}{5}x + 3\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{{10}};\frac{{309}}{{100}}} \right)\), đi qua điểm D(0; 3), \[A\left( {\frac{{3 + \sqrt {309} }}{{10}};0} \right),C\left( {\frac{{3 - \sqrt {309} }}{{10}};0} \right)\].

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{4}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

a) ĐKXĐ: \({x^2} - 3x + 4 \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1}\\{x \ne - 4}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{1; –4}.

b) ĐKXĐ: \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne - 1}\\{x \ne - 2}\\{x \ne - 3}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{–1; –2; –3}.

a) ĐKXĐ: \({x^3} + {x^2} - 5x - 2 \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2}\\{x \ne \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;\frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\).

b) ĐKXĐ: \({\left( {x - 1} \right)^2} - 2{x^2} \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \sqrt 2 x - 1} \right)\left( {{x^2} + \sqrt 2 x - 1} \right) \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{{\sqrt 2 \pm \sqrt 7 }}{2}}\\{x \ne \frac{{ - \sqrt 2 \pm \sqrt 7 }}{2}}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{\sqrt 2 \pm \sqrt 7 }}{2};\frac{{ - \sqrt 2 \pm \sqrt 7 }}{2}} \right\}\).

a) ĐKXĐ: 3x + 2 > 0\( \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}\).

Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \frac{2}{3};\infty } \right)\).

b) ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 \ne 0}\\{{x^2} - 4x + 4 > 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne - 3}\\{x \ne 2}\end{array}} \right.\).

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{2; –3}.

a) ĐKXĐ: \({x^2} + 4x + 3 \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne - 1}\\{x \ne - 3}\end{array}} \right.\).

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{–1; –3}.

b) ĐKXĐ: \({x^2} - 25 > 0\)\( \Leftrightarrow x < - 5\) hoặc x > 5.

Suy ra tập xác định của hàm số là D = (–∞; –5) ∪ (5; +∞).

a) ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 \ge 0}\\{x + 7 \ge 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow x \ge - 5\).

Suy ra tập xác định của hàm số là D = [–5; +∞).

b) ĐKXĐ: \({x^2} - 2x + 3 \ne 0\).

Hàm số \({x^2} - 2x + 3 > 0{\rm{ }}\forall x\).

Suy ra tập xác định của hàm số là ℝ.

Từ (1), ta có

y = (m + 1)x – (m + 1) (3)

Thế vào (2) ta được

x + (m – 1)[(m + 1)x - (m + 1)] = 2

\( \Leftrightarrow x + \left( {{m^2} - 1} \right)x - \left( {{m^2} - 1} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow {m^2}x = {m^2} + 1\) (4)

• TH1: Nếu m ≠ 0 thì PT (4) có nghiệm duy nhất

\(x = \frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}}\) thay vào (3) ta có

\(y = \left( {m + 1} \right)\frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}} - \left( {m + 1} \right) = \frac{{\left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) - {m^2}\left( {m + 1} \right)}}{{{m^2}}}\)

\( = \frac{{{m^3} + m + {m^2} + 1 - {m^3} - {m^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{m + 1}}{{{m^2}}}\)

Khi đó hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}};\frac{{m + 1}}{{{m^2}}}} \right)\).

• TH2: Nếu m = 0 thì PT (4) trở thành 0x = 1 nên vô nghiệm

Khi đó hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy với m ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}};\frac{{m + 1}}{{{m^2}}}} \right)\);

với m = 0 hệ vô nghiệm.

Từ (1), ta có \(y = \frac{1}{3}\left( { - mx - 2} \right)\) (3)

Thế vào (2) ta được

\({m^2}x - 6.\frac{1}{3}\left( { - mx - 2} \right) = 4\)

\( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m} \right)x = 0\) (4)

Hệ có nghiệm duy nhất khi \({m^2} + 2m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0;m \ne - 2\).

Từ (1), ta có \(y = 1 - x\) (3)

Thế vào (2) ta được

\(mx - 2\left( {1 - x} \right) = m\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x = m - 2\) (4)

Hệ có nghiệm duy nhất khi \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\).

Từ (2), ta có \(y = mx + m\) (3)

Thế vào (1) ta được

\(x + m\left( {mx + m} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)x = 1 - {m^2}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}\) (4)

Thế vào (3) ta được

\(y = m.\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}} + m\)\( = \frac{{m\left( {1 - {m^2}} \right) + m\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\).

Vậy hệ có nghiệm duy nhất với mọi m.

Hệ có nghiệm duy nhất khi \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\).

Từ (1), ta có \(y = 1 - x\) (3)

Thế vào (2) ta được \(mx - 2\left( {1 - x} \right) = m\)\( \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x = m - 2\) (4)

Hệ có vô số nghiệm khi \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\).

Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó; đường thẳng d nhận vecto (a; b) làm VTPT.

Do đó, đường thẳng d nhận vecto \(\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)\) là VTPT.

Đường thẳng ax + by + c= 0 có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\).

Do đó, đường thẳng d có VTPT \(\overrightarrow n \left( {2; - 19} \right)\).

Đường thẳng d: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1\) hay (d): 3x + 2y – 6 = 0

Do đó, đường thẳng d nhận vecto \[\overrightarrow n \left( {3;2} \right)\] làm VTPT.

Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát:

2x + 3y – 6 = 0 nên đường thẳng có VTPT là \[\overrightarrow n \left( {2;3} \right)\].

Suy ra VTCP là \[\overrightarrow u \left( {3; - 2} \right)\].

Đường thẳng d có VTPT là \[\overrightarrow n \left( {2; - 5} \right)\] nên đường thẳng có VTCP là \[\overrightarrow u \left( {5;2} \right)\].

Ta có: c = a – b \( \Rightarrow \) c² = (a – b)² = a² – 2ab + b² = |a|² - 2|a| . |b| . cos(a,b) + |b|²

\( \Rightarrow \) c² = 4² – 2.4.1.cos60^o + 2² = 3 \( \Rightarrow \) |c| = \(\sqrt 3 \)

Ta lại có: a . c = a . (a – b) = a² – a . b  \( \Rightarrow \) a . c =3 

Do đó a . c = |a| . |c| . cos (a,c)

\( \Leftrightarrow \) 3= 2. \(\sqrt 3 \) . cos(a, c) \( \Rightarrow \) cos(a,c) = \(\frac{3}{{2\sqrt 3 }}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy góc giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) bằng 30 độ.

Lấy N là trung điểm của AC suy ra MN // BC.

Ta có: \[\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {MN} } \right) = 180^\circ - \widehat {OMN}\].

Xét tam giác OMN có

OM = ON = \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

MN = \(\frac{1}{2}BC\)= \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \widehat {OMN} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \widehat {OMN} = 60^\circ \end{array}\]

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 120^\circ \).

Ta có:

|3a + 2b| = \(\sqrt 7 \) \( \Leftrightarrow \) (|3a . 2b|)² = 7 \( \Leftrightarrow \) 9a² + 12b + 4b = 7

Vì a² = |a|² =1; b² = |b|² =1

\( \Rightarrow \) 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 =  7 \( \Leftrightarrow \) 12ab = 7 – 4 – 9  = –6 \( \Leftrightarrow \) ab =\( - \frac{1}{2}\).

Do đó: cos(a; b) = \(\frac{{a.b}}{{\left| a \right|.\left| b \right|}}\) = \( - \frac{1}{2}\)

Vậy góc giữa 2 vecto a và b là 120 độ.

Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {DC} \) = \(\overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \)\(\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)

Mà \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD} = 120^\circ \)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 120^\circ \)

Gọi I là trung điểm của AB, ta có IM = IN = a

Áp dụng định lý của cossin cho tam giác IMN ta có:

\(\cos \widehat {MIN} = \frac{{I{M^2} + I{N^2} - M{N^2}}}{{2.IM.IN}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2.a.a}} = - \frac{1}{2}\)

\( = > \widehat {MIN} = 60^\circ \)

\( = > \)góc giữa AC và BD bằng 60 độ.

\(S = \cos \left( {90^\circ - x} \right)\sin \left( {180^\circ - x} \right) - \sin \left( {90^\circ - x} \right)\cos \left( {180^\circ - x} \right)\)

\( = \sin x.\sin x - \cos x.\left( { - \cos x} \right)\)

\( = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\)= 1.

Áp dụng công thức tan a. cot a = 1 ta được:

\(B = \frac{{\left( {\cot 44^\circ + \tan 26^\circ } \right).\cos 406^\circ }}{{\cos 316^\circ }} - \cos 72^\circ .\cot 18^\circ \)

\( = \frac{{\left( {\cot 44^\circ + \tan 46^\circ } \right).\cos 46^\circ }}{{\cos 44^\circ }} - \tan 72^\circ .\cot 72^\circ \)

\( = \frac{{2\tan 46^\circ .\cos 46^\circ }}{{\sin 46^\circ }} - 1\)

\( = \frac{{2\sin 46^\circ }}{{\sin 46^\circ }} - 1\)= 2 – 1 = 1.

\(B = \frac{{\sin \left( { - 234^\circ } \right) - \cos 216^\circ }}{{\sin 144^\circ - \cos 126^\circ }}.\tan 36^\circ \)

\[ = \frac{{ - \sin \left( {180^\circ + 54^\circ } \right) - \cos \left( {180^\circ + 36^\circ } \right)}}{{\sin \left( {180^\circ - 36^\circ } \right) - \cos \left( {180^\circ - 54^\circ } \right)}}.{\mathop{\rm t}\nolimits} an36^\circ \]

\[ = \frac{{\sin 54^\circ + \cos 36^\circ }}{{\sin 36^\circ + \cos 54^\circ }}.{\mathop{\rm t}\nolimits} an36^\circ \]

\[ = \frac{{\cos 36^\circ + \cos 36^\circ }}{{\sin 36^\circ + \sin 36^\circ }}.{\mathop{\rm t}\nolimits} an36^\circ \]

\( = \cot 36^\circ .{\mathop{\rm t}\nolimits} an36^\circ \)= 1.

\(A = \frac{{\sin \left( { - 328^\circ } \right).\sin 958^\circ }}{{\cot 572^\circ }} - \frac{{\cos \left( { - 508^\circ } \right).\cos \left( { - 1022^\circ } \right)}}{{\tan \left( { - 212^\circ } \right)}}\)

\( = \frac{{\sin 32^\circ .\sin 58^\circ }}{{\cot 32^\circ }} - \frac{{\cos 32^\circ .\cos 58^\circ }}{{\tan 32^\circ }}\)

\( = \frac{{\sin 32^\circ .\cos 32^\circ }}{{\cot 32^\circ }} - \frac{{\cos 32^\circ .\sin 32^\circ }}{{\tan 32^\circ }}\)

\( = - {\sin ^2}32^\circ - {\cos ^2}32^\circ \)= –1.

\(A = \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right).{\cot ^2}x + \left( {1 - {{\cot }^2}x} \right)\)

\( = {\cot ^2}x - {\sin ^2}x.\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} + 1 - {\cot ^2}x\)

\( = {\cot ^2}x - {\cos ^2}x + 1 - {\cot ^2}x\)\( = {\sin ^2}x\).

Ta có \({x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) và x = 3.

\( \Rightarrow A = \left\{ {0;3} \right\}\).

Ta có \(1 < {x^2} < 20 \Rightarrow 1 < x < \sqrt {20} \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;4} \right\}\)

Do đó \(A = \left\{ {2;3;4} \right\}\).

Ta có \(2{x^2} - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{3}{2}}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow A = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}\).

Ta có \({x^3} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow A = \left\{ {1;0} \right\}\).

Ta có \(A = \left\{ { - 3\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5} \right\}\).