10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 45

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chi khi

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - 1} \right) + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).

Vậy \(m = \frac{1}{2}\).

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).2 + 3.\left( {1 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)

Vậy m = –1.

Tam giác ABC vuông tại B thì AB phải vuông góc với BC tại B hay

\(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\)

Ta có

\(\overrightarrow {AB} = \left( {m;1} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( {3 - m; - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow m\left( {3 - m} \right) - 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) hoặc m = 2.

Vậy m = 1 hoặc m = 2.

H là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi AH vuông góc với BC và BH vuông góc với AC hay

\(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\) và \(\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\)

Ta có \[\overrightarrow {AH} = \left( {m - 1;2n - 5} \right)\]; \(\overrightarrow {BH} = \left( {m - 2;2n - 5} \right)\);

\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 5} \right)\); \(\overrightarrow {AH} = \left( {0; - 5} \right)\)

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {m - 1} \right).\left( { - 1} \right) - 5\left( {2n - 5} \right) = 0}\\{\left( {m - 2} \right).0 - 5\left( {2n - 5} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{n = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy với m = 1 và \(n = \frac{5}{2}\) thì H là trực tâm của tam giác ABC.

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Rightarrow \left( {10m - 7} \right).5 + 1.\left( { - 10 - 8m} \right) = 0 \Rightarrow m = \frac{{15}}{{14}}\)

Vậy \(m = \frac{{15}}{{14}}\).

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) .

+ Lập phương trình đường thẳng AH:

AH đi qua điểm A(–3; –3) và nhận VTCP (2; 1) nên có VTPT là (1; –2).

⇒Phương trình AH: (x + 3) – 2(y + 3) = 0 hay x – 2y – 3 = 0

+ Hai đường thẳng AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y + 4 = 0}\\{x - 2y - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{y = - 2}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ hình chiếu của A lên d là H(–1; –2).

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ // BC ( 1) .

+ Do H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) và ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH: 

AH đi qua điểm A(–7; 10) và nhận VTPT \(\overrightarrow {IJ} \left( { - 6; - 1} \right)\).

⇒ ( AH): –6(x + 7) – (y – 10) = 0 hay –6x – y – 32 = 0.

+ Đường thẳng ∆ có VTPT là \(\overrightarrow n \)(7; 9)

Gọi H(–9t –7; t) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì \(\overrightarrow {MH} = \left( { - 9t - 9;t + 10} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {MH} \left( { - 9t - 9;t + 10} \right)\) và \(\overrightarrow n \)(7; 9) cùng phương nên:

 \(\frac{{ - 9t - 9}}{7} = \frac{{t + 10}}{9} \Leftrightarrow t = \frac{{ - 151}}{{88}}\)

Do đó \(H\left( {\frac{{743}}{{88}};\frac{{729}}{{88}}} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(–6 + t; 10 – 10t), \(\overrightarrow {MH} \left( { - 12 + t;5 - 10t} \right)\).

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 10} \right)\).

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau

\(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u \)= 0 hay (–12 + t) – 10(5 – 10t) = 0

Suy ra \(t = \frac{{62}}{{101}}\)

Do đó \(H\left( {\frac{{ - 544}}{{101}};\frac{{390}}{{101}}} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ nên H(–3 + 6t; 7 – 9t), \(\overrightarrow {AH} \left( { - 6 + 6t;11 - 9t} \right)\).

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {6; - 9} \right)\).

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng AH và ∆ vuông góc với nhau

Suy ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u \)= 0 nên 6(–6 + 6t) – 9(11 – 9t) = 0 hay \(t = \frac{{15}}{{13}}\)

Do đó \(H\left( {\frac{{51}}{{13}};\frac{{ - 44}}{{13}}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = x_B – x_A = 3 – (–5) = 8.

Suy ra \(\overrightarrow {AB} = 8\overrightarrow i \).

Khi đó, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) trên trục tọa độ (O; \(\overrightarrow i \)) là 8.

Do đó, tọa độ điểm I là: \({x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{\left( { - 5} \right) + 3}}{2} = - 1\) .

+) Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác ta có:

• \({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ - 9 + 3 - 10}}{3} = \frac{{ - 16}}{3}\);

• \({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{5 + 5 - 8}}{3} = \frac{2}{3}\).

Do đó \(G\left( { - \frac{{16}}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

+) Áp dụng công thức tọa độ trung điểm đoạn thẳng ta có:

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB có:

• \({x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 9 + 3}}{2} = - 3\);

• \({y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{5 + 5}}{2} = 5\).

Do đó \(I\left( { - 3;5} \right)\).

Gọi J là trung điểm của đoạn thẳng AC có:

• \({x_J} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{ - 9 - 10}}{2} = \frac{{ - 19}}{2}\)

• \({y_J} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{5 - 8}}{2} = \frac{{ - 3}}{2}\)

Do đó \(J\left( { - \frac{{19}}{2};\frac{{ - 3}}{2}} \right)\).

+) Ta có: \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) = (u₁ + v₁; u₂ + v₂) = (–1 –6 ; –2 – 5 ) = (–7; –7).

+) Ta có: \(\overrightarrow u - \overrightarrow v \)= (u₁ – v₁; u₂ – v₂) = (–1 + 6; –2 + 5 ) = (5; 3).

+) Ta có: \(k\overrightarrow u \) = (ku₁; ku₂) = (5.(–1); 5.(–5)) = (–5; –25).

Giả sử \[\overrightarrow b = x\overrightarrow a + y\overrightarrow c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 = - 3x + 10y}\\{1 = 2x - 9y}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 46}}{7}}\\{y = \frac{{ - 11}}{7}}\end{array}} \right.\].

\( \Rightarrow \overrightarrow b = \frac{{ - 46}}{7}\overrightarrow a - \frac{{11}}{7}\overrightarrow c \)

Ta có: M nằm trên trục Oy ⇒ M = (0; y)

Ba điểm A, B, M thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AM} \).

\[\frac{{ - 3}}{{ - 1}} = \frac{4}{{y - 2}}\]

\[\frac{4}{{y - 2}} = 3\]

\[3y - 6 = 4\]

\[y = \frac{{10}}{3}\]

Do đó \[M\left( {0;\,\,\frac{{10}}{3}} \right)\].

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

\[d\left( {O;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\].

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

\(d\left( {A;\,\,d} \right) = = \frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] hay \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\].

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

\[d\left( {O;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Xét đường thẳng d: {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

Do đó 2x + 3y – 19 = 0.

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

\[d\left( {B;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].

Vì \(\pi < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin \alpha > 0\,,\,\,\tan \alpha > 0\,,\,\,\cot \alpha > 0\).

• Từ cos² 2α + sin² 2α = 1, ta có:

\({\left( {\frac{4}{{13}}} \right)^2} + {\sin ^2}\alpha = 1\) hay \(\sin \alpha = \frac{{3\sqrt {17} }}{{13}}\).

• Từ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\), ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{3\sqrt {17} }}{4}\)

• Từ \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\), ta có: \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{{3\sqrt {17} }}\).

Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\,,\,\,\tan \alpha > 0\,,\,\,\cot \alpha > 0\).

• Từ cos² α + sin² α = 1, ta có:

\({\left( {0,7} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{ - \sqrt {51} }}{{10}}\).

• Từ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\), ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{7\sqrt {51} }}{{51}}\).

• Từ \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\), ta có: \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\sqrt {51} }}{7}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0,\sin \alpha > 0,\cot \alpha < 0\).

• Từ \[\cot \alpha .\tan \alpha = 1\], ta có: \(\cot \alpha = \frac{{ - 7}}{{15}}\).

• Từ \({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\), ta có:

\({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{{ - 15}}{7}} \right)}^2}}}\) hay \(\cos \alpha = \frac{{ - 7}}{{\sqrt {274} }}\).

• Từ \({\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\), ta có: \(\sin \alpha = \frac{{15}}{{\sqrt {274} }}\).

Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) nên \(\sin \alpha < 0,\cos \alpha > 0,\tan \alpha < 0\).

• Từ \[\cot \alpha .\tan \alpha = 1\], ta có: \(\tan \alpha = \frac{{ - 1}}{3}\).

• Từ \({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\), ta có:

\[{\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}^2}}}\] hay \[\cos \alpha = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\].

• Từ \({\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\), ta có: \(\sin \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {10} }}\).

Ta có \(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) (vì \[0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\]).

Khi đó

• \(\sin 2\alpha = 2.\sin \alpha \cos \alpha = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(\cos 2\alpha = 2.{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{3}\).

• \(\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \).

• \[\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\].

Ta có \[\left| {2x - 3} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3{\rm{ khi x}} \ge \frac{3}{2}}\\{{\rm{3}} - 2x{\rm{ khi x}} < \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\]

• Khi \[\left| {2x - 3} \right| = 2x - 3\] ta có \[2\left( {2x - 3} \right) = \frac{5}{2}\] hay \[x = \frac{{17}}{8}\].

• Khi \[\left| {2x - 3} \right| = 3 - 2x\] ta có \[2\left( {3 - 2x} \right) = \frac{5}{2}\] hay \[x = \frac{7}{8}\].

Vậy phương trình có hai nghiệm là \[x = \frac{{17}}{8}\] và \[x = \frac{7}{8}\].

Ta có \[\left| {2x - \frac{7}{4}} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{7}{4}{\rm{ khi x}} \ge \frac{7}{8}}\\{ - \left( {2x - \frac{7}{4}} \right){\rm{ khi x}} < \frac{7}{8}}\end{array}} \right.\]

• Khi \[\left| {2x - \frac{7}{4}} \right| = 2x - \frac{7}{4}\] ta có \[\frac{3}{2} - \left( {2x - \frac{7}{4}} \right) = \frac{5}{4}\] hay x = 1.

• Khi \[\left| {2x - \frac{7}{4}} \right| = - \left( {2x - \frac{7}{4}} \right)\] ta có \[\frac{3}{2} + \left( {2x - \frac{7}{4}} \right) = \frac{5}{4}\] hay \[x = \frac{3}{4}\].

Vậy phương trình có 2 nghiệm là \[x = 1\] và \[x = \frac{3}{4}\].

• Nếu 2m – 6 < 0 hay m < 3 thì phương trình vô nghiệm.

• Nếu 2m – 6 = 0 hay m = 3 thì phương trình trở thành

\[\left| {2 - 3x} \right| = 0\] hay \[x = \frac{2}{3}\] (phương trình có nghiệm duy nhất)

• Nếu 2m – 6 > 0 hay m > 3 thì phương trình trở thành

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - 3x = 2m - 6}\\{3 - 2x = 2m - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{8 - 2m}}{3}}\\{x = \frac{{2m - 4}}{3}}\end{array}} \right.\] (phương trình có hai nghiệm).

Vậy với m < 3 thì phương trình vô nghiệm, m = 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất, m > 3 thì phương trình có hai nghiệm.

\[\left| {5x - 4} \right| = \left| {x + 4} \right|\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x - 4 = x + 4}\\{4 - 5x = x + 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 0}\end{array}} \right.\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 2 và x = 0.

\[\left| {7x - 1} \right| - \left| {5x + 1} \right| = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x - 1 = 5x + 1}\\{1 - 7x = 5x + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 0}\end{array}} \right.\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = 0.

Vì \(\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB\) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng với \[\overrightarrow {BA} \Rightarrow \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} \]

+) Vì AB = DC , AB // DC (do ABCD là hình vuông)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \] và \[\overrightarrow {CD} \] ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \)\[ \Rightarrow \overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AB} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AO} \] ngược hướng với \[\overrightarrow {CO} \] và \[\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {CO} \Rightarrow \overrightarrow {CO} = - \overrightarrow {AO} \]

Vậy \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} \) là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \[\overrightarrow {CO} \] là vectơ đối của  \[\overrightarrow {AO} \].

Vì \(\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB\) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng với \[\overrightarrow {BA} \Rightarrow \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} \]

Ta có: \[\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} + \left( { - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \]

Áp dụng quy tắc ba điểm cho ba điểm A, D, B có: \[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BD} \]

Vì \[\left| {\overrightarrow {DO} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = OD\] và \(\overrightarrow {OD} \) ngược hướng với \[\overrightarrow {DO} \Rightarrow \overrightarrow {OD} = - \overrightarrow {DO} \]

Ta có: \[\overrightarrow {CO} - \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {CO} + \left( { - \overrightarrow {DO} } \right) = \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {CD} \]

Vì \(\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB\) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng với \[\overrightarrow {BA} \Rightarrow \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} \]

Ta có: \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CB} + \left( { - \overrightarrow {BA} } \right) = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \]

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = a\]

Dựng hình bình hành ABCD.

Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)

Theo quy tắc hiệu hai vectơ ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \)

Từ giả thiết suy ra \(\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\), tức là AD = BC.

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, tức là tam giác ABC vuông.

Áp dụng quy tắc ba điểm về hiệu cho ba điểm M, N, E ta có:

\(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {ME} = \overrightarrow {EN} \)\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {ME} } \right| = \left| {\overrightarrow {EN} } \right| = EN = 6a\].

Ta có \[\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {EM} = \overrightarrow {NM} + \left( { - \overrightarrow {EM} } \right) = \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {ME} \].

Do đó \[\left| {\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {EM} } \right| = \left| {\overrightarrow {NE} } \right| = NE = 6a.\]

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\).

Phương trình chính tắc: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} \Leftrightarrow x - 1 = y - 2\).

Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng là y = ax + b.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = a + b}\\{3 = 2a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.\].

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = x + 1.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = - 3a + b}\\{ - 4 = 5a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 3}}{4}}\\{b = - \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\].

Phương trình tổng quát của đường thẳng là\(y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\).

Do đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = –2x + m – 1 nên a = –2.

Phương trình đường thẳng trở thành y = –2x + b.

đường thẳng này đi qua A (3; 1) nên 1 = (–2).3 + b hay b = 7.

\({x^3} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = –2x + 7.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6; - 4} \right)\).

Phương trình tham số: \(\frac{{x - \left( { - 2} \right)}}{6} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{6} = \frac{{3 - y}}{4}\).

Đồ thị hàm số y = x² – x – 2 có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - 5}}{4}} \right)\), trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\), đi qua các điểm A(–1; 0), B(2; 0), C(0; –2).

Khi đó đồ thị hàm số y = |x² – x – 2| gồm: phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của (P) nằm dưới trục hoành qua trục hoành.

Đồ thị hàm số (P): y = x² – 3x + 2 có đỉnh \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{4}} \right)\), trục đối xứng x =\(\frac{3}{2}\), đi qua các điểm A(1; 0), B(2; 0), C(0; 2). Bề lõm hướng lên trên.

Khi đó đồ thị hàm số y = x² – 3|x| + 2 là (P₁) gồm phần bên phải trục tung của (P) và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung.

Đồ thị hàm số y = |x² – 3|x| + 2| là (P₂) gồm phần phía trên trục hoành của (P₁) và phần đối xứng của (P₁) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ta có \(y = \left| {{x^3} + 3{x^2} - 2} \right|\)

\( = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 3{x^2} - 2,x \in \left[ { - 1 - \sqrt 3 , - 1} \right] \cup \left( { - 1 + \sqrt 3 , + \infty } \right]}\\{ - \left( {{x^3} + 3{x^2} - 2} \right),x \in \left( { - \infty , - 1 - \sqrt 3 } \right) \cup \left( { - 1, - 1 + \sqrt 3 } \right]}\end{array}} \right.\)

Ta thấy đồ thị hàm số y = −( x³+ 3x²− 2) (màu đỏ) là đồ thị đối xứng của đồ thị y = x³+ 3x²− 2 (màu xanh) qua trục Ox.

Đồ thị y = x³+ 3x²− 2 ta chỉ lấy trong khoảng \(x \in \left[ { - 1 - \sqrt 3 , - 1} \right] \cup \left( { - 1 + \sqrt 3 , + \infty } \right]\) và đồ thị y = −( x³+ 3x²− 2) ta lấy trong khoảng \(x \in \left( { - \infty , - 1 - \sqrt 3 } \right) \cup \left( { - 1, - 1 + \sqrt 3 } \right]\).

Ta có đồ thị hàm số y = | x³+ 3x²− 2| như sau:

Ta có \[y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2} + 1 = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - 3{x^2} + 1,\,\,x \ge 0}\\{ - {x^3} - 3{x^2} + 1,\,\,x < 0}\end{array}} \right.\]

Ta thấy đồ thị hàm số y = −x³− 3x²+ 1 (màu đen) là đồ thị đối xứng của đồ thị hàm số y = x³− 3x²+ 1 (màu nâu) qua trục Oy.

Đồ thị hàm số y = x³− 3x²+ 1 lấy trong khoảng x ≥ 0 và đồ thị hàm số y = − x³− 3x²+ 1 lấy trong khoảng x < 0.

Vậy đồ thị hàm số y = |x|³− 3x²+ 1 như sau:

\[\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 1 + \cos x + \cos 2x\]

\[\left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = \left( {1 + \cos 2x} \right) + \cos x\]

\[2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 2{\cos ^2}x + \cos x\]

\[\sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = \cos x\left( {2\cos x + 1} \right)\]

\[\cos x\left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\]

\[x \in \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \,;\,\, \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \,;\,\,\frac{\pi }{6} + 2k\pi \,;\,\,\frac{\pi }{6} + 2k\pi } \right\}\].

\(1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\)

\(\left( {1 + \cos 3x} \right) + \left( {\cos x + \cos 2x} \right) = 0\)

\(2\cos \frac{{3x}}{2}\cos \frac{x}{2} + 2{\cos ^2}\frac{{3x}}{2} = 0\)

\(2\cos \frac{{3x}}{2}\left( {\cos \frac{x}{2} + 2\cos \frac{{3x}}{2}} \right) = 0\)

\(4\cos \frac{{3x}}{2}\cos x\cos \frac{x}{2} = 0\)

\[x \in \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \,;\,\,\frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3}} \right\}\].

\(\cos 10x - \cos 8x - \cos 6x + 1 = 0\)

\(\left( {\cos 10x - \cos 6x} \right) + \left( {1 - \cos 8x} \right) = 0\)

\( - 2\sin 8x\sin 2x + 2{\sin ^2}4x = 0\)

\( - 2\sin 4x\cos 4x\sin 2x + 4\sin 4x\sin 2x\cos 2x = 0\)

\( - 4\sin 4x\sin 2x\left( {\cos 4x - \cos 2x} \right) = 0\)

\(8\sin 4x\sin 2x\sin 3x\sin x = 0\)

\[ \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{k\pi }}{3};\frac{{k\pi }}{4}} \right\}\]

\(9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8\)

\(9\sin x + 6\cos x - 6\sin x\cos x + 1 - 2{\sin ^2}x = 8\)

\(9\sin x + 6\cos x\left( {1 - \sin x} \right) - 2{\sin ^2}x - 7 = 0\)

\(6\cos x\left( {1 - \sin x} \right) + \left( {1 - \sin x} \right)\left( {2 - \sin 7x} \right) = 0\)

\(\left( {1 - \sin x} \right)\left( {6\cos x + 2 - \sin 7x} \right) = 0\)

\[ \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \]

\(1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x\)

\(\left( {1 - \cos 2x} \right) + \left( {\cos 3x - \cos x} \right) + \sin x - \sin 2x = 0\)

\(2{\sin ^2}x - 2\sin 2x\sin x + \sin x - 2\sin x\cos x = 0\)

\(\sin x\left( {2\sin x - 2\sin 2x + 1 - 2\cos x} \right) = 0\)

\(\sin x\left[ {2\sin x\left( {1 - \cos 2x} \right) + \left( {1 - 2\cos x} \right)} \right] = 0\)

\(\sin x\left( {1 - 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\)

\[ \Rightarrow x \in \left\{ {k\pi ; \pm \frac{\pi }{3} + 2k\pi ; - \frac{\pi }{6} + 2k\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi } \right\}\]

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra tọa độ của G là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{2 + 1 + 5}}{3} = \frac{8}{3}}\\{{y_G} = \frac{{3 + 4 + 7}}{3} = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( {\frac{8}{3};\frac{{14}}{3}} \right)\).

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra tọa độ của G là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{1 - 1 + 2}}{3} = \frac{2}{3}}\\{{y_G} = \frac{{5 + 3 + 6}}{3} = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( {\frac{2}{3};\frac{{14}}{3}} \right)\).

Vì M là trung điểm của BC nên

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}}\\{{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 = \frac{{{x_B} + 2}}{2}}\\{1 = \frac{{{y_B} + 3}}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} = - 6}\\{{y_B} = - 1}\end{array}} \right.\]

Vậy tọa độ điểm B là (–6;–1).

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}}\end{array}} \right.\)\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 3{x_G} - {x_B} - {x_C}}\\{{y_A} = 3{y_G} - {y_B} - {y_C}}\end{array}} \right.\]

Hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 3.0 - \left( { - 6} \right) - 2}\\{{y_A} = 3.2 - \left( { - 1} \right) - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 4}\\{{y_A} = 4}\end{array}} \right.\]

Vậy tọa độ điểm A là (4; 4).

Vì C thuộc trục Oy nên tọa độ điểm C là (0; c).

G nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm G là (g; 0).

G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g = \frac{{2 + 3 + 0}}{3}}\\{0 = \frac{{\left( { - 2} \right) + 5 + c}}{3}}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g = \frac{5}{3}}\\{c = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ điểm C là (0; 1).

Vì C thuộc trục Ox nên tọa độ điểm C là (c; 0).

G nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm G là (0; g).

G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = \frac{{3 + 2 + c}}{3}}\\{g = \frac{{1 + 6 + 0}}{3}}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = - 5}\\{g = \frac{7}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ điểm C là (–5; 0).

Điều kiện xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x + 6 \ge 0}\\{4x + 3 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{{ - 6}}{5}}\\{x \ge \frac{{ - 3}}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{{ - 3}}{4}\)

\(\sqrt {5x + 6} = \sqrt {4x + 3} \)

\(5x + 6 = 4x + 3\)

\(x = - 3\)

Ta thấy x = –3 không thỏa mãn điều kiện xác định nên phương trình vô nghiệm.

\(\sqrt {3x + 7} = x + 3\)

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 \ge 0}\\{3x + 7 = {{\left( {x + 3} \right)}^2}}\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 3}\\{{x^2} + 3x + 2 = 0}\end{array}} \right.\]

Xét phương trình \[{x^2} + 3x + 2 = 0\], phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = –1 (thỏa mãn) và x = –2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = –1 và x = –2.

Điều kiện xác định: x ≥ –1

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \left( {x \ge 0} \right)\)

Ta có \[{t^2} = x + 1 \Rightarrow x = {t^2} - 1\]

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t² – 1 – t – 5 = 0 hay t² – t – 6 = 0.

Xét phương trình t² – t – 6 = 0 có: ∆= (–1)² – 4.1.(–6) = 25.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt t = 3 (thỏa mãn) và t = –2 (không thỏa mãn).

Với t = 3 ta có x = 8.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 8.

Điều kiện xác định: x > –4

Ta có

\(\frac{1}{{\sqrt {x + 4} }} = 2\)

\[1 = 2\sqrt {x + 4} \]

\[\frac{1}{2} = \sqrt {x + 4} \]

\[\frac{1}{4} = x + 4\]

\[x = \frac{{ - 15}}{4}\] (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm \[x = \frac{{ - 15}}{4}\]

\(\sqrt {2x - 3} = x - 3\)

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{2x - 3 = {x^2} - 6x + 9}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 6}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

\( \Rightarrow x = 6\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 6.