10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 44

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\).

Phương trình chính tắc: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}\) hay x – 1 = y – 2.

Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng là: y = ax + b.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = a + b}\\{3 = 2a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.\].

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = x + 1.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = - 3a + b}\\{ - 4 = 5a + b}\end{array}} \right.\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 3}}{4}}\\{b = - \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\].

Phương trình tổng quát của đường thẳng là \(y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\).

Do đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = –2x + m – 1 nên a = –2.

Phương trình đường thẳng trở thành y = –2x + b.

đường thẳng này đi qua A (3; 1) nên 1 = (–2).3 + b hay b = 7.

x³ – x = 0

x(x² – 1) = 0

x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = – 1.

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = –2x + 7.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6; - 4} \right)\).

Phương trình tham số: \(\frac{{x - \left( { - 2} \right)}}{6} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}}\) hay \(\frac{{x + 2}}{6} = \frac{{3 - y}}{4}\).

Phương trình đường thẳng d có hệ số góc k = 4 nên đường thẳng có dạng: y= 4x + b.

Do điểm M(2; 3) thuộc đường thẳng d nên : 3 = 4 . 2 + b ⇔ b = –5.

Vậy phương trình d: y = 4x – 5 hay 4x – y – 5 = 0.

Phương trình đường thẳng d có hệ số góc k = –2 nên đường thẳng có dạng: y= –2x + b.

Do điểm M(1; –3) thuộc đường thẳng d nên –3 = (–2) . 1 + b hay b = –1.

Vậy phương trình d: y = –2x – 1 hay –2x – y – 1 = 0.

Do đường thẳng d tạo với trục Ox một góc 60° nên hệ số góc của đường thẳng d là \(k = \tan 60^\circ = \sqrt 3 \) hoặc \(k = \tan 120^\circ = - \sqrt 3 \).

+ Nếu \(k = \sqrt 3 \) thì đường thẳng (d) cần tìm có dạng \(y = \sqrt 3 x + b\).

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 3) nên: \(3 = \sqrt 3 .2 + b \Leftrightarrow b = 3 - 2\sqrt 3 \)

Vậy phương trình d: \(y = \sqrt 3 x + 3 - 2\sqrt 3 \) hay \(\sqrt 3 x - y + 3 - 2\sqrt 3 = 0\).

+ Nếu \(k = - \sqrt 3 \) thì đường thẳng (d) cần tìm có dạng \(y = - \sqrt 3 x + b\).

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 3) nên: \(3 = - \sqrt 3 .2 + b \Leftrightarrow b = 3 + 2\sqrt 3 \)

Vậy phương trình d: \(y = \sqrt 3 x + 3 + 2\sqrt 3 \) hay \(\sqrt 3 x - y + 3 + 2\sqrt 3 = 0\).

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là: (d₁): \(y = \sqrt 3 x + 3 + 2\sqrt 3 \) và (d₂): \(y = \sqrt 3 x + 3 + 2\sqrt 3 \).

Phương trình đường thẳng d có hệ số góc k = –3 nên đường thẳng có dạng: y= –3x + b.

Do điểm M(2; –7) thuộc đường thẳng d nên : –7 = (–3) . 2 + b ⇔ b = –1.

Vậy phương trình d: y = –3x – 1 hay –3x – y – 1 = 0.

Do đường thẳng d tạo với trục Ox một góc 45° nên hệ số góc của đường thẳng d là \(k = \tan 45^\circ = 1\) hoặc \(k = \tan 135^\circ = - 1\).

+ Nếu k = 1 thì đường thẳng (d) cần tìm có dạng \(y = x + b\).

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4) nên: \(4 = 1.1 + b \Leftrightarrow b = 3\).

Vậy phương trình d: \(y = x + 3\) hay \(x - y + 3 = 0\).

+ Nếu k = –1 thì đường thẳng (d) cần tìm có dạng \(y = - x + b\).

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4) nên: \(4 = \left( { - 1} \right).1 + b \Leftrightarrow b = 5\).

Vậy phương trình d: \(y = - x + 5\) hay \( - x - y + 5 = 0\).

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là: (d₁): \(y = x + 3\) và (d₂): \(y = - x + 5\).

Ta có: y = \(a{x^2} + c \ge c\) khi a = 0.

Do đó giá trị nhỏ nhất của (P) là \(c = - 2\).

Ta có (P) đi qua điểm A(2; 3) nên ta có a.2² – 2 = 3 hay a = \(\frac{5}{4}\).

Do đó ta xác định được parabol (P): y = \(\frac{5}{4}{x^2} - 2\).

Vì (P) đi qua hai điểm A(1; 2) và B(–1; 3) nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{{.1}^2} + b.1 - 1 = 2}\\{a.{{\left( { - 1} \right)}^2} + b.\left( { - 1} \right) - 1 = 3}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 3}\\{a - b = 4}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{7}{2}}\\{b = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Vậy ta xác định được parabol (P): y = \(\frac{7}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x - 1\).

Vì A ∈ (P) nên a.1² + b.1 + c = 3 hay a + b + c = 3.

Mặt khác (P) có đỉnh I(2; 5) nên:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\) suy ra 4a + b = 0.

Lại có I ∈ (P) suy ra a.2² + b.2 + c = 5 hay 4a + 2b + c = 5.

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c = 3}\\{4a + 2b = 0}\\{4a + 2b + c = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 7}}{5}}\\{b = \frac{{24}}{5}}\\{c = \frac{{ - 2}}{5}}\end{array}} \right.\).

Vậy ta xác định được parabol (P): y = \( - \frac{7}{5}{x^2} + \frac{{24}}{5}x - \frac{2}{5}\).

(P) đi qua hai điểm A(0; 2) và B(–1; 0) nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{{.0}^2} + c = 2}\\{a.{{\left( { - 1} \right)}^2} + c = 0}\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 2}\\{a + c = 0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 2}\\{a = - 2}\end{array}} \right.\).

Vậy ta xác định được parabol (P): y = \(2{x^2} - 2\).

Vì B ∈ (P) nên a.2² + b.2 + 3 = –7 hay 4a + 2b = –10.

Mặt khác (P) có trục đối xứng là x = 5 nên:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 5\) nên 10a + b = 0.

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 2b = 10}\\{10a + b = 0}\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{8}}\\{b = \frac{{25}}{4}}\end{array}} \right.\).

Vậy ta xác định được parabol (P): y = \( - \frac{5}{8}{x^2} + \frac{{25}}{4}x + 3\).

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = \(\frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] hay \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\].

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Xét đường thẳng d: {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}.

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19.

Nên 2x + 3y – 19 = 0.

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = \[\frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].

Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4.3.\left( { - 5} \right) = 64 > 0\)

Phương trình f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{ - 5}}{3},{x_2} = 1\).

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \frac{5}{3};1} \right)\) và f(x) > 0 khi \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{5}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Ta xét: \({x^2} + 2x + 1 = 0\) nên \(x = - 1\).

\({x^2} - 1 = 0\)

\(x = - 1\) hoặc x = 1.

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) và f(x) > 0 khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

\(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.3.1 = - 8 < 0\)

Do a = 3 > 0 nên f(x) luôn lớn hơn 0.

Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.\left( { - 1} \right).5 = 36 > 0\).

Phương trình f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1,{x_2} = 5\).

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) > 0 khi \(x \in \left( { - 1;5} \right)\) và f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).

Ta xét: \( - {x^2} + x - 1 < 0\).

Thật vậy \(\Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.\left( { - 1} \right). - 1 = - 3 < 0\).

\(6{x^2} - 5 + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\).

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) > 0 khi \(x \in \left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right)\) và f(x) > 0 khi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Ta xét: \[{x^2} - x - 2 = 0\] nên x = –1 hoặc x = 2.

\[ - {x^2} + 3x + 4 = 0\] nên x = –1 hoặc x = 4.

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) > 0 khi \(x \in \left( {2;4} \right)\) và f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.4.1 = - 15 < 0\).

Do a = 4 > 0 nên f(x) luôn lớn hơn 0.

Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.3 = 4 > 0\).

Phương trình f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1,{x_2} = 3\).

Ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) < 0 khi \(x \in \left( {1;3} \right)\) và f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4.1.1 = 0\)

Do a = 4 > 0 nên f(x) luôn lớn hơn 0, phương trình có nghiệm kép x = –1 nên f(x) > 0 với mọi x ≠ –1.

Ta xét: \[2{x^2} - 7x - 9 = 0\]

x = –1 hoặc \[x = \frac{9}{2}\].

Ta có bảng xét dấu

Vậy tam thức trên nhận giá trị âm khi \[x \in \left( { - 1;\frac{9}{2}} \right)\]. Mà x nguyên nên \[x \in \left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4} \right\}.\]

Ta xét: –x² + 5x – 6 = 0

x = 2 hoặc x = 3.

Ta có bảng xét dấu

Vậy tam thức trên nhận giá trị dương khi \[x \in \left( {2\,;\,\,3} \right)\].

Ta xét: − x² + 3x – 2 = 0

x = 1 hoặc x = 2.

Ta có bảng xét dấu

Vậy tam thức trên nhận giá trị không âm khi \[x \in \left[ {1;2} \right]\].

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A(3; 0) và B(0; 2) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:

\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\) \[ \Leftrightarrow 2x + 3y = 6\]

Vậy phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(3; 0) và B(0; 2) là 2x + 3y = 6.

Gọi giao điểm của d với Ox là A, giao diểm của d với Oy là B.

• Xét điểm A có tung độ y = 0 ta có

3x + 2.0 – 5 = 0 hay x = \[\frac{5}{3}\]. Tọa độ của điểm A là \(\left( {\frac{5}{3};0} \right)\).

• Xét điểm B có hoành độ x = 0 ta có

3.0 + 2y – 5 = 0 hay y = \[\frac{5}{2}\]. Tọa độ của điểm B là \(\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\).

Đường thẳng d đi qua hai điểm A \(\left( {\frac{5}{3};0} \right)\) và B \(\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\) nên phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn là \(\frac{{3x}}{5} + \frac{{2y}}{5} = 1\).

Ta có A ∈ Ox, B ∈ Oy nên A(x_A; 0); B(0; y_B).

Vì M là trung điểm AB nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} + {x_B} = 2{x_M}}\\{{y_A} + {y_B} = 2{y_M}}\end{array}} \right.\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} + 0 = 2.3}\\{0 + {y_B} = 2.2}\end{array}} \right.\] suy ra \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 6}\\{{y_B} = 4}\end{array}} \right.\].

Suy ra (AB): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1\) = 1 nên 4x + 6y – 24 = 0.

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A(7; 0) và B(0; 4) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:

\(\frac{x}{7} + \frac{y}{4} = 1\) \[ \Leftrightarrow 4x + 7y = 28\]

Vậy phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(7; 0) và B(0; 4) là 4x + 7y – 28 = 0.

Ta có A ∈ Ox, B ∈ Oy nên A(x_A; 0); B(0; y_B).

Vì M là trung điểm AB nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} + {x_B} = 2{x_M}}\\{{y_A} + {y_B} = 2{y_M}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} + 0 = 2.\left( { - 2} \right)}\\{0 + {y_B} = 2.5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = - 4}\\{{y_B} = 10}\end{array}} \right.\]

Suy ra (AB): \(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{{10}} = 1\) = 1 hay 10x – 4y + 40 = 0.

Vì A ∈ d; B ∈ d nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 5}\\{a + b = - 6}\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 11}\\{b = - 17}\end{array}} \right.\).

Vậy hàm số cần tìm là y = 11x – 17.

Ta có đường thẳng Δ: 3x + 2y – 4 = 0 hay Δ: y = \(\frac{{ - 3}}{2}x + 2\).

Vì d // Δ nên \(a = \frac{{ - 3}}{2}\).

d đi qua C(4; 6) nên ta có: \(6 = - \frac{3}{2}.4 + b\) hay b = 12.

Vậy hàm số cần tìm là \(y = - \frac{3}{2}x + 12\).

Vì d ⊥ d' nên (–1).a = –1 hay a = 1.

d đi qua N (3; –4) nên ta có –4 = 3 + b hay b = –7.

Vậy hàm số cần tìm là y = x – 7.

Vì d và d' vuông góc với nhau nên ta có (m – 5).(–3) = –1 hay m = \(\frac{{16}}{3}\).

Vậy m = \(\frac{{16}}{3}\).

Vì d và d’ song song với nhau nên ta có (m – 5) = (2 – 3m) hay m = \(\frac{7}{4}\).

Vậy m = \(\frac{7}{4}\).

Đường thẳng (d) đi qua M(–2; 3) và có VTCP \(\overrightarrow u \left( {1; - 4} \right)\) nên có phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t}\\{y = 3 - 4t}\end{array}} \right.\).

Đường thẳng d đi qua A(–3; 0) và có VTPT \(\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)\) nên VTCP \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3 + 3t}\\{y = 2t}\end{array}} \right.\).

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] hay \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\].

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Đường thẳng ∆ đi qua M(1; –3) và nhận vectơ \(\overrightarrow u \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương

Vậy phương trình chính tắc của ∆: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2}\).

Đường thẳng d đi qua A(3; 1) và có VTCP \(\overrightarrow u \left( { - 1\,;\,\,2} \right)\) nên VTCP \(\overrightarrow n \left( {2\,;\,\,1} \right)\).

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng d:

2(x – 3) + (y – 1) = 0 hay 2x + y – 7 = 0.

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = \(\frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Xét đường thẳng d: {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 19 = 0\)

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = \[\frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].

Ta có \(\Delta = {b^2} - 4ac = {8^2} - 4.3.\left( { - 4} \right) = 112 > 0\)

Phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 8 + \sqrt {112} }}{{2.3}} = \frac{{ - 4 + 2\sqrt 7 }}{3};\]

\[{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 8 - \sqrt {112} }}{{2.3}} = \frac{{ - 4 - 2\sqrt 7 }}{3}.\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt là \[{x_1} = \frac{{ - 4 + 2\sqrt 7 }}{3}\] và \[{x_2} = \frac{{ - 4 - 2\sqrt 7 }}{3}\].

Ta có\(\frac{{3x}}{{2x - 1}} + \frac{x}{3} = 4\)

\(\frac{{9x + x(2x - 1)}}{{3(2x - 1)}} = 4\)

\(9x + x(2x - 1) = 12(2x - 1)\)

\(9x + 2{x^2} - x = 24x - 12\)

\(2{x^2} - 16x + 12 = 0\)

Ta có \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 16} \right)^2} - 4.2.12 = 160 > 0\).

Phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{16 + \sqrt {160} }}{{2.2}} = 4 + \sqrt {10} \];

\[{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{16 - \sqrt {160} }}{{2.2}} = 4 - \sqrt {10} \].

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt là \[{x_1} = 4 + \sqrt {10} \] và \[{x_2} = 4 - \sqrt {10} \].

Ta có \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.\left( { - 7} \right) = 81 > 0\).

Phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{5 + \sqrt {81} }}{{2.4}} = \frac{7}{4}\];

\[{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{5 - \sqrt {81} }}{{2.4}} = - \frac{1}{2}.\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt là \[{x_1} = \frac{7}{4}\] và \[{x_2} = - \frac{1}{2}\].

+ Trường hợp m = 1 nghĩa là a = 0

Ta có \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m + 2 = 0\)

\( - 2x + 3 = 0\)

\(x = \frac{3}{2}\)

+ Trường hợp m ≠ 1 nghĩa là a ≠ 0

Ta có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {m^2} - \left( {m - 1} \right).\left( {m + 2} \right) = - m + 2\).

• Nếu ∆' = 0 thì –m + 2 = 0 hay m = 2 nên phương trình có nghiệm kép.

• Nếu ∆' > 0 thì –m + 2 > 0 hay m > 2 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• Nếu ∆' < 0 thì –m + 2 < 0 hay m < 2 nên phương trình vô nghiệm.

Ta có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( {m - 4} \right)^2} - 1.{m^2} = - 8m + 16\)

• Nếu ∆' = 0 thì –8m + 16 = 0 hay m = 2 nên phương trình có nghiệm kép.

• Nếu ∆' > 0 thì –8m + 16 > 0 hay m > 2 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• Nếu ∆' < 0 thì –8m + 16 < 0 hay m < 2 nên phương trình vô nghiệm.

Ta có \((\sin 4\alpha + 2\sin 2\alpha )\cos \alpha \)

\( = (2\sin 2\alpha \cos 2\alpha + 2\sin 2\alpha )\cos \alpha \)

\( = 2\sin 2\alpha (2\cos 2\alpha + 1)\cos \alpha \)

\( = 4\sin \alpha \cos \alpha (1 - 2{\sin ^2}\alpha + 1)\cos \alpha \)

\( = 4\sin \alpha {\cos ^2}\alpha (2 - 2{\sin ^2}\alpha )\)

\( = 8{(1 - {\sin ^2}\alpha )^2}\sin \alpha \)

\[ = 8{\left( {1 - \frac{1}{{16}}} \right)^2}.\frac{1}{4} = \frac{{225}}{{128}}\].

Ta có \(P = \cos \alpha .\cos 3\alpha \)

\( = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 4\alpha )\)

\( = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + 2{\cos ^2}2\alpha - 1)\)

\( = \frac{1}{2}(2{\cos ^2}2\alpha + \cos 2\alpha - 1)\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + \frac{2}{3} - 1} \right] = \frac{5}{{18}}\).

Ta có \(A = \frac{{2{{\cos }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}{{2{{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}\)

\( = \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha }}{{\sqrt 3 \sin 4\alpha - \cos 4\alpha }}\)

\[ = \frac{{\frac{1}{2}\cos 4\alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 4\alpha }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 4\alpha - \frac{1}{2}\cos 4\alpha }}\]

\[ = \frac{{\sin \left( {4\alpha + 30^\circ } \right)}}{{\sin \left( {4\alpha - 30^\circ } \right)}}\].

sin2x – 2cos2x = 0

\({\cos ^2}x - 2\sin x.\cos x = 0\)

\(\cos x\left( {\cos x - 2\sin x} \right) = 0\)

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{\cos x - 2\sin x = 0}\end{array}} \right.\]

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi }\end{array},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\]

Ta có y = 4sin x.cos x + 1 = 2sin 2x + 1.

Vì –1 ≤ sin 2x ≤ 1 nên –2 ≤ 2sin 2x ≤ 2

Suy ra –1 ≤ 2sin 2x + 1 ≤ 3 hay –1 ≤ y ≤ 3.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, giá trị nhỏ nhất của hàm số là –1.

\[\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} = \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EC} } \right) = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \].

+) Vì ABCD là hình vuông nên AB // DC và AB = DC.

Do đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} \).

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho D, C, B ta có:

\[\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DB} \] nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DB} \).

+) Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD)

Do đó \(\overrightarrow {CO} = \overrightarrow {OA} \) nên \(\overrightarrow {CO} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AD} \).

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho O, A, D ta có: 

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {OD} \Rightarrow \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {OD} \).

+) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \)

\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} \]

\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CF} } \right) + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BE} \]

+) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: \[\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EF} \]

\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BE} \]

\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \left( {\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EF} } \right) + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \].

Giả sử \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \] là đúng

\[\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {OB} = 0\]

\[\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {BP} = 0\] (1)

Vì N là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NC} \).

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình và P là trung điểm BC

\(MN = \frac{1}{2}BC = BP\) nên \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BP} \)

Phương trình (1) trở thành \(\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MN} = 0\)

\[\left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CM} } \right) + \overrightarrow {MN} = 0\]

\[\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MN} = 0\] (luôn đúng)

Vậy đẳng thức trên là đúng.

Dựng hình bình hành ABCD.

Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \).

Theo quy tắc hiệu hai vecto ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \).

Từ giả thiết suy ra \(\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\), tức là AD = BC.

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, tức là tam giác ABC vuông.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\).

Phương trình chính tắc: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} \Leftrightarrow x - 1 = y - 2\).

Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng là y = ax + b.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = a + b}\\{3 = 2a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.\].

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = x + 1.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = - 3a + b}\\{ - 4 = 5a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 3}}{4}}\\{b = - \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\]

Phương trình tổng quát của đường thẳng là\(y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\).

Do đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = –2x + m – 1 nên a = –2.

Phương trình đường thẳng trở thành y = –2x + b

đường thẳng này đi qua A (3; 1) nên 1 = (–2).3 + b hay b = 7.

\({x^3} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = –2x + 7.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6; - 4} \right)\).

Phương trình tham số: \(\frac{{x - \left( { - 2} \right)}}{6} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{6} = \frac{{3 - y}}{4}\).