10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 42

Áp dụng định lí Cosin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

BC² = 1² + 2² – 2.1.2.cos120°

BC² = 1+ 4 – 4.\(\left( { - \frac{1}{2}} \right)\) = 7

BC =\(\sqrt 7 \) (cm)

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)

\(\sin C = \frac{{AB\sin B}}{{AC}} = \frac{{23.\sin 60^\circ }}{{24}} = \frac{{23\sqrt 3 }}{{48}}\)

Ta có O là tâm hình bình hành ABCD, O là trung điểm của AC

BO là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC nên

\(B{O^2} = \frac{{B{C^2} + B{A^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}\)

Hay 4BO² = 2(BC² + BA²) – AC² (1)

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2BO \( \Rightarrow \) BD² = 4BO²

(1)\( \Rightarrow \) BD² = 2(CB² + AB²) – AC² 

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(CB² + AB²) 

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(AB² + AD²) ( do AD = CB ) (điều cần phải chứng minh)

Áp dụng định lí Cosin ta có:

\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\)

Mà AB.AC luôn lớn hơn 0 nên cos A cùng dấu với biểu thức (AB² + AC² – BC²)

Vì góc A nhọn nên suy ra cos A > 0

Do đó AB² + AC² – BC² > 0.

Vậy BC² < AB² + AC².

Áp dụng định lí Cosin, ta có:

AC² = AB² + BC² = 2AB.BC.cos B

AC² = 15² + 10² – 2.15.10.cos 105º ≈ 402,65

Do đó AC = \(\sqrt {402,65} \) ≈ 20,07 (km)

Ta đặt HC = x (x > 0).

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC, ta có

AC² = BC.HC, ta được:

20² = (9 + x)x

x² + 9x – 400 = 0

(x + 25)(x – 16) = 0

x = –25 (loại) hoặc x = 16 (TM)

Vậy độ dài của cạnh huyền BC là:

BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Ta có: AH² = HB.HC = 9.25 = 225

Do đó, chiều dài đường cao AH là: AH = 15 cm.

Ta có cos 2α . cos 2β + cos 2α . sin 2β + sin 2α

= cos 2α(cos 2β + sin 2β) + sin 2α

= cos 2α . 1 + sin 2α = 1.

Vẽ AH ⊥ BC, thì ta có:   AB² = BH . BC; AC² = CH . BC.

Nên \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\) hay \(\frac{{{7^2}}}{{{{24}^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\).

Do đó \(\frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{49}}{{576}}\).

Nên ta có \(\frac{{BH}}{{49}} = \frac{{CH}}{{576}} = \frac{{BH + CH}}{{49 + 576}} = \frac{{BC}}{{625}} = \frac{{625}}{{625}} = 1\).

Vậy \(BH = 49.1 = 49;\,\,CH = 576.1 = 576\).

Ta thấy ngay có thể tính cạnh huyền của tam giác ABC:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 suy ra BC = 5 cm.

Vậy ta có độ dài hai cạnh góc vuông và cạnh huyền, giờ có thể tính BH và CH dựa vào công thức liên quan đến hình chiếu, cạnh huyền và cạnh góc vuông.

Ta có: AB² = BH.BC suy ra BH = \(\frac{{A{B^2}}}{{BC}}\)= \(\frac{{{3^2}}}{5}\)= \(\frac{9}{5}\) (cm)

Tương tự, AC² = HC.BC suy ra HC = \(\frac{{A{C^2}}}{{BC}}\)= \(\frac{{16}}{5}\) (cm)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC, ta có: h² = b’.c’.

Tức là AH² = BH . CH = \(\frac{{144}}{{25}}\) suy ra AH = \(\frac{{12}}{5}\) cm.

Ta có AB : AC = 3 : 4.

Đặt AB = 3k, AC = 4k.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

AB² + AC² = BC²

9k² + 16k² = 15²

k² = \(\frac{{{{15}^2}}}{{25}}\)= 9

Do đó k = 3.

Từ đó suy ra AB = 9 cm, AC = 12 cm.

Ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC để tính BH, CH.

Ta có AB² = BH . BC suy ra BH = \[\frac{{A{B^2}}}{{BC}}\]= \(\frac{{27}}{5}\) (cm)

AC² = HC . BC suy ra HC = \[\frac{{A{C^2}}}{{BC}}\] = \(\frac{{48}}{5}\) (cm).

Ta có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( {3m - 1} \right)^2} - 1.\left( {9{m^2} - 6m - 8} \right) = 9 > 0\).

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có \(\Delta = {b^2} - ac = {\left( { - m} \right)^2} - 4.3.{m^2} = - 11{m^2} \le 0\)

+ Trường hợp Δ = 0 \( \Leftrightarrow - 11{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\)

Phương trình có nghiệm kép \(x = \frac{0}{{2.3}} = 0\).

+ Trường hợp Δ < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{\Delta ' > 0}\end{array}} \right.\]

Ta có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( {m - 1} \right)^2} - m.\left( {m + 1} \right) = - 3m + 1\)

\[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow - 3m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}\].

Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{m < \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\].

+) Trường hợp m = 1 nghĩa là a = 0

Ta có \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m + 2 = 0\)

\( - 2x + 3 = 0\)

\(x = \frac{3}{2}\)

+) Trường hợp m ≠ 1 nghĩa là a ≠ 0.

Ta có \(\Delta ' = b{'^2} - ac\)\( = {m^2} - \left( {m - 1} \right).\left( {m + 2} \right)\)\( = - m + 2\)

• \[\Delta ' = 0\] hay \[ - m + 2 = 0\] hay \[m = 2\] thì phương trình có nghiệm kép.

• \[\Delta ' > 0\] hay \[ - m + 2 > 0\] hay \[m > 2\] thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• \[\Delta ' < 0\] hay \[ - m + 2 < 0\] hay \[m < 2\] thì phương trình vô nghiệm.

Ta có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( {m - 4} \right)^2} - 1.{m^2} = - 8m + 16\).

Xét các trường hợp của ∆’, ta có:

• \[\Delta ' = 0\] hay \[ - 8m + 16 = 0\] hay \[m = 2\] thì phương trình có nghiệm kép.

• \[\Delta ' > 0\] hay \[ - 8m + 16 > 0\] hay \[m > 2\] thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• \[\Delta ' < 0\] hay \[ - 8m + 16 < 0\] hay \[m < 2\] thì phương trình vô nghiệm.

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

\(d\left( {A\,;{\rm{ }}d} \right) = \frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

\(d\left( {O\,;{\rm{ }}d} \right) = \frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

\(d\left( {A\,;{\rm{ }}d} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] hay \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\].

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Xét đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t}\\{y = 5 - 2t}\end{array}} \right.\).

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

Do đó \(2x + 3y - 19 = 0\).

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = \[\frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].

Ta có \({x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) và x = 3.

Do đó A = {0; 3}.

Ta có \(1 < {x^2} < 20 \Rightarrow 1 < x < \sqrt {20} \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;4} \right\}\)

Do đó A = {2; 3; 4}.

Ta có \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\) nên \(x = \frac{3}{2}\) hoặc x = 1

Do đó \(A = \left\{ {1\,;\,\,\frac{3}{2}} \right\}\).

Ta có x³ – x = 0

x(x² – 1) = 0

x(x + 1)(x – 1) = 0

x = 0 hoặc x = –1 hoặc x = 1

Do đó \(A = \left\{ { - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right\}\).

\(A = \left\{ { - 3\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5} \right\}\).

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = \(\frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \Leftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\]

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Xét đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t}\\{y = 5 - 2t}\end{array}} \right.\)

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 19 = 0\)

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = \[\frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].

Nửa chu vi tam giác ABC là:

\[p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{8 + 9 + 13}}{2} = 15\]

Theo Heron, diện tích tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - CB} \right)} \)

\( = \sqrt {15\left( {15 - 8} \right)\left( {15 - 9} \right)\left( {15 - 13} \right)} \)= \(6\sqrt {35} \)

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

\[r = \frac{S}{P} = \frac{{6\sqrt {35} }}{{15}} = \frac{{2\sqrt {35} }}{5}\].

Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a.

Ta có DC = 3DB nên \(DC = \frac{3}{4}BC\)=\(\frac{3}{4}a\)

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ACB} = 60^\circ \).

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADC, ta có:

\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 2AC\,.\,CD\,.\,\cos \widehat {ACD}\)

\( = {a^2} + {\left( {\frac{3}{4}a} \right)^2} - 2\,.\,a\,.\,\frac{3}{4}a\,.\,\cos 60^\circ \)=\(\frac{{13}}{{16}}{a^2}\)

Do đó \(AD = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\)

Diện tích tam giác ACD là

\(S = \frac{1}{2}AC\,.\,CD\,.\,\sin \widehat {ACD} = \frac{1}{2}\,.\,a\,.\,\frac{3}{4}a\,.\,\sin 60^\circ = \frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}\).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC là

\(R = \frac{{AD\,.\,AC\,.\,DC}}{{4S}} = \frac{{\frac{{\sqrt {13} }}{4}a\,.\,a\,.\,\frac{3}{4}a}}{{4\,.\,\frac{{{a^2}\,.\,3\sqrt 3 }}{{16}}}} = \frac{{\sqrt {39} }}{2}a\).

Nửa chu vi tam giác ACD là

\(p = \frac{{AD + AC + CD}}{2} = \frac{{\frac{{\sqrt {13} }}{4}a + a + \frac{3}{4}a}}{2} = \frac{{\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}{8}a\)

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ADC là

\[r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}}}{{\frac{{\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}{8}a}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}a\];

\[\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{\sqrt {39} }}{2}a}}{{\frac{{3\sqrt 3 }}{{2\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}a}} = \frac{{13 + 3\sqrt {13} }}{3}\].

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

\(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\).

Nửa chu vi tam giác ABC là:

\[p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12\].

Diện tích tam giác ABC là:

\[S = AC.AB = 6.8 = 48\].

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

\[r = \frac{S}{P} = \frac{{48}}{{12}} = 4\].

Diện tích tam giác ABC là

\(S = \frac{1}{2}AB\,.\,AC\,.\,\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\).

Nửa chu vi tam giác ABC là

\[p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{3}{2}a\].

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

\[r = \frac{S}{P} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}}}{{\frac{3}{2}a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a\].

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2\,.\,AB\,.\,AC\,.\,\,\cos \widehat A\)

\( = {3^2} + {6^2} - 2\,.\,3\,.\,6\,.\,\cos 60^\circ \)= 27

Do đó \(BC = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \).

Ta thấy \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\) nên tam giác ABC vuông tại B.

Diện tích tam giác ABC là

\(S = AB\,.\,BC = 3\,.\,3\sqrt 3 = 9\sqrt 3 \)

Nửa chu vi tam giác ABC là

\[p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{3 + 6 + 3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9 + 3\sqrt 3 }}{2}\].

Bán kính đường tròn nội tiếp tam gain ABC là:

\[r = \frac{S}{P} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{\frac{{9 + 3\sqrt 3 }}{2}}} = 3\sqrt 3 - 3\].

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\).

Ta thấy \(\forall x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\).

\(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} + 5.{\left( { - x} \right)^2} + 4 = - {x^3} + 5{x^2} + 4 \ne \pm f\left( x \right)\).

Vậy hàm số trên không chẵn cũng không lẻ.

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\).

Ta thấy \(\forall x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\).

\(f\left( { - x} \right) = \frac{{{{\left( { - x} \right)}^2} + 5}}{{{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 5}}{{{x^2} + 1}} = f\left( x \right)\).

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn.

Tập xác định của hàm số: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\).

Ta thấy \[\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\] ta có \( - x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

\(f\left( { - x} \right) = \sqrt { - x + 1} - \sqrt {1 - \left( { - x} \right)} = \sqrt {x + 1} - \sqrt {1 - x} = f\left( x \right)\).

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn.

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash 1\).

Ta thấy \[\forall x \in \mathbb{R}\backslash 1\] ta có \( - x \in \mathbb{R}\backslash 1\).

\(f\left( { - x} \right) = \frac{{ - x - 5}}{{ - x - 1}} \ne \pm f\left( x \right)\).

Vậy hàm số trên không chẵn cũng không lẻ.

Điều kiện xác định của hàm số: x ≠ 2m –1.

Ta thấy \[\forall x \in D\] ta có \( - x \in D\).

\[f\left( { - x} \right) = \frac{{\left( { - x} \right)\left( {{x^2} - 2} \right) + 2m - 1}}{{ - x - 2m + 1}}\]

Hàm số trên là hàm số chẵn nên f(x) = f(–x) hay

\(\frac{{x\left( {{x^2} - 2} \right) + 2m - 1}}{{x - 2m + 1}} = \frac{{\left( { - x} \right)\left( {{x^2} - 2} \right) + 2m - 1}}{{ - x - 2m + 1}}\)

\(2m - 1 = 0\)

\(m = \frac{1}{2}\)

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn tại \(m = \frac{1}{2}\).

a) ĐKXĐ: \({x^2} - 3x + 4 \ne 0\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1}\\{x \ne - 4}\end{array}} \right.\).

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{1; –4}.

b) ĐKXĐ: \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) \ne 0\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne - 1}\\{x \ne - 2}\\{x \ne - 3}\end{array}} \right.\).

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{–1; –2; –3}.

a) ĐKXĐ: \({x^3} + {x^2} - 5x - 2 \ne 0\)

hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2}\\{x \ne \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;\frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\).

b) ĐKXĐ: \({\left( {x - 1} \right)^2} - 2{x^2} \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \sqrt 2 x - 1} \right)\left( {{x^2} + \sqrt 2 x - 1} \right) \ne 0\)

Hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{{\sqrt 2 \pm \sqrt 7 }}{2}}\\{x \ne \frac{{ - \sqrt 2 \pm \sqrt 7 }}{2}}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{\sqrt 2 \pm \sqrt 7 }}{2};\frac{{ - \sqrt 2 \pm \sqrt 7 }}{2}} \right\}\)

a) ĐKXĐ: 3x + 2 > 0 hay \(x > - \frac{2}{3}\).

Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \frac{2}{3};\infty } \right)\).

b) ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 \ne 0}\\{{x^2} - 4x + 4 > 0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne - 3}\\{x \ne 2}\end{array}} \right.\).

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{2; –3}.

a) ĐKXĐ: \({x^2} + 4x + 3 \ne 0\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne - 1}\\{x \ne - 3}\end{array}} \right.\).

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{–1; –3}.

b) ĐKXĐ: \({x^2} - 25 > 0\) hay \(x < - 5\) hoặc x > 5.

Suy ra tập xác định của hàm số là D = (–∞; –5) ∪ (5; +∞).

a) ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 \ge 0}\\{x + 7 \ge 0}\end{array}} \right.\) hay \(x \ge - 5\).

Suy ra tập xác định của hàm số là D = [–5; +∞).

b) ĐKXĐ: \({x^2} - 2x + 3 \ne 0\)

Hàm số \({x^2} - 2x + 3 > 0{\rm{ }}\forall x\)

Suy ra tập xác định của hàm số là ℝ.

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = \(\frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \Leftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\]

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Xét đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 5 - 2t}\end{array}} \right.\)

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

Do đó \(2x + 3y - 19 = 0\).

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = \[\frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].