10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 41

Nửa chu vi tam giác ABC là:

\[p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{8 + 9 + 13}}{2} = 15\]

Theo Heron, diện tích tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - CB} \right)} \)

\( = \sqrt {15\left( {15 - 8} \right)\left( {15 - 9} \right)\left( {15 - 13} \right)} \)

= \(6\sqrt {35} \)

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\[r = \frac{S}{P} = \frac{{6\sqrt {35} }}{{15}} = \frac{{2\sqrt {35} }}{5}\].

Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a.

Ta có DC = 3DB

\( \Rightarrow DC = \frac{3}{4}BC\)=\(\frac{3}{4}a\)

Tam giác ABC là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {ACB} = 60^\circ \)

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADC, ta có:

\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 2AC.CD.\cos \widehat {ACD}\)

\( = {a^2} + {\left( {\frac{3}{4}a} \right)^2} - 2.a.\frac{3}{4}a.\cos 60^\circ \)=\(\frac{{13}}{{16}}{a^2}\)

\( \Rightarrow AD = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\)

Diện tích tam giác ACD là

\(S = \frac{1}{2}AC.CD.\sin \widehat {ACD} = \frac{1}{2}.a.\frac{3}{4}a.\sin 60^\circ = \frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC là

\(R = \frac{{AD.AC.DC}}{{4S}} = \frac{{\frac{{\sqrt {13} }}{4}a.a.\frac{3}{4}a}}{{4.\frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}}} = \frac{{\sqrt {39} }}{2}a\).

Nửa chu vi tam giác ACD là:

\(p = \frac{{AD + AC + CD}}{2} = \frac{{\frac{{\sqrt {13} }}{4}a + a + \frac{3}{4}a}}{2} = \frac{{\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}{8}a\).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ADC là

\[r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}}}{{\frac{{\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}{8}a}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}a\];

\[\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{\sqrt {39} }}{2}a}}{{\frac{{3\sqrt 3 }}{{2\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}a}} = \frac{{13 + 3\sqrt {13} }}{3}\].

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

\(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\)

Nửa chu vi tam giác ABC là:

\[p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12\]

Diện tích tam giác ABC là:

\[S = AC.AB = 6.8 = 48\]

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\[r = \frac{S}{P} = \frac{{48}}{{12}} = 4\].

Diện tích tam giác ABC là:

\(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\).

Nửa chu vi tam giác ABC là:

\[p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{3}{2}a\].

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\[r = \frac{S}{P} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}}}{{\frac{3}{2}a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a\].

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos \widehat A\)

\( = {3^2} + {6^2} - 2.3.6.\cos 60^\circ \)= 27

\( \Rightarrow BC = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \)

Ta thấy \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\) nên tam giác ABC vuông tại B.

Diện tích tam giác ABC là

\(S = AB.BC = 3.3\sqrt 3 = 9\sqrt 3 \).

Nửa chu vi tam giác ABC là

\[p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{3 + 6 + 3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9 + 3\sqrt 3 }}{2}\].

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\[r = \frac{S}{P} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{\frac{{9 + 3\sqrt 3 }}{2}}} = 3\sqrt 3 - 3\].

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = \(\frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] hay \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\]

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Xét đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 5-2t\end{array} \right.\)

Ta có 2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 19 = 0\)

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = \[\frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = \(\frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \Leftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\]

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Xét đường thẳng d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t}\\{y = 5 - 2t}\end{array}} \right.\]

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 19 = 0\)

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = \[\frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {5.2 - 3.3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {34} }}{{34}}\).

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = \(\frac{{\left| {5.0 + 2.0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = \(\frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) - 1.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \Leftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\]

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Xét đường thẳng d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t}\\{y = 5 - 2t}\end{array}} \right.\]

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 19 = 0\)

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = \[\frac{{\left| {2.3 + 3.\left( { - 5} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{28\sqrt {13} }}{{13}}\].

Áp dụng định lí Cosin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

= 1² + 2² – 2.1.2.cos120°

= 1+ 4 – 4.\(\left( { - \frac{1}{2}} \right)\) = 7

Suy ra BC =\(\sqrt 7 \) cm.

Áp dụng định lí sin ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\).

\(\sin C = \frac{{AB\sin B}}{{AC}} = \frac{{23.\sin 60^\circ }}{{24}} = \frac{{23\sqrt 3 }}{{48}}\).

Ta có O là tâm hình bình hành ABCD, O là trung điểm của AC

BO là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC nên

\(B{O^2} = \frac{{B{C^2} + B{A^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}\)

Hay 4BO² = 2(BC² + BA²) – AC² (1)

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2BO \( \Rightarrow \) BD² = 4BO²

(1) \( \Rightarrow \) BD² = 2(CB² + AB²) – AC² 

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(CB² + AB²) 

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(AB² + AD²) (do AD = CB ) (điều cần phải chứng minh)

Áp dụng định lí Cos, ta có:

\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\)

Mà AB.AC luôn lớn hơn 0 nên cos A cùng dấu với biểu thức (AB² + AC² – BC²)

Góc A là góc nhọn

\( \Rightarrow \) 0º < A < 90º

\( \Rightarrow \) cos A > 0

\( \Rightarrow \) AB² + AC² – BC² > 0

\( \Rightarrow \) BC² < AB² + AC²

Áp dụng định lí Cosin ta có:

AC² = AB² + BC² = 2AB.BC.cos B

\( \Rightarrow \) AC² = 15² + 10² – 2 . 15 . 10 . cos 105º ≈ 402,65

\( \Rightarrow \) AC = \(\sqrt {402,65} \) ≈ 20,07 (km)

Ta đặt HC = x (x > 0).

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC, ta có

AC² = BC.HC, ta được:

20² = (9 + x)x

x² + 9x – 400 = 0

(x + 25)(x – 16) = 0

x = –25 (loại) hoặc x = 16 (TM)

Vậy độ dài của cạnh huyền BC là:

BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Ta có: AH² = HB.HC = 9.25 = 225

Do đó, chiều dài đường cao AH là: AH = 15 cm.

Ta có

cos2α.cos2β + cos2α.sin2β + sin2α

= cos2α(cos2β + sin2β) + sin2α

= cos2α.1 + sin2α = 1.

Vẽ AH ⊥ BC, thì ta có: AB² = BH.BC; AC² = CH.BC.

Khi đó, ta có \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\) hay \(\frac{{{7^2}}}{{{{24}^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\).

Do đó \(\frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{49}}{{576}}\).

Nên ta có \(\frac{{BH}}{{49}} = \frac{{CH}}{{576}} = \frac{{BH + CH}}{{49 + 576}} = \frac{{BC}}{{625}} = \frac{{625}}{{625}} = 1\).

Vậy \(BH = 49.1 = 49;\,\,CH = 576.1 = 576\).

Ta thấy ngay có thể tính cạnh huyền của tam giác ABC:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 suy ra BC = 5 cm.

Vậy ta có độ dài hai cạnh góc vuông và cạnh huyền, giờ có thể tính BH và CH dựa vào công thức liên quan đến hình chiếu, cạnh huyền và cạnh góc vuông.

Ta có: AB² = BH.BC suy ra BH = \(\frac{{A{B^2}}}{{BC}}\)= \(\frac{{{3^2}}}{5}\)= \(\frac{9}{5}\) (cm)

Tương tự, AC² = HC.BC suy ra HC = \(\frac{{A{C^2}}}{{BC}}\)= \(\frac{{16}}{5}\) (cm)

Tính AH dựa vào hệ thức h² = b’.c’ tức là

AH² = BH.CH = \(\frac{{144}}{{25}}\) suy ra AH = \(\frac{{12}}{5}\) cm

AB : AC = 3 : 4

Ta gọi AB = 3k, AC = 4k.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC:

AB² + AC² = BC² suy ra 9k² + 16k² = 15² suy ra k² = \(\frac{{{{15}^2}}}{{25}}\)= 9, vậy k = 3.

Từ đó suy ra AB = 9 cm, AC = 12 cm.

Ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

• AB² = BH.BC suy ra BH = \[\frac{{A{B^2}}}{{BC}}\]= \(\frac{{27}}{5}\) (cm)

• AC² = HC.BC suy ra HC = \[\frac{{A{C^2}}}{{BC}}\] = \(\frac{{48}}{5}\) (cm).

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra tọa độ của G là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{2 + 1 + 5}}{3} = \frac{8}{3}}\\{{y_G} = \frac{{3 + 4 + 7}}{3} = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right.\).

Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{{14}}{3}} \right)\).

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Do đó, tọa độ của G là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{1 - 1 + 2}}{3} = \frac{2}{3}}\\{{y_G} = \frac{{5 + 3 + 6}}{3} = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right.\).

Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( {\frac{2}{3};\,\,\frac{{14}}{3}} \right)\).

Vì M là trung điểm của BC nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}}\\{{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}}\end{array}} \right.\].

Do đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 = \frac{{{x_B} + 2}}{2}}\\{1 = \frac{{{y_B} + 3}}{2}}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} = - 6}\\{{y_B} = - 1}\end{array}} \right.\].

Vậy tọa độ điểm B là (–6;–1).

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}}\end{array}} \right.\) nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 3{x_G} - {x_B} - {x_C}}\\{{y_A} = 3{y_G} - {y_B} - {y_C}}\end{array}} \right.\]

Khi đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 3.0 - \left( { - 6} \right) - 2}\\{{y_A} = 3.2 - \left( { - 1} \right) - 3}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 4}\\{{y_A} = 4}\end{array}} \right.\].

Vậy tọa độ điểm A là (4; 4).

Vì C thuộc trục Oy nên tọa độ điểm C là (0; c).

G nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm G là (g; 0).

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}}\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g = \frac{{2 + 3 + 0}}{3}}\\{0 = \frac{{\left( { - 2} \right) + 5 + c}}{3}}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g = \frac{5}{3}}\\{c = 1}\end{array}} \right.\).

Vậy tọa độ điểm C là (0; 1).

Vì C thuộc trục Ox nên tọa độ điểm C là (c; 0).

G nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm G là (0; g).

G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}}\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = \frac{{3 + 2 + c}}{3}}\\{g = \frac{{1 + 6 + 0}}{3}}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = - 5}\\{g = \frac{7}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ điểm C là (–5; 0).

Ta có: c = a – b

Nên c² = (a – b)² = a² – 2ab + b² = |a|² – 2|a| . |b| . cos(a,b) + |b|²

Suy ra c² = 4² – 2.4.1.cos60^o + 2² = 3 hay |c| = \(\sqrt 3 \).

Ta lại có: a . c = a . (a – b) = a² – a . b hay a . c =3 

Do đó a . c = |a| . |c| . cos (a, c)

Hay 3 = 2. \(\sqrt 3 \) . cos(a, c)

Do đó, cos(a, c) = \(\frac{3}{{2\sqrt 3 }}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy góc giữa 2 vectơ bằng 30^o.

Lấy N là trung điểm của AC suy ra MN // BC.

Ta có: \[\left( {\overrightarrow {OM} \,,\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {OM} \,,\,\,\overrightarrow {MN} } \right) = 180^\circ - \widehat {OMN}\]

Xét tam giác OMN có OM = ON = \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\); MN = \(\frac{1}{2}BC\)= \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Suy ra \[\cos \widehat {OMN} = \frac{1}{2}\] hoặc \[\widehat {OMN} = 60^\circ \].

Do đó \[\left( {\overrightarrow {OM} ,\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = 120^\circ \].

Ta có: \(\left| {3a + 2b} \right| = \sqrt 7 \) hay \[{\left( {3a \cdot 2b} \right)^2}\; = 7\] nên 9a² + 12b + 4b = 7

Vì a² = |a|² =1; b² = |b|² =1.

Nê 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 =  7 nên 12ab = 7 – 4 – 9  = –6 hay ab =\( - \frac{1}{2}\).

Do đó: \(cos\left( {a;{\rm{ }}b} \right) = \frac{{a.b}}{{\left| a \right|.\left| b \right|}} = - \frac{1}{2}\).

Vậy góc giữa 2 vectơ a và b là 120 độ.

Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)

Suy ra \(\overrightarrow {DC} \) = \(\overrightarrow {AD} \) nên \[\left( {\overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {AD} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AD} } \right)\].

Mà \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD} = 120^\circ \).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {AD} } \right) = 120^\circ \).

Gọi I là trung điểm của AB, ta có IM = IN = a

Áp dụng định lý của Cosin cho tam giác IMN ta có:

\(\cos \widehat {MIN} = \frac{{I{M^2} + I{N^2} - M{N^2}}}{{2\,.\,IM\,.\,IN}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2\,.\,a\,.\,a}} = - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \widehat {MIN} = 60^\circ \).

Vậy góc giữa AC và BD bằng 60 độ.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,\,1} \right)\).

Phương trình chính tắc:

\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}\) hay \(x - 1 = y - 2\).

Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng là: y = ax + b.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = a + b}\\{3 = 2a + b}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.\].

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = x + 1.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = - 3a + b}\\{ - 4 = 5a + b}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 3}}{4}}\\{b = - \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\].

Phương trình tổng quát của đường thẳng là\(y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\).

Do đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = –2x + m – 1 nên a = –2.

Phương trình đường thẳng trở thành y = –2x + b

đường thẳng này đi qua A (3; 1) nên 1 = (–2).3 + b hay b = 7.

\({x^3} - x = 0\)

x(x² – 1) = 0

x(x + 1)(x – 1) = 0

x = 0 hoặc x² – 1 = 0

x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = −1.

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = –2x + 7.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6; - 4} \right)\)

Phương trình tham số:

\(\frac{{x - \left( { - 2} \right)}}{6} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}}\) hay \(\frac{{x + 2}}{6} = \frac{{3 - y}}{4}\)

Ta có

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{7}{4}\)

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 4\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{4}} \right)\), đi qua điểm C(0; 4).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2};\,\,\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{37}}{4}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x + 3\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{{37}}{4}} \right)\), đi qua điểm C(0; 3); \(D\left( {\frac{{5 + \sqrt {37} }}{2};\,\,0} \right);\,\,E\left( {\frac{{5 - \sqrt {37} }}{2};\,\,0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{5}{2}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{4};\,\,\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{17}}{8}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2} + 3x + 1\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{4};\,\,\frac{{17}}{8}} \right)\), đi qua điểm D(0; 1); \(D\left( {\frac{{3 + \sqrt {17} }}{4};\,\,0} \right);\,\,E\left( {\frac{{3 - \sqrt {17} }}{4};\,\,0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{4}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{5}{4}\)

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} + \sqrt 3 x + 2\) có đỉnh là \(I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{5}{4}} \right)\), đi qua điểm D(0; 2).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{4}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{{10}};\,\,\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{309}}{{100}}\).

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + \frac{3}{5}x + 3\) có đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{{10}};\,\,\frac{{309}}{{100}}} \right)\), đi qua điểm D(0; 3), \[A\left( {\frac{{3 + \sqrt {309} }}{{10}};\,\,0} \right),C\left( {\frac{{3 - \sqrt {309} }}{{10}};\,\,0} \right)\].

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = \frac{3}{4}\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới