10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 31

Lời giải:

Ta có: 3⁴ º-2(mod)83

Suy ra 3⁴⁰ º (-2)¹⁰ = 2¹⁰ = 1024 º 28 (mod)83

Vậy 3⁴⁰ chia 83 dư 28

Lời giải:

Ta có: 3¹⁰ = 9⁵ = 59049 Þ 3¹⁰ + 1 : 50 Þ 3²⁰ – 1 = (3¹⁰ + 1) (3¹⁰ – 1) : 100

Mặt khác: 5¹⁶ – 1 : 4 Þ 5(5¹⁶ – 1) : 20

Suy ra 5¹⁷ = 5(5¹⁶ – 1) + 5 = 20k + 5

Do đó 3⁵¹⁷ = 3^{20k + 5} = 3⁵(3^20k – 1) + 3⁵ = 3⁵(3^20k – 1) + 243 có hai chữ số tận cùng là 43.

Vậy số dư của phép chia 3⁵¹⁷ cho 25 là 18.

Lời giải:

Ta có: \(\overline {ab} - \overline {ba} = \left( {10a + b} \right) - \left( {10b + a} \right)\)

= 9a – 9b

= 9(a – b)

Do \(\overline {ab} - \overline {ba} \) là số chính phương nên 9(a – b) là số chính phương.

Mặt khác a và b đều là số có một chữ số nên 1 £ a – b < 9

Tuy nhiên, do \(\overline {ab} \) là một số nguyên tố nên b phải là một số lẻ. Vậy b = 1, 3, 7, 9.

Mặt khác, do 9(a – b) = 3²(a – b) là một số chính phương nên (a – b) cũng phải là một số chính phương. Do đó a – b = 1,4

Với a – b = 1 và b là một số lẻ, ta có số \(\overline {ab} \) là 21, 43, 87. Trong 3 số chỉ có 43 là số nguyên tố.

Với a – b = 4 và b là một số lẻ, ta có số \(\overline {ab} \) có thể là 51, 73. Cả 2 số đều là số nguyên tố.

Vậy số cần tìm là 43, 73.

Lời giải:

19x⁴ + 57 = y²

19x⁴ + 19.3 = y.y

19(x⁴ + 3) = y.y

Suy ra  y = 19

x⁴ + 3 = 19

x⁴ = 16 = 2⁴ Þ x = 2

Vậy x = 2 và y = 19

Lời giải:

Ta có: x²y – x + xy = 6

Suy ra xy(x + 1) – x = 6

 xy(x + 1) – 1 – x = 6 – 1

xy(x + 1) – 1 – x = 5

(x + 1)(xy – 1) = 5

Do x,y Î \(\mathbb{Z}\) nên xy – 1 và x + 1 Î Ư(5) = {±1; ±5}

Ta có bảng sau:

x + 1	-5	-1	1	5
x	-6	-2	0	4
xy - 1	-1	-5	5	1
xy	0	-4	6	2
y	0	2	Loại	Loại

Vì x, y Î \(\mathbb{Z}\)nên (x, y) Î {(-6; 0), (-2; 2)}

Lời giải:

Đặt n² – 2n + 2020 = a² với \(a \in {\mathbb{N}^*}\)

Suy ra (n – 1)² + 2019 = a²

Khi đó 2019 = (a – n + 1)(a + n – 1)

Với \(a \in {\mathbb{N}^*},n \in \mathbb{N}\)thì a + n – 1 > 0

Suy ra a – n + 1 > 0. Vậy a + n – 1 > a – n + 1 > 0

Mà tích của chúng bằng 2019 nên ta có các TH sau:

TH1: a + n – 1 = 2019; a – n + 1 = 1 nên n = 1010 (thỏa mãn)

TH2: a + n – 1 = 673, a – n + 1 = 3 nên n = 336

Lời giải:

Ta có: 2ⁿ + 3ⁿ = 5ⁿ suy ra \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} = 1\)

Nếu n > 1 thì \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} < \frac{2}{5};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} < \frac{3}{5}\)

Nên \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} < \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1\) (loại)

Do đó n £ 1

Mà n là số tự nhiên nên n = 0 hoặc n = 1

Thử 2 giá trị 0, 1 thấy n = 1 thỏa mãn

Vậy n = 1

Lời giải:

[(6x – 39) : 7].4 = 12

[(6x – 39) : 7] = 12 : 4

[(6x – 39) : 7] = 3

6x – 39 = 3 ´ 7

6x – 39 = 21

6x = 21 + 39

6x = 60

x = 60 : 6

x = 10

Vậy x = 10

Lời giải:

Đặt \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3k\\y = 4k\\z = 5k\end{array} \right.\)

Khi đó: xyz = 480 Þ 3k.4k.5k = 480 Þ 60k³ = 480 Þ k³ = 8 Þ k³ = 2³ nên k = 2

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3k = 3.2 = 6\\y = 4k = 4.2 = 8\\z = 5k = 5.2 = 10\end{array} \right.\)

Vậy (x; y; z) = (6; 8; 10)

Lời giải:

F = \(\frac{1}{{1.1985}} + \frac{1}{{2.1986}} + \frac{1}{{3.1987}} + ... + \frac{1}{{16.2000}}\)

\(\begin{array}{l}1984F = \frac{{1984}}{{1.1985}} + \frac{{1984}}{{2.1986}} + \frac{{1984}}{{3.1987}} + ... + \frac{{1984}}{{16.2000}}\\1984F = \left( {1 - \frac{1}{{1985}}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{1986}}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{{1987}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{16}} - \frac{1}{{2000}}} \right)\\1984F = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{16}}} \right) - \left( {\frac{1}{{1985}} + \frac{1}{{1986}} + \frac{1}{{1987}} + ... + \frac{1}{{2000}}} \right)\\F = \frac{{\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{16}}} \right) - \left( {\frac{1}{{1985}} + \frac{1}{{1986}} + \frac{1}{{1987}} + ... + \frac{1}{{2000}}} \right)}}{{1984}}\end{array}\)

Lời giải:

\(\frac{7}{9} \times \frac{5}{6} = \frac{{7 \times 5}}{{9 \times 6}} = \frac{{35}}{{54}}\)

Lời giải:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9

= (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5

= 10 + 10 + 10 + 10 + 5

= 45

Chiều cao của tam giác AMC hay ABM là:

34 ´ 2 : 5 = 13,6 (cm)

Diện tích tam giác ABM là:

\(\frac{{13,6 \times 7,6}}{2} = 51,68\) (cm²)

Đáp số: 51,68 cm²

Lời giải:

Ta có: x + 1 = 49 + 1 = 50 thay vào A ta có:

A = x⁶ – (x + 1)x⁵ + (x + 1)x⁴ – (x + 1)x³ + (x + 1)x² – (x + 1)x + 50

A = x⁶ – x⁶ −x⁵ + x⁵ + x⁴ – x⁴ – x³ + x³ + x² – x² – x + 50

A =-x + 50 =-49 + 50 = 1

Lời giải:

Ta có: 2(x – 1)² ³ 0, \(\forall \)x

Suy ra A = 2(x – 1)² – 2024 ³-2024

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi : 2(x – 1)² = 0 Û x = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A =-2024 khi x = 1

Lời giải:

159(18 – 59) – 59(19 – 159)

= 159.(-41) – 59.(-140)

=-6519 – (-8260)

= 1741

Lời giải:

\(\begin{array}{l}B:2 = \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}} + \frac{1}{{110}}\\B:2 = \frac{1}{{5.6}} + \frac{1}{{6.7}} + \frac{1}{{7.8}} + \frac{1}{{8.9}} + \frac{1}{{9.10}} + \frac{1}{{10.11}}\\B:2 = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{11}}\\B:2 = \frac{1}{5} - \frac{1}{{11}}\\B:2 = \frac{6}{{55}}\\B = \frac{{12}}{{55}}\end{array}\)

Lời giải:

Tỷ số % giữa 9 và 15 là: 9 : 15 = 0,6 = \(\frac{{60}}{{100}}\)= 60%

Lời giải:

Số chẵn lớn nhất có 1 chữ số là: 8

Số liền trước số bé nhất có 2 chữ số là: 9

Tổng của hai chữ số là: 8 + 9 = 17

Đáp số: 17

Lời giải:

Diện tích khu đất là:

12 ´ 12 = 144 (m²)

Diện tích nền nhà là:

24 : 4 ´ (24 : 4) = 36 (m²)

Diện tích bồn hoa là:

2 ´ 2 ´ 3,14 = 12,56 (m²)

Diện tích đất còn lại là:

144 – (36 + 12,56 + 15,70) = 79,74 (m²)

Đáp số: 79,74 m²

Lời giải:

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc với d.

Þ d' nhận (2; 1) là một VTPT

Phương trình d': 2(x – 4) + 1(y – 1) = 0 Û 2x + y – 9 = 0

Hình chiếu vuông góc của A lên d là giao điểm của d và d' có tọa độ là nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 = 0\\2x + y - 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{14}}{5}\\y = \frac{{17}}{5}\end{array} \right.\)

Lời giải:

Vì A', B', C' chia BC, CA, AB theo tỉ số -1; \(\frac{1}{2}\); -2.

Û \(\overrightarrow {A'B} = - \overrightarrow {A'C} \) nên A' là trung điểm của BC.

Do đó \(A'\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\).

\(\overrightarrow {B'C} = \frac{1}{2}\overrightarrow {B'A} \Leftrightarrow \left( { - 1 - {x_{b'}}; - 2 - {y_{B'}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {0 - {x_{B'}};2 - {y_{B'}}} \right)\) nên B'(2; -6)

\(\overrightarrow {C'A} = - 2\overrightarrow {C'B} \Leftrightarrow \left( {0 - {x_{C'}};2 - {y_{C'}}} \right) = - 2\left( {1 - {x_{C'}};1 - {y_{C'}}} \right)\) nên \(C'\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\)

Lời giải:

a) Phương trình vuông góc với đường thẳng EF nhận \(\overrightarrow {EF} \) là một vectơ pháp tuyến, không phải là vectơ chỉ phương.

Þ (a) sai

b) Ta có: E(2; 1), F(3; 5)

Þ Đường thẳng EF có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {EF} = \left( {3 - 2;5 - 1} \right) = \left( {1;4} \right)\)

Þ Đường thẳng EF có vectơ chỉ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 4;1} \right)\)

Đường thẳng kẻ từ D và vuông góc với EF có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;4} \right)\)

Mà đường cao đi qua điểm D(1; -1) nên ta có phương trình:

1(x – 1) + 4(y + 1) = 0

x – 1 + 4y + 4 = 0

x + 4y + 3 = 0

Þ (b) sai

c) Tọa độ của điểm I là: \(\left( {\frac{{1 + 3}}{2};\frac{{ - 1 + 5}}{2}} \right) = \left( {2;2} \right)\)

Þ (c) đúng

d) Đường trung tuyến kẻ từ E có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {EI} = \left( {2 - 2;2 - 1} \right) = \left( {0;1} \right)\)

Þ Đường trung tuyến kẻ từ E có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 1;0} \right)\)

Mà đường thẳng đi qua E nên ta có phương trình đường thẳng:

-1(x – 2) + 0(y – 1) = 0

-x + 2 = 0

x - 2 = 0

Þ (d) đúng

Lời giải:

Gọi x (câu) là số câu hỏi trả lời đúng (ĐK: x Î \({\mathbb{N}^*}\))

Số câu hỏi bạn Bảo trả lời sai: 15 – x (câu)

Số điểm bạn Bảo được cộng: 5x (điểm)

Số điểm bạn Bảo bị trừ là: 2(15 – x) = 30 – 2x (điểm)

Theo đề, ta có:

5x – (30 – 2x) = 40

5x – 30 + 2x = 40

7x = 70

x = 10 (tmđk)

Vậy bạn Bảo trả lời đúng 10 câu hỏi.

Lời giải:

Số lẻ nhỏ nhất là 1.

Số lẻ lớn nhất là 99

Khoảng cách giữa hai số lẻ liên tiếp là 2.

Số số hạng là: (99 – 1) : 2 + 1 = 98 : 2 + 1 = 50.

Vậy từ 1 đến 99 có 50 số lẻ.

Lời giải:

Khối lượng dầu trong can là:

9,3 – 1,65 = 7,65 (kg)

Mỗi lít dầu nặng:

7,65 : 9 = 0,85 (kg)

Đáp số: 0,85 kg

Lời giải:

Ta có: 80 = 2⁴.5                150 = 2.3.5²

Þ ƯCLN (80, 150) = 2.5 = 10

Þ ƯC(80, 150) = Ư(10) = {±1; ±2; ±5; ±10}

Lời giải:

Số tiền trong tháng 8 cửa hàng giảm được là:

8 000 000 ´ (100% - 5%) = 7 600 000 (đồng)

Tháng 9 cửa hàng giảm:

6 840 000 : 7 600 000 = 0,95 = 95%

Vậy tháng 9 giảm được so với tháng 8 là:

1 – 90% = 10%

Đáp số: 10%

Lời giải:

Ta có: \(\frac{{13}}{{17}} = \frac{{13m}}{{17m}}\,\,\,\,\left( {m \in \mathbb{N}} \right)\)

Để tử và mẫu là 2 số tự nhiên có 2 chữ số thì cả tử và mẫu nhân cùng 1 số

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m = 1\,\,n\^e n\,\,\,13.1 = 13\\m = 1\,\,n\^e n\,\,17.1 = 17\end{array} \right.\) (chọn)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m = 2\,\,n\^e n\,\,13.2 = 26\\m = 2\,\,n\^e n\,\,17.2 = 34\end{array} \right.\) (chọn)

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}m = 3\,\,n\^e n\,\,13.3 = 39\\m = 3\,\,n\^e n\,\,17.3 = 51\end{array} \right.\) (chọn)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}m = 4\,\,n\^e n\,\,13.4 = 52\\m = 4\,\,n\^e n\,\,17.4 = 68\end{array} \right.\) (chọn)

TH5: \[\left\{ \begin{array}{l}m = 5\,\,n\^e n\,\,13.4 = 65\\m = 5\,\,n\^e n\,\,17.4 = 85\end{array} \right.\] (chọn)

TH6: \(\left\{ \begin{array}{l}m = 6\,\,n\^e n\,\,13.6 = 78\\m = 6\,\,n\^e n\,\,17.6 = 102\end{array} \right.\) (không thỏa mãn)

Vậy m ³ 6 thì tử và mẫu sẽ không là các số có 2 chữ số

Vậy \(\frac{{13}}{{17}} = \frac{{26}}{{34}} = \frac{{39}}{{51}} = \frac{{52}}{{68}} = \frac{{65}}{{85}}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}\frac{{26}}{{27}} = 1 - \frac{1}{{27}}\\\frac{{25}}{{26}} = 1 - \frac{1}{{26}}\\\frac{{51}}{{52}} = 1 - \frac{1}{{52}}\\\frac{{52}}{{53}} = 1 - \frac{1}{{53}}\end{array}\)

Vì \(\frac{1}{{26}} > \frac{1}{{27}} > \frac{1}{{52}} > \frac{1}{{53}}\)

Do đó \(1 - \frac{1}{{27}} < 1 - \frac{1}{{26}} < 1 - \frac{1}{{52}} < 1 - \frac{1}{{53}}\)

Nên\(\frac{{25}}{{26}} < \frac{{26}}{{27}} < \frac{{51}}{{52}} < \frac{{52}}{{53}}\)

Lời giải:

Gọi phương trình d có dạng y = kx + b    (k ¹ 0)

Do d tạo với Ox một góc 45° nên k = tan45°= 1

Nên y = x + b Û x – y + b = 0

Do d tiếp xúc với (C) nên d(I; d) = R

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 3 - 3 + b} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 5 \Leftrightarrow \left| {b - 6} \right| = 5\sqrt 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 6 + 5\sqrt 2 \\b = 6 - 5\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow d:\left[ \begin{array}{l}x - y + 6 + 2\sqrt 5 = 0\\x - y + 6 - 2\sqrt 5 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}x - \left( { - \frac{{18}}{{54}}} \right) = \frac{7}{9}\\x + \frac{1}{3} = \frac{7}{9}\\x = \frac{7}{9} - \frac{1}{3} = \frac{4}{9}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{4}{9}\)

Lời giải:

Ta có: x \( \vdots \) 12 suy ra x Î B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84;...}

Mà 13 < x < 75 nên x Î {24; 36; 48; 60; 72}

Lời giải:

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{{11}} - \frac{{2x - 5}}{{15}} = \frac{{3x - 47}}{{17}} - \frac{{4x - 59}}{{19}}\\\frac{x}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{2}{{15}}x + \frac{5}{{15}} = \frac{3}{{17}}x - \frac{{47}}{{17}} - \frac{{4x}}{{19}} + \frac{{59}}{{19}}\\\frac{{ - 1}}{{165}}x + \frac{{14}}{{33}} = \frac{{ - 11}}{{323}}x + \frac{{110}}{{323}}\\\frac{{ - 7}}{{165}}x + \frac{{11}}{{323}}x = \frac{{110}}{{323}} - \frac{{14}}{{33}}\\x = 10\end{array}\)

Vậy x = 10

Lời giải:

Ta có: x : y : z = 2: 3 : 5\(suy\,\,ra\,\,\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k\,\,suy\,\,ra\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\y = 3k\\z = 5k\end{array} \right.\)

Mà x.y.z = 810 nên 2k.3k.5k = 810 suy ra 30k³ = 810 suy ra k = 3

Khi đó\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2.3 = 6\\y = 3.3 = 6\\z = 3.5 = 15\end{array} \right.\) nên x + y + z = 6 + 16 + 15 = 37

Lời giải:

Đặt \(\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = k\,\,suy\,\,ra\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3k\\y = 7k\end{array} \right.\)   (1)

Ta có: x² + y² = 58 nên

(3k)² + (7k)² = 58

9k² + 49k² = 58

k²(9 + 49) = 58

k².58 = 58

Khi đó k =±1

Thay vào (1) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3.1 = 3\\y = 7.1 = 7\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3.\left( { - 1} \right) = - 3\\y = 7.\left( { - 1} \right) = - 7\end{array} \right.\)

Lời giải:

Điều kiện (y ¹-1)

\(\begin{array}{l}\frac{x}{3} - \frac{1}{{y + 1}} = \frac{1}{6}\\\frac{{xy + x - 3}}{{3(y + 1)}} = \frac{1}{6}\\\frac{{xy + x - 3}}{{y + 1}} = \frac{1}{6} \times 3\\\frac{{xy + x - 3}}{{y + 1}} = \frac{1}{2}\end{array}\)

2(xy + x – 3) = y + 1

2xy + 2x – 6 = y + 1

2xy – y + 2x – 1 = 5 + 1

y(2x – 1) + (2x – 1) = 6

(2x – 1).(y + 1) = 6

Ta có Ư(6) = {±6; ±3; ±2; ±1}

Ta có bảng sau:

y + 1	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
y	-7	-4	-3	-2	0	1	2	5
2x – 1	-1	-2	-3	-6	6	3	2	1
x	0	\( - \frac{1}{2}\)	-1	\( - \frac{5}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)	2	\(\frac{3}{2}\)	1

Từ bảng trên ta có các cặp (x; y) nguyên thỏa mãn đề bài là:

(x; y) Î{(0; -7); (-1; -3); (2; 1); (1; 5)}.

Lời giải:

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{2} = \frac{{y - x}}{{7 - 5}} = \frac{{48}}{2} = 24\\n\^e n\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5.24 = 120\\y = 7.24 = 168\\z = 2.24 = 48\end{array} \right.\end{array}\)

Lời giải:

Ta có: x: y = 3 : 5 \( \Leftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{5}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{2x - y}}{{2.3 - 5}} = \frac{{14}}{1} = 14\\n\^e n\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3.14 = 42\\y = 5.14 = 70\end{array} \right.\end{array}\)

Lời giải:

x² + 2mx – 2m + 3 ³ 0

D= (2m)² – 4.1.(-2m + 3) = 4m² + 8m – 12 = 4(m² + 2m – 3) = 4(m + 3)(m – 1)

Để bất phương trình (1) đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\a > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {m + 3} \right)\left( {m - 1} \right) \le 0\\1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right)\left( {m - 1} \right) \le 0\)

Ta có bảng xét dấu:

Ta có: f(m) = (m + 3)(m – 1) = 0 Þ m =-3 và m = 1

	-¥                          -3	1	-¥
f(m)	+                       0	-                0	+

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy: -3 £ m £ 1

Lời giải:

Đặt \(\frac{{{x^2} - yz}}{a} = \frac{{{y^2} - zx}}{b} = \frac{{{z^2} - xy}}{c} = k\,\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\)

\(\begin{array}{l}suy\,\,ra\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{{x^2} - yz}}{k}\\b = \frac{{{y^2} - xz}}{k}\\c = \frac{{{z^2} - xy}}{k}\end{array} \right.\\n\^e n\,\,\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{k^2}}}\end{array}\)

Chứng minh tương tự:

\(\begin{array}{l}\frac{{{b^2} - ac}}{y} = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{k^2}}}\\\frac{{{c^2} - bc}}{z} = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{k^2}}}\\suy\,\,ra\,\,\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{b^2} - ca}}{y} = \frac{{{c^2} - ab}}{z}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Lời giải:

x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1

= (x + 1) (x⁴ + x³ + x² – x³ + 1)

= (x + 1) [x²(x² + x + 1) – (x³ – 1)]

= (x + 1) [x²(x² + x + 1) – (x – 1)(x² + x + 1)]

=(x + 1)(x² + x + 1)(x² – x + 1)

Lời giải:

Đặt f(x) = x⁷ + 3x⁵ – 1 = 0

Thay x = 1 vào f(x) ta được: f(1) = 1⁷ + 3.1⁵ – 1 = 3 > 0

Thay x = 0 vào f(x) ta được: f(0) = 0⁷ + 3.0⁵ – 1 =-1 < 0

Vì f(0) < 0 và f(1) > 0 và hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] nên tồn tại ít nhất một giá trị a Î (0, 1) sao cho f(a) = 0

Lời giải:

\(\begin{array}{l}x_1^3 - x_2^3 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\\ = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]\end{array}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2010}} - \frac{{x - 3}}{{2009}} = \frac{{x - 4}}{{2008}}\\\frac{{x - 1}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2010}} = \frac{{x - 4}}{{2008}} + \frac{{x - 3}}{{2009}}\\\left( {\frac{{x - 1}}{{2011}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 2}}{{2010}} - 1} \right) = \left( {\frac{{x - 4}}{{2008}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{2009}} - 1} \right)\\\left( {\frac{{x - 1}}{{2011}} - \frac{{2011}}{{2011}}} \right) + \left( {\frac{{x - 2}}{{2010}} - \frac{{2010}}{{2010}}} \right) = \left( {\frac{{x - 4}}{{2008}} - \frac{{2008}}{{2008}}} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{2009}} - \frac{{2009}}{{2009}}} \right)\\\frac{{x - 2012}}{{2011}} + \frac{{x - 2012}}{{2010}} = \frac{{x - 2012}}{{2009}} + \frac{{x - 2012}}{{2008}}\\\left( {x - 2012} \right).\left( {\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2010}} - \frac{1}{{2008}} - \frac{1}{{2009}}} \right) = 0\end{array}\)

Mà \(\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2010}} - \frac{1}{{2008}} - \frac{1}{{2009}} \ne 0\) nên \(x - 2012 = 0\,\,suy\,\,ra\,\,x = 2012\)

Lời giải:

VT = \(\frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} + 4x - x - 4}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = x + 4\) = VP

Lời giải:

x² + xy – 3x – 3y + 7 = 0

 x(x + y) – 3(x + y) =-7

 (x– 3) (x + y) =-7

 (x – 3) và (x + y) Î Ư(7) = {±1; ±7}

Ta có bảng sau:

x – 3	1	-1	7	-7
x + y	-7	7	-1	1
x	4	2	10	-4
y	-11	5	-11	3

Vậy các cặp (x, y) thỏa mãn là: (4; -11); (2; 5); (10; -11); (-4; 5)

Lời giải:

xy + 7x – 3y – 26 = 0

suy ra y(x – 3) + 7(x – 3) – 5 = 0

(y + 7)(x – 3) = 5

(x – 3) và (y + 7) Î Ư(5) = {±1; ±5}

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}y + 7 = 1\\x - 3 = 5\end{array} \right.\,\,n\^e n\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = - 6\\x = 8\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}y + 7 = - 1\\x - 3 = - 5\end{array} \right.\,\,n\^e n\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = - 8\\x = - 2\end{array} \right.\)

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}y + 7 = 5\\x - 3 = 1\end{array} \right.\,\,n\^e n\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = - 2\\x = 4\end{array} \right.\)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}y + 7 = - 5\\x - 3 = - 1\end{array} \right.\,\,n\^e n\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = - 12\\x = 2\end{array} \right.\)

Lời giải:

xy – x – y = 2

xy – x – y + 1 = 3

x(y – 1) – 1(y – 1) = 3

(x – 1)(y – 1) = 3

Suy ra (x – 1) và (y – 1) Î Ư(3) = {±1; ±3}

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y - 1 = 3\end{array} \right.\,\,n\^e n\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\y - 1 = - 3\end{array} \right.\,\,n\^e n\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\end{array} \right.\)

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\y - 1 = 1\end{array} \right.\,\,n\^e n\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.\)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 3\\y - 1 = - 1\end{array} \right.\,\,n\^e n\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x\,\,\,\,(1)\\{x^2} = {y^3} - 3{y^2} + 2y\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Lấy (1) – (2) ta được:

\[\begin{array}{l}{y^2} - {x^2} = {x^3} - {y^3} - 3\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2\left( {x - y} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - {y^3} - 2\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy - 2x - 2y + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2xy - 4x - 4y + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy - 4\left( {x + y} \right) + 4 + {x^2} + {y^2}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {x + y - 2} \right)}^2} + {x^2} + {y^2}} \right] = 0\end{array}\]

TH1: \(x - y = 0 \Leftrightarrow x = y\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x\\{x^3} - 4{x^2} + 2x = 0\\x\left( {{x^2} - 4x + 2} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

TH2: \[{x^2} + {y^2} + xy - 2x - 2y + 2\] = 0, phương trình vô nghiệm

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right);\left( {2 - \sqrt 2 ;2 - \sqrt 2 } \right);\left( {2 + \sqrt 2 ;2 + \sqrt 2 } \right)\)

Lời giải:

Áp dụng công thức sin a – sin b = \[2cos\frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\]

Nên sin3x – sinx = \[2\cos \frac{{3x + x}}{2}\sin \frac{{3x - x}}{2}\]

= 2cos2x. sin x

Mà cos2x =\[2{\cos ^2}x - 1\]

Suy ra  \[A = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\]

 \[ = \frac{{2cos2x.{\rm{ }}sin{\rm{ }}x}}{{\cos 2x}}\]= 2sinx

Lời giải:

Ta có:

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁵

2S – S =( 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁶) – (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁵)

S = 2²⁰¹⁶ – 1

Vậy số tận cùng của S = 2²⁰¹⁶ – 1= (2⁴)⁵⁰⁴ – 1 = (….6)⁵⁰⁴ – 1

 = (…..6) – 1 = (…5) suy ra S không phải là số chính phương.

Lời giải:

Ta có:

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁵

2S – S =( 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁶) – (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁵)

S = 2²⁰¹⁶ – 1

Vậy số tận cùng của S = 2²⁰¹⁶ – 1= (2⁴)⁵⁰⁴ – 1 = (….6)⁵⁰⁴ – 1

 = (…..6) – 1 = (…5) suy ra S không phải là số chính phương.

Lời giải:

Đổi 1,0205 km = 102 050 cm.

Chu vi của bánh xe là:

65 × 3,14 = 204,1 (cm)

Để đi được 1,0205 km thì bánh xe lăn được số vòng là:

102 050 : 204,1 = 500 (vòng)

Đáp số: 500 vòng.

Lời giải:

Ta có: 2x² – 1 = y¹⁵

2x² = (y⁵ + 1) (y¹⁰ – y⁵ + 1)

Giả sử (y5 + 1, y10 – y5 + 1) = d, d \( \in \mathbb{N}\)^*

Suy ra y⁵ \[ \equiv \] -1 (mod d) và y¹⁰ – y⁵ + 1 \[ \equiv \] 1 +1 +1 (mod d)

Mà y¹⁰ – y⁵ + 1 \[ \vdots \] d suy ra 3 \[ \vdots \] d suy ra d = 1 hoặc d = 3

Nếu d = 3 thì 2x² \[ \vdots \] 3 suy ra x \[ \vdots \] 3

Nếu d = 1, do 2x² = (y⁵ + 1)( y¹⁰ – y⁵ + 1) nên có hai trường hợp.

Trường hợp 1: y⁵ + 1 = 2a² và y¹⁰ – y⁵ + 1 = b² (với a, b \[ \ge \] 1)

y⁵ = 2a² – 1

(2a² – 1)² – (2a² – 1) + 1 = b²

4a⁴ – 6a² + 3 = b²

16a⁴ – 24a² + 12 = 4b²

(4a² – 3) + 3= 4b²

(2b - 4a² + 3) (2b + 4a² – 3) = 3

Suy ra 2b - 4a² + 3 = 1 và 2b + 4a² – 3 = 3

(do 2b + 4a² – 3 > 2b - 4a² + 3 > 0)

Suy ra a = b = 1, do đó x = y = 1 (không thỏa mãn vì x > 1)

Trường hợp 2: y⁵ + 1 = a² và y¹⁰ – y⁵ + 1 = 2b² (với a, b \[ \ge \] 1)

y⁵ = a² – 1

(a² – 1)² – (a² – 1) + 1 = 2b²

a \[ \vdots \] 3 suy ra y⁵ + 1 \[ \vdots \] 3 suy ra x \[ \vdots \] 3.

2x² – 1 = y¹⁵

2x² = y¹⁵ + 1

2x² = (y³ + 1) (y¹² – y⁹ + y⁶ – y³ + 1)

Giả sử (y³ + 1, y¹² – y⁹ + y⁶ – y³ + 1) = d, d \( \in \mathbb{N}\)^*. Lập luận tương tự ta được d = 1 hoặc d = 5

Với d = 5 suy ra x \[ \vdots \] 5

Với d = 1 lập luận tương tự ta được x \[ \vdots \] 5

Vì x chia hết cho 3 a và 5 mà (3, 5) = 1 nên x chia hết cho 15.

Lời giải:

Đổi 40 km/h = \[\frac{{100}}{9}\]m/s

Chu vi của bánh xe đạp là:

C = D × π = 55π (cm)

Quãng đường xe đạp đi được trong 25 s là:

1 009 × 25 = 25 009 (m)

Với tốc độ 40 km/h thì trong 25 s bánh xe quay được số vòng là:

25 009 : 0,55π ≈ 160,8(vòng)

Đáp số: 160,8 vòng

Vì tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O) nên \[\widehat {MNP} + \widehat {MQP}\]=180\[^\circ \]

Mà \[\widehat {MNP} = 2\widehat {MQP}\].

Suy ra \[2\widehat {MQP} + \widehat {MQP} = 180^\circ \]

3\[\widehat {MQP}\]= \[180^\circ \]

\[\widehat {MQP}\]= \[180^\circ \]: 3

\[\widehat {MQP}\]= \[60^\circ \]

Mặt khác \[\widehat {NOP}\]= \[2\widehat {MQP}\]= \[120^\circ \]

Lời giải:

Sắp xếp mẫu liệu theo thứ tự tăng dần: 36; 40; 41; 42; 43; 47; 47; 47; 48; 50; 70; 80.

Vì n = 12 là số chẵn nên Q₂ là trung bình cộng của hai số chính giữa

Q₂ = (47 + 47) : 2 = 47.

Ta tìm Q₁ là trung vị nửa bên trái Q₂ là 36; 40; 41; 42; 43; 47 gồm 6 giá trị và ta tìm được Q₁ = (41 + 42) : 2 = 41,5.

Ta tìm Q₃ là trung vị nửa bên phải Q₂ là 47; 47; 48; 50; 70; 80 gồm 6 giá trị và ta tìm được Q₃ = (48 + 50) : 2 = 49.

Khoảng tứ phân vị: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 49 – 41,5 = 7,5

Ta có Q₁ – 1,5.∆_Q = 30,25; Q₃ + 1,5.∆_Q = 60,25.

Khi đó, giá trị bất thường x thỏa mãn 30,25 < x < 60,25.

Do đó, mẫu số liệu có 3 giá trị bất thường là 36; 70 và 80.

Giả sử cho tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp đường tròn (O; R)

Gọi M là trung điểm của BC

Áp dụng định lý Pythagro cho tam giác ABC vuông tại M có

AM = \[\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} \]

\[ = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \]

\[ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Suy ra AO \[ = \frac{2}{3}\] AM \[ = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] \[ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]

Diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC

S_(O) \[ = \pi .{R^2}\]

\[ = \pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\]

\[ = \pi . & \frac{{{a^2}}}{3}\]

Lời giải:

Ta có: (a + b)² = a² + b² + 2ab

Mà a + b = 2 và a² + b² = 20, do đó thay các giá trị đã biết vào, ta có:

2² = 20 + 2ab

 4=20 + 2ab

2ab = 4 − 20 = −16

ab = −8

Ta có: a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²) = 2 × (20 − (−8))= 56

Kết luận: M = a³ + b³ = 56.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) = 2x³ + ax² + bx + c

Suy ra f'(x) = 6x² + 2ax + b

f(0) = 2f'(0), do đó c = 2b

f(x) ≥ 2f'(x) với mọi x ≥ ‒1 nên

2x³ + ax² + bx + c ≥ 2(6x² + 2ax + b) với mọi x ≥ ‒1

2x³ + (a ‒ 12)x² + (b ‒ 4a)x ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

x[2x² + (a ‒ 12)x + b ‒ 4a) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

Suy ra 2x² + (a ‒12)x + b ‒ 4a = 0 có một nghiệm x = 0

Suy ra b ‒ 4a = 0 hay b = 4a

Khi đó:

x[2x² + (a ‒ 12)x + b ‒ 4a) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

x²(2x + a ‒ 12) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

2x + a ‒ 12 ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

a ≥ 12 ‒ 2x với mọi x ≥ ‒1

a ≥ max(12 ‒ 2x) với mọi x ≥ ‒1

a ≥ 14

Để hàm số f(x) đồng biến trên ℝ thì f'(x) = 6x² + 2ax + b ≥ 0 với mọi x.

Suy ra ∆' ≤ 0

a² ‒ 6b ≤ 0

a² ‒ 24a ≤ 0

0 ≤ a ≤ 24.

Kết hợp a ≥ 14, suy ra 14 ≤ a ≤ 24.

Suy ra a ∈ {14; 15;...; 24}.

Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của a thỏa mãn.

Lời giải:

a) Đúng.

Kiểm tra từng bộ số với hệ bất phương trình.

Thay x = 0, y = 0 vào hệ bất phương trình, ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 + 2 \cdot 0 - 5 \le 0\\0 \le 0 \le 3\\0 \ge 0\end{array} \right.\]

Hệ thức trên đúng. Vậy bộ số (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình .

b) Đúng.

Thay x = 2, y = 1 vào hệ bất phương trình, ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 + 2 \cdot 1 - 5 \le 0\\0 \le 2 \le 3\\1 \ge 0\end{array} \right.\]

Hệ thức trên đúng. Vậy bộ số (2; 1) là nghiệm của hệ.

c) Sai.

Vẽ đồ thị các đường thẳng giới hạn miền nghiệm.

Đường thẳng x + 2y ‒ 5 = 0 đi qua hai điểm (5; 0) và (0; 2,5).

Đường thẳng x = 0 là trục tung.

Đường thẳng x = 3 là đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoàng tại điểm (3; 0).

Đường thẳng y = 0 là trục hoành.

Xác định miền nghiệm

• Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng nằm bên dưới đường thẳng x + 2y ‒ 5 = 0, nằm giữa hai đường thẳng x = 0 và x = 3, và nằm phía trên đường thẳng y = 0.

• Miền nghiệm là một hình chữ nhật có chiều dài bằng 3 và chiều rộng bằng 2,5. Diện tích của miền nghiệm là 3.2,5 = 7,5.

d) Đúng.

Giá trị lớn nhất của biểu thức 2x + y đạt được tại điểm (3; 1) thuộc miền nghiệm. Giá trị lớn nhất là 2.3 + 1 = 7.

Lời giải:

Hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và các cạnh bên bằng nhau

Vì hình chóp đều nên \[SA = SB = SC = SD = a\sqrt 2 \].

Ta có: \[\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} } \right| = 2\overrightarrow {SO} \], với O là tâm của hình vuông ABCD.

Trong tam giác vuông SBC, ta có SB² = SO² + OB².

Vì \[BC = a\sqrt 3 \] nên \[OB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Do đó, \[S{O^2} = S{B^2} - O{B^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 2{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{4}\].

Do đó \[SO = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].

Vậy \[\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} } \right| = 2\overrightarrow {SO} = 2 \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{2} = a\sqrt 5 .\]

Lời giải:

Ta giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều.

Suy ra \[\widehat {SAD} = 60^\circ \].

Tứ giác ABCD là hình vuông nên \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \]

Suy ra \[\left( {\overrightarrow {AS} \,;\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AS} \,;\,\,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {SAD} = 60^\circ \]

Do đó \[\left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left| {\overrightarrow {AS} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}.\]

Tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo AC là \[a\sqrt 2 \].

Tam giác SAC có SA = SC = a và \[AC = a\sqrt 2 \] nên tam giác SAC vuông cân tại S, suy ra \[\widehat {SAC} = 45^\circ \].

Do đó \[\left( {\overrightarrow {AS} \,;\,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \left| {\overrightarrow {AS} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\cos 45^\circ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\].

Khi đó \[\frac{x}{y} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{2}.\]

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Khẳng định B sai vì các mặt bên của lăng trụ tam giác đều là hình chữ nhật.

Lời giải:

 

Xét ∆ADC có OM // DC nên \[\frac{{OM}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{AD}}. & \left( 1 \right)\]

Xét ∆BDC có ON // DC nên \[\frac{{ON}}{{DC}} = \frac{{BN}}{{BC}}. & \left( 2 \right)\]

Xét hình thang ABCD có MN // AB // CD nên \[\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}\]

Suy ra \[\frac{{MD}}{{MA}} = \frac{{CN}}{{BN}}\]

\[\frac{{MD + MA}}{{MA}} = \frac{{CN + BN}}{{BN}}\]

\[\frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{BN}}. & \left( 3 \right)\]

Từ (1), (2), (3) suy ra OM = ON.

Lời giải:

Diện tích hình vuông khi chưa tăng là:

10 × 10 = 100 (dm²)

Cạnh của hình vuông khi tăng là:

10 + 10 = 20 (dm)

Diện tích hình vuông khi tăng là:

20 × 20 = 400 (dm²)

Diện tích hình vuông khi tăng tăng lên là:

400 ‒ 100 = 300 (dm²).

Đáp số: 300 dm².

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là:

x² + 2x ‒5 = 2mx + 2 ‒ 3m

x² + 2(1 ‒ m)x + 3m ‒ 7 = 0.     (1)

Để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm phía bên phải trục tung khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {1 - m} \right)^2} - \left( {3m - 7} \right) > 0\\ - 2\left( {1 - m} \right) > 0\\3m - 7 > 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 8 > 0\\1 - m < 0\\3m > 7\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\\m > 1\\m > \frac{7}{3}\end{array} \right.\]

\[m > \frac{7}{3}.\]

Vậy \[m > \frac{7}{3}\] thì (P) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm phía bên phải trục tung.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

 

Kẻ AH ⊥ BC.

Khi đó AH là đường trung trực của BC (vì tam giác ABC cân tại A) nên AH đi qua O

AH đồng thời là đường phân giác của \[\widehat {BAC}.\]

Do đó \[\widehat {HAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ \].

Vì tam giác AOC có OA = OC và \[\widehat {OAC} = 60^\circ \] nên ∆AOC đều.

Do đó \[HC = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\] và \[HA = \frac{R}{2}\].

Vì vậy \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = HC \cdot HA = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{R}{2} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\] (cm²).

Vậy diện tích tam giác ABC là \[\frac{{9\sqrt 3 }}{4}\]cm².

Lời giải:

 

a) Do tam giác AEB vuông cân tại A nên \[\widehat {EAB} = 90^\circ ,\] AE = AB.

Ta thấy \[\widehat {MEA} = \widehat {BAH}\] vì cùng phụ với \[\widehat {EAM}\].

Xét hai tam giác HAB vuông tại H và MEA vuông tại M, ta có:

AE = AB (cmt)

\[\widehat {EAM} = \widehat {BAH}\]

Suy ra ∆HAB = ∆MEA

Suy ra AH = ME (1)

Tương tự ∆HAC = ∆NFA, suy ra HC = AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra EM + HC = AH + AN hay EM + HC = HN

b) Từ ∆HAC = ∆NFA, suy ra AH = NF

Từ đó suy ra ME = NF (= AH)

Xét ∆MNE và ∆NMF ta có:

ME = NF, \[\widehat {EMN} = \widehat {FNM}\left( { = 90^\circ } \right)\], MN là cạnh chung

Suy ra ∆MNE = ∆NMF (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {ENM} = \widehat {FMN}\]

Suy ra EN // FM (2 góc so le trong bằng nhau).

Lời giải:

 

Ta có \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CM} = \widehat {CN}\] với MN // AC; MN = AC; AN = MC

Suy ra tứ giác MNAC là hình bình hành.

\[\widehat {CMN} = 120^\circ \left( {MN//AC;\widehat {ACM} = 60^\circ } \right)\]

\[{\rm{cos}}\widehat {CMN} = \frac{{M{N^2} + M{C^2} - C{N^2}}}{{2 \cdot MN \cdot MC}} = \frac{{ - 1}}{2}\]

Suy ra \[\frac{{{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - C{N^2}}}{{{a^2}}} = - \frac{1}{2}\]

\[C{N^2} = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{7{a^2}}}{4}\] nên \[CN = a\frac{{\sqrt 7 }}{2}\]

Do đó \[{\rm{cos}}\widehat {NCM} = \frac{{N{C^2} + C{M^2} - N{M^2}}}{{2 \cdot NC \cdot CM}} = \frac{{\frac{{7{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - {a^2}}}{{{a^2}\frac{{\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }}.\]

Vậy \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {MC} .\]

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Ta có \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]

\[\left| {3\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} } \right|\]

\[ = \left| {3\left( {\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GA} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GC} } \right)} \right|\]

\[ = \left| {3\overrightarrow {NG} + 3\overrightarrow {GA} - 2\overrightarrow {NG} - 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GC} } \right|\]

\[ = \left| {2\overrightarrow {NG} + 3\overrightarrow {GA} - 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right|\]

\[ = \left| {2\overrightarrow {NG} + 3\overrightarrow {GA} - 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} + 3\overrightarrow {GC} } \right|\]

\[ = \left| {2\overrightarrow {NG} + 3\overrightarrow {GA} - 2\left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} } \right) + 3\overrightarrow {GC} } \right|\]

\[ = \left| {2\overrightarrow {NG} + 3\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GA} + 3\overrightarrow {GC} } \right|\]

\[ = \left| {2\overrightarrow {NG} + 5\overrightarrow {GA} + 3\overrightarrow {GC} } \right|\]

\[\left| {\overrightarrow {NB} - \overrightarrow {NA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 8\]

Từ giả thiết \[\left| {3\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {NB} - \overrightarrow {NA} } \right|\]

Ta có \[\left| {2\overrightarrow {NG} + 5\overrightarrow {GA} + 3\overrightarrow {GC} } \right| = 8\]

Vậy R = 8.

Lời giải:

Vì chu vi hình vuông bằng cạnh nhân 4 nên chu vi hình vuông là số chia hết cho 4.

Tổng độ dài 13 đoạn que là:

3.1 + 3.2 + 4.6 + 1.5 = 38 (cm)

Ta có: 34 : 4 = 9 dư 2 nên đoạn que bỏ ra là đoạn dài 2 cm.

Chu vi hình vuông là:

38 ‒ 2 = 36 (cm)

Độ dài cạnh hình vuông là:

36 : 4 = 9 (cm)

1 cách xếp như sau: 3 cạnh đầu mỗi cạnh 1cm và 2 đoạn 4 cm. Cạnh còn lại gồm 2 đoạn 2 cm và 1 đoạn 5 cm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi số palindrom có 5 chữ số là \[\overline {abcba} \] (a ≠ 0)

• Số cách chọn chữ số a hàng chục nghìn là 9 cách.

• Số cách chọn cho các chữ số b hàng nghìn là 10 cách.

• Số cách chọn cho các chữ số c hàng trăm là 10 cách.

Sau khi chọn được chữ số a hàng chục nghìn thì ta chỉ có 1 cách chọn chữ số a hàng đơn vị (để giống chữ số a hàng chục nghìn)

Tương tự chỉ có 1 cách chọn chữ số b hàng chục

Vậy ta có: 9.10.10 = 900 (số).

Lời giải:

a) Đúng.

Khoảng biến thiên = 12 ‒ 0 =12

b) Đúng.

Tổng số học sinh:

3 + 10 + 14 + 23 = 50

Tứ phân vị thứ nhất là số liệu thứ \[\frac{{50}}{4} = 12,5\] năm trong nhóm [3; 6).

c) Sai.

Trung bình cộng:

\[\overline x = \frac{{3\left( {1 \cdot 5} \right) + 10\left( {4 \cdot 5} \right) + 14\left( {7 \cdot 5} \right) + 23\left( {10 \cdot 5} \right)}}{{50}} = 7,65\]

Phương sai:

\[{s^2} = \frac{{3{{\left( {1 \cdot 5 - 7,65} \right)}^2} + 10{{\left( {4 \cdot 5 - 7,65} \right)}^2} + 14{{\left( {7 \cdot 5 - 7,65} \right)}^2} + 23{{\left( {10 \cdot 5 - 7,65} \right)}^2}}}{{50}} \approx 7,9236.\]

Khoảng tứ phân vị: ≈ \[4,5 \cdot \frac{{681}}{{460}} \approx 1,48\]

d) Đúng.

Tính toán ở câu c

Phương sai:

\[{s^2} = \frac{{3{{\left( {1 \cdot 5 - 7,65} \right)}^2} + 10{{\left( {4 \cdot 5 - 7,65} \right)}^2} + 14{{\left( {7 \cdot 5 - 7,65} \right)}^2} + 23{{\left( {10 \cdot 5 - 7,65} \right)}^2}}}{{50}} \approx 7,9236.\]

Lời giải:

Gọi x là số tạ mía sử dụng và y là số tạ củ cải sử dụng (x ≥ 0, y ≥ 0).

Chi phí mua nguyên liệu là:

F(x; y) = 600x + 300y (nghìn đồng).

Sản lượng đường vàng: 40x + 8y ≥ 80 hay 5x + y ≥ 10.

Sản lượng đường trắng: 50x + 4y ≥ 20 hay 25x + 2y ≥ 10.

Khả năng cung cấp nguyên liệu: 0 ≤ x ≤ 8 và 0 ≤ y ≤ 12.

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 8\\0 \le y \le 12\\5x + y \ge 10\\25x + 2y \ge 10\end{array} \right.\)

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

– Đường thẳng x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1) không thuộc đường thẳng x = 0, và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm I(1; 1).

– Tương tự, ta biểu diễn các miền nghiệm:

• Miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 8 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₁: x = 8 chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₂: y = 12 chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình 5x + y ≥ 10 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₃: y = 10 – 5x không chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình 25x + 2y ≥ 10 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₄: y = 5 – 12,5x chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác ABCDE với A(0; 12), B(8; 12), C(8; 0), D(2; 0) và E(0; 10).

Ta có F(0; 12) = 600 . 0 + 300 . 12= 3600;

F(8; 12) = 600 . 8 + 300 . 12= 8400;

F(8; 0) = 600 . 8 + 300 . 0= 4800;

F(2; 0) = 600 . 2 + 300 . 0= 1200;

F(0; 10) = 600 . 0 + 300 . 10= 3000.

Giá trị nhỏ nhất là F(2; 0) = 1200.

Vậy chi phí mua nguyên liệu của công ty ít nhất là 1 200 000 đồng khi chỉ dùng 2 tạ mía.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu: \[n\left( \Omega \right) = 9!\]

Gọi biến cố A: “không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau và Hoàng đứng ở ngoài cùng”

Ta lần lượt thực hiện các bước sau:

• Xếp 5 bạn nam không có Hoàng thành 1 hàng, có: 5! cách

• Xếp 3 bạn nữ vào 4 vị trí giữa 5 bạn nam hoặc 2 vị trí ngoài, sao cho không trùng vị trí, có: \[A_6^3\] cách

• Xếp Hoàng ở 1 trong hai đầu hàng, có 2 cách:

\[n\left( A \right) = 5! \cdot A_6^3 \cdot 2\]

\[P\left( A \right) = \frac{{5! \cdot A_6^3 \cdot 2}}{{9!}} = \frac{5}{{63}}.\]

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của trang sách là x và y (cm). Ta có diện tích trang sách là xy = 600.

Do có lề trên và lề dưới là 3 cm, lề trái và lề phải là 2 cm, diện tích phần chữ in là (x ‒ 4)(y ‒ 6)

Từ xy = 600, ta có \[y = \frac{{600}}{x}.\] Thay vào diện tích phần chữ in, ta được:

\[S\left( x \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {\frac{{600}}{x} - 6} \right) = 600 - 6x - \frac{{2400}}{x} + 24 = - 6x - \frac{{2400}}{x} + 624\]

Để diện tích phần chữ in lớn nhất, ta tìm đạo hàm của S(x) và cho bằng 0

\[S'\left( x \right) = - 6 + \frac{{2400}}{{{x^2}}} = 0\]

x² = 400      

Suy ra x = 20 (vì x > 0)

Thay x = 20 và \[y = \frac{{600}}{x}\] ta được y = 30 cm.

Chiều dài trang giấy là x = 20 cm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình hoành độ giao điểm x² ‒ 2x = x nên x = 0 hoặc x = 3.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho là:

\[S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {3x - {x^2}} \right)\,} dx = \frac{9}{2}.\]

Vậy diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x² ‒ 2x và y = x là \[\frac{9}{2}.\]

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Tổng diện tích năm tỉnh Kon Tum, Gia Lai, Đăk Lăk, Đăk Nông và Lâm Đồng là:

9 674 + 155 10 + 13 030 + 6 509 + 9 783 = 54 506 (km²)

Vậy làm tròn kết quả đến hàng đơn vị thì tổng diện tích năm tỉnh Kon Tum, Gia Lai, Đăk Lăk, Đăk Nông và Lâm Đồng bằng: \[\frac{{54\,\,506}}{{77\,\,700}} \cdot 100\% \approx 70\% \] diện tích miền Nam Việt Nam.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Thay x = 6 vào hàm số y = log_ax, ta được: y = log_a6 > 0.

Thay x = 6 vào hàm số y = log_bx, ta được: y = log_b6 > 0.

Khi đó, AB = |log_a6| = log_a6 và AC = |log_b6| = log_a6.

Theo bài, \(\frac{{AC}}{{AB}} = {\log _2}3\) nên \[\frac{{lo{g_b}6}}{{lo{g_a}6}} = {\log _2}3\]

Suy ra log_ba = log₂3 nên log_ba = log₂3.

Do đó \(a = {b^{{{\log }_2}3}} = {3^{{{\log }_2}b}}\).

Vậy log₃a = log₂b.

Lời giải:

a) Sai

Chi phí mua 1 sản phẩm ứng với x = 0, suy ra C = 5 000 . 25 = 125 000 (đồng).

b) Đúng.

Với x = 1 ta có \[C = 5\,\,000\left( {25 + 3\int\limits_0^1 {{t^{\frac{1}{4}}}} dt} \right) = 137\].

Suy ra chi phí bảo trì năm đầu tiên của sản phẩm là:

137000 ‒125 000 = 12 000 (đồng).

c) Sai.

Gọi x là số năm mà số tiền bảo trì bằng số tiền mua sản phẩm

Khi đó tổng số tiền mua và số tiền bảo trì là

2.125 000 = 250 000

\[5\,\,000\left( {25 + 3\int\limits_0^x {{t^{\frac{1}{4}}}} dt} \right) = 250\,\,000\]

\[25 + 3\left( {\frac{4}{5}{t^{\frac{5}{4}}}\left| {_0^x} \right.} \right) = 50\]

\[\frac{{12}}{5}{x^{\frac{5}{4}}} = 25\]

\[x = {\left( {\frac{{75}}{2}} \right)^{\frac{4}{5}}} \approx 6,52\] (năm)

d) Sai: Số tiền mua và bảo trì 1 sản phẩm trong 10 năm là:

\[C = 5\,\,000\left( {25 + 3\int\limits_0^{10} {{t^{\frac{1}{4}}}} dt} \right) = 5\,\,000\left( {25 + 24\sqrt[4]{{10}}} \right) \approx 338\,\,393,53\]

Ta có: \[\frac{{10\,\,000\,\,000}}{{338\,\,393,53}} \approx 29,55\].

Vậy với 10 triệu thì họ có thể mua và bảo trì tối đa 29 sản phẩm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

f(x) = ‒x⁴ + 6x² ‒ 4

f'(x) = ‒4x³ + 12x = 0

x = 0 hoặc \[x = \sqrt 3 \] hoặc \[x = - \sqrt 3 \]

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt GTLN bằng 5.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có log₂(5^x ‒ 1) ≤ m

Điều kiện: x > 0

Ta có log₂(5^x ‒ 1) ≤ m

5^x ‒1 ≤ 2^m

5^x ≤ 2^m + 1

x ≤ log₅(2^m + 1)

Suy ra 0 < x < log₅(2^m + 1)

Như vậy, x có thể đạt các giá trị nguyên 1; 2; 3; 4;... đến khi nhỏ hơn hoặc bằng log₅(2^m + 1)

Để bất phương trình có đúng 3 nghiệm nguyên (x = 1, x = 2, x = 3) thì

3 ≤ log₅(2^m + 1) < 4

125 ≤ 2^m + 1 ≤ 625

log₂124 ≤ m < log₂624

6,9 ≤ m < 9,2

m ∈ {7; 8; 9}.

Vậy số giá trị nguyên của m thỏa mãn là 3.

Lời giải:

Gọi x, y (nghìn đồng) lần lượt là số tiền của mỗi chiếc bút và mỗi quyển vở (x, y > 0)

Vì mua 5 chiếc bút và 10 quyển vở hết 230 nghìn đồng, ta có phương trình

5x + 10y = 230.     (1)

Vì mua 10 chiếc bút và 88 quyển vở 220 nghìn đồng, ta có phương trình:

10x + 8y = 220.     (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}5x + 10y = 230\\10x + 8y = 220\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}10x + 20y = 460\\10x + 8y = 220\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}12y = 240\\10x + 8y = 220\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}y = 20\\x = 6\end{array} \right.\]

Vậy mỗi chiếc bút có giá 6000 đồng, mỗi quyển vở có giá 20 000 đồng.

Lời giải:

Mực nước thấp nhất khi \[h = \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right) + 5\] nhỏ nhất, hay \[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right)\] nhỏ nhất.

Khi đó \[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right) = - 1\].

\[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = - 1\]

\[\frac{{\pi t}}{6} = \pi + k2\pi \]

\[\frac{t}{6} = 1 + 12k\]

t = 6 + 12k

Ta có: 0 ≤ t < 24

0 ≤ 6 + 12k < 24

‒6 ≤ 12k < 18

\[ - 2 \le k < \frac{3}{2}\]

Do đó k = 0 hoặc k = 1

• Với k = 0 thì t = 6 + 12.0 = 6;

• Với k = 1 thì t = 6 + 12.1 = 18.

Vậy mực nước của kênh thấp nhất trễ nhất là 18 giờ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với các kích thước như hình vẽ, \[{l^2} = {\left( {\frac{b}{{\sin \alpha }} + \frac{a}{{\cos \alpha }}} \right)^2} + {c^2}\].

Độ dài ống thép dài nhất có thể mang qua bằng giá trị nhỏ nhất của l. Khi đó \[\frac{b}{{\sin \alpha }} + \frac{a}{{\cos \alpha }}\] nhỏ nhất.

Tương ứng khi \[\tan \alpha = \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}} = \sqrt[3]{{1,2}}.\] Độ dài lớn nhất của thang gần bằng 3,7 m.

Lời giải:

a) Công thức biểu thị y theo x là: y = x.5000

Số tiền Nam tiết kiệm được theo kế hoạch sau 15 ngày là

y = 15.5 000 = 75 000 (đồng)

b) Số tiền Nam phải tiết kiệm là:

80 0000 – 50 0000 = 30 0000 (đồng)

Kể từ ngày bắt đầu tiết kiệm thì Nam có thể mua được cái máy tính đó sau số ngày tiết kiệm (có y = 300 000) là:

300 000 = x.5 000

x = 300 000 : 5000

x = 60 (ngày).

Vậy sau 60 ngày kể từ ngày bắt đầu tiết kiệm thì Nam có thể mua được cái máy tính đó.

Lời giải:

 

Ta có\[\overrightarrow {AS}  - \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AS}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AS}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BS} \];

\[\overrightarrow {CS}  - \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CS}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CS}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BS} \].

Lời giải:

Hình thang cân không có tâm đối xứng.

Lời giải:

Hợp số lớn nhất có hai chữ số là 99.

Lời giải:

a) Đúng.

Sai số tương đối của phép đo thửa đất: \[\frac{{0,5}}{{75,4}} \approx 0,00\,\,663 = 0,663\% .\]

b) Đúng.

Theo câu a

c) Đúng.

Sai số tương đối của phép đo cây cầu là \[\frac{{0,5}}{{466,2}} \approx 0,00\,\,107 = 0,207\% \]

d) Đúng.

So sánh sai số tương đối: 0,663% > 0,107%. Phép đo cây cầu có độ chính xác cao hơn.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{3}{{x + 3}} = 0\]

Vậy y = 2x ‒1 hay 2x ‒ y ‒ 1 = 0 (∆) là tiệm cận xiên của đồ thị (C)

\[d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}.\]

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Làm tròn số 25,0769 đến hàng phần trăm ta được kết quả là 25,08.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x > 0 và 2x ‒ 1 > 0 hay \[x > \frac{1}{2}\]

Ta có \[{\log _{\sqrt 2 }}x + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) = 2\]

\[2{\log _{\sqrt 2 }}x - {\log _2}\left( {2x - 1} \right) = 2\]

\[{\log _2}{x^2} - {\log _2}\left( {2x - 1} \right) = 2\]

\[{\log _2}\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}} = 2\]

\[\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}} = 4\]

x² ‒ 8x + 4 = 0

\[x = 4 \pm 2\sqrt 3 \]

Suy ra nghiệm lớn nhất của phương trình \[{\log _{\sqrt 2 }}x + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) = 2\] là \[x = 4 + 2\sqrt 3 .\]

Suy ra a = 4, b = 2

Vậy a + b = 4 + 2 = 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

 

Ta có A(1; 2; ‒2), B(2; ‒1; 2)

Suy ra A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (Oxy) (do z_A = ‒2 < 0, z_B = 2 > 0).

Lấy M ∈ (Oxy)

Suy ra MA + MB ≥ AB

Suy ra (MA + MB)_min = AB khi và chỉ khi M là giao điểm của AB và mặt phẳng (Oxy) nên \[\overrightarrow {AB} \left( {1; - 3;4} \right)\].

Phương trình đường thẳng AB là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 3t\\z = - 2 + 4t\end{array} \right.\].

Giả sử M(1 + t; 2 ‒ 3t; ‒2 + 4t)

Do M ∈ (Oxy) nên ‒2 + 4t = 0 suy ra \[t = \frac{1}{2}\].

Do đó \[M\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{1}{2};\,\,0} \right).\]

Lời giải:

Để tìm khoảng cách từ vị trí đặt trái bóng đến vạch vôi khung thành, ta cần tìm giá trị x khi quả bón chạm đất, tức là khi h(x) = 0.

Phương trình trở thành: ‒0,0083x² + 0,1x + 3,1 = 0.

Đây là phương trình bậc 2 dạng ax² + bx + c = 0 với a = ‒0,0083; b = 0,1; c = 3,1.

Ta sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình:

\[x = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},\] \[x = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\]

Thay các giá trị vào công thức nghiệm:

\[x = \frac{{ - 0,1 + \sqrt {\left( {0,1} \right){}^2 - 4\left( { - 0,0083} \right) \cdot 3,1} }}{{2 \cdot \left( { - 0,0083} \right)}}\]

\[ = \frac{{ - 0,1 + \sqrt {0,01 + 0,10282} }}{{ - 0,0166}}\]

\[ = \frac{{ - 0,1 + \sqrt {0,11282} }}{{ - 0,0166}}\]

\[ = \frac{{ - 0,1 + 0,33588}}{{ - 0,0166}} \approx - 14,22\]

\[{x_2} = \frac{{ - 0,1 - 0,33588}}{{ - 0,0166}} \approx 26,23\].

Vì khoảng cách phải là một số dương, nên ta chọn nghiệm dương x ≈ 26,23 m. Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được 26 m.

Vậy khoảng cách từ vị trí đặt trái bóng đến vạch vôi khung thành khoảng 26 m.

Lời giải:

Để hàm số v(t) liên tục tại điểm t = 5, điều kiện cần và đủ là \[\mathop {\lim v\left( t \right)}\limits_{t \to 5} = v\left( 5 \right)\].

Ta có: v(5) = 10 (vì 0 ≤ 5 ≤ 5).

•\[\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} 10 = 10\].

•\[\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} \left( {{t^2} - 5t + 10} \right) = {5^2} - 5 \cdot \left( 5 \right) + 10 = 25 - 25 + 10 = 10.\]

Ta thấy: \[\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} v\left( t \right) = v\left( 5 \right) = 10\].

Vậy hàm số v(t) liên tục tại điểm t = 5.

Lời giải:

Ta có lợi nhuận là

P(x) = f(x) ‒ g(x) ‒ xt

= 2006x ‒ x² ‒ (x² + 1438x ‒ 1209) ‒ xt

= ‒2x² + 568x ‒ xt + 1209

= ‒2x² + (568 ‒ t)x + 1209.

Đồ thị hàm số P(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới (do a = ‒2 < 0).

Do đó P(x) lớn nhất tại đỉnh parabol, hay \[x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{568 - t}}{{2 \cdot \left( { - 2} \right)}} = \frac{{568 - t}}{4}.\]

Số tiền thuế thu được khi đó là \[xt = \frac{{568 - t}}{4} = - \frac{{{t^2}}}{4} + 142t = h\left( t \right).\]

\[h'\left( t \right) = - \frac{1}{2}t + 142 = 0\] mê, t = 248.

Vậy giá trị t cần tìm là 248.

Ta có: \[\frac{h}{4} = \frac{r}{2}\] hay \[r = \frac{h}{2}\]

Suy ra \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} \cdot h = \frac{1}{{12}}\pi \cdot {h^3}\].

Ta có \[\frac{{dV}}{{dt}}\] là tốc độ bơm nước vào bể theo thời gian;

\[\frac{{dh}}{{dt}}\] là tốc độ dâng lên của nước theo thời gian.

Suy ra \[\frac{{dV}}{{dt}} = \frac{{3\pi {h^2}}}{{12}} \cdot \frac{{dh}}{{dt}}\]

\[\frac{{dh}}{{dt}} = \frac{{dV}}{{dt}}:\frac{{3\pi {h^2}}}{{12}} = 2 \cdot \frac{{12}}{{3\pi {h^2}}}\]

Tại thời điểm h = 3

\[\frac{{dh}}{{dt}} = \frac{{24}}{{3\pi \cdot {3^2}}} = 0,28\] (m/phút).

Vậy tốc độ dâng lên của mực nước là 0,28 m/phút.