10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 30

Lời giải:

A = 1 + \(\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{15}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{2^{99}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{100}} - 1}}} \right)\)

Ta thấy \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.2;\)

          \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} < \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}}.4\)

…

Làm tương tự với các ngoặc còn lại, ta được:

A < \(1 + \frac{1}{2}.2 + \frac{1}{{{2^2}}}{.2^2} + \frac{1}{{{2^3}}}{.2^3} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}}{.2^{99}}\) = 1 + 1 + … + 1 = 100

Suy ra: A < 100.

Mặt khác:

A = 1 + \(\frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{2^{99}} + 1}} + ... + \frac{1}{{{2^{100}} - 1}} + \frac{1}{{{2^{100}}}}} \right) - \frac{1}{{{2^{100}}}}\)

Ta thấy: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{{{2^2}}}.2 = \frac{1}{2}\)

              \(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{{{2^3}}}.4\)\( = \frac{1}{2}\)

                     …

Làm tương tự với các ngoặc còn lại, ta được:

A > \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^{100}}}}\) = 50 + 1 – \(\frac{1}{{{2^{100}}}}\) > 50

Vậy 50 < A < 100.

Lời giải:

a) Điều kiện để A là một phân số: \(2{\rm{n}} + 3 \ne 0 \Rightarrow {\rm{n}} \ne \frac{{ - 3}}{2}\)

b) A = \(\frac{{6.(2{\rm{n}} + 3) - 17}}{{2{\rm{n}} + 3}}\)\(\)= \(6 - \frac{{17}}{{2{\rm{n}} + 3}}\)\(\)

Để A nguyên thì 2n + 3 \( \in \)Ư(17) = {\( \pm \)1; \( \pm \)17}

TH 1: 2n + 3 = 1 \( \Rightarrow \) n = -1 (TM)

TH 2: 2n + 3 = -1 \( \Rightarrow \) n = -2 (TM)

TH 3: 2n + 3 = 17 \( \Rightarrow \) n = 7 (TM)

TH 4: 2n + 3 = -17 \( \Rightarrow \) n = -10 (TM)

Vậy n = { -10; -2; -1; 7 }.

Lời giải:

a) 25A =  5⁵² – 5⁵⁰ + 5⁴⁸ – 5⁴⁶ + … + 5⁸ – 5⁶ + 5⁴ – 5²

Suy ra: 25A + A = 5⁵² – 1

Suy ra: 26A = 5⁵² – 1

Suy ra: A = \(\frac{{{5^{52}}--{\rm{ }}1}}{{26}}\)

b) Từ câu a) suy ra: 26.A + 1 = 5⁵²

Suy ra: n = 52

c) A = (5⁵⁰ – 5⁴⁸) + (5⁴⁶ – 5⁴⁴) + … + (5⁶ – 5⁴) + (5² – 1)

A = 5⁴⁸.(5² – 1) + 5⁴⁴.(5² – 1) + … + 5⁴.(5² – 1) + (5² – 1)

A = 5⁴⁸.24 + 5⁴⁴.24 + … + 5⁴.24 + 24

A = 5⁴⁷.25.24 + 5⁴³.25.24 + … + 5³.25.24 + 24

A = 5⁴⁷.600 + 5⁴³.600 + … + 5³.600 + 24

A = 5⁴⁷.6.100 + 5⁴³.6.100 + … + 5³.6.100 + 24

A = 100.( 5⁴⁷.6 + 5⁴³.6 + … + 5³.6) + 24

Suy ra A chia cho 100 dư 24.

Lời giải:

Điều kiện để A là một phân số là n + 3 \( \ne \) 0 \( \Rightarrow \) n \( \ne \) -3

Vì AD là tia phân giác của góc A (giả thiết)

Suy ra: \[\widehat {{\rm{DAB}}}\] = \[30^\circ \]

Ta có: AD // MK (giả thiết)

Suy ra: \[\widehat {{\rm{DAB}}}\] = \[\widehat {{\rm{KMB}}}\] = \[30^\circ \] ( đồng vị )

Xét KMB có:

\[\widehat {{\rm{KMB}}}\] + \[\widehat {{\rm{MKB}}}\] + \[\widehat {{\rm{MBK}}}\] = \[180^\circ \]

Suy ra: \[\widehat {{\rm{MKB}}}\] = \[70^\circ \]

Ta có: AD // MK (gt)

Suy ra: \[\widehat {{\rm{ADB}}}\] = \[\widehat {{\rm{MKB}}}\] = \[70^\circ \] ( đồng vị)

Lời giải:

Hệ số tỉ lệ là: x.y = 2.\(\frac{5}{2}\)= 5

a) x = 2 suy ra y = 5 : 2 = \(\frac{5}{2}\)

x = -5 suy ra y = 5 : (-5) = -1

b) y = 10 suy ra x = 5 : 10 = \(\frac{2}{5}\)

y = -3 suy ra x = 5 : (-3) = \(\frac{{ - 5}}{3}\)

Lời giải:

ĐKXĐ: n \( \ne \)\(\frac{{ - 2}}{3}\)

Ta có: \(\frac{{6{\rm{n}} - 1}}{{3{\rm{n}} + 2}}\) = \(\frac{{{\rm{2(3n + 2)}} - 5}}{{3{\rm{n}} + 2}}\) = 2 – \(\frac{5}{{3{\rm{n}} + 2}}\)

Để M nguyên thì 3n + 2 \( \in \)Ư(5) = {\( \pm \)1; \( \pm \)5}

TH1: 3n + 2 = 1 suy ra n = \(\frac{{ - 1}}{3}\) (TM)

TH2: 3n + 2 = -1 suy ra n = -1 (TM)

TH3: 3n + 2 = 5 suy ra n = 1 (TM)

TH4: 3n + 2 = -5 suy ra n = \(\frac{{ - 7}}{3}\) (TM)

Lời giải:

C = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3¹⁰⁰ = (1 + 3) + (3² + 3³) + … + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

= 4 + 3²(1 + 3) + … + 3⁹⁹(1 + 3) = 4 + 4.3² + … + 4.3⁹⁹

= 4.(1 + 3² + … + 3⁹⁹)

 Vậy C chia hết cho 4.

Lời giải:

C = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3³⁰ = (1 + 3) + (3² + 3³) + … + (3²⁹ + 3³⁰ )

= 4 + 4.3² + … + 4.3²⁹ = 4.(1 + 3² + … + 3²⁹)

Vậy C chia hết cho 4

Lời giải:

a) D = {\(\left. {{\rm{x}} \in {\rm{N}}} \right|\)x = n², 0 \( \le \) n \( \le \) 50}

b) Có 51 phần tử

a) Ta có: CD\( \bot \)AB tại I (giả thiết)

suy ra: I là trung điểm của CD ( quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét tứ giác OCBD

Có 2 đường chéo CD và OB vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

Suy ra: OCBD là hình thoi (tính chất)

Suy ra: BD = CB (1)

Ta có: AB // EC (giả thiết)  

Suy ra: \[\widehat {{\rm{AOE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{OEC}}}\] (so le trong); \[\widehat {{\rm{COB}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{OCE}}}\](so le trong)

Mà \[\widehat {{\rm{OEC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{OCE}}}\]( EOC cân tại O)

Suy ra: \[\widehat {{\rm{AOE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{COB}}}\]

Suy ra: (c.g.c)

Suy ra AE = CB (2)

Từ (1) (2) suy ra AE = BC = BD

b) Có (c.c.c) (3)

Suy ra: \[\widehat {{\rm{AOE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{COB}}}\](2 góc tương ứng)

Mà A, O, B thẳng hàng

Suy ra: E, O, D thẳng hàng

c) Xét cân tại O có:

DI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

Suy ra  đều (4)

Từ (3) (4) suy ra \[\widehat {{\rm{EAO}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{OBD}}}\]

Mà 2 góc ở vị trí so le trong

Suy ra AE // BD

Xét tứ giác ADBE có:

AE // BD (chứng minh trên)

AE = BD (chứng minh trên)

Suy ra ADBE là hình bình hành

Mà ED = AB (2 đường kính)

Suy ra ADBE là hình chữ nhật

Lời giải:

Gọi \[\sqrt {2{\rm{n}} + 1} \] = a; \[\sqrt {2{\rm{n}} - 1} \] = b

Suy ra: 4n = a² + b²; \[\sqrt {4{{\rm{n}}^2} - 1} \]= ab

Suy ra: f(n) = \[\frac{{{{\rm{a}}^3} - {{\rm{b}}^3}}}{{{{\rm{a}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}\] = \[\frac{1}{2}.\left[ {{{\left( {\sqrt {2{\rm{n}} + 1} } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt {2{\rm{n}} - 1} } \right)}^3}} \right]\]

 f(1) + f(2) + f(3) +…+ f(40)

= \[\frac{1}{2}.\left[ {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt 1 } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3} + ... + {{\left( {\sqrt {81} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt {79} } \right)}^3}} \right]\]

= \[\frac{1}{2}.\left[ {{{\left( {\sqrt {81} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt 1 } \right)}^3}} \right]\] = 364

Lời giải:

Có: \[{\rm{\vec a}}{\rm{.\vec b}} = \frac{1}{2}\left| {{\rm{\vec a}}} \right|{\rm{.}}\left| {{\rm{\vec b}}} \right|\]

Suy ra: \[\frac{{{\rm{\vec a}}{\rm{.\vec b}}}}{{\left| {{\rm{\vec a}}} \right|{\rm{.}}\left| {{\rm{\vec b}}} \right|}} = \frac{1}{2}\]

Suy ra: cos(\[{\rm{\vec a}}\];\[{\rm{\vec b}}\]) = \[\frac{1}{2}\]

Vậy góc giữa 2 vectơ \[{\rm{\vec a}}\] và \[{\rm{\vec b}}\] là 60°.

Lời giải:

a) Có (d) đi qua A(2; 8)

Thay x = 2; y = 8 vào hàm số (d)

Suy ra: 2m + 4 = 8

Suy ra: m = 2 (TM)

Vậy hàm số có dạng: y = 2x + 4

b) Vì đồ thị hàm số (d) song song với đồ thị hàm số y = 3 – 2x

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{m = }} - {\rm{2 }}\\{\rm{4}} \ne {\rm{3 }}\end{array} \right.\].

Vậy m = – 2

c) Điều kiện m ≠ 0

Có (d) cắt trục tung tại điểm (\[\frac{{ - 4}}{{\rm{m}}}\]; 0)

và cắt trục hoành tại điểm (0; 4)

Vì đồ thị hàm số (d) tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích)

Suy ra: \[\frac{1}{2}.\left| {\frac{{ - 4}}{{\rm{m}}}} \right|.\left| 4 \right| = 8\]Û m = 1 hoặc m = −1.

Gọi E là trung điểm của BC

\( \Rightarrow BE = \frac{{BC}}{2} = \frac{{4a}}{2} = 2a\)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AE} } \right| = 2\sqrt {A{B^2} + B{E^2}} = 2\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = 2\sqrt {8{a^2}} = 2.2\sqrt 2 a = 4\sqrt 2 a\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 4\sqrt 2 a\)

Vì I là trung điểm của AD Þ IA = ID = 3

Xét DIAB vuông tại A

\(\begin{array}{l}\tan \widehat {AIB} = \frac{8}{3} \Rightarrow \widehat {AIB} = 69,44^\circ \Rightarrow \widehat {DIB} = 110,56\\IB = \sqrt {I{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {73} \end{array}\)

Ta có: \(\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID} \)

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} \\ = IA.ID.\cos \left( {IA,ID} \right) + IB.ID.\cos (IB,ID)\\ = - 3.3 + \sqrt {73} .3.\cos 110,56^\circ = - 18\end{array}\)

Lời giải:

Đổi 0,6 dm = 6 cm

Bán kính hình tròn đường kính AC là:

(6 + 4) : 2 = 5 (cm)

Diện tích hình tròn đường kính AC là:

5 ´ 5 ´ 3,14 = 78,5 (cm²)

Bán kính hình tròn đường kính AB là:

6 : 2 = 3 (cm)

Diện tích hình tròn đường kính AB là:

3 ´ 3 ´ 3,14 = 28,26 (cm²)

Bán kính hình tròn đường kính BC là:

4 : 2 = 2 (cm)

Diện tích hình tròn đường kính BC là:

2 ´ 2 ´ 3,14 = 12,56 (cm²)

Diện tích phần tô đậm là:

78,5 : 2 – 28,26 : 2 – 12,56 : 2 = 18,84 (cm²)

Đáp số: 18,84 cm²

Kẻ đường thẳng xy đi qua L và song song với MN

Suy ra  Lx // MN mà MN // KJ . Suy ra Lx // KJ

Lx // MN suy ra \(\widehat {MLx} = \widehat {NML} = 46^\circ \) (so le trong)

Lx // KJ suy ra \(\widehat {xLK} + \overrightarrow {JKL} = 180^\circ \) (trong cùng phía)

Suy ra \(\widehat {xLK} = 180^\circ - \widehat {JKL} = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ \)

\(\widehat {MLK} = \widehat {MLx} + \widehat {xLK} = 46^\circ + 53^\circ = 99^\circ \)

Lời giải:

Chia hình vuông ABCD thành 4 hình vuông nhỏ có diện tích bằng nhau. Mỗi cạnh của hình vuông nhỏ bằng bán kính của hình tròn tâm O

Diện tích 1 hình vuông nhỏ là:

20 : 4 = 5 (cm²)

Do đó tích 2 bán kính của hình tròn tâm O là 5 cm²

Diện tích hình tròn tâm O là:

5 ´ 3,14 = 15,7 (cm²)

Diện tích phần tô đậm là:

20 – 15,7 = 4,3 (cm²)

Đáp số: 4,3 cm²

Lời giải:

Giả sử n²⁰⁰⁴ + 1 là số chính phương với n là số lẻ, ta có:

n²⁰⁰⁴ + 1 = a² (a Î ℕ^*)

Suy ra a² – \({\left( {{n^{1002}}} \right)^2}\)= 1

Suy ra (a – n¹⁰⁰²)(a + n¹⁰⁰²) = 1

Suy ra 1 \(\cancel{ \vdots }\) (a + n¹⁰⁰²)

Suy ra (a + n¹⁰⁰²) = 1 là vô lí vì (a + n¹⁰⁰²) > 2 với n là số lẻ

Vậy n²⁰⁰⁴ + 1 không là số chính phương với n là số lẻ.

Lời giải:

Theo bài ra ta có: \(\frac{{12 + x}}{{17 + x}} = \frac{4}{5}\)

Suy ra (12 + x) ´ 5 = (17 + x) ´ 4

          60 + 5x = 68 + 4x

            5x – 4x = 68 – 60

                x = 8

Vậy x = 8

Lời giải:

Điều kiện xác định: x Ï {-1; -2}

Ta có: \(D = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 3x + 2}} = \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{(x + 1)(x + 2)}} = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\)

Thay \(x = 2002\) vào D ta được: \(D = \frac{{2002 - 1}}{{2002 + 2}} = \frac{{2001}}{{2004}}\)

Lời giải:

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{5}{3}\,\,\,\,\,\,(1)\\{x_1}.{x_2} = \frac{m}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Ta có 6x₁ + x₂ = 0

 5x₁ + (x₁ + x₂) = 0

 5x₁ + \(\frac{5}{3}\)= 0

 \({x_1} = - \frac{1}{3}\)

Thay vào (1) ta được: \({x_2} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\). Suy ra \({x_2} = 2\)

Thay \({x_1} = - \frac{1}{3};\,\,{x_2} = 2\) vào (2) ta được: \( - \frac{2}{3} = \frac{m}{3}\). Suy ra \(m = - 2\)

Vậy m =-2

Lời giải:

Ta có phương trình: mx² – 3(m+1)x + m² – 13m – 4 = 0

Do phương trình có nghiệm là x =-2 nên thay vào phương trình ta có:

m.(-2)² – 3(m + 1).(-2) + m² – 13m – 4 = 0

4m + 6(m + 1) + m² – 13m – 4 = 0

6m + 6 + m² – 9m – 4 = 0

m² – 3m + 2 = 0

suy ra \(\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \frac{{3 + \sqrt 1 }}{2}\\{m_2} = \frac{{3 - \sqrt 1 }}{2}\end{array} \right.\)

Lời giải:

Ta có: \(S = \frac{1}{{{7^2}}} + \frac{2}{{{7^3}}} + \frac{3}{{{7^4}}} + ... + \frac{{69}}{{{7^{70}}}}\)

\(\begin{array}{l}7S = \frac{1}{7} + \frac{2}{{{7^2}}} + ... + \frac{{69}}{{{7^{69}}}}\\7S - S = \left( {\frac{1}{7} + \frac{2}{{{7^2}}} + ... + \frac{{69}}{{{7^{69}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{{{7^2}}} + \frac{2}{{{7^3}}} + ... + \frac{{69}}{{{7^{70}}}}} \right)\\6S = \frac{1}{7} + \frac{1}{{{7^2}}} + \frac{1}{{{7^3}}} + ... + \frac{1}{{{7^{69}}}} - \frac{{69}}{{{7^{70}}}}\end{array}\)

Đặt \(N = \frac{1}{7} + \frac{1}{{{7^2}}} + \frac{1}{{{7^3}}} + ... + \frac{1}{{{7^{69}}}}\,\,\,\left( {6S < N\,\,} \right)\,\,(1)\)

\(\begin{array}{l}7N = 1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{{{7^2}}} + ... + \frac{1}{{{7^{68}}}}\\7N - N = \left( {1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{{{7^2}}} + ... + \frac{1}{{{7^{68}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{{{7^2}}} + \frac{1}{{{7^3}}} + ... + \frac{1}{{{7^{69}}}}} \right)\\6N = 1 - \frac{1}{{{7^{69}}}} < 1\\ \Rightarrow N < \frac{1}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta được: \(6S < N < \frac{1}{6} \Rightarrow 6S < \frac{1}{6} \Rightarrow S < \frac{1}{{36}}\,\,(dpcm)\)

Xét DAHD và DAED có:

AD chung

AH = AE (giả thiết)

Vậy DAHD=DAED

Xét DAHE và DAKE vuông tại E, có:

AE chung

\(\widehat {HAE} = \widehat {KAE}\) (AE là phân giác \(\widehat {BAC}\))

Suy ra DAHE =DAKE (cạnh góc vuông – góc nhọn)

Do đó AH = AK (2 cạnh tương ứng)

Vậy tam giác AHK cân tại A

Gọi H là chân đường cao hạ từ điểm A xuống

Đặt H(x; y)

\(\overrightarrow {AH} = \left( {x + 1;\,\,y - 2} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;5} \right)\)

Ta có: \[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\]

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x + 1} \right).5 + \left( {y - 2} \right).\left( { - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 5x + 5 - 5y + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 5x - 5y = - 15\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

H Î BC

\(\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {HC} \) cùng phương

\(\overrightarrow {BH} = \left( {x;\,\,y - 3} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {HC} = \left( {5 - x;\,\, - 2 - y} \right)\)

Để hai vectơ cùng phương thì \(\frac{x}{{5 - x}} = \frac{{y - 3}}{{ - 2 - y}} \Leftrightarrow 5x + 5y = 15\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy H(0; 3)

Phân giác AD (giả thiết) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {MAD} = \frac{1}{2}.\widehat A = 35^\circ \)

Mà MD // AB suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {ADM}\) (so le trong)

Do đó \(\widehat {ADM} = 35^\circ \)

Vậy \(\widehat {BAD} = 35^\circ ;\,\,\,\widehat {ADM} = 35^\circ \)

Ta có: AD ^ BE \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BE} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow kA{C^2} - A{B^2} + \left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\ \Leftrightarrow kA{C^2} - A{B^2} + \left( {k - 1} \right).AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow k{.6^2} - {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} + (k - 1).4\sqrt 2 .6.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 36k - 32 + 24\left( {k - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 60k = 56 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\end{array}\)

Lời giải:

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sin 45}}:2 = 2\,cm\)

Vậy bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 2 cm.

Diện tích tam giác ABM là: \(64 \times \frac{1}{2} = 32\) (cm²)

Diện tích tam giác BNC là: \(32 \times \frac{1}{2}\)= 16 (cm²)

Diện tích tam giác BNC là: 16 ´ 2 = 32 (cm²)

Đáp số: 32 cm²

Vì E là trung điểm của AB, ta có: AE = EB nên \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{2}\)

Vì F là trung điểm của AC nên: AF = FC nên \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Xét tam giác ABC, ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{2};\,\,\,\,\,\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Vì \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{1}{2}\) nên EF // BC (định lí Thales đảo).

Vì B là giao điểm của BC và đường cao kẻ từ B nên tọa độ là nghiệm của:

\(\left\{ \begin{array}{l}7x + 5y - 8 = 0\\9x - 3y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\)

Vì C là giao điểm của BC và đường cao kẻ từ C nên tọa độ là nghiệm của:

\(\left\{ \begin{array}{l}7x + 5y - 8 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;3} \right)\)

Xét DOMK và DOAD có:

\(\widehat {OMK} = \widehat {OAD}\) (hai góc so le trong do MK//AD)

\(\widehat {MOK} = \widehat {AOD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó DOMK đồng dạng với DOAD

Suy ra \(\frac{{OM}}{{OA}} = \frac{{OK}}{{OD}}\). Do đó \(OM.OD = OK.OA\).

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KJ} + \overrightarrow {JC} \)         (1)

Mà \(\overrightarrow {BK} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right) = - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AI} - \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BC} \)

\(\overrightarrow {JC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AI} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \)

Thay vào (1) \( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BC} + KJ + \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} + \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {JK} \)

Vậy \(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {AI} - 6\overrightarrow {JK} \)

Xét DABC có:

M là trung điểm AB

D là trung điểm BC

Þ MD là đường trung bình của DABC

Þ\(MD = \frac{1}{2}AC\) và MD // AC

Ta có: \(\overrightarrow {KD} = \overrightarrow {KM} + \overrightarrow {MD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {NM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {NA} + \frac{1}{2}\overline {AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\overrightarrow {CA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

Do đó: \(\overrightarrow {KD} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) (đpcm)

Lời giải:

Vẽ điểm G là trọng tâm của tam giác ABC.

Với điểm M bất kì, ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overline {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MG} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - 3\overrightarrow {MG} \end{array}\)

Vậy điểm M Î AG thỏa mãn MA = 3MG

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{4}\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} \)

                  \( = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) (đpcm)

Lời giải:

Số tập con của A là: 2⁷

Số tập con ít hơn 3 phần tử của A gồm: rỗng, 1 phần tử, 2 phần tử có: \(1 + C_7^1 + C_7^2 = 29\)

Vậy có 2⁷ - 29 = 99 phần tử.

Lời giải:

Vì |x – 1| < 3 nên -3 < x – 1 < 3 suy ra -3 + 1 < x < 3 + 1 do đó -2 < x < 4

Vì x Î\(\mathbb{Z}\) nên x Î {-1; 0; 1; 2; 3}

Số tập con của tập hợp A có đúng 4 phần tử là: \(C_5^4 = 5\).

Lời giải:

S = 3¹ + 3² + 3³ + ...+ 3²⁰ = (3 + 3²) + (3³ + 3⁴) + ...+ (3¹⁹ + 3²⁰)

= (3 + 3²) + 3²(3 + 3²) + ...+ 3¹⁸(3 + 3²)

= (3 + 3²)(1 + 3²+...+3¹⁸)

= 12(1 + 3²+...+3¹⁸) \( \vdots \) 12 (đpcm)

Lời giải:

Ta có: x³ + y³ = 2xy

Bình phương 2 vế ta được: (x³ + y³)² = 2xy

Suy ra x⁶ + y⁶ + 2x³y³ = 4x²y²

Suy ra  x⁶ + y⁶ - 2x³y³ = 4x²y² – 4x³y³

Suy ra (x³ - y³)² = 4x²y²(1 – xy)

Suy ra  1 - xy =\(\frac{{{{\left( {{x^3} - {y^3}} \right)}^2}}}{{4{x^2}{y^2}}} = {\left( {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{2xy}}} \right)^2}\)

Do đó\(\sqrt {1 - xy} = \left| {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{2xy}}} \right|\) là một số hữu tỉ.

Lời giải:

Đặt x – y = t suy ra x = y + t

Bình phương 2 vế ta được: x² = (y + t)² = (y + t)(y + t) = y² + 2yt + t²

Thay vào ta có:

y + t + 2019(y² + 2yt + t²) = 2020y² + y

t + 4038yt + 2019t² = y²

t + 2019.2020t² = (y – 2019t)²

t(1 + 2019.2020t) = (y – 2019t)²

Vậy t là số chính phương do t và 1 + 2019.2020t là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Số tập con có một phần tử của X là: {4}, {5}

Lời giải:

Diện tích mảnh đất là: 8 ´ 4,6 = 36,8 (m²)

Diện tích trồng hoa là: \(36,8 \times \frac{1}{4} = 9,2\) (m²)

Diện tích trồng rau là: 36,8 – 9,2 = 27,6 (m²)

Đáp số: 27,6 m²

Lời giải:

Ta có: 53,412 = 50 + 3 + 0,4 + 0,01 + 0,002

Vậy chữ số 4 có giá trị là 0,4

Lời giải:

Chu vi cả hình tròn là: 6 ´ 3,14 = 18,84 (cm)

Chu vi nửa hình tròn là: 18,84 : 2 = 9,42 (cm)

Đáp số: chu vi hình tròn: 18,84 cm và chu vi nửa hình tròn: 9,42 cm

Lời giải:

Chu vi hình vuông là: 1 ´ 4 = 4 cm

Đáp số: 4 cm

Lời giải:

Gọi cạnh của hình vuông là 10 cm.

Cạnh tăng số cm là: 10 : 100 ´ 20 = 2 (cm)

Cạnh của nó sau khi tăng là: 10 + 2 = 12 (cm)

Diện tích hình vuông ban đầu là: 10 ´ 10 = 100 (cm²)

Diện tích hình vuông sau khi thay đổi cạnh là: 12 ´ 12 = 144 (cm²)

Diện tích hình vuông ban đầu tăng lên số cm² là: 144 – 100 = 44 (cm²)

Diện tích hình vuông đó tăng số % là: 44 : 100 ´ 100 = 44%.

Đáp số: 44%

Lời giải.

Ta có: \(\frac{{2n + 3}}{{3n + 4}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\)

Gọi ƯCLN(2n + 3, 3n + 4) là a       \(\left( {a \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Suy ra \(2n + 3 \vdots a;\,\,\,\,3n + 4 \vdots a\)

Do đó \(3\left( {2n + 3} \right) \vdots a;\,\,\,\,2\left( {3n + 4} \right) \vdots a\)

Suy ra \(\left( {6n + 9 - 6n - 8} \right) \vdots a\)

Do đó \(1 \vdots a\)nên \(a \in \left\{ {1; - 1} \right\}\)

Vậy \(\frac{{2n + 3}}{{3n + 4}}\) là phân số tối giản.

Lời giải:

Với n = 0 Þ 3ⁿ + 4 = 5 không là số chính phương

Với n = 1 Þ 3ⁿ + 4 = 7 không là số chính phương.

Với n ³ 2

Giả sử 3ⁿ + 4 là số chính phương

Ta có: 3ⁿ + 4 = m² (m Î\(\mathbb{N}\), m > 3)

Suy ra m² – 4 = 3ⁿ

Suy ra (m – 2)(m + 2) = 3ⁿ

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = {3^k}\\m + 2 = {3^q}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k,q \in \mathbb{N};\,k + q = n} \right)\)

Suy ra (m + 2) – (m + 2) = 3^q – 3^k nên 4 = 3^q – 3^k

Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}4\cancel{ \vdots }\,3\\\left( {{3^q} - {3^k}} \right) \vdots 3\end{array} \right.\) là điều mâu thuẫn với nhau so với đẳng thức (*)

Vậy 3ⁿ + 4 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n

Lời giải:

Thể tích hình trụ là: 2².20.3,14 = 251,2 cm³.

Khối lượng hình trụ là:

m = D.V = 251,2.2,7 = 678,24 g.

Lời giải:

1 giờ 1 vòi chảy được: 1 : 2 = \(\frac{1}{2}\)(bể)

2 vòi chảy đầy bể sau:

1 : (\(\frac{1}{2}\)×2) = 1 (giờ).

Lời giải:

Mua một quyển vở hết số tiền là:

52000 : 8 = 6500 (đồng)

Mua 5 quyển vở hết số tiền là:

6500 × 5 = 32500 (đồng).

Lời giải:

Tuổi của ông là: (76 + 66): 2 = 71 (tuổi)

Tuổi của cháu là: 76 – 71 = 5 (tuổi).

Lời giải:

Khi tăng thừa số thứ hai 4 đơn vị thì tích tăng thêm 4 lần thừa số thứ nhất.

Thừa số thứ nhất là: 180 : 4 = 45.

Lời giải:

 5^x+1 – 5^x = 2.2^x + 8.2^x

 5^x (5 – 1) = 2^x (2 + 8)

 5^x . 4 = 2^x.10

 5^x-1 = 2^x-1

 x – 1 = 0

 x = 1.

\[\begin{array}{l}P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + z}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + x}}.\frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{z{\rm{x}} + y}}\\P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + 1 - x - y}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + 1 - y - z}}.\frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{z{\rm{x}} + 1 - z - x}}\\P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{\left( {y - 1} \right)z - 1}}.\frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{\left( {z - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\P = \frac{{{{\left( {1 - z} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {y - 1} \right)z - 1}}.\frac{{{{\left( {1 - y} \right)}^2}}}{{\left( {z - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\P = 1\end{array}\]

Lời giải:

\(\frac{{28}}{{35}}\)= 0,8 = 80%.

Lời giải:

41km = 41 000 000mm.

Quãng đường từ trung tâm Hà Nội đến Sơn Tây trên bản đồ dài:

41 000 000 : 1 000 000 = 41 (mm)

Đáp số: 41mm.

Lời giải:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3.2}}{{4.2}} = \frac{6}{8}\) và \(\frac{7}{8}\) giữ nguyên.

Lời giải:

Số số hạng của tổng A là:

(100 – 1) : 1 + 1 = 100.

Tổng A là: (100 + 1).100 : 2 = 5050.

Lời giải:

\(\frac{{125}}{{175}} = \frac{{{5^3}}}{{{5^2}.7}} = \frac{5}{7}\)

Lời giải:

S = 3 + 2² – 2³ + 2⁴ – … – 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

2S = 3.2 + 2³ – 2⁴ + 2⁵ − ...−2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

2S + S = 3 + 2² + 3.2 + 2¹⁰¹

3S = 13 + 2¹⁰¹

S = \(\frac{{13 + {2^{101}}}}{3}\)

Lời giải:

a) Số hình lập phương không bị sơn là hình lập phương nhỏ nằm bên trong, tức là hình lập phương nằm ở giữa: 1×1×1 = 1 hình lập phương (ở chính giữa).

 Số hình lập phương được sơn là: 27 – 1 = 26 hình

b)

Các hình lập phương là các hình ở 8 đỉnh của hình lập phương lớn. Mỗi đỉnh tiếp xúc với 3 mặt. Có 8 hình lập phương nhỏ được sơn 3 mặt.

Các hình lập phương được sơn 2 mặt là các hình ở cạnh (trừ các hình ở đỉnh). Mỗi cạnh có 1 hình như thế, có 12 cạnh nên có12 hình được sơn 2 mặt

Số hình được sơn 1 mặt: 27 – 8 – 12 – 1 = 6

Lời giải:

BCNN(2, 12, 18, 9, 3) = 36

\(\frac{{ - 1}}{2} = \frac{{ - 18}}{{36}};\frac{5}{{12}} = \frac{{15}}{{36}};\frac{7}{{18}} = \frac{{14}}{{36}};\frac{{ - 5}}{9} = \frac{{ - 20}}{{36}};\frac{{ - 1}}{3} = \frac{{ - 12}}{{36}};\frac{1}{3} = \frac{{12}}{{36}}\)

Vậy sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: \(\frac{{ - 5}}{9};\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 1}}{3};\frac{1}{3};\frac{7}{{18}};\frac{5}{{12}}\)

Lời giải:

100! = 1.2.3….100

Các thừa số có tận cùng bằng 0: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

Các thừa số có tận cùng bằng 5: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95

Tích của 10×20×30×40×60×70×80×90×100 có 10 chữ số 0 tận cùng.

Tích của 50 với 1 số chẵn cho 2 chữ số 0 tận cùng

Tích của 5, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95 với 1 số chẵn cho 1 chữ số 0 tận cùng ⟹8 chữ số 0 tận cùng

Tích của 25, 75 với số chia hết cho 4 cho 2 chữ số 0 tận cùng ⟹4 chữ số 0 tận cùng

Suy ra 100! có 10+2+8+4 = 24 chữ số 0 tận cùng.

Lời giải:

Số bé nhất có 7 chữ số mà tổng các chữ số bằng 31 là: 1 003 999

Thử lại: 1 + 0 + 0 + 3 + 9 + 9 + 9 = 31

Lời giải:

Số chữ số của một số tự nhiên x là: [log x] + 1 ([log x] là phần nguyên của log x)

Vậy số chữ số của số 2025²⁰²⁵ là:

[log2025²⁰²⁵] + 1 = [2025log(2025)] + 1 = 6695 + 1 = 6696

Vậy số 2025²⁰²⁵  có 6696 số.

Lời giải:

Ta có: A = ( 7 + 7²) + (7² + 7³) + ... + (7⁹⁸ + 7⁹⁹)

A = 7(1 + 7) + 7²(1 + 7) + ... + 7⁹⁸(1 + 7)

A = 8.(7 + 7² + ... + 7⁹⁸) \( \vdots \) 8

Vậy A chia 8 dư 0.

Lời giải:

Ban đầu số kẹo của An chiếm \(\frac{2}{5}\) tổng số kẹo

Sau khi cho Bình số kẹo của An chiếm \(\frac{3}{{10}}\) tổng số kẹo

6 cái kẹo chiếm so với tổng số là:

\(\frac{2}{5} - \frac{3}{{10}} = \frac{1}{{10}}\) (tổng số kẹo)

Tổng số kẹo là:

6 ´ 10 = 60 (cái)

Số kẹo của An là:

60 ´ \(\frac{2}{5} = \)24 (cái)

Số kẹo của Bình là:

60 \( \times \frac{3}{5} = 36\) (cái)

Vậy An có 24 cái kẹo và Bình có 36 cái kẹo.

Lời giải:

Số lớn nhất ở hàng triệu là: 9

Số đứng ở hàng trăm nghìn là: 9

Số đứng ở hàng chục nghìn là: 9

Số đứng ở hàng nghìn là: 4

Số đứng ở hàng trăm, chục, đơn vị là: 0

Vậy số đó là 9 994 000

Lời giải:

Số nguyên tố lớn nhất có hai chữ số là 97.

Lời giải:

Đặt \(A = \frac{{{{100}^{2015}} + 1}}{{{{100}^{2005}} + 1}}\)

Nên \(\frac{A}{{{{100}^{10}}}} = \frac{{{{100}^{2015}} + 1}}{{{{100}^{2015}} + {{100}^{10}}}} = \frac{{{{100}^{2015}} + {{100}^{10}} - 999}}{{{{100}^{2015}} + {{100}^{10}}}} = 1 - \frac{{999}}{{{{100}^{2015}} + {{100}^{10}}}}\)

Đặt \(B = \frac{{{{100}^{2016}} + 1}}{{{{100}^{2006}} + 1}}\) nên \(\frac{B}{{{{100}^{10}}}} = \frac{{{{100}^{2016}} + {{100}^{10}} - 999}}{{{{100}^{2016}} + {{100}^{10}}}} = 1 - \frac{{999}}{{{{100}^{2016}} + {{100}^{10}}}}\)

Ta thấy \(1 - \frac{{999}}{{{{100}^{2015}} + {{100}^{10}}}} < 1 - \frac{{999}}{{{{100}^{2016}} + {{100}^{10}}}}\)

Do đó A < B

Lời giải:

Ta có: 3⁴⁰⁰ =\({\left( {{3^4}} \right)^{100}} = {81^{100}}\)

4³⁰⁰ \( = {\left( {{4^3}} \right)^{100}}\)= 64¹⁰⁰

Vì 81 > 64

Nên \({81^{100}}\) > 64¹⁰⁰

Do đó 3⁴⁰⁰ > 4³⁰⁰

Lời giải:

Số thập phân nhỏ nhất có 3 chữ số lớn hơn 8 là 8,01

Lời giải:

Chiều cao của tam giác ABC là:

(52 ´ 2) : 4 = 26 (cm)

Diện tích tam giác ABC là:

(32 ´ 26) : 2 = 416 (cm²)

Đáp số: 416 cm²

Diện tích tam giác ABC là: 40 ´ 30 : 2 = 600 (m²)

Diện tích tam giác FBC là: 12 ´ 50 : 2 = 300 (m²)

Diện tích tam giác AFB là: 600 – 300 = 300 (m²)

Kẻ đường cao AH ứng với đáy BC cắt EF tại D. Như vậy DH chính là đường cao của hình thang EFCB nên DH = 12 m.

Độ dài đoạn AH là: 600 ´ 2 : 50 = 24 (m)

Độ dài đoạn AD là: 24 – 12 = 12 (m)

Xét tam giác AEF và BFE có chung đáy EF, chiều cao AD = DH nên diện tích tam giác AEF = diện tích tam giác BEF và bằng \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác ABF.

Diện tích tam giác AEF là: 300 : 2 = 150 (m²)

Diện tích hình thang EFBC là: 600 – 150 = 450 (m²)

Lời giải:

tan(x² + 2x + 3) = tan 2

Þ x² + 2x + 3 = 2

Û x² + 2x – 1 = 0

Û \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 2 \\x = - 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Theo đề bài: a + b² \( \vdots \) a²b – 1

Suy ra \(\exists k \in {\mathbb{N}^*}:\,\,a + {b^2} = k({a^2}b - 1)\) nên a + k = b(ka² – b)

Đặt m = ka² – b \(\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\) thì ta được a + k = mb

Mặt khác do a, k, b Î\({\mathbb{N}^*}\) nên cho ta m Î\({\mathbb{N}^*}\)

Từ đó ta có: (m – 1)(b – 1) = mb – m – b + 1 = a + k – ka² + 1 = (a + 1)(k – ka + 1)

Vì m, b Î \({\mathbb{N}^*}\) nên (m – 1)(b – 1) ³ 0

Do đó (a + 1)(k – ka + 1) ³ 0 nên 1 ³ k(a – 1).

Vì k, a Î \({\mathbb{N}^*}\) nên a – 1 ³ 0. Suy ra có 2 TH xảy ra:

TH1: k(a – 1) = 0 Þ a – 1 = 0 Û a = 1.

Thay a = 1 vào đẳng thức (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k – ka + 1) ta được:

(m – 1)(b – 1) = 2 Þ b – 1 = 1 hoặc b – 1 = 2 Þ b = 2 hoặc b = 3.

TH2: k(a – 1) = 1 Þ k = a – 1 = 1 hay k = 1 và a = 2.

Thay k = 1 và a = 2 vào đẳng thức (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k – ka + 1) ta được:

(m – 1)(b – 1) = 0 Þ m – 1 = 0 hoặc b - 1 = 0 Û m = 1 và b = 1

Nếu như m = 1 thì từ đẳng thức a + k = mb cho ta thấy b = 3.

Vậy có 4 cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn yêu cầu bài toán là (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 3)

Lời giải:

Gọi I(a; b)

Þ \(\overrightarrow {IA} = \left( {3 - a;2 - a} \right);\,\,\,\,\overrightarrow {IB} = \left( {9 - a;8 - b} \right)\)

\[\begin{array}{l}{V_{\left( {I; - 2} \right)}}(A) = (B)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IB} = k\overrightarrow {IA} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - a = - 2.\left( {3 - a} \right)\\8 - b = - 2.\left( {2 - a} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - a = - 6 + 2a\\8 - b = - 4 + 2a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy I(5; 4)

Lời giải:

Tiền công quét sơn 1m tường rào là: 180 000 : 6 = 30 000 (đồng)

Tiền công quét sơn 25m tường rào như thế là: 30 000 ´ 25 = 750 000 (đồng)

Đáp số: 750 000 đồng

Lời giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{{a - 3b + 2c}}{{2 - 3.3 + 2.5}} = \frac{{30}}{3} = 10\)

 Nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{2} = 10 \Leftrightarrow a = 20\\\frac{b}{3} = 10 \Leftrightarrow b = 30\\\frac{c}{5} = 10 \Leftrightarrow c = 50\end{array} \right.\) Suy ra\[\left\{ \begin{array}{l}a = 20\\b = 30\\c = 50\end{array} \right.\].

Lời giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b - 2}}{3} = \frac{{c - 3}}{4} = \frac{{a - 1 - 2(b - 2) + 3(c - 3)}}{{2 - 2.3 + 3.4}} = \frac{{a - 2b + 3c - 6}}{{2 - 2.3 + 3.4}} = \frac{{14 - 6}}{8} = 1\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a - 1}}{2} = 1\\\frac{{b - 2}}{3} = 1\\\frac{{c - 3}}{4} = 1\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 5\\c = 7\end{array} \right.\).

Lời giải:

Số \(\overline {21a5b} \vdots 4\) suy ra \(\overline {5b} \vdots 4\) nên \(b \in \left\{ {2;6} \right\}\)

Xét b = 2, ta được số \(\overline {21a52} \)

Số \(\overline {21a52} \vdots 7\) nên \(21000 + \overline {a52} \vdots 7\) suy ra \(\overline {a52} \vdots 7\)

Số \(\overline {a52} \vdots 7\) nên \(\overline {a5} - 2.2 \vdots 7\) suy ra \(\overline {a5} - 4 \vdots 7\) nên \(\overline {a1} \vdots 7\)

Số \(\overline {a1} \vdots 7\) nên \(a - 1.2 \vdots 7\) suy ra \(a - 2 \vdots 7\) nên \(a \in \left\{ {2;9} \right\}\)

Ta có các số: 21252; 21952

Xét \(b = 6\), ta được số \(\overline {21a56} \)

Số \(\overline {21a56} \vdots 7\) nên \(21000 + \overline {a00} + 56 \vdots 7\) do đó \(\overline {a00} \vdots 7\) suy ra \(a = 7\)

Ta được số: 21756

Vậy các số thỏa mãn là: 21252; 21952; 21756.

Lời giải:

Vì x dương nên x³ + 3x² + 5 > x + 3 hay 5^y > 5^z suy ra 5^y \( \vdots \) 5^z

Suy ra  x³ + 3x² + 5 \( \vdots \) x + 3

            x²(x + 3) + 5 \( \vdots \) x + 3

Vì x²(x + 3) \( \vdots \) x + 3 nên 5 \( \vdots \) x + 3

Suy ra x + 3 Î Ư(5) = {±1; ±5}

Mà x + 3 > 3 (do x dương) nên x + 3 = 5 Þ x = 2.

Nên 5^z = 2 + 3 = 5 Û z = 1

và 5^y = 8 + 12 + 5 = 25 Û y = 2

Vậy x = 2; y = 2; z = 1

Lời giải:

Ta có: m² + n² = m + n + 8

Suy ra 4m² – 4m + 1 + 4n² – 4n + 1 = 34

 (2m – 1)² + (2n – 1)² = 34     (1)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {2n - 1} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) và \(m,n \in \mathbb{N}\)

Từ (1) suy ra (2m – 1)² £ 34

Suy ra 2m – 1 £ 5 Þ 2m £ 6 Þ m £ 3

+ Khi m = 0 thì m² + n² = m + n + 8 Û n² – n – 8 = 0

D= (-1)² – 4.(-8) = 33 Þ m Ï \(\mathbb{N}\)

+ Khi m = 1 thì: m² + n² = m + n + 8 Û n² – n – 8 = 0

D= (-1)² – 4.(-8) = 33 Þ m Ï \(\mathbb{N}\)

+ Khi m = 2 thì m² + n² = m + n + 8 Û n² – n – 6 = 0 nên \(\left[ \begin{array}{l}n = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\n = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(L)\end{array} \right.\)

+ Khi m = 3 thì m² + n² = m + n + 8 Û n² – n – 2 = 0  nên \(\left[ \begin{array}{l}n = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\n = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(L)\end{array} \right.\)

Vậy cặp số (m; n) thỏa mãn hệ thức m² + n² = m + n + 8 là (2; 3) và (3; 2)

Lời giải:

Để \(\frac{{5t + 2}}{{17}}\) là một số nguyên thì 5t + 2 \( \vdots \) 17.

Nên 5t + 2 Î B{17} = {0; 17; 34; 51; 68; 85; 102;..}

Suy ra 5t = {-2; 15; 32; 49; 66; 83; 100;...}

Suy ra \(t = \left\{ {\frac{{ - 2}}{5};3;\frac{{32}}{5};\frac{{49}}{5};\frac{{66}}{5};\frac{{83}}{5};20;...} \right\}\)

Mà t Î \(\mathbb{Z}\) nên t Î {3; 20;...}

Lời giải:

Ta có: (y + 2).x² + 1 = y²

Suy ra  (y + 2).x² + 1 – 4 = y² – 4

 (y + 2).x² - 3 = (y – 2)(y + 2)

          (y + 2).x² - (y – 2)(y + 2) = 3

(y + 2)(x² – y + 2) = 3

y + 2 Î Ư(3) = {3; -3; 1; - 1}

Ta có bảng sau:

Vậy (x; y) = (0; 1); (x; y) = (0; -1)

Lời giải:

Do 12 + 3x Î \(\mathbb{Z}\) suy ra (12 + 3x)² chính phương nên 1a96 là chính phương

Mà a Î {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

nên a = 2

Nên (12 + 3x)² = 1296

        \(\begin{array}{l}12 + 3x = \sqrt {1296} \\12 + 3x = \pm 36\end{array}\)

Nên \(\left[ \begin{array}{l}12 + 3x = 36\\12 + 3x = - 36\end{array} \right.\). Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = - 16\end{array} \right.\).

Vậy x Î {8; -16} và a = 2.

Lời giải:

Điều kiện để phân thức xác định khi và chỉ khi x² – 6x + 9 ¹ 0 suy ra x ¹ 3

Vậy x ¹ 3

Lời giải:

Vì (2x – 4)¹⁰ ³ 0 \(\forall \)x; 5(y + 3)⁴ ³ 0 \(\forall \)y

Suy ra (2x – 4)² + 5(y + 3)⁴ ³ 0

Suy ra (2x – 4)² + 5(y + 3)⁴ + 10 ³ 10

Nên  M ³ 10.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - 4} \right)^{10}} = 0\\5{(y + 3)^4} = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 = 0\\y + 3 = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 10 khi x = 2 và y =-3.

Lời giải:

Ta có: B = xy(x – 2)(y + 6) + 12x² – 24x + 3y³ + 18y + 2045

=(x² – 2x)(y² + 6y) + 12(x² – 2x) + 3(y² + 6y) + 2045

= [(x² – 2x)(y² + 6y) + 3(y² + 6y)] + 12(x² – 2x + 3) + 2009

= (x² – 2x + 3)(y² + 6x) + 12(x² – 2x + 3) + 2009

= (x² – 2x + 3)(y² + 6x + 12) + 2009

= [(x – 1)² + 2] . [(y + 3)² + 3] + 2009

Ta có: (x – 1)² ³ 0, \(\forall \)x Û (x – 1)² + 2 ³ 2

(y + 3)² ³ 0, \(\forall \)y Û (y + 3)² + 3 ³ 3

Suy ra B = [(x – 1)² + 2] . [(y + 3)² + 3] + 2009 ³ 2.3 + 2009 = 2015

Vậy giá trị nhỏ nhất của B = 2015 khi x = 1 và y =-3

Lời giải:

Điều kiện: x > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương là x và 3, ta có: \(\frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} \ge \frac{{2\sqrt {3x} }}{{\sqrt x }} = 2\sqrt 3 \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(2\sqrt 3 \) tại x = 3.

Lời giải:

Ta có: 99⁹⁹ = 99⁹⁸ . 99 = (99²)⁴⁹.99 = (...01)⁴⁹.99 = (...01).99 = (..99)

Suy ra \({99^{{{99}^{99}}}} = {99^{..99}} = {99^{98}}.99 = {({99^2})^k}.99 = {(..01)^k}.99 = (..01).99 = (..99)\)

Vậy hai chữ số tận cùng của \({99^{{{99}^{99}}}}\)là 99.

Lời giải:

Số bé là: (123 – 45) : 2 = 39

Số lớn là: 123 – 39 = 84

Lời giải:

Đặt f(x) = \({x^2} - ax - 5{a^2} - \frac{1}{4}\), g(x) = x + 2a

f(x) = \({x^2} - ax - 5{a^2} - \frac{1}{4}\)= (x² + 2ax) + (-3ax – 6a²) + \(\left( {{a^2} - \frac{1}{4}} \right)\)

= x(x + 2a) – 3a(x + 2a) + \(\left( {{a^2} - \frac{1}{4}} \right)\)

= (x – 3a)(x + 2a) + \(\left( {{a^2} - \frac{1}{4}} \right)\)

Suy ra f(x) chia g(x) dư \(\left( {{a^2} - \frac{1}{4}} \right)\)

Để f(x) \( \vdots \) g(x) thì \({a^2} - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{2}\)

Vậy \(a = \pm \frac{1}{2}\).

Lời giải:

Với k = 0 ta có x =-2. Suy ra k = 0 (thỏa mãn)

Với k ¹ 0: D= (1 – 2k)² – 4k(k – 2) = 4k + 1

Để phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ thì D phải là một số chính phương.

Do 4k + 1 là số lẻ nên giả sử rằng:

4k + 1 = (2m + 1)² = 4m2 + 4m + 1 Þ k = m(m + 1)

Do k Î \(\mathbb{Z}\) và kết hợp 2 TH trên suy ra: k là tích của hai số nguyên liên tiếp

Lời giải:

Gọi ƯCLN (3n + 2, 7n + 1) = d (d là ước nguyên tố)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3n + 2 \vdots d\\7n + 1 \vdots d\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}7\left( {3n + 2} \right) \vdots d\\3\left( {7n + 1} \right) \vdots d\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}21n + 14 \vdots d\\21n + 3 \vdots d\end{array} \right.\)

Nên \(\left( {21n + 14} \right) - \left( {21n + 3} \right) \vdots d \Rightarrow 11 \vdots d\)

Suy ra d Î {±1; ±11}

Do d là nguyên tố nên d =±11

Do đó 3n + 2 \( \vdots \) 11

Khi đó 3n + 11 – 9 \( \vdots \) 11

Suy ra 3n \(\cancel{ \vdots }\)11

Do ƯC(3, 11) = 1 suy ra n \(\cancel{ \vdots }\)11

Để phân số tối giản thì n = 11k