10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 20

Lời giải:

x⁵ – x⁴ + x³ – x²

= (x⁵ – x⁴) + (x³ – x²)

= x⁴(x – 1) + x²(x – 1)

= (x – 1)(x⁴ + x²)

= (x – 1)x²(x² + 1)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\mx + y = 2m + 1\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\{m^2}x + my = 2{m^2} + m\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\\left( {{m^2} - 1} \right)x = 2{m^2} + m - 3\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\x = \frac{{2{m^2} + m - 3}}{{{m^2} - 1}} = \frac{{\left( {2m + 3} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{m + 1}}\\x = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Khi đó P = x² + 3y² =

\({\left( {\frac{{2m + 3}}{{m + 1}}} \right)^2} + 3.{\left( {\frac{1}{{m + 1}}} \right)^2} = 4 + \frac{4}{{m + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{2}{{m + 1}} + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\)

Vậy P_min = 3 khi m = -3

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = xy + \frac{1}{{xy}}\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) + \left( {y + \frac{1}{x}} \right) = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = \left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{x}} \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(x + \frac{1}{y} = a;y + \frac{1}{x} = b\)

Khi đó ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}a = ab\end{array} \right.\) ⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {\frac{9}{2} - b} \right) = \left( {\frac{9}{2} - b} \right)b\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\7 - 6b + {b^2} = 0\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{23}}{2}\\b = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{{23}}{2}\\y + \frac{1}{x} = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Với \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{7}{2}\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right) + 1 = \frac{7}{2}\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2} - \frac{7}{{2x}}\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{7}{{2x}} - \frac{7}{2} = 0\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 7 - 2x = 0\left( {VN} \right)\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

+ Với \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{{23}}{2}\\y + \frac{1}{x} = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{ - 7 - \frac{1}{x}}} = \frac{{23}}{2}\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = \frac{{161x}}{{2x}} + \frac{{23}}{{2x}}\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49{x^2} - 161x - 23 = 0\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23 + 3\sqrt {69} }}{{14}}\\y = \frac{{ - 161 - 21\sqrt {69} }}{{46}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23 - 3\sqrt {69} }}{{14}}\\y = \frac{{ - 161 + 21\sqrt {69} }}{{46}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Lời giải:

Theo hình vẽ ta có: a ⊥ c; b ⊥ c nên a // b

Suy ra: x + y = 180°

Mà 2x = 3y nên \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{3 + 2}} = \frac{{180^\circ }}{5} = 36^\circ \)

⇒ x = 36° . 3 = 108°

y = 36° . 2 = 72°

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy + 1 = 0\\{x^2} + {y^2} - x - y = 22\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x + 1} \right) + x + 1 = 0\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)

+ Nếu x = -1 thì: y² – y + 1 + 2 – 22 = 0

⇔ y² – y – 20 = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}y = 5\\y = - 4\end{array} \right.\)

+ Nếu y = -1 thì x² – x – 20 = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 4\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là {−1;5};{−1;−4};{5;−1};{−4;−1}

Lời giải:

Ta có: x + y + z = 1 nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y - z\\y = 1 - z - x\\z = 1 - x - y\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1 - z\\y + z = 1 - x\\z + x = 1 - y\end{array} \right.\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + z}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + x}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{zx + y}}\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + 1 - x - y}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + 1 - y - z}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{zx + 1 - z - x}}\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{\left( {z - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{\left( {y + z} \right)}^2}{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{{{\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)} \right]}^2}}}\)

\[P = \frac{{{{\left( {z - 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{{{{\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)} \right]}^2}}}\]

P = 1

Vậy giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Lời giải:

Xét x⁴ + y⁴ + z⁴ =

\[\frac{{{x^4} + {y^4}}}{2} + \frac{{{y^4} + {z^4}}}{2} + \frac{{{z^4} + {x^4}}}{2} \ge {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} = \frac{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2}}}{2} + \frac{{{y^2}{z^2} + {x^2}{z^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2} + {x^2}{z^2}}}{2}\]

\( \ge x{y^2}z + xy{z^2} + {x^2}yz = xyz\left( {x + y + z} \right) = xyz\)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

Mà x + y + z = 1 nên \(x = y = z = \frac{1}{3}\)

Lời giải:

Xét x + y = 3(x – y)

Ta có: x + y = 3(x – y)

⇔ x + y – 3x + 3y = 0

⇔ 4y – 2x = 0

⇔ 2(2y – x) = 0

⇔ 2y = x

Thay vào ta được:

2y + y = 3(2y – y) = \(\frac{{4y}}{y} = 4\)

Suy ra: \(x = \frac{8}{3};y = \frac{4}{3}\)

Lời giải:

A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

A = (x² + 3x)(x² + 3x + 2)

Đặt x² + 3x = t

Ta có: A = t(t + 2) = t² + 2t = (t + 1)² – 1

Vì (t + 1)² ≥ 0, ∀t nên (t + 1)² – 1 ≥ –1 với mọi t

Vậy GTNN của A bằng –1 khi t = –1

⇒ x² + 3x = –1

⇔ x² + 3x + 1 = 0

⇔\(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Lời giải:

Giả sử A = x(x – 1)(x – 7)(x – 8)

A = x(x – 8)(x – 1)(x – 7)

A = (x² – 8x)(x² – 8x + 7)

Đặt a = x² – 8x

Khi đó: A = a(a + 7) = a² + 7a

Để A là số chính phương thì A = b² (b nguyên)

⇒ a² + 7a = b² ⇒ 4a² + 28a + 49 - 49 - 4b² = 0 ⇒ (2a+ 7)² - (2b)² = 49

⇒ (2a + 7 - 2b).(2a + 7 + 2b) = 49

Vì a, b nguyên nên 2a+ 7 - 2b ; 2a + 7 + 2b thuộc Ư(49) = {49; -49; 1;-1; 7; -7}

Trường hợp: 2a + 7 - 2b = 49 và 2a + 7 + 2b = 1 .

Cộng vế với vế ⇒ 4a + 14 = 50 ⇒ a = 9 ⇒ b = -12 (nhận)

⇒ x² - 8x = 9

⇒  x² - 8x - 9 = 0

⇒ x = -1; 9

Xét tương tự cho các trường hợp còn lại.

Lời giải:

\(\frac{x}{{4,45}} - 2 = 1,7\)

\(\frac{x}{{4,45}} = 2 + 1,7\)

\(\frac{x}{{4,45}} = 3,7\)

x = 4,45 . 3,7

x = 16,465

Vậy x = 16,465.

Lời giải:

\(\frac{x}{4} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow x = \frac{{ - 24.4}}{{32}} = - 3\)

\[\frac{{ - 9}}{y} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow y = \frac{{ - 9.32}}{{ - 24}} = 12\]

\(\frac{z}{8} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow z = \frac{{ - 24.8}}{{32}} = - 6\)

Lời giải:

S = x⁰ + x¹ + x² + x³ + … + xⁿ

xS = x + x² + x³ + … + xⁿ⁺¹

xS – S = (x + x² + x³ + … + xⁿ⁺¹) – (x⁰ + x¹ + x² + x³ + … + xⁿ)

S(x – 1) = xⁿ⁺¹ – x⁰

S(x – 1) = xⁿ⁺¹ – 1

\(S = \frac{{{x^{n + 1}} - 1}}{{x - 1}}\)

Lời giải:

x² + 7x – 18 = 0

⇔ x² + 2x – 9x – 18 = 0

⇔ x(x + 2) – 9(x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x – 9) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 9\end{array} \right.\)

Vậy x = -2 hoặc x = 9.

Lời giải:

x² + x + 1 = 2xy + y

⇔ x² + x + 1 – 2xy – y = 0

⇔ \({x^2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - y(2x + 1) + \frac{3}{4} = 0\)

⇔ \(\frac{1}{2}x\left( {2x + 1} \right) + \frac{1}{4}\left( {2x + 1} \right) - y(2x + 1) + \frac{3}{4} = 0\)

⇔ \(\left( {2x + 1} \right)\left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - y} \right) = - \frac{3}{4}\)

⇔ \(\left( {2x + 1} \right)\left( {2x + 1 - 4y} \right) = - 3\)

Ta có bảng:

2x + 1	-3	-1	3	1
2x + 1 – 4y	1	3	-1	-3
x	-2	-1	1	0
y	-1	-1	1	1

Vậy (x;y) = (-2;-1) ; (-1;-1); (1;1); (0;1)}

Lời giải:

x² – y²

= (x – y)(x + y)

Lời giải:

x² − 2(m + 1)x + m² = 0

Xét ∆’ = (m + 1)² – m² = 2m + 1

Để phương trình có đúng một nghiệm thì ∆’ = 0 hay 2m + 1 = 0

⇒\(m = - \frac{1}{2}\)

Vậy \(m = - \frac{1}{2}\)

Lời giải:

x² - y² - 4x - 2y + 3

= (x² – 4x + 4) – (y² + 2y + 1)

= (x – 2)² – (y + 1)²

= (x – 2 + y + 1)(x – 2 – y – 1)

= (x + y – 1)(x – y – 3)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 4x - 2y - 3\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} - 4x + 2y + 3 = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y - 3} \right)\left( {x - y - 1} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 3 - y\\x = y + 1\end{array} \right.\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}{\left( {3 - y} \right)^2} + {y^2} = 5\\{\left( {y + 1} \right)^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}2{y^2} - 6y + 4 = 0\\2{y^2} + 2y - 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = 1\\y = 1\\y = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\)

Vậy (x; y) = {(1;2), (2;1) , (-1; -2)

Lời giải:

+, Nếu x,y đều khác 3 

⇒ x và y đều ko chia hết cho 3 

⇒ x² và y² đều chia 3 dư 1

⇒ x² + y² chia 3 dư 2

Mà 3xy chia hết cho 3

⇒ x² + 3xy + y²  chia 3 dư 2

⇒ x² + 3xy + y² không phải số chính phương

⇒ trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Giả sử x chia hết cho 3

⇒ x = 3

⇒ A = x² + 3xy + y² = y² + 9y + 9

Đặt A = k² (k là số tự nhiên)

⇒ y² + 9y + 9

⇒ 4y² + 36y + 36 = (2k)²

⇒ (2y + 9)² - 45 = (2k)²

⇒ (2y + 9) - (2k)² = 45

⇒ (2y - 2k + 9).(2y + 2k + 9) = 45

Vì y, k > 0 nên 2y + 2k + 9 > 2y – 2k + 9

Ta có bảng sau:

2y – 2k + 9	1	3	5
2y + 2k+ 9	45	15	9
y	7	0	-1 (L)
k	11	3	1

Vậy (x;y) = {(3;7), (3;0)} và hoán vị.

Lời giải:

x² + 4xy - 8y²- 4y + 1= 0

⇔ x² + 4xy – 12y² + 4y² – 4y + 1 = 0

⇔ (x – 2y)(x + 6y) + (2y – 1)² = 0

⇔ (2y – x)(x + 6y) = (2y – 1)²

Đặt d = ƯCLN(2y – x; x + 6y)

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}2y - x \vdots d\\x + 6y \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2y - x} \right) + \left( {x + 6y} \right) \vdots d \Rightarrow 8y \vdots d\left( 1 \right)\]

Mà (2y – 1)² = (2y – x)(x + 6y) ⋮ d²

Suy ra: 2y – 1\[ \vdots d\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra: d = 1

Tức là 2y – x và x + 6y nguyên tố cùng nhau mà tích của 2 số là số chính phương

Nên 2y - x và x + 6y là số chính phương

Vậy 2y - x là số chính phương

Lời giải:

x² + xy + y² = x – y

⇔ x² + xy + y² – x + y = 0

⇔ x² + x(y – 1) + y² – y = 0 (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x khi ∆ ≥ 0

Hay (y – 1)² – 4(y² – y) ≥ 0

⇔ (y – 1)(3y – 1) ≤ 0

⇔\(\frac{1}{3} \le y \le 1\)

Mà y nguyên nên y = 1

Suy ra: x = 0

Vậy (x;y) = (0;1)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

 Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 4x + 2y = 0\\{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 13\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\\{\left( {x - 2y} \right)^2} + 3{\left( {y + 1} \right)^2} = 16\end{array} \right.\)

⇔ (x – 2y)² + 3(y + 1)² = 2(x + 2)² + 2(y + 1)²

⇔ (x – 2y)² – (x + 2)² = (x + 2)² – (y + 1)²

⇔ (2x – 2y + 2)(-2y – 2) = (x – y + 1)(x + y + 3)

⇔ (x – y + 1)(-4y – 4) = (x – y + 1)(x + y + 3)

⇔ (x – y + 1)(-5y – x – 7) = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}y = x + 1\\x = - 5y - 7\end{array} \right.\)

Với y = x + 1 ta có:

(x + 1)² + x² + 4x + 2(x + 1) – 3 = 0

⇔ 2x² + 2x + 1 + 4x + 2x + 2 – 3 = 0

⇔ 2x² + 8x = 0

⇔ 2x(x + 4) = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 4\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)

+ Với x = –5y – 7 ta có:

(-5y – 7)² + y² + 4(-5y – 7) + 2y – 3 = 0

⇔ 25y² + 70y + 49 + y² – 20y – 28 + 2y – 3 = 0

⇔ 26y² + 52y + 18 = 0

⇔\[y = \frac{{ - 13 \pm 2\sqrt {13} }}{{13}}\]

Suy ra: \[x = \frac{{ - 26 \mp 10\sqrt {13} }}{{13}}\]

Vậy (x,y)

= {(0,1);(−4,−3); \[\left( {\frac{{ - 26 - 10\sqrt {13} }}{{13}};\frac{{ - 13 + 2\sqrt {13} }}{{13}}} \right),\left( {\frac{{ - 26 + 10\sqrt {13} }}{{13}};\frac{{ - 13 - 2\sqrt {13} }}{{13}}} \right)\]

Lời giải:

Vì x² và y² là số chính phương nên chia 5 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4

Để x² + y² chia hết cho 5 thì x²; y² cùng chia 5 dư 0 hoặc trong 2 số x²; y² có 1 số chia 5 dư 1, 1 số chia 5 dư 4

+) Nếu x² và y² cùng chia 5 dư 0 hay chia hết cho 5

⇒ x² + y² chia hết cho 5 (thỏa mãn)

+) Nếu trong 2 số x²; y² có 1 số chia 5 dư 1, 1 số chia 5 dư 4

Giử sử x² chia 5 dư 1, ta chọn x² = 1

y² chia 5 dư 4, ta chọn y² = 4

Khi đó; x² + y² = 1 + 4 = 5 ⋮ 5

Do đó yêu cầu chứng minh của đề bài là chưa đúng.

Lời giải:

Ta có: x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

\[{x^3} + {y^3} = \frac{2}{{{x^2} - xy + {y^2}}}.\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 2\]

Vậy x³ + y³ = 2

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1

Khi đó ta có: x² + y² + z² + xyz = 20 ≥ z³ + 3z²

suy ra z = 1 hoặc z = 2

Với z = 1:  

19 = xy + x² + y2 ≥ y² + y² + y² = 3y²

⇒ y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1: x² + 1 + 1 + x = 20

⇔ x² + x – 18 = 0 không có nghiệm nguyên dương. 

Với y = 2: x² + 2² + 1² + 1.2.x = 20

⇔ x² + 2x − 15 = 0

⇔ (x − 3)(x + 5) = 0

⇒ x = 3 thỏa mãn. 

Ta có nghiệm là (1,2,3) và các hoán vị. 

Với z = 2: 

20 = 2xy + x² + y² + 4 ≥ 2y² + y² + y² = 4y²

⇒ y = 2

x² + 2² + 2² + 2.2.x = 20

⇔ x² + 4x−12=0

⇔ (x − 2)(x + 6) = 0

⇒ x = 2 thỏa mãn. 

Ta có nghiệm là (2,2,2).

Lời giải:

x² + y² + z² + 14 = 2x + 4y + 6z

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 0

Vì (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² ≥ 0, ∀x, y, z ∈ ℤ

Nên dấu “=”xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + {y^2} + y = 18\\xy\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) + y\left( {y + 1} \right) = 18\\x\left( {x + 1} \right).y\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) = 12\\y\left( {y + 1} \right) = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) = 6\\y\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3;x = - 4\\y = 2;y = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2;x = - 3\\y = 3;y = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy (x,y) = {(3,2);(3,−3);(−4;2);(−4;−3)} và hoán vị

Lời giải:

x² + (m – 4)x – m + 3 = 0

Xét ∆ = (m – 4)² – 4(-m + 3) = m² – 4m + 4 = (m - 2)² ≥ 0 với mọi m

Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm

Theo Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m + 4\\{x_1}{x_2} = - m + 3\end{array} \right.\)

Để phương trình nhận \(x = 5 + 6\sqrt 3 \) thì nghiệm còn lại có dạng:

\({x_2} = - m + 4 - \left( {5 + 6\sqrt 3 } \right) = - m - 1 - 6\sqrt 3 \)

Khi đó: -m + 3 = \[ - \left( {m + 1 + 6\sqrt 3 } \right)\left( {5 + 6\sqrt 3 } \right)\]

Giải ra ta được m = -12,4

Nghiệm còn lại là x = 1

Lời giải:

x²(x⁴ – 1)(x² + 2) + 1

= x²(x² – 1)(x² + 1) (x² + 2) + 1

= (x⁴ + x²)(x⁴ + x² + 2) + 1

= (x⁴ + x²)² + 2(x⁴ + x²) + 1

= (x⁴ + x² + 1)²

Lời giải:

x² – 3xy – 10y²

= x² + 2xy – 5xy – 10y²

= x(x + 2y) – 5y(x + 2y)

= (x + 2y)(x – 5y)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = xy + \frac{1}{{xy}}\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) + \left( {y + \frac{1}{x}} \right) = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = \left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{x}} \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(x + \frac{1}{y} = a;y + \frac{1}{x} = b\)

Khi đó ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}a = ab\end{array} \right.\) ⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {\frac{9}{2} - b} \right) = \left( {\frac{9}{2} - b} \right)b\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\7 - 6b + {b^2} = 0\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{23}}{2}\\b = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{{23}}{2}\\y + \frac{1}{x} = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Với \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{7}{2}\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right) + 1 = \frac{7}{2}\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2} - \frac{7}{{2x}}\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{7}{{2x}} - \frac{7}{2} = 0\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 7 - 2x = 0\left( {VN} \right)\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

+ Với \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{{23}}{2}\\y + \frac{1}{x} = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{ - 7 - \frac{1}{x}}} = \frac{{23}}{2}\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = \frac{{161x}}{{2x}} + \frac{{23}}{{2x}}\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49{x^2} - 161x - 23 = 0\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23 + 3\sqrt {69} }}{{14}}\\y = \frac{{ - 161 - 21\sqrt {69} }}{{46}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23 - 3\sqrt {69} }}{{14}}\\y = \frac{{ - 161 + 21\sqrt {69} }}{{46}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Lời giải:

Theo hình vẽ ta có: a ⊥ c; b ⊥ c nên a // b

Suy ra: x + y = 180°

Mà 2x = 3y nên \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{3 + 2}} = \frac{{180^\circ }}{5} = 36^\circ \)

⇒ x = 36° . 3 = 108°

y = 36° . 2 = 72°

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy + 1 = 0\\{x^2} + {y^2} - x - y = 22\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x + 1} \right) + x + 1 = 0\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)

+ Nếu x = -1 thì: y² – y + 1 + 2 – 22 = 0

⇔ y² – y – 20 = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}y = 5\\y = - 4\end{array} \right.\)

+ Nếu y = -1 thì x² – x – 20 = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 4\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là {−1;5};{−1;−4};{5;−1};{−4;−1}

Lời giải:

Ta có: x + y + z = 1 nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y - z\\y = 1 - z - x\\z = 1 - x - y\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1 - z\\y + z = 1 - x\\z + x = 1 - y\end{array} \right.\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + z}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + x}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{zx + y}}\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + 1 - x - y}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + 1 - y - z}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{zx + 1 - z - x}}\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{\left( {z - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{\left( {y + z} \right)}^2}{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{{{\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)} \right]}^2}}}\)

\[P = \frac{{{{\left( {z - 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{{{{\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)} \right]}^2}}}\]

P = 1

Vậy giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Lời giải:

Xét x⁴ + y⁴ + z⁴ =

\[\frac{{{x^4} + {y^4}}}{2} + \frac{{{y^4} + {z^4}}}{2} + \frac{{{z^4} + {x^4}}}{2} \ge {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} = \frac{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2}}}{2} + \frac{{{y^2}{z^2} + {x^2}{z^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2} + {x^2}{z^2}}}{2}\]

\( \ge x{y^2}z + xy{z^2} + {x^2}yz = xyz\left( {x + y + z} \right) = xyz\)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

Mà x + y + z = 1 nên \(x = y = z = \frac{1}{3}\)

Lời giải:

Xét x + y = 3(x – y)

Ta có: x + y = 3(x – y)

⇔ x + y – 3x + 3y = 0

⇔ 4y – 2x = 0

⇔ 2(2y – x) = 0

⇔ 2y = x

Thay vào ta được:

2y + y = 3(2y – y) = \(\frac{{4y}}{y} = 4\)

Suy ra: \(x = \frac{8}{3};y = \frac{4}{3}\)

Lời giải:

A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

A = (x² + 3x)(x² + 3x + 2)

Đặt x² + 3x = t

Ta có: A = t(t + 2) = t² + 2t = (t + 1)² – 1

Vì (t + 1)² ≥ 0, ∀t nên (t + 1)² – 1 ≥ –1 với mọi t

Vậy GTNN của A bằng –1 khi t = –1

⇒ x² + 3x = –1

⇔ x² + 3x + 1 = 0

⇔\(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Lời giải:

Giả sử A = x(x – 1)(x – 7)(x – 8)

A = x(x – 8)(x – 1)(x – 7)

A = (x² – 8x)(x² – 8x + 7)

Đặt a = x² – 8x

Khi đó: A = a(a + 7) = a² + 7a

Để A là số chính phương thì A = b² (b nguyên)

⇒ a² + 7a = b² ⇒ 4a² + 28a + 49 - 49 - 4b² = 0 ⇒ (2a+ 7)² - (2b)² = 49

⇒ (2a + 7 - 2b).(2a + 7 + 2b) = 49

Vì a, b nguyên nên 2a+ 7 - 2b ; 2a + 7 + 2b thuộc Ư(49) = {49; -49; 1;-1; 7; -7}

Trường hợp: 2a + 7 - 2b = 49 và 2a + 7 + 2b = 1 .

Cộng vế với vế ⇒ 4a + 14 = 50 ⇒ a = 9 ⇒ b = -12 (nhận)

⇒ x² - 8x = 9

⇒  x² - 8x - 9 = 0

⇒ x = -1; 9

Xét tương tự cho các trường hợp còn lại.

Lời giải:

\(\frac{x}{{4,45}} - 2 = 1,7\)

\(\frac{x}{{4,45}} = 2 + 1,7\)

\(\frac{x}{{4,45}} = 3,7\)

x = 4,45 . 3,7

x = 16,465

Vậy x = 16,465.

Lời giải:

\(\frac{x}{4} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow x = \frac{{ - 24.4}}{{32}} = - 3\)

\[\frac{{ - 9}}{y} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow y = \frac{{ - 9.32}}{{ - 24}} = 12\]

\(\frac{z}{8} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow z = \frac{{ - 24.8}}{{32}} = - 6\)

Lời giải:

S = x⁰ + x¹ + x² + x³ + … + xⁿ

xS = x + x² + x³ + … + xⁿ⁺¹

xS – S = (x + x² + x³ + … + xⁿ⁺¹) – (x⁰ + x¹ + x² + x³ + … + xⁿ)

S(x – 1) = xⁿ⁺¹ – x⁰

S(x – 1) = xⁿ⁺¹ – 1

\(S = \frac{{{x^{n + 1}} - 1}}{{x - 1}}\)

Lời giải:

x² + 7x – 18 = 0

⇔ x² + 2x – 9x – 18 = 0

⇔ x(x + 2) – 9(x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x – 9) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 9\end{array} \right.\)

Vậy x = -2 hoặc x = 9.

Lời giải:

x² + x + 1 = 2xy + y

⇔ x² + x + 1 – 2xy – y = 0

⇔ \({x^2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - y(2x + 1) + \frac{3}{4} = 0\)

⇔ \(\frac{1}{2}x\left( {2x + 1} \right) + \frac{1}{4}\left( {2x + 1} \right) - y(2x + 1) + \frac{3}{4} = 0\)

⇔ \(\left( {2x + 1} \right)\left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - y} \right) = - \frac{3}{4}\)

⇔ \(\left( {2x + 1} \right)\left( {2x + 1 - 4y} \right) = - 3\)

Ta có bảng:

2x + 1	-3	-1	3	1
2x + 1 – 4y	1	3	-1	-3
x	-2	-1	1	0
y	-1	-1	1	1

Vậy (x;y) = (-2;-1) ; (-1;-1); (1;1); (0;1)}

Lời giải:

x² – y²

= (x – y)(x + y)

Lời giải:

x² − 2(m + 1)x + m² = 0

Xét ∆’ = (m + 1)² – m² = 2m + 1

Để phương trình có đúng một nghiệm thì ∆’ = 0 hay 2m + 1 = 0

⇒\(m = - \frac{1}{2}\)

Vậy \(m = - \frac{1}{2}\)

Lời giải:

x² - y² - 4x - 2y + 3

= (x² – 4x + 4) – (y² + 2y + 1)

= (x – 2)² – (y + 1)²

= (x – 2 + y + 1)(x – 2 – y – 1)

= (x + y – 1)(x – y – 3)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 4x - 2y - 3\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} - 4x + 2y + 3 = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y - 3} \right)\left( {x - y - 1} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 3 - y\\x = y + 1\end{array} \right.\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}{\left( {3 - y} \right)^2} + {y^2} = 5\\{\left( {y + 1} \right)^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}2{y^2} - 6y + 4 = 0\\2{y^2} + 2y - 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = 1\\y = 1\\y = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\)

Vậy (x; y) = {(1;2), (2;1) , (-1; -2)

Lời giải:

+, Nếu x,y đều khác 3 

⇒ x và y đều ko chia hết cho 3 

⇒ x² và y² đều chia 3 dư 1

⇒ x² + y² chia 3 dư 2

Mà 3xy chia hết cho 3

⇒ x² + 3xy + y²  chia 3 dư 2

⇒ x² + 3xy + y² không phải số chính phương

⇒ trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Giả sử x chia hết cho 3

⇒ x = 3

⇒ A = x² + 3xy + y² = y² + 9y + 9

Đặt A = k² (k là số tự nhiên)

⇒ y² + 9y + 9

⇒ 4y² + 36y + 36 = (2k)²

⇒ (2y + 9)² - 45 = (2k)²

⇒ (2y + 9) - (2k)² = 45

⇒ (2y - 2k + 9).(2y + 2k + 9) = 45

Vì y, k > 0 nên 2y + 2k + 9 > 2y – 2k + 9

Ta có bảng sau:

2y – 2k + 9	1	3	5
2y + 2k+ 9	45	15	9
y	7	0	-1 (L)
k	11	3	1

Vậy (x;y) = {(3;7), (3;0)} và hoán vị.

Lời giải:

x² + 4xy - 8y²- 4y + 1= 0

⇔ x² + 4xy – 12y² + 4y² – 4y + 1 = 0

⇔ (x – 2y)(x + 6y) + (2y – 1)² = 0

⇔ (2y – x)(x + 6y) = (2y – 1)²

Đặt d = ƯCLN(2y – x; x + 6y)

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}2y - x \vdots d\\x + 6y \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2y - x} \right) + \left( {x + 6y} \right) \vdots d \Rightarrow 8y \vdots d\left( 1 \right)\]

Mà (2y – 1)² = (2y – x)(x + 6y) ⋮ d²

Suy ra: 2y – 1\[ \vdots d\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra: d = 1

Tức là 2y – x và x + 6y nguyên tố cùng nhau mà tích của 2 số là số chính phương

Nên 2y - x và x + 6y là số chính phương

Vậy 2y - x là số chính phương

Lời giải:

x² + xy + y² = x – y

⇔ x² + xy + y² – x + y = 0

⇔ x² + x(y – 1) + y² – y = 0 (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x khi ∆ ≥ 0

Hay (y – 1)² – 4(y² – y) ≥ 0

⇔ (y – 1)(3y – 1) ≤ 0

⇔\(\frac{1}{3} \le y \le 1\)

Mà y nguyên nên y = 1

Suy ra: x = 0

Vậy (x;y) = (0;1)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

 Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 4x + 2y = 0\\{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 13\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\\{\left( {x - 2y} \right)^2} + 3{\left( {y + 1} \right)^2} = 16\end{array} \right.\)

⇔ (x – 2y)² + 3(y + 1)² = 2(x + 2)² + 2(y + 1)²

⇔ (x – 2y)² – (x + 2)² = (x + 2)² – (y + 1)²

⇔ (2x – 2y + 2)(-2y – 2) = (x – y + 1)(x + y + 3)

⇔ (x – y + 1)(-4y – 4) = (x – y + 1)(x + y + 3)

⇔ (x – y + 1)(-5y – x – 7) = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}y = x + 1\\x = - 5y - 7\end{array} \right.\)

Với y = x + 1 ta có:

(x + 1)² + x² + 4x + 2(x + 1) – 3 = 0

⇔ 2x² + 2x + 1 + 4x + 2x + 2 – 3 = 0

⇔ 2x² + 8x = 0

⇔ 2x(x + 4) = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 4\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)

+ Với x = –5y – 7 ta có:

(-5y – 7)² + y² + 4(-5y – 7) + 2y – 3 = 0

⇔ 25y² + 70y + 49 + y² – 20y – 28 + 2y – 3 = 0

⇔ 26y² + 52y + 18 = 0

⇔\[y = \frac{{ - 13 \pm 2\sqrt {13} }}{{13}}\]

Suy ra: \[x = \frac{{ - 26 \mp 10\sqrt {13} }}{{13}}\]

Vậy (x,y)

= {(0,1);(−4,−3); \[\left( {\frac{{ - 26 - 10\sqrt {13} }}{{13}};\frac{{ - 13 + 2\sqrt {13} }}{{13}}} \right),\left( {\frac{{ - 26 + 10\sqrt {13} }}{{13}};\frac{{ - 13 - 2\sqrt {13} }}{{13}}} \right)\]

Lời giải:

Vì x² và y² là số chính phương nên chia 5 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4

Để x² + y² chia hết cho 5 thì x²; y² cùng chia 5 dư 0 hoặc trong 2 số x²; y² có 1 số chia 5 dư 1, 1 số chia 5 dư 4

+) Nếu x² và y² cùng chia 5 dư 0 hay chia hết cho 5

⇒ x² + y² chia hết cho 5 (thỏa mãn)

+) Nếu trong 2 số x²; y² có 1 số chia 5 dư 1, 1 số chia 5 dư 4

Giử sử x² chia 5 dư 1, ta chọn x² = 1

y² chia 5 dư 4, ta chọn y² = 4

Khi đó; x² + y² = 1 + 4 = 5 ⋮ 5

Do đó yêu cầu chứng minh của đề bài là chưa đúng.

Lời giải:

Ta có: x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

\[{x^3} + {y^3} = \frac{2}{{{x^2} - xy + {y^2}}}.\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 2\]

Vậy x³ + y³ = 2

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1

Khi đó ta có: x² + y² + z² + xyz = 20 ≥ z³ + 3z²

suy ra z = 1 hoặc z = 2

Với z = 1:  

19 = xy + x² + y2 ≥ y² + y² + y² = 3y²

⇒ y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1: x² + 1 + 1 + x = 20

⇔ x² + x – 18 = 0 không có nghiệm nguyên dương. 

Với y = 2: x² + 2² + 1² + 1.2.x = 20

⇔ x² + 2x − 15 = 0

⇔ (x − 3)(x + 5) = 0

⇒ x = 3 thỏa mãn. 

Ta có nghiệm là (1,2,3) và các hoán vị. 

Với z = 2: 

20 = 2xy + x² + y² + 4 ≥ 2y² + y² + y² = 4y²

⇒ y = 2

x² + 2² + 2² + 2.2.x = 20

⇔ x² + 4x−12=0

⇔ (x − 2)(x + 6) = 0

⇒ x = 2 thỏa mãn. 

Ta có nghiệm là (2,2,2).

Lời giải:

x² + y² + z² + 14 = 2x + 4y + 6z

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 0

Vì (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² ≥ 0, ∀x, y, z ∈ ℤ

Nên dấu “=”xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + {y^2} + y = 18\\xy\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) + y\left( {y + 1} \right) = 18\\x\left( {x + 1} \right).y\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) = 12\\y\left( {y + 1} \right) = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) = 6\\y\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3;x = - 4\\y = 2;y = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2;x = - 3\\y = 3;y = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy (x,y) = {(3,2);(3,−3);(−4;2);(−4;−3)} và hoán vị

Lời giải:

x² + (m – 4)x – m + 3 = 0

Xét ∆ = (m – 4)² – 4(-m + 3) = m² – 4m + 4 = (m - 2)² ≥ 0 với mọi m

Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm

Theo Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m + 4\\{x_1}{x_2} = - m + 3\end{array} \right.\)

Để phương trình nhận \(x = 5 + 6\sqrt 3 \) thì nghiệm còn lại có dạng:

\({x_2} = - m + 4 - \left( {5 + 6\sqrt 3 } \right) = - m - 1 - 6\sqrt 3 \)

Khi đó: -m + 3 = \[ - \left( {m + 1 + 6\sqrt 3 } \right)\left( {5 + 6\sqrt 3 } \right)\]

Giải ra ta được m = -12,4

Nghiệm còn lại là x = 1

Lời giải:

x²(x⁴ – 1)(x² + 2) + 1

= x²(x² – 1)(x² + 1) (x² + 2) + 1

= (x⁴ + x²)(x⁴ + x² + 2) + 1

= (x⁴ + x²)² + 2(x⁴ + x²) + 1

= (x⁴ + x² + 1)²

Lời giải:

x² – 3xy – 10y²

= x² + 2xy – 5xy – 10y²

= x(x + 2y) – 5y(x + 2y)

= (x + 2y)(x – 5y)

Lời giải:

ĐKXĐ: \(x \ge \frac{1}{2}\)

\({x^2} - 6x + 2 = 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {2x - 1} \)

⇔ \({x^2} + 2x\sqrt {2x - 1} + 2x - 1 = 4\left( {2x - 1} \right) + 4\sqrt {2x - 1} + 1\)

⇔ \({\left( {x + \sqrt {2x - 1} } \right)^2} = {\left( {2\sqrt {2x - 1} + 1} \right)^2}\) (*)

Do \(x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {2x - 1} > 0\\2\sqrt {2x - 1} + 1 > 0\end{array} \right.\)

Nên (*) tương đương: \(x + \sqrt {2x - 1} = 2\sqrt {2x - 1} + 1\)

⇔ \(x - 1 = \sqrt {2x - 1} \)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 2x - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy \(x = 2 + \sqrt 2 \)

Lời giải:

x² – x(y + 5) = –4y – 9

⇔ x² – xy – 5x + 4y + 9 = 0

⇔ x(x – y) – 4(x – y) – x + 9 = 0

⇔ (x – 4)(x – y) – (x – 4) = -5

⇔ (x – 4)(x – y – 1) = -5

Ta có bảng sau:

x – 4	-5	-1	1	5
x – y – 1	1	5	-5	-1
x	-1	3	5	9
y	-3	-3	9	9

Vậy (x;y) = {(-1;-3), (3;-3), (5;9), (9;9)}

Lời giải:

\({x^2} - x - 1000\sqrt {1 + 8000x} = 1000\)

⇔ \({x^2} - x - 4002000 - \left( {1000\sqrt {1 + 8000x} - 4001000} \right) = 0\)

⇔ \(\left( {x - 2001} \right)\left( {x + 2000} \right) - \frac{{1000.8000\left( {x - 2001} \right)}}{{1000\sqrt {8000x + 1} + 4001000}} = 0\)

⇔ \(\left( {x - 2001} \right)\left[ {\left( {x + 2000} \right) - \frac{{1000.8000}}{{1000\sqrt {8000x + 1} + 4001000}}} \right] = 0\)

Dễ thấy \(\left( {x + 2000} \right) - \frac{{1000.8000}}{{1000\sqrt {8000x + 1} + 4001000}} \ne 0\)

Suy ra: x – 2021 = 0

Hay x = 2021

Vậy x = 2021

Lời giải:

x³ – 7x – 6 = 0

⇔ x³ – x – 6x – 6 = 0

⇔ x(x² – 1) – 6(x + 1) = 0

⇔ x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)(x(x – 1) – 6) = 0

⇔ (x + 1)(x + 2)(x – 3) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≥ 0

\(\sqrt {x + 3} + \sqrt {3x + 1} = 2\sqrt x + \sqrt {2x + 2} \)

⇔ \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x + 2} = 2\sqrt x - \sqrt {x + 3} \)

⇔ 3x + 1 + 2x + 2 - \(2\sqrt {6{x^2} + 8x + 2} = 4x + x + 3 - 4\sqrt {{x^2} + 3x} \)

⇔ \(2\sqrt {6{x^2} + 8x + 2} = 4\sqrt {{x^2} + 3x} \)

⇔ \(\sqrt {6{x^2} + 8x + 2} = 2\sqrt {{x^2} + 3x} \)

⇔ 6x² + 8x + 2 = 4(x² + 3x)

⇔ 2x² – 4x + 2 = 0

⇔ x = 1

Vậy x = 1.

Lời giải:

Nhân phương trình thứ hai với 3 và cộng với phương trình thứ nhất ta được:

(x + 1)³ + 3y²(x + 1) – 30y(x + 1) + 75(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)[(x + 1)² + 3(y – 5)²] = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 5\end{array} \right.\)

Với x = -1 thì ta có: y² – 2y – 15 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = - 3\\y = 5\end{array} \right.\)

Với y = 5 thì (x + 1)³ = 0 suy ra x = -1

Vậy (x;y) = {(-1;-3), (-1;5)}

Lời giải:

Ta có: (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ +3(x + y)(y + z)(z + x) (*)

Lại có: 

x³ + y³ + z³ ⋮ 3

3(x +y )(y + z)(z + x) ⋮ 3

nên (x + y + z)³ ⋮ 3

⇒ x +y + z ⋮ 3

⇒ (x + y + z)³ ⋮ 27

Kết hợp với (*) và x³ + y³ + z³ ⋮ 27

⇒ 3(x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 27

⇒ (x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 9 (1)

+) Nếu cả 3 số x; y; z cùng chia hết cho 3 ta có đpcm

+) Nếu 3 số x; y; z không cùng chia hết cho 3

Thấy rẳng nếu x; y; z cùng dư 1 hoặc 2 thì mâu thuẫn với (1)

Do đó, để (1) đúng thì trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3 hoặc có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2

- Nếu trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3; giả sử x; y chia hết cho 3

Khi đó; x + y ⋮ 3; y + z ⋮̸ 3; z + x ⋮̸̸ 3

Để (1) đúng thì x + y ⋮ 9(đpcm)

- Nếu trong 3 số x;y;z có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2; giả sử 2 số đó là y; z

Khi đó, x + y ⋮̸ 3; y + z ⋮ 3; z + x ⋮̸ 3

Để (1) đúng thì y + z ⋮ 9 (đpcm)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Lời giải:

Giả thiết tương đương với:

(x + y + 1)(x² + y² + 1 – xy – x − y) = p

Do x + y + 1 > 1 và p là số nguyên tố nên x + y + 1 = p và

x² + y² + 1 – xy – x – y = 1

⇔ \({\left( {x + y} \right)^2} - \left( {x + y} \right) = 3xy \le \frac{3}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\)

⇒ x + y ≤ 4

⇒ p ≤ 5

Ta thấy 5 là số nguyên tố. Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2.

Vậy max p = 5 khi x = y = 2.

Lời giải:

Nếu 1 trong 3 số x, y, z có một số bằng 0 thì x = y = z = 0

Nếu xyz khác 0. Ta chia lần lượt các phương trình cho x³y², y³z², z³x²

Ta được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{y}} \right)^2} + \frac{3}{y} + 1\\3{\left( {\frac{1}{y}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} + \frac{3}{z} + 1\\3{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + \frac{3}{x} + 1\end{array} \right.\)

Đặt \(u = \frac{1}{x};v = \frac{1}{y};t = \frac{1}{z}\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}3{u^3} = 3{v^2} + 3v + 1\left( 1 \right)\\3{v^3} = 3{t^2} + 3t + 1\left( 2 \right)\\3{t^3} = 3{u^2} + 3u + 1\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1), (2), (3) ta có: u, v, t > 0

Giả sử u ≥ v ≥ t > 0

Vì 3u³ ≥ 3t³ mà 3u² + 3u + 1 ≥ 3v² + 3v + 1

Hay 3t³ ≥ 3u³

Suy ra: t = u

Mà u ≥ v ≥ t nên u = v = t hay x = y = z

Thay vào ta được:

3u³ = 3u² + 3u + 1

⇔\(u = \frac{1}{{\sqrt[3]{4} - 1}} \Rightarrow x = \sqrt[3]{4} - 1\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}x = y = z = 0\\x = y = z = \sqrt[3]{4} - 1\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = 3x + 4 + y\\{y^3} = 3y + z - 6\\{z^3} = 12z - x + 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = y + 2\\\left( {y + 2} \right){\left( {y - 1} \right)^2} = z - 4\\\left( {z - 4} \right){\left( {z + 2} \right)^2} = 2 - x\end{array} \right.\)

Nhân các vế với nhau ta được:

(x – 2)(x + 1)²(y + 2)(y – 1)²(z – 4)(z + 2)² = (y + 2)(z – 4)(2 – x)

Ta thấy với x = 2; y = -2; z = 4 thì thỏa mãn phương trình

Vì nếu (x;y;z) ≠ (2;-2;4) ta được: [(x + 1)(y − 1)(z + 2)]² = −1 (vô lý)

Vậy (x; y; z) = (2;-2;4)

Lời giải:

Ta cộng các vế của phương trình ta được:

x³ – 9z² + 27z – 27 + y³ – 9x² + 27x – 27 + z³ – 9y² + 27y – 27 = 0

⇔ (x³ – 9x² + 27x – 27) + (y³ – 9y² + 27y – 27) + (z³ – 9z² + 27z – 27) = 0

⇔ (x – 3)³ + (y – 3)³ + (z – 3)³ = 0

Ta thấy để phương trình xảy ra thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 3 = 0\\z - 3 = 0\end{array} \right.\)

⇒ x = y = z = 3

Vậy x = y = z = 3.

Lời giải:

x⁴ + 2x³ + x² + x + 1

= x⁴ + x³ + x³ + x² + x + 1

= x(x³ + x² + 1) + (x³ + x² + 1)

= (x + 1)(x³ + x² + 1)

Lời giải:

Ta thấy A và B là hai tự nhiên số liên tiếp nên có 2 trường hợp xảy ra:

- A chẵn thì B lẻ

- A lẻ thì B chẵn

Mà x là số tự nhiên nên x⁴ + x + 1 > x⁴ + x hay B > A

Kết hợp với giả thiết A và B là số nguyên tố

Nên A phải là số chẵn, B là số lẻ (B > A)

Do đó: A = 2

⇒ B = A + 1 = 2 + 1 = 3

⇒ x⁴ + x = 2

⇒ x = 1

Vậy x = 1.

Lời giải:

\({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + \sqrt {{x^2} + 2x + 10} = 2\)

⇔\({\left( {x + 1} \right)^4} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} = 3\) (*)

Ta có: \({\left( {x + 1} \right)^4} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \ge \sqrt 9 = 3\)

Để (*) xảy ra khi x + 1 = 0 hay x = -1.

Lời giải:

A(x) = x⁴ + 5x³ – 6x + 2x² + 10x – 5x³

A(x) = x⁴ + 4x + 2x² + 1

B(x) = x⁴ – 2x³ + 2x² + 6x³ + 1

B(x) = x⁴ + 4x³ + 2x² + 1

M(x) = A(x) – B(x) = (x⁴ + 4x + 2x² + 1) – (x⁴ + 4x³ + 2x² + 1) = 4x – 4x³

b) M(x) = 0

⇔ 4x – 4x³ = 0

⇔ 4x(1 – x²) = 0

⇔ 4x(1 – x)(1 + x) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)

Lời giải:

x⁶ + x³ – x² – 1

= x⁶ – x³ + 2x³ – 2x² + x² – 1

= x³(x³ – 1) + 2x²(x – 1) + (x – 1)(x + 1)

= (x – 1)[x³(x² + x + 1) + 2x² + x + 1]

= (x – 1)(x⁵ + x⁴ + x³ + 2x² + x + 1)

Xét đa thức g(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + 2x² + x + 1  có bậc 5 là số lẻ.

Khi đó giả sử tồn tại 2 đa thức h(x)h(x) và j(x)j(x) hệ số nguyên sao cho: g(x) = h(x).j(x)

Khi đó 1 trong 2 đa thức h(x),j(x)h(x),j(x) phải có bậc lẻ (vì nếu cả 2 đều bậc chẵn thì thành thử bậc của g(x)g(x) phải chẵn, mâu thuẫn theo trên).

 Không mất tổng quát, giả sử đa thức h(x)h(x) có bậc lẻ. Khi đó nếu nó có nghiệm hữu tỉ thì gọi nghiệm hữu tỉ này là \(x = \frac{p}{q}\left( {p,q \in \mathbb{Z};\left( {p;q} \right) = 1} \right)\) thì p∣1, q∣1 nên x = ±1. Thử lại, ta thấy 2 nghiệm này đều không thỏa mãn.

 Do đó, g(x) không có nghiệm vô tỉ nên ta không thể phân tích tiếp f(x) thành nhân tử được nữa.

Lời giải:

x⁷ + x⁵ + 1

= (x⁷ + x⁶ + x⁵) – (x⁶ – 1)

= x⁵(x² + x + 1) – (x³ – 1)(x³ + 1)

= x⁵(x² + x + 1) – (x – 1)(x² + x + 1)(x³ + 1)

= (x² + x + 1)[x⁵ – (x – 1)(x³ + 1)]

Lời giải:

\(x = \sqrt {2x\left( {x - y} \right) + 2y - x + 2} \)

Bình phương 2 vế ta được: x² = 2x(x – y) + 2y – x + 2

⇔x² - 2x² + 2xy – 2y + x = 2

⇔ (1 – x)(x – 2y) = 2

Do x, y là số nguyên nên ta có bảng sau:

Mà x, y dương nên có các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là (2; 2) và (3; 2).

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ 1.

\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{8}{{x - 1}}\)

⇔ (x – 1)² = 16

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\x - 1 = - 4\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 3\end{array} \right.\)

Vậy x = 5 hoặc x = -3.

Lời giải:

\(\frac{{x - 1}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2010}} - \frac{{x - 3}}{{2009}} = \frac{{x - 4}}{{2008}}\)

\(\frac{{x - 1}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2010}} = \frac{{x - 3}}{{2009}} + \frac{{x - 4}}{{2008}}\)

\(\left( {\frac{{x - 1}}{{2011}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 2}}{{2010}} - 1} \right) = \left( {\frac{{x - 4}}{{2008}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{2009}} - 1} \right)\)

\(\frac{{x - 2012}}{{2011}} + \frac{{x - 2012}}{{2010}} = \frac{{x - 2012}}{{2009}} + \frac{{x - 2012}}{{2008}}\)

\(\left( {x - 2012} \right)\left( {\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2010}} - \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}}} \right) = 0\)

Vì \(\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2010}} - \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}} \ne 0\)

Suy ra: x – 2012 = 0

Hay x = 2012

Vậy x = 2012

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ 0

\(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{ - 8}}{x}\)

⇔ x² = 16

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.\)

Vậy x = 4 hoặc x = -4.

Lời giải:

x² + 45 = y²

Vì x² > 0 với mọi x nên x² + 45 > 45 ⇒ y² > 45

Suy ra: y² là số lẻ

⇒ x² là số chẵn

Mà x là số nguyên tố nên x = 2

⇒ y² = x² + 45 = 49

⇒ y = 7

Vậy x = 2; y = 7.

Lời giải:

Ta có: 2x – 1 = 2(x – 3) + 5

Vì 2(x – 3) ⋮ x – 3 nên để 2x – 1 ⋮ x – 3 thì 5 ⋮ x – 3

Hay x – 3 ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1 ;5}

⇒ x ∈ {-2; 2; 4; 8}

Vậy x ∈ {-2; 2; 4; 8}

Lời giải:

Ta có: x + 3 = x – 1 + 4

Vì (x – 1) ⋮ x – 1 nên để x + 3 ⋮ x – 1 thì 4 ⋮ x – 3

Hay x – 3 ∈ Ư(4) = {-4; -2; -1; 1; 2 ; 4}

⇒ x ∈ {-1; 1; 2; 4; 5; 7}

Vậy x ∈ {-1; 1; 2; 4; 5; 7}

Lời giải:

(x - 3) ⋮ 2x

⇒ 2(x - 3) ⋮ 2x

⇒ 2x - 6 ⋮ 2x

⇒ 6 ⋮ 2x

⇒ 2x ∈ Ư(6)

⇒ 2x ∈ {-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6}

⇒ x ∈ {-3; -3/2; -1; \( - \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\); 1; 3}

Theo đề cho tìm x là số nguyên thì x ∈{-3; -1; 1; 3}

Lời giải:

T = (3x + 5y).(x − y)

Thay x = -15 và y = -10 vào biểu thức T, ta có

T=[3.(−15) + 5.(−10)].[(−15) − (−10)]

⇔ T = (−45 − 50).(−15 + 10)

⇔ T = −95 . (−5)

⇔ T = 475

Lời giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = - 2\\\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\\Delta = 4a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = 1\\{b^2} - 4ac - 4a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = 1\\c = 3\end{array} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là y = x² + 4x + 3

Lời giải:

 

Kẻ BE, CF vuông góc với AM.

Ta có:

MA.BC = MA.(BP + CP) ≥ MA.(BE + CF) = 2S_ABM + 2S_CAM

Tương tự:

MB.CA ≥ 2S_BCM + 2S_ABM

MC.AB ≥ 2S_CAM + 2S_BCM

Suy ra:

MA.BC + MB.CA + MC.AB ≥ 2(2S_BCM + 2S_ABM + 2 S_CAM) = 4S_ABC

Dấu “=” xảy ra khi M là trực tâm

b) S_PQR = S_ABC – S_AQR – S_BPQ – S_CRQ

Đặt \(\frac{{AQ}}{{QB}} = x;\frac{{BP}}{{PC}} = y;\frac{{CR}}{{RA}} = z\)

⇒ \(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{x}{{x + 1}};\frac{{AR}}{{AC}} = \frac{1}{{z + 1}}\)

\[\frac{{{S_{AQR}}}}{{{S_{ACB}}}} = \frac{{AQ}}{{AB}}.\frac{{AR}}{{AC}} = \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}\]

Tương tự: \[\frac{{{S_{BPQ}}}}{{{S_{ACB}}}} = \frac{y}{{\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\]

\[\frac{{{S_{CRP}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{z}{{\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\]

⇒ \[\frac{{{S_{AQR}}}}{{{S_{ACB}}}} + \frac{{{S_{BPQ}}}}{{{S_{ACB}}}} + \frac{{{S_{CRP}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{z}{{\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} + \frac{y}{{\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}\]

\[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{xyz + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\]

Theo định lý Ceva có: xyz = 1 nên

\[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{1 + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} = \frac{{1 + 1}}{{1 + xy + yz + zx + x + y + z + 1}}\]

Do xy + yz + zx + x + y + z\( \ge 6\sqrt[6]{{xyz}} = 6\)

Suy ra: \[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} \le \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \Rightarrow {S_{PQR}} \le \frac{1}{4}{S_{ABC}}\]

Dấu “=” xảy ra khi M là trọng tâm.

Lời giải:

XIX là số 19.

Lời giải:

Thế kỉ XV bắt đầu từ năm 1501 đến năm 1600.

Lời giải:

x – y - 2xy = 3

⇔ 2x - 2y - 4xy = 6

⇔ (2x + 1) - 2y(2x + 1) = 7

⇔ (2x + 1)(1 - 2y) = 7

Suy ra: (2x + 1) và (1 - 2y) phải là ước của 7

Ta có bảng:

2x + 1	1	-1	7	-7
1 – 2y	7	-7	1	-1
x	0	-1	3	-4
y	-3	4	0	1

Lời giải:

Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z

⇒ xy + yz + zx ≤ 3xy

⇒ xyz + 2 ≤ 3xy

⇒ xy(3 − z) ≥ 2 > 0

⇒ 3 – z > 0

⇒ z < 3

⇒ z ={1;2}

TH1: z = 1

⇒ xy + x + y = xy + 2

⇔ x + y = 2

⇒ x = y = 1

⇒ (x;y;z) = (1;1;1)

TH2: z = 2

⇒xy + 2x + 2y = 2xy + 2

⇒ xy − 2x − 2y + 2 = 0

⇒ xy − 2x − 2y + 4 = 2

⇒x(y−2) − 2(y−2) = 2

⇒(x − 2)(y − 2) = 2 (pt ước số cơ bản)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\)

⇒ (x ; y; z) = (4; 3 ;1)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (x ; y; z) ∈ {(1;1;1) , (4; 3 ;1)}.

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 3xy\left( {3x + y} \right) = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\{\left( {2x + y} \right)^3} = {\left( {x + y + 1} \right)^3}\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\2x + y = x + y + 1\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = - 4\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy (x;y) = (1;4) , (1;-4)

Lời giải:

xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 3xyz

= [xy(x + y) + xyz] + [yz(y + z) + xyz] + [xz(x + z) + xyz]

= xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz(x + y + z)

= (x + y + z)(xy + yz + zx)

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}x{y^2} - 3{x^3}y - 4y{x^2} - y + 3{x^2} = 0\\3{x^2}y - {y^2} + 3xy + 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x{y^2} - y} \right) + \left( {3{x^2} - 3{x^3}y} \right) = 4y{x^2}\\3{x^2}y - {y^2} + 3xy + 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {xy - y} \right)\left( {y - 3{x^2}} \right) = 4y{x^2}\\3{x^2}y - {y^2} + 3xy + 1 = 0\end{array} \right.\)

Xét với y = 0 thay vào ta thấy không là nghiệm của hệ

Với y khác 0, ta biến đổi hệ thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - \frac{1}{y}} \right)\left( {y - 3{x^2}} \right) = 4{x^2}\\3{x^2}y - {y^2} + 3xy + 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - \frac{1}{y}} \right)\left( {y - 3{x^2}} \right) = 4{x^2}\\3{x^2} - y + \frac{1}{y} - x = - 4x\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = x - \frac{1}{y}\\b = y - 3{x^2}\end{array} \right.\)

Khi đó hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}ab = 4{x^2}\\a + b = 4x\end{array} \right.\)

Theo Vi-ét thì ta có 2 số a và b là nghiệm của phương trình t² – 4xt + 4x² = 0

⇔ (t – 2x)² = 0

⇔ t = 2x

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}2x = x - \frac{1}{y}\\2x = y - 3{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 1}}{x}\\3{x^3} + 2{x^2} + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;1).

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z

Khi đó xyz = 4(x + y + z) ≤ 12x

⇒ yz ≤ 12

z² ≤ 12 suy ra: z² ∈ {1;4;9} nên z ∈ {1;2;3}

+) Trường hợp 1: z = 1

thì xy = 4(x + y + 1)

⇔ (x − 4)(y − 4) = 20

Nên x – 4 và y − 4 là ước của 20

với x – 4 ≥ y – 4 ≥ −3

Ta có bảng:

x – 4	20	10	5	4
y – 4	1	2	4	5
x	24	14	9	8
y	5	6	8	9

Vậy ta được cặp (x;y) là (24;5); (14;6); (9;8)

Xét tương tự các trường hợp z = 2 và z = 3.

Lời giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z

Chia cả 2 vế cho xyz > 0 ta được:

\(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{9}{{xyz}} = 1\)

Vì 1 ≤ x ≤ y ≤ z nên x² ≤ xy ≤ xz ≤ yz ≤ xyz

Suy ra: \[1 = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{9}{{xyz}} \le \frac{{12}}{{{x^2}}}\]

Mà x nguyên nên x ∈ {1; 2; 3}

+ Với x = 1 thì \(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{z} + \frac{1}{y} + \frac{9}{{yz}} = 1\)

⇔ 1 + y + z + 9 = yz

⇔ (z – 1)(y – 1) = 11

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 1\\y - 1 = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 11\\y - 1 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z = 2\\y = 12\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z = 12\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇒ (x;y;z) ∈ {(1;12;2), (1;2;12)}

+ Với x = 2 thì \(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{2z}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{9}{{2yz}} = 1\)

⇔ y + z – 2yz + 11 = 0

⇔ 2y + 2z – 4yz + 22 = 0

⇔ (2z – 1)(2y – 1) = 23

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2z - 1 = 1\\2y - 1 = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 1\\y = 12\end{array} \right.\)

⇒ (x;y;z) ∈ {(2;12;1), (2;1;12)}

+ Với x = 3 thì \(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{3z}} + \frac{1}{{3y}} + \frac{9}{{3yz}} = 1\)

⇔ y + z + 3 + 9 = 3yz

⇔ 3y + 3z – 9yx + 36 = 0

⇔ (3z – 1)(3y – 1) = 37

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}3z - 1 = 1\\3y - 1 = 37\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\\y = \frac{{38}}{3} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy (x;y;z) ∈ {(1;12;2), (1;2;12); (2;12;1), (2;1;12)}

Lời giải:

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3{{\sin }^2}x - 4{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - 4{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3 - 3{{\cos }^2}x - 4{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3 - 7{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - 7dx} \)

\[ = \left. {3\tan x - 7x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\]

\[ = \left( {3\tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) - 7.\frac{\pi }{4}} \right) - 3\tan \left( 0 \right) - 7.0\]

\( = 3 - \frac{{7\pi }}{4}\)