10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 18

Lời giải:

\(A = \frac{{3{x^2} + 4{x^2}y}}{{{x^2}}} - \frac{{10xy + 15x{y^2}}}{{5y}}\)

\(A = 3 + 4y - \left( {2x + 3xy} \right)\)

A = 3 + 4y – 2x – 3xy

A = 3 + 4.(-5) – 2.2 – 3.2.(-5)

A = 9

Lời giải:

\(\frac{2}{3} + \frac{2}{{15}} + \frac{2}{{35}} + \frac{2}{{63}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}}\\ = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9}\\ = 1 - \frac{1}{9}\\ = \frac{8}{9}\end{array}\)

Lời giải:

Công thức tinh số tập hợp con :

+) Tập hợp chính gồm n phần tử 

    Số tập hợp con gồm : 2ⁿ tập hợp

+) Ví dụ : Tập hợp A = { 1 ; 2; 3; 4 } gồm 4 phần tử nên số tập hợp con có là : 2⁴ = 16 ( tập hợp )

+) Số tập hợp con là số tập hợp được lập mà mỗi tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp chính. Cách tìm như trên. 

Lời giải:

Có: p² ≡ ±1 (mod5)

⇒ p⁴ ≡ 1 (mod5)

Gọi n là số các số 5 ở VT. Xét các trường hợp sau:

+ Nếu n = 0 thì VT ≡ 1 + 1 + ... + 1 ≡ 5 (mod5)

Mà VP ⋮̸ 5

⇒ VT = VP (vô lí)

+ Nếu n = 5 thì a = b = c = d = e = 5. Thử lại thì hoàn toàn đúng

Nếu 1 ≤ n ≤ 4 thì VP ⋮ 5  và VT ≡ 5−n (mod5)

Do 1 ≤ n ≤ 4 ⇒ 5 – n ≢ 0 (mod5)

Vậy a = b = c = d = e = 5

Lời giải:

5 số thập phân x thỏa mãn điều kiện trên là:

1,21; 1,22; 1,23; 1,24; 1,25.

Lời giải:

\(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{{a - b}}\)

⇔\(\frac{{b - a}}{{ab}} = - \frac{1}{{b - a}}\)

⇔ (b – a)² = –ab

⇔ a² – ab + b² = 0

⇔\({\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} = 0\) (*)

Ta thấy \[{\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0,\forall a,b \in \mathbb{Z}\] nên để (*) xảy ra thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}a - \frac{b}{2} = 0\\\frac{{3{b^2}}}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 0\)

Lời giải:

Gọi \(A = \overline {abcd} = {k^2}\)

Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị ta có số:

\(B = \overline {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)\left( {d + 1} \right)} = {m^2}\left( {k,m \in \mathbb{N};32 < k < m < 100;0 < a,b,c,d < 10} \right)\)

\[\left\{ \begin{array}{l}A = \overline {abcd} = {k^2}\\B = \overline {abcd} + 1111 = {m^2}\end{array} \right.\]

Suy ra: m² – k² = 1111 ⇔ (m – k)(m + k) = 1111 (*)

Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là hai số nguyên dương

Vì m – k < m + k < 200 nên (*) có thể biết (m – k)(m + k) = 11.101

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}m - k = 11\\m + k = 101\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 56\\k = 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = {56^2} = 3136\\A = {k^2} = 2025\end{array} \right.\)

Vậy A = 2025; B = 3136.

Lời giải:

(ax + b)(x² – 2cx + abc) = x³ – 4x² + 3x + \(\frac{9}{5}\)

⇔ ax³ + 2acx² + bx² - 2bcx + ab²c = x³ – 4x² + 3x + \(\frac{9}{5}\)

⇔ ax³ + (2ac + b²)x² + (a²bc – 2bc)x + ab²c = x³ – 4x² + 3x + \(\frac{9}{5}\)

Đồng nhất hệ số ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2ac + {b^2} = - 4\\{a^2}bc - 2b = 3\\a{b^2}c = \frac{9}{5}\end{array} \right.\]⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2c + {b^2} = - 4\\bc - 2b = 3\\{b^2}c = \frac{9}{5}\end{array} \right.\]⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \frac{3}{5}\\c = 5\end{array} \right.\]

Vậy \(a = 1;b = \frac{3}{5};c = 5\)

Lời giải:

225 là số lẻ nên 100a + 3b + 1 ; 2^a + 10a + b cũng là các số lẻ

Do 100a + 3b + 1 là số lẻ mà 100a là số chẵn 

⇒ 3b là số chẵn

⇒ b là só chẵn

Kết hợp với 2^a + 10a + b là số lẻ có 2^a là số lẻ

⇔ 2^a = 1 ⇔ a = 0

Lúc đó:

(3b +1)(b +1) = 225

⇔ (b - 8)(3b - 28) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}b = 8\\b = \frac{{28}}{3}\end{array} \right.\)

Vì b là số tự nhiên ⇒ a = 0; b = 8

Vậy a = 0; b = 8.

Lời giải:

Ta có: 315 = 5 . 7 . 9

Vì \(\overline {2009abc} \vdots 315\) tức \(\overline {2009abc} \vdots 5\) nên c = 0 hoặc c = 5

TH1: Với c = 0 ta có số \(\overline {2009ab0} \)

Để \(\overline {2009ab0} \vdots 9\) thì (2 + 0 + 0 + 9 + a + b + 0) ⋮ 9 tức (11 + a + b) ⋮ 9

Suy ra: a = 0, b = 7 hoặc a = 7, b = 0

TH2: Với c = 5 ta có số \(\overline {2009ab5} \)

Để \(\overline {2009ab5} \vdots 9\) thì (2 + 0 + 0 + 9 + a + b + 5) ⋮ 9 tức (16 + a + b) ⋮ 9

Suy ra: a = 3, b = 8 hoặc a = 8, b = 3.

Vậy (a;b;c) ∈ {(0;7;0), (7;0;0), (3;8;5), (8;3;5)}.

Lời giải:

ax¹⁹ + bx⁹⁴ + cx¹⁹⁹⁴

= a(x¹⁹ – x) + b(x⁹⁴ – x) + c(x¹⁹⁹⁴ – x) + ax + bx + cx²

= ax(x¹⁸ − 1) + bx(x⁹³ − 1) + cx²(x¹⁹⁹² − 1) + c(x² + x + 1) – cx – c + ax + bx

Dễ thấy:

x¹⁸ – 1 ⋮ x² + x + 1

x⁹³ – 1 ⋮ x² + x + 1

x¹⁹⁹² – 1 ⋮ x² + x + 1

Do đó –cx – c + ax + bx = x(a + b − c) – c chính là đa thức dư khi thực hiện phép chia.

Để phép chia là chia hết thì x(a + b − c) – c = 0 với mọi x

⇔ a + b – c = 0 và c = 0

⇔ a + b = c = 0

Lời giải:

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là n – 1, n, n + 1 (n là số tự nhiên)

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

(n – 1)² + n² = (n + 1)²

⇔ 2n² – 2n + 1 = n² + 2n + 1

⇔ n² – 4n = 0

⇔ n(n – 4) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 4\end{array} \right.\)

Mà n là số tự nhiên nên n = 4

Vậy 3 cạnh của tam giác vuông lần lượt là: 3, 4, 5.

Lời giải:

Ta có: x = 21 nên x – 1 = 20

A = x⁶ – 20x⁵ – 20x⁴ – 20x³ – 20x² – 20x + 3

A = x⁶ – x⁵(x – 1) – x⁴(x – 1) – x³(x – 1) – x²(x – 1) – x(x – 1) + 3

A = x⁶ – x⁶ + x⁵ – x⁵ + x⁴ – x⁴ + x³ – x³ + x² – x² + x + 3

A = x + 3

A = 21 + 3

A = 24.

Lời giải:

Để C mang giá trị nguyên thì 3 chia hết cho x + 1

Suy ra: x + 1 ∈ {-3; -1; 1; 3}

⇒ x ∈ {-4; -2; 0; 2}

Vậy x ∈ {-4; -2; 0; 2}

Lời giải:

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c

Giả sử m_a = 15; m_b = 18; m_c = 27

Theo công thức trung tuyến:

\({m_a} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\); \({m_b} = \frac{{2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}}}{4}\); \({m_c} = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}\)

Cộng vế theo vế các đẳng thức ta được:

\(\frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{4} = {m_a} + {m_b} + {m_c} = 15 + 18 + 27 = 60\)

Suy ra: a² + b² + c² = 80

⇒ b² + c² = 80 – a²

Thay vào \(15 = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\) ta được:

\(15 = \frac{{2\left( {80 - {a^2}} \right) - {a^2}}}{4} \Rightarrow a = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\)

Suy ra: \(b = \frac{{2\sqrt {66} }}{3};c = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\)

Lời giải:

Vì ƯCLN(a,b) = 10, suy ra : a = 10x ;  b = 10y 

(với x < y và ƯCLN(x,y) = 1)                                                        

Ta có : a.b = 10x . 10y = 100xy (1)

Mặt khác: a.b = ƯCLN(a,b). BCNN(a,b)

 a.b = 10 . 900 = 9000 (2)                                         

Từ (1) và (2), suy ra: xy = 90

Ta có các trường hợp sau:

x	1	2	3	5	9
y	90	45	30	18	10

 Từ đó suy ra a và b có các trường hợp sau:

a	10	20	30	50	90
b	900	450	300	180	100

Vậy (a;b) ∈ {(10;900), (20;450), (30;300), (50;180), (90;100)}

Lời giải:

+ Nếu x = 0 thì có: 2⁰ + 17 = y⁴ ⇔ 18 = y⁴ ⇒ không có y nguyên thỏa mãn

+ Nếu x = 1 thì có: 2¹ + 17 = y⁴ ⇔ 19 = y⁴ ⇒ không có y nguyên thỏa mãn

+ Nếu x = 2 thì có: 2² + 17 = y⁴ ⇔ 21 = y⁴ ⇒ không có y nguyên thỏa mãn

+ Nếu x > 2 thì x có dạng x = 2k hoặc x = 2k + 1 (k là số nguyên)

- Với x = 2k ta có: 2^2k + 17 = y⁴

⇔ y⁴ – 2^2k = 17

⇔ (y²)² – (2^k)² = 17

⇔ (y² – 2^k)(y² + 2^k) = 17

Mà 17 = 17.1 và y² + 2^k > y² - 2^k nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {2^k} = 17\\{y^2} - {2^k} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 9\\{2^k} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\k = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 2k = 6\end{array} \right.\)

- Với x = 2k + 1 ta có: 2^{2k + 1} + 17 = y⁴

⇔ 2^2k+1 + 17 = y⁴

⇔ y⁴ – 16 = 2^2k+1 + 1

⇔ (y² – 4)(y² + 4) = 2^2k+1 + 1

Ta thấy 2^2k+1 + 1 chia hết cho 3

Mà y² chia 3 luôn dư 1, 4 chia 3 dư 1 nên y² + 4 chia 3 dư 2

y² – 4 chia 3 cũng dư 2

Nên (y² – 4)(y² + 4) không chia hết cho 3

Suy ra: (y² – 4)(y² + 4) = 2^2k+1 + 1 vô nghiệm.

Vậy x = 6 và y = 3.

Lời giải:

Vì x, y là số tự nhiên nên 2^x + 624 > 624 ⇒ 5^y > 624

Mà 5^y có tận cùng là 5

Nên 2^x + 624 cũng có tận cùng là 5

Xét x = 0 thì: 2^x + 624 = 625 = 5^y ⇒ y = 4

Xét x >0 thì 2^x có tận cùng là chữ số chẵn nên 2^x + 624 có tận cùng khác 5.

Vậy x = 0; y = 4.

Lời giải:

Vì vai trò x, y, z như nhau và x, y, z nguyên dương nên để bài toán không mất tính tổng quát ta giả sử: 1 ≤  x ≤ y ≤ z

 x + y + z ≤  z + z + z + 16 = 3z + 16

⇒ 2xyz ≤ 3z + 16

⇒ 2xy ≤ 3z + 16z

⇒ 2xy ≤ 3 + 16z ≤ 3 + 16 = 19

⇒ xy ≤ \(\frac{{19}}{2}\) = 9,5

Mà x ≤ y nên:

x² ≤ 9,5 ⇒ x ∈ {1, 2, 3}

TH1: x = 1

⇒ 2yz = y + z + 17

⇔ 2yz − y − z = 17

⇔ y( z − 1) − z = 17

⇔ 2y( 2z −1) − (2z  1) == 17. 2 + 1 = 35

⇔ (2y − 1)(2z − 1) = 35 = 35. 1 = 5. 7

Mà y ≤  z nên ta có bảng: 

2y – 1	1	5
2z – 1	35	7
y	1	3
z	18	4

TH2: x = 2

⇒ 4yz = y + z + 18

⇔ 16yz − 4y − 4z – 1  = 73

⇔ (4z − 1)(4y − 1) = 73 = 1.73

Suy ra: 4z – 1 = 73 (loại vì z nguyên dương)

TH3: x = 3

⇒ 6yz = y + z + 19

⇔ 36yz = 114 + 6y + 6z

⇔ 36yz – 6y – 6z = 114

⇔ (6y – 1)(6z – 1) = 114 + 1

⇔ (6y – 1)(6z – 1) = 115 = 115.1 = 23.5

Ta có bảng: 

6y – 1	1	5
6z – 1	115	23
y	0,33	1
z	19,33	4

Trường hợp này loại vì y, z nguyên dương

Vậy (x, y, z) ∈ {(1;3;4), (1;1;18)} và các hoán vị.

Lời giải:

Các ước của 115 là 1;5; 23; 115.

Nên các ước lớn hơn 10 của 115 là 23; 115.

Lời giải:

Có nhiều cách để tính chiều rộng hình chữ nhật trong một bài toán, tùy thuộc vào dữ kiện đề bài cho.

Dưới đây là một số cách:

* Công thức tính chiều rộng khi biết chu vi khi biết chiều dài:

-       Ta lấy chu vi chia 2, ra nửa chu vi

-       Lấy nửa chu vi trừ chiều dài, ta được chiều rộng

* Công thức tính chiều rộng khi biết diện tích và chiều dài :

Diện tích : chiều dài = chiều rộng

Lời giải:

5x² – 2A + 4x – 5 = A + 4x² – 6x + 7

3A = 5x² + 4x – 5 – 4x² + 6x – 7

3A = x² + 10x – 12

\(A = \frac{{{x^2} + 10x - 12}}{3}\)

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử a = max (a;b;c) , ta xét 2 trường hợp:

+) –a ≥ b ≥ c dẫn đến kết quả sau:

P = a²b + abc + c²b = b(a² + ac + c²) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)

+) –a ≥ cb ≥ dẫn đến kết quả sau:

P = a²c + b²c + abc = c(a² + ab + b²) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)

Vậy GTLN của P là \(\frac{4}{{27}}\) khi \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};0} \right)\) và các hoán vị.

Lời giải:

\(A = \frac{{5 - {x^2}}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{ - \left( {{x^2} + 3} \right) + 8}}{{{x^2} + 3}} = - 1 + \frac{8}{{{x^2} + 3}}\)

Mà x² ≥ 0 nên x² + 3 ≥ 3 ⇒\(\frac{8}{{{x^2} + 3}} \le \frac{8}{3}\)

\(A = - 1 + \frac{8}{{{x^2} + 3}} \le - 1 + \frac{8}{3} = \frac{5}{3}\)

Vậy GTLN của A bằng \(\frac{5}{3}\)

Dấu “=” khi x = 0.

Lời giải:

\(M = \frac{{4a}}{{{a^2} + 4}} = \frac{{\left( {{a^2} + 4} \right) - \left( {{a^2} - 4a + 4} \right)}}{{{a^2} + 4}} = 1 - \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{{a^2} + 4}}\)

Vì (a – 2)² ≥ 0 và a² + 4 > 0 với mọi a nên \(\frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{{a^2} + 4}} \ge 0,\forall a\)

Suy ra: \(M = 1 - \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{{a^2} + 4}} \le 1\)

Vậy GTLN của M là 1 khi a = 2.

Lời giải:

\(A = \frac{{2x - 6}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{2}{{x + 3}}\)

Để A nguyên thì 2 chia hết x + 3

Hay x + 3 ∈ Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}

⇒ x ∈ {-5; -4; -2; -1}

Vậy x ∈ {-5; -4; -2; -1}.

Lời giải:

Đặt 2x – 1 = a nên \(x = \frac{{a + 1}}{2}\)

⇒\(B = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} - 3\left( {a + 1} \right) + 1}}{{{a^2}}} = \frac{{{a^2} - a - 1}}{{{a^2}}}\)

\(B = 1 - \frac{1}{a} - \frac{1}{{{a^2}}}\)

\(B = - \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + 2.\frac{1}{a}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{5}{4} = - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4}\)

Vì \( - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0,\forall a\) suy ra: \( - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4} \le \frac{5}{4}\)

Vậy max B = \(\frac{5}{4}\) khi a = -2 hay \(x = - \frac{1}{2}\)

Lời giải:

\(A = \frac{4}{{3 - x}} + \frac{{100}}{x} + 2024\)

\(A = \frac{{{2^2}}}{{3 - x}} + \frac{{{{10}^2}}}{x} + 2024\)

\(A \ge \frac{{{2^2} + {{10}^2}}}{{3 - x + x}} + 2024\)

\(A \ge 2072\)

Vậy GTNN của A là 2072 khi \(\frac{2}{{3 - x}} = \frac{{10}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

Lời giải:

A = x² – 4x + 9

A = x² – 4x + 4 + 5

A = (x – 2)² + 5

Vì (x – 2)² ≥ 0, ∀x nên (x – 2)² + 5 ≥ 5 với mọi x

Vậy GTNN của A là 5 khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Lời giải:

A = x² – 4x + 3

A = x² – 4x + 4 – 1

A = (x – 2)² – 1

Vì (x – 2)² ≥ 0, ∀x nên (x – 2)² – 1 ≥ –1 với mọi x

Vậy GTNN của A là –1 khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Lời giải:

A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

A = (x² + 3x)(x² + 3x + 2)

Đặt x² + 3x = t

Ta có: A = t(t + 2) = t² + 2t = (t + 1)² – 1

Vì (t + 1)² ≥ 0, ∀t nên (t + 1)² – 1 ≥ –1 với mọi t

Vậy GTNN của A bằng –1 khi t = –1

⇒ x² + 3x = –1

⇔ x² + 3x + 1 = 0

⇔\(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ -1

\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) - 3}}{{x + 1}} = 1 - \frac{3}{{x + 1}}\)

Để A nhận giá trị nguyên âm thì \(\frac{3}{{x + 1}} > 1;\frac{3}{{x + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 1 < 3\)

Suy ra: x + 1 ∈ Ư(3) và x + 1 < 3

⇒ x + 1 = 1

⇒ x = 0

Vậy x = 0 thì A nhận giá trị nguyên âm và A = -2.

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ -1

\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) - 3}}{{x + 1}} = 1 - \frac{3}{{x + 1}}\)

Để A nhận giá trị nguyên âm thì \(\frac{3}{{x + 1}} < 1;\frac{3}{{x + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 1 > 3\)

Suy ra: x + 1 ∈ Ư(3) và x + 1 > 3

⇒ Không tồn tại x phù hợp

Vậy không tồn tại x để A nguyên dương.

Lời giải:

P = 2x - 2xy - 2x² - y²

P = -(x² + 2xy + y²) – (x² – 2x + 1) + 1

P = -(x + y)² – (x – 1)² + 1

Vì -(x + y)² – (x – 1)² ≥ 0 với mọi x, y nên P = -(x + y)² – (x – 1)² + 1 ≥ 1

Vậy GTLN của P là 1 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(B = 2{x^2} - 3x + 1\)

\(B = 2\left( {{x^2} - 2.\frac{3}{4}.x + \frac{9}{{16}}} \right) - \frac{1}{8}\)

\(B = 2{\left( {x - \frac{3}{4}} \right)^2} - \frac{1}{8} \ge - \frac{1}{8}\)

Vậy GTNN của B là \( - \frac{1}{8}\) khi \(x = \frac{3}{4}\)

Lời giải:

12x + 10y + 15z ≤ 60

⇒\(\frac{x}{5} + \frac{y}{6} + \frac{z}{4} \le 1\)

Đặt \(\frac{x}{5} = a;\frac{y}{6} = b;\frac{z}{4} = c\left( {0 \le a,b,c \le 1} \right),a + b + c \le 1\)

Khi đó T = 25a² + 36b² + 16c² – 20a – 24b – 4c

\(25a\left( {a - \frac{{32}}{{25}}} \right) \le 0\)⇒ 25a² ≤ 32a

36b(b – 1) ≤ 0 ⇒ 36b² ≤ 36b

16c(c – 1) ≤ 0 ⇒ 16c² ≤ 16c

Suy ra: T ≤ 32a + 36b + 16c – 20a – 24b – 4c = 12(a + b + c) ≤ 12

Vậy T_max = 12 khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 0\end{array} \right.\)

Lời giải:

G = x² – x + 2y² – 4y + 3

G = \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x,y\)

Vậy GTNN của G là \(\frac{3}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)

Lời giải:

A = x² – x + 1

\(A = {x^2} - 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x\)

Vậy GTNN của A là \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\)

Lời giải:

A = x² + 12x + 39

A = x² + 2.6x + 6² + 3

A = (x + 6)² + 3

Vì (x + 6)² ≥ 0 với mọi x nên (x + 6)² + 3 ≥ 3 với mọi x

Vậy GTNN của A là 3 khi x = -6.

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ 0

\(B = \frac{{{x^2} - 2x + 2006}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 1 + 2005}}{{{x^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2005}}{{{x^2}}}\)

Vì x² ≥ 1 và (x – 1)² ≥ 0 nên (x – 1)² + 2005 ≥ 2005

Vậy GTNN của B là 2005 khi x = 1.

Lời giải:

M = x⁴ – 2x³ + 2x² – 2x + 1

M = x³(x – 1) – x²(x – 1) + (x – 1)²

M = (x – 1)(x³ – x²) + (x – 1)²

M = (x – 1)²x² + (x – 1)²

M = (x – 1)²(x² + 1)

Vì (x – 1)² ≥ 0, x² + 1 ≥ 1 nên (x – 1)²(x² + 1) ≥ 1 với mọi x

Do đó GTNN của M là 1 khi x = 0.

Lời giải:

B(36) = {0; 36; 72; 108; …}

Lời giải:

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n , n thuộc {2, 3, ..., 2004}).

Mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:

(2 + 3 + ... + 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 + 4

= 200(1 + 2 + ... + 9) + 9 = 9009.

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.

Lời giải:

Gọi 2 số cần tìm là a, b

Theo bài ra ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 13\\ab = 42\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13 - b\\\left( {13 - b} \right)b = 42\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13 - b\\13b - {b^2} - 42 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13 - b\\13b - {b^2} - 42 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Vậy (a;b) ∈ {(6;7), (7;6)}.

Lời giải:

Hiệu hai số đó là:

5 × 2 + 2 = 12

Số thứ nhất là:

(186 + 12) : 2 = 99

Số thứ hai là:

186 – 99 = 87

Đáp số: 99; 87.

Lời giải:

Vì hiệu của 2 số đó là 507, là số lẻ nên một trong hai số là số chẵn

Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2

Nên số còn lại là:

507 + 2 = 509.

Vậy 2 số nguyên tố cần tìm là 509 và 2.

Lời giải:

Nếu số lớn thêm 15,4 thì hiệu hai số mới sẽ tăng thêm 15,4.

Nếu số bé thêm 7,8 thì hiệu hai số mới sẽ giảm 7,8.

Vì hiệu hai số mới là 20,8 nên hiệu của hai số ban đầu là :

20,8 + 7,8 − 15,4 = 13,2

Đáp số : 13,2.

Lời giải:

\(\frac{1}{5}.m = \frac{6}{7}\)

⇔\(m = \frac{6}{7}:\frac{1}{5} = \frac{{30}}{7}\)

Lời giải:

Để A ∩ B ≠ ∅ thì đầu tiên B ≠ ∅ hay 2m – 1 < 3m, tức là m > -1

Để A ∩ B ≠ ∅  thì \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 > m + 1\\2m - 1 < m + 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3m < m + 4\\3m > m + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m < 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m > \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2 < m < 5\\\frac{1}{2} < m < 2\end{array} \right.\)

Vậy m ∈ \(\left( {\frac{1}{2};2} \right) \cup \left( {2;5} \right)\)

Lời giải:

y′ = −3x² + 6(m + 1)x − 3m² − 7m + 1

Hàm có cực tiểu khi và chỉ khi y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ′ = 9m² + 18m + 9 + 3(−3m² − 7m + 1) > 0

⇔ −3m + 12 > 0

⇒ m < 4

Giả sử x₁ < x₂ là 2 nghiệm, khi đó a = -1 < 0 nên x₁ là điểm cực tiểu

Suy ra: \(\frac{{ - 3\left( {m + 1} \right) - \sqrt {12 - 4m} }}{{ - 3}} < 1\)

⇔ \(3m + 3 + \sqrt {12 - 4m} > 3\)

⇔ \(\sqrt {12 - 4m} > 3\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m > 0\\\left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\12 - 4m > 9{m^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{ - 2 - 4\sqrt 7 }}{9} < m < 4\)

Lời giải:

Để hai đường thẳng song song thì 2 = m – 1

Suy ra: m = 3

Vậy m = 3.

Lời giải:

Nếu m = 1 thì (d): y = −2 cách O một khoảng d = 2

Nếu m = 2 thì (d): x = 1 cách O một khoảng d = 1

Nếu m ≠ 1; 2

Gọi A và B là giao điểm của (d) với trục Ox, Oy

\({y_A} = 0 \Rightarrow {x_A} = \frac{1}{{m - 1}}\)

\({x_B} = 0 \Rightarrow {y_B} = \frac{2}{{m - 2}}\)

Gọi khoảng cách từ O đến (d) là hh thì theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2}\)

Để h_max thì \(\frac{1}{{{h^2}}}\)​ min hay \({\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2}\) min

Dễ thấy:

​\({\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}{m^2} - 4m + 3 = \frac{3}{2}{\left( {m - \frac{4}{3}} \right)^2} + \frac{1}{3} \ge \frac{1}{3},\forall m\)

Khi đó h = 3

Thông qua các TH trên thì thấy m = 1 thì thỏa mãn đề.

Lời giải:

\(D = \frac{{4x + 3}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} - 1\)

Vì \(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge 0,\forall x \Rightarrow \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} - 1 \ge - 1\)

Vậy GTNN của D là -1 khi x = -2

\(D = \frac{{4x + 3}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - 4{x^2} + 4x - 1 + 4{x^2} + 4}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - {{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 4\)

Vì \( - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 0,\forall x \Rightarrow - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 4 \le 4\)

Vậy GTLN của D là 4 khi x = \(\frac{1}{2}\)

Lời giải:

Số cần tìm là:

42.7 = 294

Đáp số: 294.

Lời giải:

Số cần tìm là:

31 + 35 – 42 = 24

Đáp số: 24.

Lời giải:

Số cần tìm là:

(44 – 24) . 7 = 140

Đáp số: 140.

Lời giải:

Số cần tìm là:

15 + 27 – 12 = 30.

Đáp số: 30

Lời giải:

Ta có: 3n + 4 ⋮ 2n + 1

⇒ 2(3n + 4) ⋮ 2n + 1

⇔ 6n + 8 ⋮ 2n + 1

⇔ 6n + 3 + 5 ⋮ 2n + 1

⇔ 3(2n + 1) + 5 ⋮ 2n + 1

Vì 3(2n + 1) ⋮ 2n + 1 nên để 3(2n + 1) + 5 ⋮ 2n + 1 thì 5 ⋮ 2n + 1

Hay 2n + 1 ∈ Ư(5)

Vì n là số tự nhiên nên 2n + 1 = 1 hoặc 2n + 1 = 5

⇒ n = 0 hoặc n = 2.

Vậy n = 0 hoặc n = 2.

Lời giải:

Ta có: n – 6 = n – 1 – 5

Vì (n – 1) ⋮ (n – 1) nên để (n - 6) ⋮ (n - 1) thì 5 ⋮ n – 1

Hay n – 1 ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5 }

Suy ra: n ∈ {-4; 0; 2; 6}

Vậy n ∈ {-4; 0; 2; 6}

Lời giải:

Gọi phân số cần tìm là \(\frac{x}{6}\)

Ta có: \(\frac{x}{6} < \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{{8x}}{{48}} < \frac{{3.6}}{{8.6}} = \frac{{18}}{{48}} \Rightarrow 8x < 18 \Rightarrow x < \frac{9}{4}\)

Vì x nguyên nên x = 0, 1, 2

Suy ra có 3 phân số thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(\frac{0}{6};\frac{1}{6};\frac{2}{6}\)

Lời giải:

Ta gọi các phân số đó là x, y, z, t

Ta có:

 \(\frac{5}{7} < x < y < z < t < \frac{5}{6}\)

\(\frac{{30}}{{42}} < x < y < z < t < \frac{{35}}{{42}}\)

Suy ra: \(x = \frac{{31}}{{42}};y = \frac{{32}}{{42}} = \frac{{16}}{{21}};z = \frac{{33}}{{42}};t = \frac{{34}}{{42}} = \frac{{17}}{{21}}\)

Lời giải:

Số dư lớn nhất của phép chia trên là 5 nên số chia là 6.

Số bị chia là:

14 . 6 + 5 = 89

Lời giải:

Để \(\overline {5a38b} \) chia 5 dư 1 thì b = 1 hoặc b = 6

Mà \(\overline {5a38b} \vdots 2\)nên b = 6

Ta được số: \(\overline {5a386} \)

Để \(\overline {5a38b} \vdots 9\)thì (5 + a + 3 + 8 + 6) ⋮ 9 hay 22 + a ⋮ 9

Mà a < 10 nên a = 5

Vậy \(\overline {5a38b} = 55386\)

Lời giải:

Các số đối lần lượt là: \( - \frac{4}{5};3;\frac{4}{7};\frac{2}{5}; - \frac{5}{{11}}; - 0,123\)

Lời giải:

Số học sinh học giỏi ít nhất 1 môn toán hoặc tiếng việt là:

40 - 2 = 38 (học sinh)

Nếu mỗi bạn chỉ thích 1 môn thì có tất cả số học sinh là:

30 + 25 = 55 (học sinh)

Vậy thì thừa ra số học sinh chính là số học sinh giỏi cả toán và tiếng việt là:

55 - 38 = 17 (học sinh)

Lời giải:

Giả sử tích của 2025n – 2024 là k(k + 1) (k là số nguyên)

Ta có: 2025n – 2024 = k(k + 1)

\(n = \frac{{k\left( {k + 1} \right) + 2024}}{{2025}}\)

Vì n nguyên nên k(k + 1) + 2024 chia hết cho 2025

Lại có: 2025 = 5².3⁴ = 25 . 81

Mà k(k + 1) luôn chia hết cho 2 và 2024 ⋮ 2

Nhưng \(2025\cancel{ \vdots }2\) nên biểu thức \(n = \frac{{k\left( {k + 1} \right) + 2024}}{{2025}}\) sẽ luôn có số dư

Mà n là số nguyên nên không thể tồn tại n thỏa mãn

Vậy không có giá trị n.

Lời giải:

xy - x + y = 6

⇔ x(y – 1) + y – 1 = 5

⇔ (y – 1)(x + 1) = 5

Ta có bảng:

y – 1	5	1	-5	-1
x + 1	1	5	-1	-5
y	6	2	-4	0
x	0	4	-2	-6

Vậy (x;y) ∈ {(0;6), (4;2), (-2;-4), (-6;0)}.

Lời giải:

Ta thấy các chữ số đều < 10 nên chữ số bé nhất là 2.

Ta có: 20 = 9 + 9 + 2

Vậy số cần tìm là 299.

Lời giải:

Ta thấy:

11 – 2 = 9

25 – 11 = 14

44 – 25 = 19

68 – 44 = 24

Các hiệu giữa 2 số kề nhau tăng với công sai d = 5

Vậy số tiếp theo là:

68 + (24 + 5) = 97

Đáp số: 97.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \), ta có số mới là \(\overline {2ab2} \)

Ta có: \(\overline {2ab2} = \overline {ab} .36\)

2002 + \(\overline {ab} \). 10 = \(\overline {ab} \) . 36

2002 = \(\overline {ab} \) . 26

\(\overline {ab} \) = 2002 : 26

\(\overline {ab} \) = 77

Vậy số cần tìm là 77.

Lời giải:

Ta có: 2n + 7 = 2(n + 2) + 3

Vì 2(n + 2) ⋮ (n + 2) nên để 2n + 7 ⋮ n + 2 thì 3 ⋮ n + 2

Hay n + 2 ∈ Ư(3)

Vì n là số tự nhiên nên n + 2 ≥ 0 + 2 = 2

⇒ n + 2 = 3

⇒ n = 1

Vậy n = 1.

Lời giải:

7³⁰⁰ = (7³)¹⁰⁰ = 343¹⁰⁰

n²⁰⁰ = (n²)¹⁰⁰

Vì n²⁰⁰ < 7³⁰⁰ ⇒ (n²)¹⁰⁰ < 343¹⁰⁰ ⇒ n² < 343

⇒ n < 18,5202

Vậy giá trị lớn nhất của n thỏa mãn đề bài là n = 18.

Lời giải:

Để (n+1)(n+3) là số nguyên tố thì nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó

Mà (n+1)(n+3) là tích hai số nên n + 1 hoặc n + 3 bằng 1

 Nếu n > 2 thì n+1 và n+ 3 sẽ luôn có một số không phải là số nguyên tố

 ⇒ Tích (n+1)(n+3) sẽ không phải số nguyên tố

Nếu n = 2 thì (n+1)(n+3) = 15 ⇒ Không phải số nguyên tố

Nếu n = 1 thì (n+1)(n+3) = 8 ⇒ Không phải số nguyên tố

Nếu n = 0 thì (n+1)(n+3) = 3 ⇒ Là số nguyên tố

Vậy với n = 0 thì (n+1)(n+3) là số nguyên tố

Lời giải:

Đặt A = 1 + n²⁰¹⁷ + n²⁰¹⁸

Với n = 1 ⇒ A = 3 là số nguyên tố (chọn)

Với n > 1ta có: 

A = 1 + n²⁰¹⁷ + n²⁰¹⁸

= n²⁰¹⁸ – n² + n²⁰¹⁷ – n + (n² + n + 1)

= n²(n²⁰¹⁶ – 1) + n(n²⁰¹⁶ – 1) + (n² + n + 1)

= (n²⁰¹⁶ – 1)(n² + n) + (n² + n + 1)

Mà : n²⁰¹⁶−1 = (n³)⁶⁷² – 1 = (n³ − 1)[(n³)⁶⁷¹ + (n³)⁶⁷⁰ + ... + n³ + 1] ⋮ n³ − 1

⇒ (n²⁰¹⁶−1) ⋮ (n² + n + 1)

⇒A ⋮ (n² + n + 1)

Ta lại có : 1 < (n² + n + 1) < Anên A là số nguyên tố

Vậy n = 1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài

Lời giải:

Ta có: 25 < 3ⁿ ⇒ n > 2 vì 3² = 9 < 25

3⁶ = 729 > 260 ⇒ n < 6

Kết hợp ta có: 2 < n < 6

Mà n là số tự nhiên nên n = 3; 4; 5

Vậy n ∈ {3; 4; 5}.

Lời giải:

ĐK: x ≥ 74

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 15 = {m^2}\\x - 74 = {n^2}\end{array} \right.\left( {m,n \in \mathbb{N}} \right)\)

Suy ra: m² – n² = x + 15 – x + 74 = 89

⇔ (m – n)(m + n) = 89

Do m và n là số tự nhiên và 89 = 89.1; m + n > m – 1=n nên \(\left\{ \begin{array}{l}m + n = 89\\m - n = 1\end{array} \right.\)

⇒ m = 45; n = 44

Thay vào: x + 15 = 45² ⇒ x = 45² – 15 = 2010

Vậy x = 2010.

Lời giải:

(2x – 3)² – (x + 5)² = 0

⇔ (2x – 3 – x – 5)(2x – 3 + x + 5) = 0

⇔ (x – 8)(3x + 2) = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy x = 8 hoặc \(x = - \frac{2}{3}\)

Lời giải:

Ta có: 8 ⋮ x; 9 ⋮ x nên x ∈ ƯC(8;9) = ±1

Mà x tự nhiên nên x = 1.

Lời giải:

(x² – 4)(2x + x + 3) = 0

⇔ (x² – 4)(3x + 3) = 0

⇔ (x – 2)(x + 2)(3x + 3) = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\\x = - 1\end{array} \right.\)

Vậy x ∈ {-2;-1;2}

Lời giải:

5^x + 5^x+1 + 5^x+2 = 31

⇔ 5^x + 5^x . 5 + 5^x . 5² = 31

⇔ 5^x ( 1 + 5 + 5²) = 31

⇔ 5^x = 1

⇔ x = 0

Vậy x = 0.

Lời giải:

5x + 3x = 88

8x = 88

x = 88 : 8

x = 11

Vậy x = 11.

Lời giải:

x ∈ Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

x ∈ B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; …}

Do đó không tìm được x thỏa mãn.

Lời giải:

Ta có: 450 = 2.3².5²

Số ước dương của 450 là:

(1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 18 (ước)

Lời giải:

y = sin²x + 4sinx – 1

y = (sinx – 1)(sinx + 5) + 4

⇒\(\left\{ \begin{array}{l}\sin x - 1 \le 0\\\sin x + 5 > 0\end{array} \right. \Rightarrow y \le 4\)

y = sin²x + 4sinx + 3 – 4 = (sinx + 1)(sinx + 3) – 4

⇒\(\left\{ \begin{array}{l}\sin x + 1 \ge 0\\\sin x + 3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow y \ge - 4\)

Vậy tập giá trị là [-4;4].

Lời giải:

ĐKXĐ: \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0\)

⇒\(3x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)

⇒\(x \ne \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\)

Lời giải:

a) A ⊂ B ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 5\\m + 3 < 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 < m \le 5\)

b) B ⊂ A ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m > 5\\m + 3 \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 5\\m \le 4\end{array} \right.\) (không tồn tại m thỏa mãn)

Lời giải:

Để (m - 7; m) là tập con của (-4;3) thì m - 7 > -4 và m < 3

Suy ra: m > -3 và m < 3

Vậy -3 < m < 3.

Lời giải:

Ta có: 18 = 3².2

36 = 2².3²

30 = 2.3.5

⇒ ƯCLN(18; 36; 30) = 2.3 = 6

Lời giải:

(3x – 7)² – 4(x + 1)² = 0

⇔ (3x – 7)² – [2(x + 1)]² = 0

⇔ (3x – 7)² – (2x + 2)² = 0

⇔ (3x – 7 + 2x + 2)(3x – 7 – 2x – 2) = 0

⇔ (5x – 5)(x – 9) = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 9\end{array} \right.\)

Vậy x = 1 hoặc x = 9.

Lời giải:

(3x – 5)² – (1 – 2x)² = 0

⇔ (3x – 5 + 1 – 2x)(3x – 5 – 1 + 2x) = 0

⇔ (x – 4)(5x – 6) = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = \frac{6}{5}\end{array} \right.\)

Lời giải:

(x + 5)² - (x - 5)² - 2x + 1 = 0

⇔ x² + 10x + 25 – (x² – 10x + 25) – 2x + 1 = 0

⇔ x² + 10x + 25 – x² + 10x – 25 – 2x + 1 = 0

⇔ 20x – 2x + 1 = 0

⇔ 18x + 1 = 0

⇔\(x = - \frac{1}{{18}}\)

Vậy \(x = - \frac{1}{{18}}\)

Lời giải:

\(x + \frac{5}{6} = 4.\frac{5}{{12}}\)

\(x + \frac{5}{6} = \frac{5}{3}\)

\(x = \frac{5}{3} - \frac{5}{6}\)

\(x = \frac{5}{6}\)

Vậy \(x = \frac{5}{6}\).

Lời giải:

(x + 1)(6x + 8)(6x + 7)² = 12

6(x + 1)(6x + 8)(6x + 7)² = 12.6

(6x + 6)(6x + 8)(6x + 7)² = 72

(36x² + 84x + 48)(36x² + 84x + 49) – 72 = 0

Đặt 36x² + 84x = a

Ta có:

a(a + 1) – 72 = 0

⇔ a² + a – 72 = 0

⇔ (a – 8)(a + 9) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 8\\a = - 9\left( L \right)\end{array} \right.\)

Suy ra: 36x² + 84x = 8

⇒ 36x² + 84x – 8 = 0

⇔ \(x = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {57} }}{6}\)

Lời giải:

2x + 7 = 2(x + 1) + 5

Vì 2(x + 1) ⋮ x + 1 nên để 2x + 7 ⋮ x + 1 thì 5 ⋮ x + 1

Hay x + 1 ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

⇒ x ∈ {-6; -2; 0; 4}.

Vậy x ∈ {-6; -2; 0; 4}.

Lời giải:

Ta có: 5x – 1 = 5(x + 2) – 11

Vì 5(x + 2) ⋮ (x + 2) mà 5x – 1 ⋮ (x + 2)

Suy ra: 11 ⋮ (x + 2)

Hay x + 2 ∈ Ư(11) = {-11; -1; 1; 11}

⇒ x ∈ {-13; -3; -1; 9}.

Vậy x ∈ {-13; -3; -1; 9}.

Lời giải:

a) Các số tròn chục đó là: 10, 20, 30, 40 

Vậy x là: 10, 20, 30, 40

b) Các số tròn chục đó là: 40, 50, 60, 70

Vậy x là: 40 , 50 , 60 , 70

Lời giải:

7(x - 2004)² = 23 - y²

Vì y² ≥ 0, ∀y nên 23 – y² ≤ 23, ∀y

Suy ra: 7(x - 2004)² ≤ 23

⇒ (x - 2004)² ≤ \(\frac{{23}}{7} < 4\)

Mà (x - 2004)² ≥ 0, Trong đoạn [0;4) chỉ có 2 số chính phương là 0 và 1 nên:

+ Nếu x – 2004 = 0 ⇒ y² = 23 - không có y thuộc N thỏa mãn.

+ Nếu (x - 2004)² = 1 thì x = 2005 hoặc x = 2003.

Khi đó y² = 16 mà y thuộc ℕ nên y = 4.

Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn phương trình là (x ; y) ∈ {(2003;4), (2005;4)}.

Lời giải:

\(\frac{x}{{\sqrt x - 1}} > 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - 1 > 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} > 0\)

Vì \(\sqrt x \ge 0\) nên để \(\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} > 0\) thì \(\frac{1}{{\sqrt x - 1}} > 0 \Rightarrow \sqrt x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\)

Vậy x > 1.

Lời giải:

P = x⁴ + x² + 1

P = (x² + 1)² – x²

P = (x² – x + 1)(x² + x + 1)

Do x là số tự nhiên nên x² + x + 1 > x² - x + 1

Để x⁴ + x² + 1 là số nguyên tố thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1 = 1\\{x^2} + x + 1 \in P\end{array} \right.\)

Suy ra: x² – x = 0

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Với x = 0 thì P = x⁴ + x² + 1 = 1 (loại)

Với x = 1 thì P = x⁴ + x² + 1 = 3 (chọn)

Vậy x = 1.

Lời giải:

Ta có: (x + 7) = (x + 1) + 6

Mà (x + 1) + 6 chia hết cho x + 1 và x + 1 chia hết cho x + 1

⇒ 6 phải chia hết cho x + 1

⇒ x + 1 = {1 ; 2 ; 3 ; 6}

Nếu x + 1 = 1 thì x = 1 - 1 = 0 (được)

Nếu x + 1 = 2 thì x = 2 - 1 = 1 (được)

Nếu x + 1 = 3 thì x = 3 - 1 = 2 (được)

Nếu x + 1 = 6 thì x = 6 - 1 = 5 (được)

Vậy x = {0 ; 1 ; 2 ; 5}